ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГРУЗА ПРИ НАЛИЧИИ НЕУДЕРЖИВАЮЩЕЙ СВЯЗИ С ИЗМЕНЯЕМОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ

Авторы
Файлы

Федюнина М.А. Статья в формате PDF 1190 KB

Рассмотрим движение груза M массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити бесконечной длины, намотанной на неподвижный цилиндр радиуса r. В положении устойчивого равновесия длина свободной части нити равна l₀ (рис. 1), размерами груза пренебрегаем.

Рис. 1. Расчетная схема

В произвольный момент времени положение материальной точки определим радиус-вектором , в качестве обобщенной координаты примем ее угол отклонения от положения устойчивого равновесия j. Кроме силы тяжести на точку действует идеальная связь - нерастяжимая нить (рис. 1), действие которой, заменим ее реакцией - силой натяжения .

Дифференциального уравнения движения

(1)

здесь T - кинетическая энергия, - потенциальная энергия.

(2)

Здесь - скорость материальной точки,

где тогда

(3)

Подставляя выражения (2), (3) в уравнение Лагранжа (1) получим дифференциальное уравнение движения груза

(4)

Начальные условия для уравнения (4) имеют вид

(5)

Движение материальной точки будет описываться дифференциальным уравнением (4) с начальными условиями (5) до тех пор, пока связь, наложенная на данную точку, остается удерживающей, т. е. выполняется условие x² + y² + l2 или N ≥ 0. Кроме этого, должно выполняться дополнительное условие

l₀ + rφ > 0 или (6)

которое обеспечивает отсутствие соударения груза с поверхностью неподвижного цилиндра.

С учетом (6) уравнение (4) можно записать в виде

(7)

где - приведенный радиус неподвижного цилиндра,

Для нахождения реакции нити запишем основное уравнение динамики несвободной материальной точки в проекциях на нормаль к траектории, которая совпадает с линией AM:

Тогда значение силы N будет равно

(8)

где - приведенная угловая скорость отклонения нити от вертикали, - сила натяжения, отнесенная к весу груза.

Для анализа дифференциального уравнения движения (7) запишем его первый интеграл, выражающий закон сохранения механической энергии

С учетом соотношений (2) и (3), получим

Данное выражение можно привести к виду

(9)

где

Выражение для силы натяжения нити (8) с учетом (9) запишется в виде

(10)

где

Анализ задачи показывает, что возможны два вида движения точки, описываемой дифференциальным уравнением (7): колебательное, вблизи положения устойчивого равновесия и движение по раскручивающейся спирали.

Положение устойчивого равновесия определяется из условия минимума потенциальной энергии точки

Согласно выражению (3) получим

Так как B(φ) > 0, а угол β изменяется внутри интервала , то положения устойчивого равновесия соответствует значениям φ равным

φ = 0,2πn; n ∈ N.

График изменения потенциальной энергии материальной точки представлен на рис. 2. При расчетах принято, что l₀ = π r, т.е. α_кр = π.

Рассмотрим теперь предельные состояния движения груза, при которых осуществляется переход от одного вида движения к другому. Преобразуем выражение (9) к виду:

(11)

где

Анализ выражения позволяет сделать вывод о том, что параметр σ хаpaктеризует два вида движения точки: колебательное и движение по раскручивающейся спирали.

Рис. 2. Области на фазовой плоскости:
I - колебательного движения;
II - движение по раскручивающейся спирали

При значениях 0 < σ ≥ 1 его можно представить в виде и выражение (11) запишется в виде

откуда следует, что и , т.е. движение носит колебательный хаpaктер, максимальное отклонение которого α определится из уравнения:

При значениях σ > 1 величина в любой момент времени и груз совершает движение по раскручивающейся спирали.

Таким образом, предельным, разделяющим два движения груза, является уравнение σ = 1 (рис. 2), которое можно записать в виде:

или

При значениях груз совершает движение по раскручивающейся спирали, а при значениях - колебательное движение. Следовательно, при колебательном движении груза, его максимальное отклонение от положения устойчивого равновесия не может превышать величину

Список литературы

Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Пpaктикум: учебное пособие. - СПб, БХВ - Петербург, 2005. - 752 с.
Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. - ч. 1, 2. - М.: Наука, 1983.

Изменения показателей активности атф в цитоплазме базальных клеток эпидермиса кожи экспериментальных животных при воз-действии свч-волн термогенной интенсивности

Статья в формате PDF 105 KB...

07 05 2024 11:10:37

РЕШЕНИЕ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ ПРИ УПРОЧНЕНИИ ПОВЕРХНОСТИ

Статья в формате PDF 338 KB...

06 05 2024 0:30:50

БИОХИМИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ КРОВИ У ПОРОСЯТ ПРИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОМ СПОНТАННОМ КРИПТОСПОРИДИОЗЕ

Статья в формате PDF 220 KB...

05 05 2024 12:13:36

Способность липополисахарида Yersinia pestis вызывать эндотоксический шок

Статья в формате PDF 109 KB...

