МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОЦЕНКЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ОБЛАСТИ СО СКОСАМИ СТЕН
Рассмотрим задачу о расчете собственных частот колебания прямоугольной области со скосами стен. Данная проблема актуальна в акустике помещений при улучшении качества звучания. Для решения задачи используем метод граничных интегральных уравнений (ГИУ).
Остановимся на геометрии этой области. Пусть две смежные стороны без скоса имеют размеры a и b. А две другие зададим, как уравнение прямой через угловой коэффициент и точку:
(1)
(2)
где k* = ctgα, k2 = tgβ. Углы a и b отсчитываются от соответствующих сторон прямоугольника с размерами a на b, как показана на рисунке.
Геометрия задаваемой области
Заметим, что такая параметризация скошенных сторон четырехугольника позволит избежать неприятностей при переходе к прямоугольнику.
Будем рассматривать только выпуклые четырехугольники. Для этого наложим ограничения на углы скоса сторон. Такими условиями очевидно являются:
(3)
(4)
(5)
(6)
Отметим, условия (5) и (6) есть ни что иное, как условия нахождения точки пересечения двух скошенных сторон в правом верхнем квадранте.
Вернемся к решению самой задачи. Мы рассматриваем поле давлений внутри четырехугольной области с двумя смежными скошенными сторонами. Известно, что в данной области поле давлений удовлетворяет уравнению Гельмгольца:
(7)
где - волновое число, ω - круговая частота, c - скорость звука в данной среде.
Рассмотрим граничные условия. Оно имеет вид:
(8)
где l - контур (в нашем случаи четырехугольник). Заметим, что полное давление представимо в виде:
(9)
где pinc - поле давлений порожденное точечным источником звука; psc - отраженное поле давлений.
Рассмотрим задачу об нахождении отраженного поля на контуре l. Для этого, перепишем условия (7) и (8) с учетом (9). Тогда получим:
(10)
Решать систему (10) будем с помощью метода граничных интегральных уравнений (МГИУ). Зафиксируем точку x = (x1, x2) внутри контура l, а точка y = (y1, y2) - переменная. Введем расстояние между точками x и y, как .
Заметим, функция Грина для данной задачи имеет вид:
(11)
где - функция Ханкеля, а J0(kr), Y0(kr) - функции Бесселя первого и второго рода соответственно, причем она сама по определению удовлетворяет уравнению Гельмгольца:
. (12)
Возьмем первое уравнение (10) и умножим его на функцию Грина, затем уравнение (12) умножим на отраженное поле давлений, вычитаем одно из другого и интегрируем по области заключенной в нашем четырехугольнике. Далее воспользовавшись формулой Грина получим:
(13)
Устремив и воспользовавшись свойствами потенциала двойного слоя, получим:
(14)
В формуле (14) было использовано второе уравнение из (10).
Стоит отметить, что pinc удовлетворяет уравнению Гельмгольца (7), а следовательно имеет вид:
(15)
Заметим, что интегральное уравнение (14) является уравнением Фредгольма второго рода, правая часть которого нам известна, так как функция Грина известна из (11), а из (15) следует что:
(16)
где
(17)
и - внешняя нормаль.
Разберемся с вопросом о выборе внешней нормали на каждой из сторон. Очевидно, что для стороны длинной a внешняя нормаль - , для стороны длинной b внешняя нормаль - , для стороны y1 внешняя нормаль - ; для стороны y2 внешняя нормаль - .
Решим интегральное уравнение (14) методом коллокаций. Организуем две последовательности: - внешние узлы и - внутренние узлы, где i = 1, ..., N и j = 1, ..., N. Заметим, что методом коллокаций называется такой численный метод дискретизации интегрального (14) при котором множество внутренних узлов совпадает с множеством внешних узлов, то есть . Из вида уравнения (14) отраженное поле следует искать в виде:
(18)
Тогда дискретизируя уравнение (14) и разделяя вещественные и мнимые части в нем получим:
(19)
(20)
где , и Dl - величина шага.
Введем обозначения:
Таким образом, мы получили систему вида Ap = f, где A ∈ M2N×2N; p, f ∈ R2N и имеют вид:
Заметим, что диагональные элементы матрицы A ∈ M2N×2N должны иметь вид , но так как , то ими можно пренебречь.
Так как на диагонали матрицы A ∈ M2N×2N стоят элементы большие, чем остальные элементы матрицы, то эта матрица хорошо обусловлена. Для решения данной системы линейных алгебраических уравнений можно пользоваться QL - алгоритмами.
Предложенный в данной работе метод был апробирован на конкретных тестовых геометриях, для которых удается эффективно построить распределение первой сотни собственных частот колебания в реальном масштабе времени.
Список литературы
- Исакович М.А. Общая акустика. - М.: Наука, 1973.
- Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. - М.: Мир, 1987.
- Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. - М.: Мир, 1984.
