ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ИГРЫ НА МЕДИАНУ
В работе предлагается система задач, инициированных одной идеей, и её обобщение. Такое изложение может являться и иллюстрацией идеи развивающего обучения Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова, в которой утверждается: «для того, чтобы прийти к какому - либо обобщению при таком подходе, необходимо решить достаточно большое количество задач, постепенно выделяя «общие» для всех задач черты. Задача, поставленная перед учеником, может превратиться в учебную только в том случае, если ученик (самостоятельно или под руководством учителя) осуществляет переформулирование ее - вместо поиска частного способа решения он начинает искать обобщенный способ решения данного класса задач» [2].
Задача. Игроку предлагается купить жетоны по 2 рубля за каждый. Затем подбрасываются две игральных кости, а очки суммируются. За каждое выпавшее очко на каждый купленный жетон выплачивается по 3 рубля. Если жетонов больше, чем выпало очков, то за каждый оставшийся жетон выплачивают по 1 рублю. Сколько целесообразно купить жетонов?
Решение. Так как на двух костях может выпасть от двух до двенадцати очков, то покупать жетонов больше двенадцати и меньше двух нет смысла. Заполним таблицу для величины прибыли, соответствующей выпавшей сумме очков и количеству купленных жетонов.
Таблица 1. Величины прибыли, соответствующей выпавшей сумме очков и количеству купленных жетонов
Вероят-ность |
Кол-во жетонов j Сумма очков i |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
1/36 |
2 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
-6 |
-7 |
-8 |
2/36 |
3 |
2 |
3 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
-6 |
3/36 |
4 |
2 |
3 |
4 |
2 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
4/36 |
5 |
2 |
3 |
4 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
5/36 |
6 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
6/36 |
7 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
5/36 |
8 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
4/36 |
9 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
8 |
7 |
6 |
3/36 |
10 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
9 |
8 |
2/36 |
11 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
10 |
1/36 |
12 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
Математическое ожидание прибыли |
2 |
2,94 |
3,78 |
4,44 |
4,89 |
5,06 |
4,89 |
4,44 |
3,78 |
2,94 |
2 |
Наибольшее значение математическое ожидание прибыли игрока получается при покупке семи жетонов. Обратим внимание, что для случайной величины {сумма очков при подбрасывании двух игральных костей}, медиана равна 7, что совпадает с найденным оптимальным количеством жетонов.
Аналогичные примеры можно предложить, подбрасывая несколько игральных кубиков или монет, проводя повторные зависимые испытания или независимые испытания по схеме Бернулли.
Обобщенная задача. Игроку предлагается купить жетоны по a рублей за каждый. Затем проводится некоторый эксперимент, в результате которого игрок может набрать определенное количество очков. За каждое выпавшее очко на каждый купленный жетон выплачивается по a + h рублей . Если жетонов больше, чем выпало очков, то за каждый оставшийся жетон выплачивают по a - h рублей. Сколько нужно купить жетонов, чтобы выигрыш был максимальным?
Решение. Обозначим величину выигрыша при покупке j жетонов и выпадении i очков через .
По условию задачи,
Математическое ожидание прибыли игрока при покупке им j жетонов вычислим, используя найденные .
Из n чисел найдем максимальное значение , то есть такое, что
Поскольку , то
Следовательно,
или
Откуда следует, что математическое ожидание прибыли игрока максимально, когда приобретаемое число жетонов совпадает с медианой первоначальной случайной величины X заданного испытания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Афанасьев В.В. Теория вероятностей в вопросах и задачах: Учебное пособие. Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 2004. 250с.
- Смирнов С.А., Котова И.Б., Шиянов Е.Н. и др. Педагогика: педагогические теории, системы, технологии: Учебник для студ. высш. и сред. учеб. заведений. М.: Издательский центр «Академия», 1999. 512с.
Работа представлена на IV научную конференцию с международным участием «Стратегия естественнонаучного образования», 19- 26 февраля 2005г. Хургада (Египет). Поступила в редакцию 12.01.05 г.
Статья в формате PDF 121 KB...
28 03 2024 9:23:15
Статья в формате PDF 344 KB...
