К КИНЕТИКЕ ПРОЦЕССОВ РОСТА, РАЗМНОЖЕНИЯ И ГИБЕЛИ МИКРООРГАНИЗМОВ
В настоящее время проблему, связанную с процессом роста, размножения и гибели микроорганизмов, целесообразно разделить на микрокинетическую и макрокинетическую. Микрокинетическая модель должна изучать рост, способ размножения и гибель отдельной изолированной клетки в зависимости от ее физиологического состояния, компонентов субстрата в ближайшем окружении клетки и скорости метаболизма в целях определения вероятности элементарных актов процесса роста, деления и гибели микроорганизма за единицу времени в заданном объеме системы.
В круг задач макроскопической модели следует включать вывод, исследование и разработку математических методов решения кинетических уравнений, описывающих эволюцию функции распределения популяции по массам (объемам) при заданном законе роста, размножения и гибели отдельной клетки.
Уравнения микрокинетики роста клетки имеют следующий вид:
- когда процесс микробиологического синтеза лимитируется биохимическими превращениями внутри клетки (Варфоломеев, Гуревич, 1999);
- если процесс микробиологического синтеза лимитируется диффузионным переносом питательных веществ к поверхности клетки.
Здесь
m0 ≤ m(t) ≤ 2m0, 0 ≤ t ≤ tg,
ψ(t) = ψ (C),
m(t) - масса отдельной клетки в момент времени t (m - детерминированная величина); t = tg - время генерации (деления клетки); m0 - масса клетки в момент времени t = 0; U(m, С) - скорость роста клетки; С - концентрация субстрата; µ0 и Кс - постоянные величины; β - коэффициент массообмена; где DM - коэффициент молекулярной диффузии, зависящий от температуры культуральной жидкости, d - толщина «пограничной пленки», зависящая от гидродинамической обстановки в окрестности клетки; S(t) - площадь внешней поверхности клетки в момент времени t. Предполагается, что при m(t) = 2m0 происходит деление клетки на две дочерние.
Синхронное деление клеток. Согласно Дж. Бейли и Д. Оллису (1989) на ограниченном отрезке времени можно создать такие условия в системе, когда все клетки будут делиться синхронно. В этом случае при имеют место следующие закономерности:
μ(t) =m02 τ, τ < 1;
N(t) = N02 E(τ) , M(t) = M02τ,
τ ≥ 0,
1. где M(t) и N(t) - масса и число клеток микроорганизмов в момент времени t>0 в единице объема системы M0 = M(0), N0 =N(0), Е(τ ) - целая часть от τ, равная наибольшему целому числу, не превосходящему τ. Так, Е(τ ) = 0 при 0<τ <1; Е(τ ) = 1 при τ = 1 + 0 и Е(τ ) = 0 при τ = l -0). Очевидно, что M(t)/N(t) = x(t) = m02 τ -Е(τ ) - периодическая функция t с периодом Т = 1. Однако если, например, материнская клетка растет по закону , где u0 - постоянная величина, то
m(t) = m0(1+τ1), τ1<1,
τ1=t/τ0 τ0=m0/u0, ,
x(t) = m0[1+τ1 - E(τ1)], N(t) = N02 E(τ),
M(t) = x(t)N(t), τ >0.
2. По мере роста популяции ступенчатая зависимость числа клеток нарушается, что обусловлено стохастической природой роста и размножения микроорганизмов. Более того, как правило, популяция микроорганизмов состоит из громадного числа клеток, асинхронно делящихся и растущих с некоторыми индивидуальными скоростями в соответствии с их возрастом, со случайным изменением концентрации компонентов и метаболизма в ближайшем окружении отдельной клетки, каждая из которых представляет собой миниатюрный биореактор переменного объема, в котором непрерывно переpaбатываются питательные вещества и синтезируются новые необходимые для жизнедеятельности микроорганизма.
