О ЗАКОНЕ АРХИМЕДА
2250 лет тому назад Архимед теоретически установил величину и направление силового воздействия покоящейся жидкости на неподвижно расположенное в ней тело. Изучение открытого им закона входит в школьные и вузовские программы. К сожалению, и на сегодняшний день в учебниках при изложении доказательства закона Архимеда, уже современными математическими методами, плотность жидкости зачастую принимают постоянной [1, 2, 3,.4], что, в частности, не позволяет объяснить и рассчитать глубину плавания подводных тел и высоту подъема аэростатов.
Ниже предложен вариант обобщения закона Архимеда на случаи абсолютного и относительного неподвижного состояния тела в баротропной жидкости, находящейся в абсолютном или относительном равновесии при наличии силового поля тяжести, который может быть использован в вузовских лекционных курсах.
Абсолютное равновесие
При равновесии в жидкости развиваются только нормальные напряжения. Силовое воздействие тяжелой покоящейся жидкости на помещенное в ней неподвижное тело, не имеющее контактов с другими телами, создаваемое совокупностью давлений p на поверхности тела S, называют силой Архимеда, которая вычисляется по формуле
(1)
Силы давлений порождены полем силы тяжести, обладающим потенциалом
(2)
где - радиус вектор частицы жидкости, находящейся в этом поле. - вектор ускорения земного притяжения.
Из гидростатики известно, что поверхности равных давлений, равных плотностей и поверхности разрыва плотностей совпадают с поверхностями уровня силового поля . Поэтому можно плотность жидкости рассматривать как функцию потенциала U ( ).
Для вычисления силы Архимеда мысленно извлечем из жидкости тело, сохраняя равновесие жидкости, а образовавшуюся пустоту, ограниченную поверхностью S, заполним покоящейся жидкостью с тем же распределение плотностей, что и в окружающей жидкости. Равновесие всей жидкости при этом сохранится, поля давлений вне и на поверхности S не изменятся. Будет находиться в равновесии и объем жидкости, ограниченный поверхностью S.
Воспользуемся теоремой о движении центра масс механической системы. В соответствии с ней центр масс движется как материальная точка, к которой приложены все внешние силы, действующие на систему, и в которой сосредоточена вся масса системы. Теорема, очевидно, справедлива и для равновесия системы. В рассматриваемом случае на выделенный объем жидкости действуют сила Архимеда (1) и параллельные силы тяжести частиц жидкости, заполнившей объем , ограниченный поверхностью S, которые обладают, как известно из теоретической механики, равнодействующей, определенной интегралом
(3)
Она приложена в центре масс С этой части жидкости. Векторная координата центра масс находится по формуле
(4)
Согласно теореме о движении центра масс, с учетом того, что рассматривается случай покоя, записываем равенство
(5)
Из этого уравнения следует формула, определяющая силу Архимеда
(6)
Так как сила Архимеда уравновешена одной силой - силой тяжести вытесненной жидкости, приложенной в точке с координатой , определяемой по формуле (4), то линия действия силы Архимеда обязательно проходит через эту точку С.
Формулы (6) и (4) составляют суть закона Архимеда.
Относительное равновесие
При относительном равновесии жидкости должны быть равными нулю относительные скорости и относительные ускорения частиц жидкости, а также ускорение Кориолиса, и оставаться постоянным вектор угловой скорости переносного движения . Следовательно, для относительного равновесия жидкости переносное ускорение может иметь только такое представление
(7)
где - ускорение полюса тела, положение которого в неподвижной системе координат определяется вектором , - векторное расстояние до оси вращения частицы жидкости, имеющей координату , вычисляемое по формуле .
С учетом формулы (7) уравнение относительного равновесия жидкости, находящейся в поле силы тяжести и инерционных сил, имеет вид
(8)
Потенциал Ф силового поля, соответствующего левой части уравнения (8), определяется по формуле
(9)
При этом .
