МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРАТЧАЙШЕГО ПУТИ МЕЖДУ ВЕРШИНАМИ ГРАФА
Анализ алгоритмов, применяемых в настоящее время для поиска кратчайших путей между вершинами графа, позволил выявить алгоритмы Уоршолла, Дейкстры, Форда [1]. Все алгоритмы хаpaктеризуются разными вычислительными затратами и позволяют решать поставленную задачу, но наиболее эффективным считается алгоритм Дейкстры, предложенный в 1959 году.
Перед началом выполнения алгоритма все вершины и дуги не отмечены. Каждой вершине в ходе выполнения алгоритма присваивается число d(xi), равное длине кратчайшего пути из xi в xj, включающего только отмеченные вершины.
Выполняется присвоение начальных значений, для чего необходимо обозначить d(xi) пометку исходной вершины и считать, что d(xi) = 0. Отметить постоянной пометкой исходную вершину xi и положить y = xi, где y - последняя из отмеченных вершин. Остальные вершины имеют временные пометки и считать, что для xj ≠ y d(xj) = ∞. Алгоритм итерационный. Каждая итерация состоит из ряда шагов. Алгоритм Дейкстры рассмотрен на примере взвешенного графа (рис. 1,a). Матрица весов дуг приведена на рис. 1,b. Требуется найти кратчайший путь от вершины x1 до вершины x6.
Рис. 1. Пример поиска кратчайшего пути: a - граф; б - матрица весов дуг
Выполняется присвоение начальных значений: d(x1) = 0; xi ≠ x1 d(xi) = ∞.
Для каждой итерации, в соответствующую строку таблицы заносится отмеченная вершина и текущие значения d(xi). Для 1-й итерации будем иметь:
y = x1. Г(x1) = {x2, x3, x4}.
Для всех вершин, входящих в Г(x1), пометки которых временные, необходимо пересчитать d(xi) в виде:
d(x2) = min [d(x2), d(x1) + t(x1, x2)] = min [∞, 0 + 4] = 4.
Аналогично для d(x3), d(x4). Массив временных пометок будет иметь вид: {d(x2), d(x3), d(x4)} = 4, 3, 7}.
Поскольку величина d(x3) = 3 является минимальной, то вершина x3 отмечается x3*. Также отмечается и дуга (x1, x3)*. Наименьшее из значений d(xi) среди неотмеченных вершин в таблице выделено полужирным шрифтом.
Текущее дерево кратчайших путей состоит из дуги (x1, x3)* (рис. 2,а).
Таким образом, выполнив еще 4 итерации, получим окончательно построенное дерево кратчайших путей, которое состоит из дуг (x1, x3)*, (x1, x2)*, (x3, x5)*, (x2, x4)* и (x5, x6)* (рис. 2,д).
а б в г д
Рис. 2. Текущие деревья кратчайшего пути ─ a, б, в, г и окончательно построенное дерево кратчайших путей ─ д
Вычисления по алгоритму Дейкстры
|
Итерация |
Отмеченная вершина |
Расстояние до вершины |
|||||
|
d(x1) |
d(x2) |
d(x3) |
d(x4) |
d(x5) |
d(x6) |
||
|
Начало |
x1 |
0 |
∞ |
∞ |
∞ |
∞ |
∞ |
|
1 |
x1* |
0 |
4 |
3 |
7 |
∞ |
∞ |
|
2 |
x3* |
0 |
4 |
3* |
7 |
6 |
∞ |
|
3 |
x2* |
0 |
4* |
3* |
7 |
6 |
∞ |
|
4 |
x5* |
0 |
4* |
3* |
7 |
6* |
8 |
|
5 |
x4* |
0 |
4* |
3* |
7* |
6* |
8 |
Кратчайший путь, соединяющий вершину x1 с вершиной x6, состоит из дуг (x1, x2), (x2, x5) и (x5, x6) имеет длину 4 + 2 + 2 = 8. Это не единственный кратчайший путь между вершинами x1 и x6. Путь, состоящий из дуг (x1, x3), (x3, x5) и (x5, x6) имеет длину 3 + 3 + 2 = 8 и также является кратчайшим путем между вершинами x1 и x6.