Уравнения макрокинетики. При построении математической модели рассматриваемого процесса проблемами первоочередной важности являются выявление общих закономерностей и разработка математических методов описания эволюционных процессов, связанных с ростом, размножением и гибелью микроорганизмов в прострaнcтвенно-однородных и неоднородных дисперсных системах, на основании единого логического подхода. Но в общем случае математическое описание процесса формирования спектра масс микроорганизмов в дисперсной среде чрезвычайно сложная задача. Однако если столь сложный процесс рассматривать как совокупность таких менее сложных («элементарных») процессов, участвующих в формировании спектра масс микроорганизмов, как непрерывный рост, размножение клеток, гидродинамическая обстановка в системе и др., то для математического описания сложного процесса целесообразно использовать принцип суперпозиции, сущность которого заключается в следующем.
Пусть - скорость изменения плотности функции распределения числа микроорганизмов по массам (объемам) в рассматриваемой системе данный момент времени t, обусловленная «элементарным» процессом i-м, например ростом клеток, тогда скорость изменения плотности функции распределения для сложного процесса можно представить в виде суперпозиции скоростей для «элементарных» процессов (Пеньков, 1992), т.е.
.
Такой подход к математическому моделированию процессов, управляемых линейными и квазилинейными дифференциальными и интегро-дифференциальными эволюционными уравнениями математической физики, позволяет описать сложный процесс на основе кинетических уравнений, описывающих «элементарные» процессы.
Итак, пусть f(x,t) - плотность функции распределения (дифференциальная функция распределения) числа живых (способных к росту и размножению) микроорганизмов в момент времени t по массам х в единице объема дисперсной системы; fp(x,t) - плотность функции распределения числа мертвых (не способных к росту и делению) клеток по массам х в единице объема системы в момент времени t;
Г(x,t)f(x,t) - число микроорганизмов массой х, погибших в единицу времени в единице объема системы в момент времени t естественной cмepтью;
- число клеток массой х, погибших в единицу времени в единице объема системы в момент времени t вследствие внутривидовой борьбы. Здесь Г(x,t) и G(x,ζ,t) - заданные функции своих аргументов. Тогда с учетом изложенного выше для прострaнcтвенно-однородных систем, когда клетки распределены равномерно по объему, можно получить следующие квазилинейные интегро-дифференциальные уравнения, описывающие рост, размножение и гибель микроорганизмов:
(3)
где U = U(x,C,t) - скорость роста клеток массой х в момент времени t;
Dc = Dc(x,C,t) - стохастический параметр (Dc - коэффициент диффузии в прострaнcтве масс); γ - удельная скорость поступления в систему микроорганизмов массой х0, образовавшихся при делении клеток массой 2х0; δ(z) - дельта-функция Диpaка от z; - знак среднего значения от указанной величины; Y - экономический коэффициент; и - соответственно масса N живых и Np мертвых клеток в единице объема системы в момент времени t.
Система уравнений (1)-(3) незамкнута. Для получения дополнительной информации умножим уравнения (l) и (2) на х и проинтегрируем по х от х=х0 до х=2х0. В результате получим уравнения для определения M(t) и Мp(t):
(4)
(5)
Уравнения (l)-(5) следует еще дополнить законом сохранения вещества:
M(t) + Mp(t) + YC(t) = M0+YC0, Mp(0) = 0, (6)
где С0 и М0 -значения M(t) и C(t) при t = 0. Для решения уравнений (1)-(6) необходимо еще задать начальные и граничные условия:
Начальные условия:
f(x,0)= f0(x) fр(х,0)=0, М(0) = М0,
Мр(0) = 0, С(0) = С0,
где f0 (x), М0 и С0 - заданные величины
Граничные условия:
3. где предполагается, что U > D´c для всех х ∈ [х0,2х0].
