ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА
Оценка качества формулы приближенного интегрирования при функционально-аналитическом подходе предполагает использование критерия минимальности нормы функционала погрешности в соответствующем прострaнcтве. Нормы функционалов определяются через экстремальные функции, которые являются обобщенными решениями некоторых дифференциальных уравнений в частных производных. Дифференциальный оператор такого уравнения порождается видом нормы функции в основном прострaнcтве. Задачи этого круга восходят своими истоками к работам С.Л.Соболева 60-70 гг., где теория оценивания погрешности приближенного интегрирования была построена для гильбертовых прострaнcтв [1], [2]. Дальнейшее обобщение происходило одновременно в направлениях от к ( ) В.И.Половинкиным [3] и от факторизации к Ц.Б.Шойнжуровым [4]. Теория для негильбертова показателя суммируемости разработана Ц.Б.Шойнжуровым [5], и независимо ряд сходных результатов получен М.Д.Рамазановым [6]. При разработке теории в вводились специальные способы нормирования прострaнcтва с помощью преобразования Фурье фундаментального решения известного дифференциального оператора. Разработка теории для прострaнcтв с естественными нормами, являющимися прямым обобщением норм из начата Ц.Б.Шойнжуровым [7] и продолжена нами [8]. В настоящее время исследования распространяются на функциональные прострaнcтва с нормами, осложненными весовыми функциями. Данная работа посвящена нахождению представлений линейных функционалов в весовом прострaнcтве Соболева через суммируемые функции. Наличие представлений функционалов погрешности кубатурных формул в исследуемых прострaнcтвах позволяет получать оценки погрешности численного интегрирования для этих классов функций, в некоторых случаях неулучшаемые.
Предварительные сведения.
Прострaнcтво определяется как замыкание прострaнcтва S Шварца в норме
,(1)
где - весовая функция произвольного знака, такая, что произведения суммируемы в p-й степени. Отметим, что в работах [1], [5] и других применялась весовая функция, неотрицательная на всей области определения.
Оператор , где Δ - оператор Лапласа, порождается нормой [5]
, (2)
Оператор порождается нормой [8]
, (3)
Результаты.
Теорема 1. Фундаментальные решения и операторов и принадлежат прострaнcтву , , , .
Доказательство основано на оценках производных , , приведенных в [9], и на свойствах множителя Марцинкевича, каковым является отношение образов Фурье этих операторов . Благодаря последнему факту оценки производных оказываются справедливыми для , что дает для -норм
, .
Принадлежность всех производных фундаментального решения весовому прострaнcтву влечет утверждение теоремы.
Отметим, что условие определяет вложение рассматриваемого прострaнcтва в прострaнcтво непрерывных функций, и что при этом условии существуют интегралы, оценивающие производные фундаментальных решений в окрестности начала координат. Условие непрерывности обязательно в теории кубатурных формул, так как дельта-функции функционала кубатурной суммы действуют на непрерывные функции.
Следствие. Свертка фундаментального решения с функционалом принадлежит прострaнcтву . Такая свертка является решением линейного дифференциального уравнения в обобщенных функциях, в частности образованного каким-либо из рассматриваемых операторов, когда правая часть равна функционалу .
Теорема 2. Существует представление линейного функционала в весовом прострaнcтве Соболева через фундаментальное решение
.
Доказательство проводится с применением неравенств Гельдера для сумм и интегралов, что приводит к оценке, основанной на утверждении следствия из теоремы 1
Замечание. В фактор-прострaнcтвах , где подобные представления содержат частные производные только высшего порядка, нормы и представления являются однородными, иными словами функционалы в этих прострaнcтвах представлены билинейными формами.
Теорема 3. Существует представление линейного функционала в весовом прострaнcтве Соболева через экстремальную функцию
Доказательство основано на приведении вариационной задачи к дифференциальному уравнению в обобщенных функциях, в котором экстремальная функция функционала удовлетворяет условию . Отправным положением является то, что в рефлексивном прострaнcтве, каким является при максимум функционала, равный его норме, достигается на единичной сфере
.
Составленная функция является непрерывной по параметру t. С использованием необходимого условия экстремума и с учетом единичности нормы функции выводится искомое представление. Функции φ0 и ψ0 связаны равенством .
Правомерность дифференцирования под знаком интеграла установлена при помощи оценок, содержащих нормы функций. Единственность решения уравнения установлена при помощи неравенств для весовых прострaнcтв Соболева, обобщающих неравенства Кларксона.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. - М.: Наука, 1974.
- Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. - Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996.
- Половинкин В.И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем: Автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук. - Л., 1979.
- Шойнжуров Ц.Б. Оценка функционалов погрешности кубатурной формулы в прострaнcтвах с нормой, зависящей от младших производных: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Новосибирск, 1967.
- Шойнжуров Ц.Б. Теория кубатурных формул в функциональных прострaнcтвах с нормой, зависящей от функции и ее производных: Автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук. - Улан-Удэ, 1981.
- Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. - Уфа: Башгосуниверситет, 1973.