На поверхностях уровня, описываемых уравнениями , сохраняются постоянными давления и плотности. Поверхности разрыва плотности также совпадают с соответствующими поверхностями уровня. Поэтому целесообразно рассматривать плотность, как функцию потенциала Ф ( .).
Определяем, пользуясь теоремой о движении центра масс, силовое воздействие жидкости, находящейся в относительном равновесном состоянии при поступательно-вращательном движении, на тело, удерживаемое в ней в относительном неподвижном состоянии. Воздействие жидкости на поверхность S тела при относительном равновесии такое же, как и на поверхность S жидкости, замещающей тело, если только сохраняется относительное равновесие всей жидкости. В исследуемом случае центр масс C* замещающего жидкого объема движется по окружности радиуса с ускорением под действием сил давлений, распределенных по поверхности S и системы параллельных сил , действующих на каждую частицу замещающей жидкости. Система этих сил имеет равнодействующую, определяемую таким интегралом
(10)
Она приложена в центре масс C*, положение которого находится по формуле
(11)
Уравнение движения центра масс записывается так
(12)
Из этого уравнения следует формула для вычисления силы Архимеда, действующей со стороны жидкости на помещенное в нее тело при относительном равновесии
(13)
где .
Как видим, полная сила Архимеда при относительном равновесии приложена в центре масс заместившей тело жидкости C*, положение которого определяется по формуле (11), и равна сумме двух сил Архимеда: центростремительной силы Архимеда (первое слагаемое в формуле (13)), порожденной вращением жидкости, заместившей тело, и выталкивающей силы Архимеда, противоположно направленной сумме сил тяжести и инерции переносного поступательного движения жидкости, заместившей тело (слагаемое в квадратных скобках в формуле (13)).
Заметим, что положения центров тяжести жидкостей, заместивших тело, как и их массы, могут не совпадать в абсолютном и относительном равновесиях и могут зависть от расположения и ориентации тела, погруженного в жидкость.
Формулы (13) и (11) составляют суть закона Архимеда для воздействия баротропной жидкости, находящейся в относительном равновесии, на относительно неподвижно расположенное в ней тело. Их частными случаями являются формулы (6) и (4).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Лойцянский Л.Г.Механика жидкости и газа..М., 1973. 817 с.
- Кочин Н.Е., Кибель И.Я., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М., 1963. Т. 1, 586 с.
- Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике. Л., Издательство ЛГУ, 1978, 286 с.
- Batchelor G.K. An Introduction to Fluid Dinamics. Cambridge University. 2000. 631 pp.
Статья в формате PDF 118 KB...
25 04 2024 18:32:14
Статья в формате PDF 132 KB...
24 04 2024 16:40:31
Статья в формате PDF 125 KB...
23 04 2024 17:43:53
Предложен арсенал эмбриональных белков – потенциальных маркеров опухолей яичников. Испытано более десятка новых эмбриональных белков, но строго специфичного белка для диагностики опухолей яичников не обнаружено; наиболее перспективным маркером остается СОВА-1. Достойное внимание уделено особенностям эволюции и механизму раннего распространения опухолевого процесса. Обсуждается роль беременности – как средства профилактики опухолевого заболевания яичников. В работе предпринята попытка осмыслить истоки и логику заболевания. ...
22 04 2024 22:57:58
Статья в формате PDF 115 KB...
21 04 2024 13:24:35
Статья в формате PDF 304 KB...
19 04 2024 20:41:21
Статья в формате PDF 113 KB...
18 04 2024 0:13:52
Статья в формате PDF 280 KB...
17 04 2024 15:22:30
Статья в формате PDF 121 KB...
16 04 2024 20:30:19
Статья в формате PDF 107 KB...
