СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОТ МАТРИЦ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

Авторы
Файлы

Cиcькова Д.Ю. Рудакова П.Н. Матвеева Т.А. Светличная В.Б. Статья в формате PDF 629 KB

Спектральный анализ линейных операторов имеет целый ряд важных применений в классической механике (особенно теории колебаний), электродинамике, квантовой механике, дифференциальных и интегральных уравнений и других областях математики и математической физики.

Пусть функция f(λ) пределена на спектре квадратной матрицы А,

- минимальный многочлeн А.

Тогда спектральное разложение матрицы f(A) имеет вид

(1)

В данной работе рассмотрим построение спектрального разложения матрицы

и его применения к вычислению функций от матриц, решение систем линейных однородных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Найдем минимальный многочлeн матрицы А - последний инвариантный множитель матрицы (A - λE):

- хаpaктеристический многочлeн.

Следовательно, НОД миноров 3 порядка:

Найдем делители всех миноров 2-го порядка матрицы А:

Т.к. данные миноры 2-го порядка взаимно простые, то d₂(λ) = 1.

Следовательно, минимальный многочлeн

По формуле (1) для любой функции f(λ), определенной на спектре матрицы А, имеем

Полагая в этом разложении поочередно

f(λ) = 1; f(λ) = (λ ‒ 2); f(l) = (λ ‒ 2)²,

приходим к системе матричных уравнений

из которой находим компоненты Z₁₁, Z₁₂, Z₂₁.

Таким образом, спектральное разложение матрицы А примет вид:

(2)

Спектральное разложение очень удобно, если требуется вычислить несколько функций от одной и той же матрицы.

Например, вычислим значение функции от матрицы sin(πA). При f(λ) = sin(πλ) имеем f(2) = 0, f′(2) = π, f(3) = 0. Следовательно,

Рассмотрим другое применение спектрального анализа - это решение систем ОДУ с постоянными коэффициентами Y′ = AY, где A = (a_ij)_n×n - матрица коэффициентов.

Решение системы , удовлетворяющее начальным условиям

находится по формуле

Если в качестве y_i0 брать произвольные постоянные Ci (i = 1, 2, ..., n), то - общее решение системы.

Найдем общее решение системы ОДУ: Y′ = AY, где А - исходная матрица.

Вычислим e^At с помощью спектрального разложения (2). При f(λ) = e^λt имеем f(2) = e^2t, f′(2) = te^2t, f(3) = e^3t. Получаем

Тогда по формуле находим общее решение системы ОДУ

ПУТИ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЛЕКЦИОННО-ДЕМОНСТРАЦИОННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ ИЗУЧЕНИИ КУРСА ОБЩЕЙ ФИЗИКИ (РАЗДЕЛ «ОПТИКА И АТОМНАЯ ФИЗИКА») ДЛЯ СТУДЕНТОВ НЕФИЗИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ УНИВЕРСИТЕТОВ

Статья в формате PDF 179 KB...

26 04 2024 0:46:43

ДЕЙСТВИЕ АГОНИСТОВ СЕРОТОНИНОВЫХ РЕЦЕПТОРОВ НА СИНТЕЗ ДОФАМИНА В ГОЛОВНОМ МОЗГЕ КРЫС

Статья в формате PDF 269 KB...

25 04 2024 4:56:40

Образование и распад первого афганского государства «Империи Дуррани»

Статья в формате PDF 317 KB...

24 04 2024 2:58:37

РЕГУЛЯЦИЯ ЭРИТРОЦИТАРНОГО БАЛАНСА У ПТИЦ В УСЛОВИЯХ ОСТРОГО СТРЕССА

Статья в формате PDF 117 KB...

23 04 2024 14:20:18

МЕЖПРЕДМЕТНЫЕ СВЯЗИ БИОЛОГИИ И ФИЗИКИ: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

Статья в формате PDF 121 KB...

22 04 2024 15:48:44

Различная эффективность гемолизата аутокрови у больных геморрагической и негеморрагической рожей

Статья в формате PDF 115 KB...

21 04 2024 6:25:39

О ВЗАИМОСВЯЗИ ДЕЙСТВИЯ БАКТЕРИАЛЬНЫХ И РАСТИТЕЛЬНЫХ ИММУНОМОДУЛЯТОРОВ И МОРФОГИСТОХИМИЧЕСКИХ ИЗМЕНЕНИЙ ЛИМФОИДНЫХ, ГЕМОПОЭТИЧЕСКИХ И ПАРЕНХИМАТОЗНЫХ ОРГАНОВ МЫШЕЙ

Статья в формате PDF 104 KB...

20 04 2024 8:51:51

ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ, МАЛЫХ ЧАСТИЦ И ТОНКИХ ПЛЕНОК

Дан обзор новых методов определения поверхностного натяжения твердых тел, малых частиц и тонких пленок. Методы основаны на универсальной зависимости физической величины от размера малых частиц твердого тела или толщины пленки. ...

19 04 2024 7:12:54

ЭПИДЕМИОЛОГИЧЕСКИЙ НАДЗОР ЗА БЕШЕНСТВОМ В РСО-АЛАНИЯ

Статья в формате PDF 138 KB...

18 04 2024 18:14:24

ПРИМЕНЕНИЕ МЕАТОТИМПАНАЛЬНОЙ НОВОКАИНОВОЙ БЛОКАДЫ В КОМПЛЕКСНОМ ЛЕЧЕНИИ ОТИТОВ У СОБАК

В работе изучено состояние клинико-иммунологического статуса при хронических и инфекционно-аллергических отитах у собак. Дана сравнительная оценка сочетанного применения меатотимпaнaльной новокаиновой блокады с лекарственными препаратами при лечении отитов у собак с другими известными методами и изучено их влияние на клеточные и гумopaльные звенья иммунной системы. ...

17 04 2024 2:22:30

ИНТЕГРАЦИЯ КОМПЬЮТЕРНЫХ ИГР НА УРОКАХ МУЗЫКИ

Статья в формате PDF 281 KB...

16 04 2024 4:42:23

Викулина Мария Анатольевна

Статья в формате PDF 381 KB...

15 04 2024 1:53:47

РОЛЬ ОПИОИДНЫХ ПЕПТИДОВ В АДАПТИВНЫХ ИЗМЕНЕНИЯХ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ ГЛАНДУЛОЦИТОВ ГЛАВНЫХ ПИЩЕВАРИТЕЛЬНЫХ ЖЕЛЕЗ

Статья в формате PDF 142 KB...

14 04 2024 5:11:18

ЗАЩИТНОЕ ДЕЙСТВИЕ КРАСНОГО СВЕТА ОТ ДУФ-ИЗЛУЧЕНИЯ НА МИКРООРГАНИЗМЫ

Статья в формате PDF 96 KB...

13 04 2024 14:53:27

МОДЕРНИЗАЦИЯ ГРОХОТА С ЭЛЕМЕНТАМИ ДИНАМИЧЕСКОГО СИНТЕЗА

В статье даны пpaктические рекомендации для проектирования вибратора грохота, который по технологическим соображениям был переведён в режим работы с повышенной частотой вращения и уменьшенной амплитудой. Разработана динамическая схема грохота и предложен алгоритм решения дифференциального уравнения. Короб грохота рассматривался как одномассная система с элементами переменной жесткости опор короба, что позволило определить требуемую возмущающую силу вибратора и величину статического момента массы дeбaлансов при заданных кинематических параметрах. На основе полученных результатов разработана рациональная конструкция дeбaлансов. ...