СОСТАВЛЕНИЕ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА I РОДА
Движение голономной системы, состоящей из n точек с a связями вида описывается системой уравнений
(1)
из которых определяются ускорения , реакции связей и множители Лагранжа la при заданных mv и . Уравнения (1) называются уравнениями Лагранжа первого рода [1].
Пример 1.
Материальная точка движется под действием силы тяжести по гладкой горизонтальной плоскости (рис. 1).
Рис. 1. Материальная точка движется по идеально гладкой горизонтальной плоскости под действием силы тяжести
Система имеет две степени свободы. Активная сила, действующая на точку, сила тяжести , сила реакции связи . Уравнения Лагранжа I рода в данном случае имеют вид:
, ,
где f = z = 0 - уравнение связи и . Из последнего уравнения следует, что λ = G, , , точка движется по инерции.
Пример 2.
Материальная точка, движется по поверхности сферы под действием силы тяжести. Сфера идеально гладкая, точка сферу не покидает (рис. 2).
Рис. 2. Материальная точка движется под действием силы тяжести по идеально гладкой поверхности сферы
Система имеет две степени свободы. Уравнение связи f = x2 + y2 + z2 - R2 = 0. На точку действует активная сила - сила тяжести и сила реакции связи . Уравнения Лагранжа I рода имеют следующий вид:
, , .
К полученным уравнениям присоединим условие, которому удовлетворяют возможные ускорения точки:
В последнее равенство подставим значения и получим:
откуда
и, следовательно
.
Тогда искомые уравнения имеют вид:
где V2 = x2 + y2 + z2.
Пример 3.
Материальная точка массой m движется по поверхности цилиндра радиуса R, уравнение которого в декартовых координатах x2 + y2 = R2 (рис. 3). Силы, действующие на точку, уравновешены. Определить траекторию точки и реакцию поверхности, если в начальный момент времени точка занимала положение A(R; 0; 0) и имела начальную скорость
.
Уравнение связи f = x2 + y2 - R2 = 0. Уравнения Лагранжа I рода в данном случае имеют вид:
или ;
или ;
или ,
так как Fz = 0, .
Рис. 3. Материальная точка массой движется
по идеально гладкой поверхности цилиндра
Проинтегрируем третье из равенств: , z = V0zt. Из первых двух уравнений исключим множитель l, поделив первое равенство на второе:
, или ,
откуда, интегрируя, находим
.
Перейдем к полярным координатам в плоскости xOy: x = Rcosφ, y = Rsinφ или , ,
тогда
,
откуда .
Из последнего равенства следует, что φ = ωt и уравнения движения в конечном виде принимают вид:
x = Rcosωt, y = Rsinωt, z = V0zt.
Последние уравнения определяют винтовую линию. Принимая во внимание и учитывая первое равенство, определяем силы реакции:
Модуль силы реакции -
.
Направляющие косинусы
,
,
а сила реакции направлена перпендикулярно оси Oz.
Список литературы
1. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. - М.: Наука, 1983. - 640 с.
Статья в формате PDF
130 KB...
19 04 2024 18:58:25
Статья в формате PDF
95 KB...
18 04 2024 22:23:30
Статья в формате PDF
102 KB...
17 04 2024 14:42:22
Статья в формате PDF
115 KB...
16 04 2024 9:39:50
Статья в формате PDF
105 KB...
13 04 2024 21:50:24
Статья в формате PDF
120 KB...
12 04 2024 12:27:11
Статья в формате PDF
179 KB...
10 04 2024 21:10:19
Статья в формате PDF
387 KB...
09 04 2024 17:27:18
Статья в формате PDF
109 KB...
08 04 2024 2:23:12
Статья в формате PDF
112 KB...
07 04 2024 11:28:44
Статья в формате PDF
99 KB...
06 04 2024 20:43:29
Статья в формате PDF
101 KB...
05 04 2024 12:22:57
Статья в формате PDF
272 KB...
04 04 2024 13:49:53
Статья в формате PDF
296 KB...
03 04 2024 23:27:37
Статья в формате PDF
101 KB...
02 04 2024 23:36:25
Статья в формате PDF
784 KB...
01 04 2024 2:34:12
Статья в формате PDF 104 KB...
31 03 2024 2:46:58
Статья в формате PDF
300 KB...
30 03 2024 15:54:22
Статья в формате PDF
275 KB...
29 03 2024 13:19:19
Статья в формате PDF
133 KB...
28 03 2024 2:30:34
Статья в формате PDF
110 KB...
27 03 2024 20:27:47
Статья в формате PDF
137 KB...
23 03 2024 17:54:25
Статья в формате PDF
124 KB...
21 03 2024 2:34:22
Статья в формате PDF
116 KB...
20 03 2024 14:43:16
Статья в формате PDF
110 KB...
19 03 2024 7:23:20
Статья в формате PDF
100 KB...
18 03 2024 19:52:32
Статья в формате PDF
99 KB...
17 03 2024 16:10:17
Вентральная грыжа – одно из наиболее распространенных хирургических заболеваний, которым страдают 5–7% населения земного шара. Довольно значительный сегмент среди грыж живота занимают паховые грыжи двухсторонней локализации, что представляет собой обособленную проблему современной герниологии. По данным отечественных и зарубежных исследователей на долю больных с контралатеральными паховыми грыжами приходится до15% от всех больных грыжей паховой локализацией.
...
16 03 2024 17:47:31
Статья в формате PDF
277 KB...
15 03 2024 12:49:59
Статья в формате PDF
104 KB...
14 03 2024 8:27:11
Статья в формате PDF
114 KB...
13 03 2024 3:18:32
Статья в формате PDF
105 KB...
12 03 2024 12:15:47
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