Статья в формате PDF
128 KB...
24 04 2024 11:47:35
Статья в формате PDF
131 KB...
23 04 2024 15:37:40
Статья в формате PDF
111 KB...
21 04 2024 2:45:27
Статья в формате PDF
167 KB...
20 04 2024 5:34:22
Статья в формате PDF
96 KB...
19 04 2024 2:20:36
В работе рассматриваются вопросы дистанционного управления здоровьем человека с помощью квантово-волновых нейроинформационных технологий – электроакустических импульсов, скопированных у адаптированной к гипоксии нервной клетке. Приведены данные, cсвидетельствующие о нормализующем действии моделей нейроинформационных сигналов на концентрацию СО2 в крови. В результате этого просвет кровеносных сосудов расширяется, в клетках восстанавливается режим нормоксии – основного фактора здоровья человека.
...
18 04 2024 15:19:18
Статья в формате PDF
115 KB...
17 04 2024 4:37:10
Статья в формате PDF 293 KB...
16 04 2024 9:38:29
Статья в формате PDF
307 KB...
15 04 2024 12:43:53
Статья в формате PDF
110 KB...
14 04 2024 2:50:24
Данная статья посвящена проблеме эвтаназии, которая рассматривается автором в контексте философско-антропологических воззрений таких представителей русской религиозной философии, как Ф.М. Достоевский, В.С. Соловьёв, И.А. Ильин. Согласно их учению, действие, направленное на лишение человека жизни, ведёт к разрушению человеческой природы. Исходя из данной идеи, мы можем рассматривать эвтаназию как действие, ведущее к нарушению человеческой природы врача.
...
13 04 2024 15:29:22
Статья в формате PDF
254 KB...
12 04 2024 12:19:20
Статья в формате PDF
98 KB...
10 04 2024 22:11:24
Сложность современной социально-экономической жизни России при переходе от социализации к рыночным отношениям. Необходимы особые инструменты для социализации общества к новым условиям жизни. Развитие теоретико-методологического инструментария социальной работы для дальнейшей социализации российского общества. Взаимодействие социальной работы и философии хозяйства при социализации.
...
09 04 2024 19:44:47
Статья в формате PDF
250 KB...
08 04 2024 3:54:23
Статья в формате PDF
324 KB...
07 04 2024 2:58:59
Статья в формате PDF
113 KB...
04 04 2024 9:30:52
Статья посвящена разработке методологических основ материаловедческой теории. Приводятся: структурная схема построения модели «структура - свойство», формулировка общей задачи оценки свойств материалов, математическая интерпретация общей задачи.
...
02 04 2024 11:11:52
Статья в формате PDF
303 KB...
01 04 2024 19:15:13
Статья в формате PDF
121 KB...
31 03 2024 6:45:18
Статья в формате PDF 231 KB...
30 03 2024 17:14:51
Статья в формате PDF
94 KB...
29 03 2024 6:17:13
Статья в формате PDF
120 KB...
28 03 2024 5:40:17
Представлена система управления в формализованном виде, что облегчает анализ свойств системы, позволяет намечать пути ее совершенствования.
...
27 03 2024 21:20:29
Статья в формате PDF
102 KB...
26 03 2024 9:19:25
Статья в формате PDF
87 KB...
25 03 2024 7:39:11
Статья в формате PDF
102 KB...
24 03 2024 18:28:35
Статья в формате PDF
117 KB...
23 03 2024 21:54:29
Современное телевидение требует от своих продюсеров постоянного повышения рейтинга телепередач. Привлечь внимание обывателя можно только ярким зрелищем. Анализируется конфликт между иллюзионистами и их коллегами, возникший в результате появления на Первом канале телевидения программы с разоблачениями секретов иллюзионных трюков. Рассматривается динамика конфликта, выявляются интересы сторон, трaнcформация взглядов участников и возможность достижения консенсуса.
...
22 03 2024 2:51:30
Статья в формате PDF
125 KB...
21 03 2024 1:24:39
Статья в формате PDF
111 KB...
20 03 2024 18:21:30
Статья в формате PDF
106 KB...
19 03 2024 7:19:36
Обучение взрослых дипломированных специалистов существенно отличается от обучения студентов. Если на додипломном уровне приемлема педагогическая модель обучения с доминантой обучающего, то на этапе же последипломного образования необходимо руководствоваться продуктивной андрагогической моделью обучения. Её главный постулат: обучающийся – ведущее звено в процессе образования. Исходя из этого, в течение ряд лет мы используем методику психологического типирования личности американского исследователя Д. Кейрси. И на основании выявления уровней подготовки, психофизиологических и личностных особенностей обучающихся пpaктикуем деловые игры, мастер-классы, создание взрослыми обучающимися порт-фолио непосредственно на рабочем месте. Результаты положительные.
...
18 03 2024 13:47:48
Статья в формате PDF
293 KB...
17 03 2024 16:48:47
Статья в формате PDF
302 KB...
16 03 2024 9:49:20
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
