К АНАЛИЗУ ПРОБЛЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ

Авторы
Файлы

Крупенин В.Л. Статья в формате PDF 104 KB

1. Нелинейные волновые процессы моделируются при помощи нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных. Если ограничится нелинейными аналогами волнового уравнения, то упомянутая модель может быть представлена в виде

u_tt - с²u_xx=h(u,u_t,u_x,t,x), (1)

h - нелинейная функция, структура которой определяется геометрическими и (или) физическими особенностями задачи. Раскладывая функцию h в ряд, в разных приближениях можно получать модели нелинейных волновых процессов. Нелинейные волновые эффекты весьма многочисленны и многообразны. В частности показывается, что при рассмотрении простейших нелинейных волновых моделей проявляются такие весьма хаpaктерные и важные явления как «деформирование» и «опрокидывание» профилей волн.

2. Рассмотрим примеры анализа нелинейных волн в так называемых виброударных системах с распределенными ударными элементами. Обозначим: u(x,t) - искомый прогиб. Пусть расстояние между струной и ограничителем равно Δ; 0<Δ<1. Имеем для определенности:

u(x,t)≤Δ<1, x [-½,½], t≥0. (2)

При реализации в первом соотношении строгого неравенства задача линейна и, ограничиваясь консервативным случаем имеем u≡u_tt-u_xx=0. Пусть: u(±½,t)=0, u(x,0)= u₀(x) ≤0, u_t(x,0)= 0.Гладкость функции u₀(x) такова, что (хотя бы в обобщенном смысле) обеспечивается существование и единственность решение задачи Коши в соответствующей линейной системе. При реализации контакта ограничитель действует на струну «от себя» поэтому при u>0:

u≤0 (3)

Условие аналогичное (3) эквивалентно дозвуковому распространению взаимодействий.Потребуем: suppu⊂ {(x,t); u(x,t)=Δ, где символ «supp» обозначает носитель обобщенной функции. Считая, что при взаимодействии энергия не теряется, постулируем здесь выполнение, имеющего место в соответствующей линейной системе соотношения, выражающего закон сохранения энергии, т.е. в смысле обобщенных функций ∂ ⁄∂t(|u_t|+|u_x|)=∂ ