Теорема о количестве и структуре особых точек n–мерной динамической системы популяционной динамики Лотки-Вольтерра в контексте информационного анализа и моделирования
1 ФГБОУ ВО «Воронежский государственный педагогический университет» С помощью элементарных методов комбинаторной математики и единственности решений систем линейных алгебраических уравнений для невырожденных случаев доказана теорема о количестве и структуре особых точек n–мерной динамической системы популяционной динамики Лотки-Вольтерра. Показано, что количество особых точек для этой системы равняется 2n, а их структура в отношении сочетания нулевых и ненулевых координат совпадает с биноминальными коэффициентами. Сделано предположение, что с помощью этой динамической системы можно моделировать конкурентные взаимодействия среди n научных фронтов в рамках широкой области научных исследований. Статья в формате PDF 372 KB модель Лотки-Вольтеррапопуляционная динамикаколичество особых точекбиноминальные коэффициентырешения систем линейных алгебраических уравнений 1. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. – М.: Наука, 1976. – 286 с. 2. Lotka A.J. Elements of Physical Biology. – Baltimore: Williams and Wilkins, 1925. 3. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах: от диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации. – М.: Мир, 1979. – 512 с. 4. May R.M. Simple Mathematical Models with Very Complicated Dynamics // Nature. – 1976. – Vol. 261. – P. 459–467. 5. Goh B.S. Stability in models of mutualism // The American Naturalist. – 1979. – Vol. 113, № 2. – P. 261–274. 6. Lu Z., Takeuchi Y. Qualitative Stability and Global Stability for Lotka-Volterra Systems // J. of Mathematical ***ysis and Applications. – 1994. – Vol. 182, № 1. – P. 260–268. 7. Московкин В.М., Журавка А.В. Моделирование конкурентно-кооперационных взаимодействий: (контекст уравнений популяционной динамики в социально-экономических системах) // Бизнес Информ. – Харьков, 2002. – № 5–6. – С. 27–34. 8. Московкин В.М., Журавка А.В., Михайлов В.С. Расчет сценариев конкурентных, кооперационных и смешанных стратегий для n-мерной модели конкурентно-кооперационных взаимодействий в социально-экономических системах // Экономическая кибернетика. – Донецк, 2004. – № 5–6 (29–30). – С. 32–34. 9. Московкин В.М., Билаль Н.Е. Сулейман, Голиков Н.А. Математическая модель взаимодействия результатов различных видов НИОКР // Научно-техническая информация. Сер. 2. – 2011. – № 2. – С. 13–17.
Многомерная модель популяционной динамики Лотки-Вольтерра была предложена Вито Вольтерра в работе [1], но так как параллельно такого рода уравнения в биофизической и химической кинетике развивал А. Лотка [2], то за уравнениями популяционной динамики закрепились фамилии обоих ученых. К изучению данной модели обращались такие крупные ученые как Г. Николис и И. Пригожин [3], Р. Мэй [4] и др. При рассмотрении этой модели ученые, в основном, изучали хаpaктер устойчивости нетривиальной особой точки. Например, Б. Гох [5] при изучении моделей мутуализма показал, что необходимым и достаточным условием для локальной и глобальной устойчивости нетривиальной особой точки модели Лотки-Вольтерра является положительность всех ведущих (главных) миноров матрицы Якоби для этой модели. Позднее З. Лу и Е. Такеучи [6] доказали ряд теорем по глобальной устойчивости системы уравнений Лотки-Вольтерра. В работах по экономической динамике [7, 8] было замечено, что n-мерная система уравнений популяционной динамики Лотки-Вольтерра имеет 2n особых точек, но до сих пор доказательства этому представлено не было. Возможность использования таких уравнений в информационном анализе и моделировании взаимодействий результатов различных видов НИОКР показана в работе [9]. Исходная n-мерная модель Лотки-Вольтерра, на наш взгляд, может быть использована при моделировании конкурентных взаимодействий n научных фронтов в рамках широкой области научных исследований, при которых будут наблюдаться разнообразные варианты подавления одних научных фронтов другими, а также их сосуществования. Ниже будет сформулирована и доказана теорема о количестве и структуре особых точек n-мерной модели Лотки-Вольтерра.
