КВАНТОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Рассмотрим гамильтонову функцию одномерной системы
(1)
где x и p - канонически сопряженные переменные, α - малый параметр (α<<1 ). Уравнения движения данной системы можно свести к одному дифференциальному уравнению второго порядка:
, (2)
которое называется уравнением Дюффинга [1]. Методом Линдштедта-Пуанкаре [2] получаем решение уравнения (2) в первом порядке по α
(3)
, (4)
φ0 и a - произвольные постоянные, зависящие от начальных условий, которые без потери общности выберем в виде . Через обозначены корни уравнения, (5)
где - потенциальная функция системы (1), E- полная энергия.
Для определения постоянных интегрирования получаем следующую систему из которой находим, что φ0=0 и .
Заметим, что произвольную постоянную при таком выборе начальных условий можно выразить через полную энергию E. Второе слагаемое в скобках в последнем выражении для является величиной пятого порядка малости по α, и в рассматриваемом приближении им можно пренебречь. Таким образом, можно считать, что и рассматривать как корень уравнения (5). Подставив в выражение (5), и разрешив полученное уравнение методом итераций, найдем выражение через E
В итоге решение (3) в первом порядке по α примет вид
Произведем квантование полученных периодических решений уравнения Дюффинга, отобрав из них те, которые удовлетворяют условию
где - постоянная Планка.
Подставив частоту (4), а также выражения для и в условие квантования, получим
Квантовый аналог гамильтоновой функции (1) получится при помощи известной подстановки . Тогда приближенный спектр полученного дифференциального оператора определится по формуле
где . Эта формула совпадает с результатом стандартной теории возмущений с точностью до последнего слагаемого во второй скобке. В частности, при имеем известный случай гармонического осциллятора.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.:МИР, 1976, 455с.
- Де Брёйн Н.Г. Асимптотические методы в анализе. М.: ИИЛ, 1961, 247 с.
- Давыдов А.С. Квантовая механика. М.: Физматгиз,1963, 748с.
Статья в формате PDF
96 KB...
22 09 2026 4:35:29
Статья в формате PDF
125 KB...
21 09 2026 4:33:13
Статья в формате PDF
245 KB...
20 09 2026 1:13:10
Статья в формате PDF
108 KB...
18 09 2026 5:13:39
Статья в формате PDF
267 KB...
17 09 2026 3:42:22
Статья в формате PDF
311 KB...
16 09 2026 2:30:34
Статья в формате PDF
173 KB...
14 09 2026 2:59:12
Статья в формате PDF
286 KB...
12 09 2026 11:59:49
Статья в формате PDF
279 KB...
11 09 2026 21:49:38
Статья в формате PDF
114 KB...
10 09 2026 1:57:47
Статья в формате PDF
113 KB...
08 09 2026 11:20:52
Статья в формате PDF
108 KB...
07 09 2026 22:52:52
Статья в формате PDF
294 KB...
06 09 2026 5:52:46
Статья в формате PDF
466 KB...
04 09 2026 6:39:55
Статья в формате PDF
136 KB...
03 09 2026 22:55:57
Статья в формате PDF
135 KB...
02 09 2026 23:31:37
Статья в формате PDF
254 KB...
01 09 2026 18:25:11
Статья в формате PDF
110 KB...
31 08 2026 15:29:14
Статья в формате PDF
131 KB...
29 08 2026 2:39:35
Статья в формате PDF
121 KB...
28 08 2026 12:40:50
Обсуждается проблема описания устойчивости почвенных экосистем в рамках принципа Ле Шателье-Брауна.
...
27 08 2026 2:55:11
Статья в формате PDF
251 KB...
26 08 2026 9:30:56
Статья в формате PDF
124 KB...
25 08 2026 10:11:40
Статья в формате PDF
376 KB...
23 08 2026 6:31:27
Статья в формате PDF
131 KB...
21 08 2026 9:39:34
Статья в формате PDF
102 KB...
20 08 2026 6:14:14
Статья в формате PDF
111 KB...
19 08 2026 19:11:19
Статья в формате PDF
102 KB...
17 08 2026 22:57:57
Статья в формате PDF 119 KB...
15 08 2026 8:10:32
Статья в формате PDF
115 KB...
14 08 2026 13:17:12
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