27 03 2024 17:15:52
Статья в формате PDF 131 KB...
25 03 2024 2:20:59
Статья в формате PDF 128 KB...
24 03 2024 22:14:37
Статья в формате PDF 322 KB...
23 03 2024 15:22:21
Статья в формате PDF 228 KB...
22 03 2024 14:21:51
Статья в формате PDF 107 KB...
21 03 2024 19:44:39
Среди образовательных технологий заметно выделяются научные олимпиады школьников. Участники олимпиад организуют свою мыслительную деятельность на познание явлений природы, овладение умением пользоваться ими, что формирует в сознании естественнонаучную картину мира, закладывая основы целостной личности. ...
20 03 2024 7:43:19
Изучено становление лимфоидного аппарата и морфология органов пищеварительного тpaкта в зависимости от смены питания при создании экспериментальной модели. Исследованы 3 группы белых крысят линии «Вистар», из которых 2 группы - экспериментальные, 3-я - контрольная. Крысята получали естественное, смешанное и искусственное вскармливание. Установлены морфо-функциональные изменения в стенке тонкой, толстой кишки, желудка, паренхиме печени, охватывающие 3 стадии процесса адаптации к хаpaктеру питания. ...
19 03 2024 3:58:10
Статья в формате PDF 245 KB...
18 03 2024 3:55:33
В статье авторами рассмотрены региональные особенности социальной защиты ветеранов, инвалидов и пожилых граждан, в частности, меры социальной поддержки и социальное обслуживание. ...
17 03 2024 5:55:12
Статья в формате PDF 105 KB...
16 03 2024 14:20:15
14 03 2024 10:55:25
Статья в формате PDF 161 KB...
13 03 2024 6:33:17
Статья в формате PDF 155 KB...
12 03 2024 5:50:53
Статья в формате PDF 253 KB...
11 03 2024 2:16:43
Статья в формате PDF 299 KB...
10 03 2024 17:27:53
Статья в формате PDF 263 KB...
09 03 2024 9:56:17
Статья в формате PDF 111 KB...
08 03 2024 7:51:36
Статья в формате PDF 316 KB...
07 03 2024 21:43:15
Статья в формате PDF 104 KB...
06 03 2024 6:34:19
В последние годы достигнуты значительные успехи в лечении больных грыжами живота [4, 5, 7]. В частности фундаментальные исследования позволили определить причины развития абдоминальных грыж, прикладные разработки обеспечили улучшение непосредственных и отдаленных результатов устранения грыж живота. Важным клиническим фактором, приводящим к формированию паховой грыжи, McVay C.B. и Read R.C. считают утрату сфинктерного механизма внутреннего отверстия пахового канала [2, 3]. Кроме того, Read R.C. полагает, что формированию двухсторонних паховых грыж способствует потеря фасциальной поддержи передней брюшной стенки, приводящая к увеличению паховых дефектов. Несмотря на многочисленность литературных данных, посвящённых этой проблеме, достаточно малое значение уделяется физическим особенностям тканям, участвующих в образовании контрлатеральной грыжи [1, 6]. ...
05 03 2024 14:39:44
Статья в формате PDF 113 KB...
04 03 2024 16:43:25
Статья в формате PDF 291 KB...
03 03 2024 0:18:47
Статья в формате PDF 103 KB...
02 03 2024 12:37:37
Статья в формате PDF 109 KB...
01 03 2024 5:27:11
Статья в формате PDF 415 KB...
29 02 2024 7:39:36
Статья в формате PDF 109 KB...
28 02 2024 0:30:11
Статья в формате PDF 114 KB...
27 02 2024 22:46:29
26 02 2024 12:52:20
Статья в формате PDF 254 KB...
25 02 2024 23:14:44
Статья в формате PDF 114 KB...
24 02 2024 18:16:26
Статья в формате PDF 111 KB...
23 02 2024 13:50:45
Статья в формате PDF 124 KB...
21 02 2024 11:21:57
Статья в формате PDF 303 KB...
20 02 2024 23:55:25
Статья в формате PDF 284 KB...
19 02 2024 0:32:11
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::