4. Уравнение (1) заменой искомой функции f(x,t) на F(x,t) по формуле
f(x,t) = [θ(х -х0) -θ (х - 2x0)]F(x,t), (7)
5. с учетом того, что θ (z)=0 при z<0 и θ (z) = 1 при z>0,
dθ /dz=δ(z), zδ(z) = 0, f(x,t) δ (x - z) = f(z,t) δ(x - z),
где δ(z) - дельта-функция Диpaка, преобразуется в уравнение
(8)
решение которого должно удовлетворять начальному F(x,0) = F0(x) и граничному условию
(9)
Аналитическое решение полученной системы уравнений представляет значительные трудности. Очевидно, что оно упрощается, если имеют место равенства:
Г(х,t)=Г0, G(x,ζ,t)=G0, U(x,C,t)=x ψ(C),
где ψ(0)=0, Г0 и G0 - постоянные величины, а ψ (С) - заданная функция своего аргумента. В этом варианте решение системы уравнений (2)-(6) можно представить в следующем виде:
M(C)=M0+Y(C0 -C) -Mp(C), C≥C*: (10)
(11)
6. где Из условия М(С) = 0 при С = С* следует уравнение для определения величины С = С*:
M0+Y(C0-C*) = Mp(C*) (12)
Зная зависимость функции М от С, согласно уравнению (3), можно найти C(t):
(13)
Выражения (10)-(13) при G0 = 0 были получены ранее (Пищиков, Пеньков, 2005).
Анализ. Из уравнения
следует, что при ψ(С) > Г0 + αМ функция M(t) возрастает от М = M0 до М=Мmах, а при ψ(С)<Г0 +αМ - убывает до М = 0. Следовательно, при ψ (Сλ) = Г0+ αМ(Сλ) функция M(t) достигает своего максимального значения. В свою очередь функция М(t) возрастает от нуля до Мp=М0 + Y(C0 - С*), причем ее график имеет точку перегиба при С=Сλ.
Из уравнения (12) следует, что при гибели клеток существует пороговая минимальная концентрация субстрата, ниже которой клеточный прирост массы живых клеток прекращается.
Однако следует заметить, что для определения величины C=C* согласно уравнениям (11) и (12), необходимо знать величину , которую, в свою очередь можно найти только в случае, если известна функция . Очевидно, что уравнение для определения искомой функции P(x,t) можно получить, используя уравнения для функций F(x,t) и N(t):
(14)
(15)
Действительно, так как F(x,t) = P(x,t)N(t), то, исключая величину N(t) из уравнения (14), получим уравнения для искомых функций P(x,t) и :
(16)
(17)
Уравнение (14) справедливо и в том случае, когда , где φ(х) - заданная функция.
Для решения уравнения (16) используем квазистационарное приближение, положив В этом приближении
(18)
Уравнение (16) значительно упрощается, когда φ(х)=х. В этом варианте в квазистационарном приближении, если левую и правую части этого уравнения умножить на х и проинтегрировать по х от х=х0 до х=2х0, используя соответствующие граничные условия, то при Dc(x, t) = U(x, t)b(x) получим достаточно компактное уравнение
(19)
где
Перейдем к безразмерной переменной х= х0z. В этом случае при
(20)
уравнение (19) преобразуется к виду
(21)
Решение которого, удовлетворяющее граничным условиям:
(22)
представимо в виде
0<λ <1; (23)
λ=0. (24)
Так, =2x0 ln2 при λ=0, а при λ>0 справедливо неравенство
(25)
Далее, так как
то легко показать, что функция P(z) нормирована на единицу.
В заключении следует отметить, что предложенные уравнения для описания роста, размножения и гибели микроорганизмов в закрытых прострaнcтвенно-неоднородных дисперсных системах легко обобщаются на открытые системы с истоком и внешним источником микроорганизмов (см., например, Пеньков, Пищиков, 1999).
Список литературы
- Варфоломеев С.Д., Гуревич К.Г. Биокинетика. Пpaктический курс. М.: ФАИР-ПРЕСС, 1999. - 720 с.
- Бейли Дж., Оллис Д. Основы биохимической технологии. Ч. I, 1989. - С. 464-457.
- Пеньков Н.В. Коагуляционные процессы в дисперсных системах: Дис. ... докт. физ.-мат. наук. М.: НИИФХИ им. Карпова, 1992. - 342 с.
- Пищиков Г.Б., Пеньков H.В. К кинетике роста, размножения и гибели микроорганизмов // Хранение и переработка сельхозсырья. - 2005. - №5. - С. 19-21.
