К ПРОБЛЕМЕ ПОСТРОЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ 2D СИСТЕМ

Крупенин В.Л. Статья в формате PDF 113 KB

1. В работе выводятся операторные и интегральные уравнения движения 2D систем. Рассмотрим два семейство взаимно перпендикулярных упругих одинаковых линейных струн, защемленных на концах и имеющих соответственно длины L1 и L2. Каждая струна нумеруется при помощи индексов k = 0,1,2,., N1 и q = 0,1,2.. N2. Пусть струны образуют решетчатую 2D систему. В точках сопряжения помещены абсолютно твердые тела массами m. Главная особенность системы - ее состояние дается матрицей прогибов объекта в узлах.

Предположения: прямоугольные ячейки одинаковы; решетка - анизотропна; струнные элементы - безынерционны. Пусть силы диссипации, вынуждающие силы, а также любые другие неконсервативные силы - малы. Обозначив их εgkq(t, ukq, kq,...), ε - малый параметр. Так как каждая частица лежит одновременно на двух струнах, то для всех значений индексов имеем
N уравнений [N= (N1 -1)(N2-1)]:

m kq+c1(2ukq-u(k-1,q)- u(k+1,q))+c2(2ukq-u(k,q-1)- u(k,q+1))=  εgkq(t, ukq, kq,...),                         (1)

где: с1,2 - коэффициенты упругости. Граничные условия: ukq=0, при k=0;N1; q=0;N2.

2. Приведем операторные уравнения движения, следующие из уравнений (1). В соответствии с общими методиками [1, 2,] построим оператор динамической податливости:

 ,

В данном случае выражение Lkq,nj(p) обозначает проходной оператор [1], ставящей в соответствие силе, приложенной в узле (n,j) перемещение узла (k,q). При n=k, j=q - имеем локальные операторы динамической податливости [2], отвечающие перемещению узла, вследствие силы, приложенной в нем самом. Для рассматриваемой  системы принцип  взаимности  записывается как  Lkq,nj(p)  == Lnj,kq (p).

Система уравнений движения (1) при этом разрешается в виде:

где ε||gkq|| - матрица внешних сил, приложенных в узлах решетки, что покомпонентно записывается так:

      (2)

Выражения для операторов динамических податливостей полностью определяются наборами собственных частот {Ωkq} и нормированных коэффициентов собственных форм.

kq} линейной системы [2].Используя результаты, данные в монографии [1] для решетки рассматриваемого типа:


С=const. При этом в силу выбранных граничных условий n = 1,2,... N1-1 и также j = 1,2,... N2-1. В соответствии с методами построения операторов динамической податливости [2] можно получить для компонентов оператора (p), определяющих (2):

.                    (5)

Здесь введен нормировочный коэффициент ζ , который, в общих случаях удобнее всего вычислять при конкретно заданных параметрах системы. В данном случае можно положить: ζ=2[(N1-1)(N2-1)]-2.

3. Операторное представление (2) - универсально. Внося конкретизирующие предположения, можно получить простые представления для реализации формулы (2).

Если правые части (1) периодичны по времени с периодом Т: при всех k и q,то. отыскивая Т - периодическое решение, можно воспользоваться методами интегральных представлений периодических решений [2]:

                     (5)

где функции Χkq,nj(t-s) называются Т - периодическими функциями Грина (ПФГ) [2-4] - проходными (k¹n; q¹j) или локальными (k=n; q=j) и определяются соответствующим оператором динамической податливости так (T=2πω-1):

ПФГ Χkq,nj (t) - реакция узла (k,q) на силовое воздействие, приложенное в узле (n,j) и описываемое Т - периодической последовательностью δ-функций Дирака -  δT(t): определению

Эту обобщенную функцию можно разложить в сходящийся в обобщенном смысле ряд Фурье вида:

Работа выполнена при поддержке РФФИ (Проект 05-08-50183).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Нагаев Р.Ф., Ходжаев К.Ш. Колебания механических систем с периодической структурой. - Ташкент: ФАН, 1973. - 272 с.
  2. Бабицкий В.И., Крупенин В.Л. Колебания в сильно нелинейных системах. - М., Наука, 1985. - 384 с.





В ОПЕК думают о Новодвинске

25 сентября в Новодвинске многое изменится. Рассматривая вопрос о вступлении России в ОПЕК, страны картеля решили открыть свое представительство именно в Новодвинске, на Калугинском бульваре. Анатолий Васильевич Квашнин, как официальный представитель Администрации Президента, высоко оценил этот шаг, а Елена Антонова , будущий глава представительства, пообещал как можно более выгодные результаты для обеих сторон.