04 05 2024 6:56:23

КЛИНИКО-ЛАБОРАТОРНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ЦИКЛОФЕРОНА В КОМПЛЕКСНОМ ЛЕЧЕНИИ БОЛЬНЫХ ХРОНИЧЕСКИМ БРУЦЕЛЛЕЗОМ

Статья в формате PDF 105 KB...

03 05 2024 3:35:28

ВЛИЯНИЕ ПЕРОРАЛЬНОГО ПРИЕМА 6% РАСТВОРА УКСУСНОЙ КИСЛОТЫ НА РАЗВИТИЕ РЕЦИДИВОВ ЗАБОЛЕВАНИЯ У СТРАДАЮЩИХ ПРОСТЫМ ГЕРПЕСОМ

Статья в формате PDF 101 KB...

02 05 2024 20:55:23

СПЕКТР МИКРОФЛОРЫ НИЖНИХ ОТДЕЛОВ РЕПРОДУКТИВНОГО ТРАКТА ЖЕНЩИН С ОБОСТРЕНИЕМ ХРОНИЧЕСКОГО САЛЬПИНГООФОРИТА

Статья в формате PDF 110 KB...

01 05 2024 0:26:56

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕРВНОЙ СИСТЕМЕ

Статья в формате PDF 113 KB...

30 04 2024 21:50:53

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ САПРОФИТНОЙ МИКРОФЛОРЫ С ВОЗБУДИТЕЛЯМИ САПРОЗООНОЗОВ В ПОЧВЕННЫХ БИОЦЕНОЗАХ

Статья в формате PDF 262 KB...

29 04 2024 19:56:21

ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕКТРОННО-МИКРОГРАФИЧЕСКИХ ТЕХНОЛОГИЙ ДЛЯ СОХРАНЕНИЯ И ОПЕРАТИВНОГО ДОСТУПА К ДОКУМЕНТИРОВАННОЙ ИНФОРМАЦИИ

Статья в формате PDF 137 KB...

28 04 2024 7:28:49

Охрана лечебных грязей водоемов Южного Урала

Статья в формате PDF 117 KB...

27 04 2024 19:52:20

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИЕРАРХИЧЕСКОГО ПОДХОДА К ДЕКОМПОЗИЦИИ ЗАДАЧИ В МЕТОДАХ ВЕРБАЛЬНОГО АНАЛИЗА РЕШЕНИЙ

Статья в формате PDF 215 KB...

26 04 2024 0:57:25

МОРФО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ КОЛЛАГЕНА В НОРМЕ И ПРИ ПАТОЛОГИИ

В обзоре представлены результаты научных исследований по изучению морфо-функциональной динамики коллагена при течении как физиохогических, так и патологических процессов в организме. Показано активное участие коллагена в течении заболеваний весьма отличных по патогенетическим механизмам формирования. Следует отметить, что в последние годы наблюдается повышенный интерес к изучению биохимических параметров обмена коллагена при различных заболеваниях и, как свидетельствуют результаты исследований, их динамика в большинстве своем является отражением тяжести патологического процесса в различных физиологических системах. ...

25 04 2024 10:23:39

МЕТАБОЛИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ НЕЙТРОФИЛОВ КРОВИ У БОЛЬНЫХ ЦИРРОЗОМ ПЕЧЕНИ

Статья в формате PDF 112 KB...

24 04 2024 0:55:37

МОРФОЛОГИЧЕСКАЯ РЕАКЦИЯ ЛИМФОИДНЫХ ОБРАЗОВАНИЙ ЖЕЛУДКА ПОД ВЛИЯНИЕМ РАЗЛИЧНЫХ ХИМИЧЕСКИХ ВАНН

Статья в формате PDF 123 KB...

23 04 2024 5:32:27

ПРОТЕСТНОЕ ПОВЕДЕНИЕ КАК ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛЬ КРИЗИСА ЛИЧНОСТИ В ПОДРОСТКОВОМ ПЕРИОДЕ

Статья в формате PDF 103 KB...

22 04 2024 1:34:37

НОВАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ПОДГОТОВКИ ЭЛЕКТРОННЫХ МОРСКИХ АТЛАСОВ ДЛЯ НАУЧНОЙ И ПРАКТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В ЕДИНОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СИСТЕМЕ ИНФОРМАЦИИ ОБ ОБСТАНОВКЕ В МИРОВОМ ОКЕАНЕ

Статья в формате PDF 130 KB...

21 04 2024 2:16:25

ПРОБЛЕМЫ ФОРМИРОВАНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ В РОССИИ

Статья в формате PDF 268 KB...

20 04 2024 15:58:57

АНАЛИЗ ФАРМАКОТОКСИЛОГИЧЕСКОГО ДЕЙСТВИЯ ЭТАЦИЗИНА И ДИМЕФОСФОНА ПРИ ХРОНИЧЕСКОМ СТРЕССЕ

В работе исследовали влияние этацизина и димефосфона на cмepтность белых мышей и динамику поведенческих реакций в условиях хронического гиподинамического стресса. Показано токсическое влияние этацизина: увеличение cмepтности животных и негативное влияние на поведенческие реакции. Димефосфон не оказывал влияния на летальность и проявлял стресспротекторное ...