- Пеньков Н.В., Пищиков Г.Б. Кинетическая модель процесса роста, размножения и гибели дрожжевых клеток // Хранение и переработка сельхозсырья. - 1999. - №7. - С. 61-63.
Статья в формате PDF 106 KB...
18 04 2024 11:50:34
В статье показано увеличение интереса граждан России к истории и культуре стран ислама. Это связано с повышением политической активности этих стран и расширением их туристического сервиза. ...
16 04 2024 1:47:49
В работе проведено исследование цитрусового пектина на сорбционную способность по отношению к ионам свинца, а также влияние температуры на сорбционную емкость. В работе проведен расчет физико-химических параметров процесса сорбции ионов свинца цитрусовом пектином, позволивший установить, что процесс образования пектата свинца протекает как реакция первого порядка, а функциональная зависимость сорбции от концентрации ионов свинца подчиняется уравнению изотермы адсорбции Фрейндлиха. Высокая степень извлечения ионов свинца (64% от исходной концентрации) позволяет рекомендовать цитрусовые пектины в качесве энтеросорбентов при свинцовой интоксикации, а также в качестве пищевой добавки к продуктам лечебного и профилактического действия. ...
15 04 2024 6:22:53
Статья в формате PDF 121 KB...
13 04 2024 11:57:51
В данной статье выделены основные подходы к проблеме человека, сложившиеся в истории казахской традиции и современной казахской философской мысли. По мнению автора, в объяснении феномена человека казахской традицией можно найти ряд толкований, пояснений, отражающих особое внимание к человеку, его духовному миру, самоценности, достоинству, чести. Именно на этой основе казахская национальная традиция получает возможность сосредоточиться на рассмотрении своего видения проблемы отношения человека и мира. ...
12 04 2024 23:49:42
Статья в формате PDF 120 KB...
11 04 2024 7:30:20
Статья в формате PDF 289 KB...
09 04 2024 8:31:55
В статье рассматриваются понятия «самоопределение», «самореализация», «профессиональное становление личности». Актуализируется проблема становления профессионала, проблема личностного и социального развития будущего специалиста как субъекта социального действия и основные факторы, влияющие на выбор профессии. ...
08 04 2024 10:15:47
Статья в формате PDF 147 KB...
07 04 2024 9:18:36
Статья в формате PDF 271 KB...
06 04 2024 19:38:41
Статья в формате PDF 103 KB...
05 04 2024 17:23:33
Статья в формате PDF 105 KB...
04 04 2024 12:51:18
Статья в формате PDF 204 KB...
03 04 2024 20:25:45
Статья в формате PDF 253 KB...
02 04 2024 4:36:39
Статья в формате PDF 104 KB...
30 03 2024 13:55:38
Статья в формате PDF 116 KB...
29 03 2024 18:35:52
Статья в формате PDF 111 KB...
28 03 2024 16:10:25
Статья в формате PDF 107 KB...
27 03 2024 12:32:14
Статья в формате PDF 120 KB...
26 03 2024 15:38:38
Статья в формате PDF 474 KB...
25 03 2024 18:41:52
Статья в формате PDF 268 KB...
23 03 2024 19:20:25
Статья в формате PDF 120 KB...
22 03 2024 6:33:56
Статья в формате PDF 359 KB...
21 03 2024 23:56:15
Статья в формате PDF 153 KB...
20 03 2024 3:20:31
Статья в формате PDF 245 KB...
19 03 2024 5:20:15
Статья в формате PDF 212 KB...
17 03 2024 15:52:34
Статья в формате PDF 256 KB...
16 03 2024 15:46:23
Статья в формате PDF 266 KB...
15 03 2024 12:47:21
Разработан новый морфометрический показатель площади контакта эпителия и стромы. Показатель использовался автором при многолетних исследованиях морфофункционального состояния щитовидной железы у женщин и в эксперименте. ...
14 03 2024 17:54:34
12 03 2024 13:44:44
Статья в формате PDF 255 KB...
11 03 2024 5:33:55
Статья в формате PDF 250 KB...
10 03 2024 15:59:32
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::