Существуют алгоритмы более эффективные, чем процеДypa многократного повторения алгоритма Дейкстры. Эти алгоритмы принадлежат Флойду и Данцигу. В обоих алгоритмах для длин дуг допускаются отрицательные значения, однако не допускается наличие контуров отрицательной длины.
Как видно из описания алгоритмов поиска кратчайших путей, в основном они состоят из операций двух типов: операции сложения и операции сравнения по минимуму. При анализе вычислительной сложности любого из этих алгоритмов обычно предполагается, что для выполнения обеих операций требуется одинаковое время.
Список литературы
1. Майника Э. Алгоритмы оптимизации на сетях и графах. - М.: Мир, 1981. - 324 с.
2. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. - СПб: Питер, 2000. - 304 с.
3. Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов. - М.: Техносфера, 2005. - 400 с.
Рассмотрены химические и термодинамические особенности возникновения тетрадного эффекта фpaкционирования редкоземельных элементов в высоко эволюционированных гранитоидах на многих примерах его проявления в отечественной и зарубежной пpaктики. Выявление тетрадного эффекта позволяет боле глубоко понять особенности петрологии развития магматических очагов многих интрузивных комплексов и потенциальные перспективы гранитоидов на редкометалльное и редкоземельное оруденение. Составлена математическая программа расчёта тетрадного эффекта фpaкционирования редкоземельных элементов, прилагаемая в электронном варианте к статье.
...
20 09 2026 9:52:46
Статья в формате PDF
122 KB...
19 09 2026 17:46:54
Статья в формате PDF
108 KB...
18 09 2026 12:16:52
Статья в формате PDF
141 KB...
17 09 2026 15:43:41
Статья в формате PDF
303 KB...
15 09 2026 2:28:10
Статья в формате PDF
144 KB...
14 09 2026 7:49:54
Статья в формате PDF 111 KB...
13 09 2026 23:54:30
Статья в формате PDF
130 KB...
12 09 2026 4:19:24
Статья в формате PDF
124 KB...
11 09 2026 23:55:16
Статья в формате PDF
240 KB...
10 09 2026 17:37:49
Статья в формате PDF
136 KB...
09 09 2026 2:36:21
Статья в формате PDF
106 KB...
08 09 2026 13:52:36
Статья в формате PDF
127 KB...
05 09 2026 20:46:24
Статья в формате PDF
113 KB...
04 09 2026 1:28:22
Статья в формате PDF
191 KB...
03 09 2026 10:19:11
Статья в формате PDF
137 KB...
02 09 2026 1:27:25
Статья в формате PDF
137 KB...
01 09 2026 14:47:22
Статья в формате PDF
125 KB...
31 08 2026 7:34:11
Статья в формате PDF
91 KB...
30 08 2026 15:52:42
Статья в формате PDF
93 KB...
29 08 2026 19:38:17
Статья в формате PDF
255 KB...
28 08 2026 7:14:19
Статья в формате PDF
129 KB...
27 08 2026 17:22:31
Статья в формате PDF
109 KB...
25 08 2026 9:34:14
Статья в формате PDF
99 KB...
24 08 2026 14:26:33
Статья в формате PDF
122 KB...
23 08 2026 1:45:40
Статья в формате PDF
120 KB...
22 08 2026 22:18:42
Статья в формате PDF
280 KB...
21 08 2026 18:39:39
Статья в формате PDF
133 KB...
19 08 2026 4:43:29
Статья в формате PDF
120 KB...
18 08 2026 8:18:44
Статья в формате PDF
103 KB...
17 08 2026 2:12:23
Статья в формате PDF
94 KB...
16 08 2026 9:35:59
Для устойчивого развития территориального хозяйства необходимо иметь хаpaктеристику качества речной воды. И такую оценку, например, в динамике проведения санитарно-эпидемиологических испытаний речной воды, предлагается проводить по приведенным в статье примерам выявления статистических закономерностей.
По данным гидрометрических, гидрологических и санитарно-эпидемиологических измерений можно выявлять закономерности многолетних, годичных, сезонных, мecячных, недельных и суточных переменных циклов и волновых колебательных возмущений.
...
15 08 2026 8:33:29
Статья в формате PDF
124 KB...
14 08 2026 22:32:15
Статья в формате PDF
237 KB...
12 08 2026 16:45:48
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