Основная часть
Теорема. Количество особых точек n-мерной системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений Лотки-Вольтера с положительными коэффициентами и невырожденными случаями систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при определении координат особых точек, равняется 2n, а их структура в отношении сочетания нулевых и ненулевых координат совпадает с биномиальными коэффициентами.
Доказательство. Будем рассматривать систему уравнений Лотки-Вольтера в виде
(1)
Для удобства доказательства теоремы перепишем правые части этой системы уравнений, приравненные к нулю, в виде:
(2)
Будем рассматривать невырожденные случаи решения линейных систем алгебраических уравнений, которые имеют единственные решения.
Из системы уравнений (2) сразу же выделяются две особые точки – нулевая и нетривиальная (ненулевая), которая является решением n-мерной системы линейных алгебраических уравнений, стоящих в скобках исходной системы (2). С точки зрения комбинаторной математики, этим особым точкам соответствуют следующие сочетания:
нулей из n переменных;
нулей из n переменных.
В первом случае мы имеем единственную нулевую особую точку, во втором – единственную ненулевую особую точку.
Далее, количество особых точек с сочетанием одной нулевой координаты из n переменных равняется , количество особых точек с сочетанием двух нулевых координат из n переменных равняется , количество особых точек с сочетанием i нулевых координат из n переменных равняется , количество особых точек с сочетанием (n – 1) нулевых координат из n переменных равняется . Следовательно, общее количество особых точек равняется
Таким образом, показано, что общее количество особых точек равняется 2n, а их структура в отношении сочетания нулевых и ненулевых координат повторяет последовательную совокупность коэффициентов в биноме Ньютона.
В этом доказательстве подразумевается следующее положение. Когда мы берем все особые точки с нулевыми координатами в количестве i, то оставшиеся системы линейных алгебраических уравнений (n – i)-порядка имеют единственные решения (невырожденные случаи).
Заключение
Для n-мерной системы уравнений популяционной динамики, предложенной в работах В. Вольтера и А. Лотки еще в середине 20-х годов прошлого века, до сих пор не была доказана теорема о количестве и структуре особых точек этой классической системы уравнений. В данной работе такая теорема была доказана с помощью элементарных методов комбинаторной математики и единственности решений систем линейных алгебраических уравнений для невырожденных случаев. С точки зрения информационного анализа и моделирования информационных процессов и систем, следует отметить, что динамическая система (1) может, в принципе, моделировать процесс конкурентных взаимодействий n научных фронтов в рамках широкой области научных исследований. Тогда в такой системе могут наблюдаться 2n вариантов исходов таких взаимодействий из которых 2n–2 будут связаны с подавлением одних научных фронтов другими, которые окажутся более конкурентоспособными.
Статья в формате PDF
51 KB...
12 06 2026 20:28:53
Статья в формате PDF
111 KB...
11 06 2026 17:41:57
Статья в формате PDF
112 KB...
10 06 2026 13:45:25
Статья в формате PDF
113 KB...
08 06 2026 3:37:50
Статья в формате PDF
339 KB...
07 06 2026 10:27:21
Статья в формате PDF
100 KB...
06 06 2026 14:29:30
Статья в формате PDF
253 KB...
05 06 2026 7:51:47
Разработана методика определения констант диссоциации протонированных трехкислотных оснований, отличающаяся новым подходом к оценке и учету концентраций всех равновесных частиц, для расчета ионной силы раствора.
...
04 06 2026 21:47:43
Статья в формате PDF
116 KB...
03 06 2026 14:24:15
Статья в формате PDF
126 KB...
02 06 2026 22:16:57
Статья в формате PDF
299 KB...
01 06 2026 13:20:29
Статья в формате PDF
97 KB...
31 05 2026 15:20:39
Статья в формате PDF
3943 KB...
29 05 2026 4:21:34
Статья в формате PDF
220 KB...
28 05 2026 2:45:37
Статья в формате PDF
43 KB...
26 05 2026 19:13:26
Статья в формате PDF
127 KB...
25 05 2026 21:11:42
В статье осмысливаются основные теоретические и эстетические аспекты дирижерской и педагогической деятельности С.А. Казачкова и последователей Казанской хоровой школы. Проведен анализ научных трудов С.А. Казачкова включающий осмысление сущности дирижерской профессии, выявление новых тенденций в творчестве, постижение природы дирижерского жеста. Показана сложность профессии дирижера, заключающейся в единении трех аспектов его деятельности: исполнительской, педагогической и управленческой, составляющей основу дирижерского искусства в культурном и эстетическом контексте.