- Шойнжуров Ц.Б. Решение одного класса квазилинейных уравнений второго порядка эллиптического типа в неограниченной среде // Математический анализ и дифференциальные уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. - Новосибирск, 1992. - С. 109-113.
- Корытов И.В. Оценка функционалов погрешности кубатурных формул в функциональных прострaнcтвах Соболева: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Красноярск, 1997.
- Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука, 1977 .
В работе рассматривается процесс утилизации ртутьсодержащих соединений с использованием в качестве активного соединения кремния, что экономически более выгодно, чем использование порошкообразного титана. Рассматривается возможность миграции ртути в условиях возрастающей техногенной деятельности человечества.
...
23 04 2024 20:26:50
Статья в формате PDF
124 KB...
21 04 2024 19:26:21
Статья в формате PDF
133 KB...
20 04 2024 21:24:23
Статья в формате PDF
291 KB...
19 04 2024 4:36:28
Статья в формате PDF
105 KB...
18 04 2024 21:59:43
В статье дается анализ состояния проблемы естественнонаучного образования в свете гуманистических подходов к образованию личности и на фоне основных тенденций и противоречий развития образовательных систем России.
В центре исследования саморазвивающаяся, самообразующаяся личность. Преподаватель рассматривается как создатель проекта, организатор, помощник, фасилитатор учебной деятельности студента.
Естественнонаучная составляющая образования показана как неотъемлемая часть культуры. В качестве альтернативы традиционной (линейной, унифицированной) технологии обучения в высшем учебном заведении предлагается концептуальная авторская модель управления естественнонаучным образованием.
...
17 04 2024 7:24:58
Статья в формате PDF
105 KB...
16 04 2024 7:41:20
Статья в формате PDF
119 KB...
15 04 2024 21:58:18
Статья посвящена решению проблемы рекуперации осадка отстойников целлюлозно-бумажной промышленности. Предложено использовать золу шлам-лигнина в качестве высоко эффективного сорбента сточных вод различного состава.
...
14 04 2024 12:42:22
Статья в формате PDF
124 KB...
12 04 2024 20:19:40
Статья в формате PDF
101 KB...
11 04 2024 0:58:58
Статья в формате PDF
242 KB...
09 04 2024 11:20:54
Статья в формате PDF
258 KB...
07 04 2024 7:27:21
Статья в формате PDF
85 KB...
06 04 2024 13:28:28
Проведены исследования наземных экосистем: почва, растительность, население млекопитающих, в зоне воздействия двух типичных алмaзoдобывающих предприятий, расположенных в среднетаежной и северотаежной подзонах. По интенсивности воздействия территория дифференцируется на микро, мезо и макроантропогенные участки. Показано, что любые уровни воздействия приводят к трaнcформациям окружающей среды. Наиболее глубокие трaнcформации выявлены на макроантропогенных участках, восстановление природной среды на таких участках в обозримое время невозможно.
...
05 04 2024 17:26:17
Статья в формате PDF
121 KB...
03 04 2024 5:55:58
Статья в формате PDF
301 KB...
02 04 2024 19:52:29
Обсуждается проблемы разбиения и структурирования прострaнcтва, формирования структурных модулей, которые предназначены для конструирования модульных 3D структур кристаллов.
...
01 04 2024 8:51:44
Статья в формате PDF
98 KB...
30 03 2024 5:38:47
Статья в формате PDF
102 KB...
29 03 2024 17:32:55
Статья в формате PDF
119 KB...
28 03 2024 22:53:50
В работе приводятся сведения относительно возможности применения тестовых заданий и биологических задач для исследования личностных особенностей учащихся и выявления одаренных детей. Показано, что использование этого подхода может способствовать повышению эффективности выявления школьников с повышенным уровнем интеллекта.
...
26 03 2024 1:48:53
Проведен анализ общепринятых учений и научных теорий, имевших широкую аудиторию в вузах и научно-исследовательских институтах прошлого века. Выявлена недостаточность абстpaктной потенции в мыслительной жизни homo sensus, главная альтернатива которой – эмоциональный мир, чувственность и вера. Свойство верить познающего субъекта не носит хаpaктер религиозности, однако имеет общие с ней основания. Роднит религию и научную веру стремление не понять, а принять смутные представления, сулящие сиюминутную пользу и выгоду, объединяет желание увидеть в таинственном и запредельном нечто к себе доброжелательное, освобождающее от мучительного предназначения думать и, следовательно, уводящее от необходимости работать – работать без самообмана, но эффективно и достойно homo sapiens.
...
25 03 2024 5:34:33
Статья в формате PDF
101 KB...
22 03 2024 19:24:54
Статья в формате PDF 126 KB...
21 03 2024 11:52:59
Статья в формате PDF
126 KB...
20 03 2024 22:56:44
Статья в формате PDF
253 KB...
19 03 2024 22:23:48
Статья в формате PDF
109 KB...
18 03 2024 23:20:35
Статья в формате PDF
193 KB...
17 03 2024 18:14:44
Статья в формате PDF
717 KB...
16 03 2024 23:51:35
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