15 04 2024 15:30:19
В опытах на беспородных белых крысах с экспериментальной ишемией миокарда в динамике наблюдений отмечено снижение уровня АТФ и креатинфосфата в гомогенатах миокарда на фоне подавления активности сукцинатдегидрогеназы, лактатдегидрогеназы, аспартатаминотрaнcферазы. Достигнуты положительные метаболические эффекты при введении ишемизированным животным неотона – донатора макроэргических связей и оказывающего активирующий эффект на ферменты гликолиза и цикла трикарбоновых кислот в динамике патологии. ...
14 04 2024 11:38:22
В работе приведены результаты анализа степеней сингемеробии парциальных флор Якутии в разрезе флористических районов. Отмечается роль географических факторов в формировании групп районов, объединенных по степени сингемеробии флор крупных геоботанических типов. ...
12 04 2024 6:14:45
Статья в формате PDF 142 KB...
11 04 2024 18:16:22
Статья в формате PDF 124 KB...
10 04 2024 14:34:22
Статья в формате PDF 116 KB...
09 04 2024 16:51:32
08 04 2024 8:31:31
Статья в формате PDF 119 KB...
07 04 2024 9:56:43
Статья в формате PDF 112 KB...
06 04 2024 9:55:11
Статья в формате PDF 144 KB...
05 04 2024 21:30:14
Статья в формате PDF 358 KB...
04 04 2024 14:13:22
Статья в формате PDF 111 KB...
03 04 2024 16:53:46
Статья в формате PDF 141 KB...
02 04 2024 17:59:56
Исследуется динамика причин cмepтности от сахарного диабета за период с 2000 по 2005гг по материалам отделения эндокринологии МУЗ ГКБ №3 им. С.М.Кирова. За исследуемый период наблюдалось снижение cмepтности от сахарного диабета. Непосредственными причинами cмepти от сахарного диабета послужили: диабетическая кома, гипогликемическая кома, хроническая почечная недостаточность (ХПН), гангрена, осложненная сепсисом. Наиболее частой причиной cмepти от СД в течение всего периода исследования являлась гангрена, осложненная сепсисом. ...
01 04 2024 18:51:43
Статья в формате PDF 109 KB...
31 03 2024 11:10:42
Статья в формате PDF 113 KB...
30 03 2024 8:17:47
Статья в формате PDF 250 KB...
29 03 2024 19:37:46
Статья в формате PDF 110 KB...
27 03 2024 21:27:52
Статья в формате PDF 121 KB...
26 03 2024 10:47:48
Статья в формате PDF 188 KB...
25 03 2024 18:16:53
Статья в формате PDF 320 KB...
24 03 2024 2:24:54
Статья в формате PDF 120 KB...
23 03 2024 19:23:35
Статья в формате PDF 103 KB...
22 03 2024 9:31:18
Статья в формате PDF 466 KB...
21 03 2024 11:57:50
Статья в формате PDF 100 KB...
20 03 2024 3:33:52
Статья в формате PDF 106 KB...
19 03 2024 7:34:21
Статья в формате PDF 262 KB...
18 03 2024 17:41:48
В костном мозге больных гематологическими заболеваниями выявлено значительное количество эритроклазических кластеров, хаpaктеризующихся экзоцитарным лизисом входящих в них эритроцитов кластерообразующими миелокариоцитами разных видов, включая эритрокариоциты. Содержание эритроклазических кластеров с происходящим в них экзоцитарным лизисом эритроцитов варьировало от 21% от всех эритроклазических кластеров в костном мозге больных апластической анемией до 81% в костном мозге больных в активной фазе острого лимфобластного лейкоза, что свидетельствует об интенсивности лизиса в них эритроцитов. С наибольшей интенсивностью лизис эритроцитов происходил в костном мозге больных в активную фазу острого лимфобластного лейкоза и больных хроническим миелолейкозом. При этом в момент исследования подвергались деструкции в эритроклазических кластеров десятки тысяч эритроцитов в мкл костного мозга. Эти данные подтверждают представление о костном мозге как органе гемолиза. ...
17 03 2024 18:50:28
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::