...
24 05 2026 11:57:38
Статья в формате PDF
215 KB...
22 05 2026 3:24:41
Статья в формате PDF
130 KB...
21 05 2026 22:17:22
Статья в формате PDF
106 KB...
20 05 2026 0:58:20
Статья в формате PDF
125 KB...
19 05 2026 3:10:40
Статья в формате PDF
154 KB...
18 05 2026 21:43:17
Статья в формате PDF
109 KB...
16 05 2026 14:33:22
Статья посвящена разработке методологических основ материаловедческой теории. Приводятся: структурная схема построения модели «структура - свойство», формулировка общей задачи оценки свойств материалов, математическая интерпретация общей задачи.
...
15 05 2026 19:43:14
Статья в формате PDF
96 KB...
14 05 2026 21:45:41
В работе дана экологическая оценка возможных последствий на окружающую среду, жизнь и здоровье населения. Показано, что при решении выбора источника энергии необходимо учитывать не только экономические, но и экологические последствия возможного влияния объектов энергетики при строительстве и эксплуатации. Комбинированное производство энергии двух видов на мини–ТЭЦ способствуют гораздо более экологичному использованию топлива по сравнению с раздельной выработкой электроэнергии и тепловой энергии на котельных установках, но и повышению чистоты воздушного бассейна, улучшению общего экологического состояния окружающей среды. Интенсивное шумовое воздействие на организм человека нeблагоприятно влияет на протекание нервных процессов, способствует развитию утомления, изменениям в сердечно-сосудистой системе и появлению шумовой патологии, среди многообразных проявлений которой ведущим клиническим признаком является медленно прогрессирующее снижение слуха. В работе рассмотрено воздействие мини-ТЭЦ с дизельными и газопоршнеыми двигателями мощностью 1000 кВт на окружающую среду. Установлено что, шум, создаваемый электростанцией, состоящей их 4 газопоршневых двигателей мощностью 1000 кВт, будет ниже допустимого для территории, непосредственно прилегающей к жилым домам. Поэтому специальных мероприятий по снижению шума не требуется.
...
13 05 2026 23:32:59
Статья в формате PDF
226 KB...
12 05 2026 15:19:28
Исследование гормонального баланса в группах пациенток с I-IIA и IIB-IIIA стадиями распространения paка молочной железы позволило обнаружить прогрессирующее снижение содержания в крови прогестерона, коррелирующее со стадией распространения опухолевого процесса. Уровень эстриола снижался в равной мере в обеих группах наблюдения пациентов (I-IIA и IIB-IIIA стадиями распространения неоплазии) по сравнению с показателями контроля. Указанные сдвиги гормонального баланса наблюдались в разных возрастных группах от 29 до 49 лет, достигая максимальных сдвигов в пре- и менопаузальный периоды. Содержание эстрадиола в крови оставалось в пределах нормы при I-IIA стадиях развития заболевания, резко возрастая при метастатической форме paка молочной железы. Мониторинг показателей содержания в крови прогестерона и эстрадиола может быть использован как один из способов оценки эффективности комплексной терапии заболевания и степени распространения неоплазии при paке молочной железы.
...
11 05 2026 12:56:55
Статья в формате PDF
135 KB...
10 05 2026 12:42:13
Статья в формате PDF
120 KB...
08 05 2026 13:51:15
Статья в формате PDF
100 KB...
07 05 2026 11:17:25
Статья в формате PDF
99 KB...
06 05 2026 4:27:35
В данном исследовании приведены морфологические изменения в слизистой оболочке желудка при воздействии гипокинезии. Структурные изменение былы выявлены в слизистой оболочке.
...
05 05 2026 3:30:28
Статья в формате PDF
200 KB...
04 05 2026 21:12:40
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
