О КОНЕЧНЫХ ПОВОРОТАХ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ
Очевидно, твердое тело с неподвижной точкой может совершать только угловые перемещения. Эти перемещения называются поворотами. Основное свойство конечных поворотов твердого тела является их некоммутативность [1]. Рассмотрим это на простом примере. Пусть имеем твердое тело в форме прямоугольного параллелепипеда. Повернем параллелепипед сначала относительно оси x на 90 градусов, а затем относительно оси z на 90 градусов.
Эти повороты показаны на рис. 1. Далее изменим порядок поворотов и повернем параллелепипед сначала на 90° вокруг оси z а затем на 90° вокруг оси x (рис. 2).
Рис. 1. Расчётная схема №1
Рис. 2. Расчётная схема №2
Сравнение рис. 1 и 2 показывает, что конечное положение тела после двух поворотов зависит от их последовательности. Это и есть некоммутативность конечных поворотов. Из этого следует фундаментальное утверждение: конечные повороты твердого тела не обладают ни свойствами чисел, ни свойствами векторов.
Из теоремы Даламбера-Эйлера следует, что конечный поворот твердого тела с неподвижной точкой определяется четырьмя параметрами - углом конечного поворота и тремя направляющими косинусами оси конечного поворота. Угол конечного поворота обозначим через α, косинус угла между осью конечного поворота и осью x через l, косинус угла между осью конечного поворота и осью y через m,косинус угла между осью конечного поворота и осью z через n. Пусть в начальный момент времени подвижная система координат совпадает с неподвижной. После конечного поворота между подвижными и неподвижными осями образуются некоторые углы, косинусы которых представим в виде таблицы
Таблица 1
|
x |
h |
z |
x |
a11 |
a12 |
a13 |
y |
a21 |
a22 |
a23 |
z |
a31 |
a32 |
a33 |
Если таблица направляющих косинусов известна, то угол конечного поворота определяется по формуле
а направляющие косинусы оси конечного поворота определяются по формулам
Игрушка под названием «Кубик Рубика» известна всем. Конструкция кубика и правила, по которым производятся повороты, тесно связаны с теорией конечных поворотов твердого тела. На рис 3. для наглядности раскрашены только два кубика, и задача состоит в переводе кубика из положения 1 в положение 2. Необходимо определить, какие повороты необходимо произвести и найти угол конечного поворота и ориентацию оси конечного поворота.
Рис. 3. Исходное положение кубика Рубика
Нетрудно сообразить, что для перевода среднего кубика 1 в положение 2 необходимо 2 поворота. Первый поворот вокруг вертикальной оси на 90° и второйповорот вокруг горизонтальной оси на 90°. Эти повороты показаны на рис. 4.
То же самое перемещение можно осуществить с помощью одного поворота. Выбираем систему координат xyz следующим образом (рис. 5). Каждая ось направлена по внешней нормали к соответствующей грани кубика. Ось z по нормали к передней грани, ось y по нормали к нижней грани, а направление оси x выбираем так, чтобы система осей xyz оказалась правой. После поворота ориентация каждой грани меняется и система xyz переходит в систему x1y1z1.
Рис. 4. Совмещение кубиков за 2 поворота
Рис. 5. Совмещение кубиков за 1 поворот
Составляем таблицу направляющих косинусов.
Таблица 2
x1 |
y1 |
z1 |
|
x |
a11 = 0 |
a12 = 0 |
a13 = 1 |
y |
a21 = -1 |
a22 = 0 |
a23 = 0 |
z |
a31 = 0 |
a32 = -1 |
a33 = 0 |
Угол конечного поворота определяем по формуле
Подставляя сюда элементы таблицы направляющих косинусов, получаем α = 120°, после чего находим направляющие косинусы оси конечного поворота. После вычислений имеем
Из геометрии известно, что такие направляющие косинусы имеет прямая, проходящая через диагональ куба. Ось конечного поворота показана на рис. 6.
Рис. 6. Ось конечного поворота
Список литературы
1. Тарасов В.К. Курс теоретической механики для математиков. - ТулГУ, 2008. - 300 с.
Статья в формате PDF 116 KB...
28 03 2024 4:56:40
Статья в формате PDF 282 KB...
27 03 2024 15:16:54
Статья в формате PDF 119 KB...
26 03 2024 15:40:23
Статья в формате PDF 117 KB...
25 03 2024 1:19:18
Статья в формате PDF 105 KB...
24 03 2024 7:57:31
Статья в формате PDF 263 KB...
23 03 2024 15:38:15
Статья в формате PDF 125 KB...
22 03 2024 8:16:20
Статья в формате PDF 159 KB...
21 03 2024 19:48:35
Статья в формате PDF 119 KB...
20 03 2024 5:54:36
Выявлено, что в условиях новых образовательных моделей обучения наряду с усилением централизованного управления происходит активация симпато-адреналовой системы. Полученные данные позволяют расширить концепцию онтогенетического развития детей и подростков; расширяют существующую возрастную периодизацию. Полученные результаты при проведении лонгитюдинальных исследований выявили пoлoвые особенности в регуляции сердечной деятельности. отражающие функциональное состояние организма. Результаты проведенного исследования подтверждают общепринятую в возрастной физиологии концепцию о том, что корреляционные связи в пoлoвых группах очень динамичны, что доказывает широкий диапазон функциональных возможностей. ...
19 03 2024 16:17:25
Статья в формате PDF 115 KB...
18 03 2024 13:43:58
Статья в формате PDF 244 KB...
17 03 2024 22:57:27
16 03 2024 2:26:29
14 03 2024 8:11:59
Статья в формате PDF 113 KB...
13 03 2024 2:55:38
Морфогенез лимфатической системы является результатом взаимодействия сосудов разного типа, растущих неравномерно. Его формы меняются так же, как строение и топография сосудов, их сочетания в связи с органогенезом. Поэтому морфогенез лимфатической системы протекает как процесс рекомбинации артерий и вен, а затем и лимфатических сосудов, служит проявлением самодифференциации сердечно-сосудистой системы, когда ее части вступают в повторное взаимодействие, в т.ч. и после их трaнcформации. ...
11 03 2024 18:34:37
Статья в формате PDF 109 KB...
10 03 2024 16:35:58
Статья в формате PDF 299 KB...
09 03 2024 14:48:22
Статья в формате PDF 103 KB...
08 03 2024 13:38:20
Статья в формате PDF 262 KB...
07 03 2024 11:17:56
Статья в формате PDF 104 KB...
05 03 2024 8:57:45
Статья в формате PDF 149 KB...
04 03 2024 4:53:20
Статья в формате PDF 102 KB...
03 03 2024 12:16:37
Статья в формате PDF 116 KB...
02 03 2024 0:46:18
Статья в формате PDF 115 KB...
01 03 2024 15:28:27
Статья в формате PDF 101 KB...
29 02 2024 23:26:21
Статья в формате PDF 115 KB...
28 02 2024 18:28:36
Статья в формате PDF 254 KB...
27 02 2024 18:11:18
Статья в формате PDF 112 KB...
26 02 2024 2:29:48
Статья в формате PDF 135 KB...
25 02 2024 22:32:35
Статья в формате PDF 110 KB...
24 02 2024 2:45:20
Статья в формате PDF 120 KB...
22 02 2024 18:50:27
Статья в формате PDF 159 KB...
21 02 2024 23:49:44
Статья в формате PDF 317 KB...
20 02 2024 18:20:49
Статья в формате PDF 125 KB...
19 02 2024 2:46:21
Статья в формате PDF 126 KB...
18 02 2024 16:28:56
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::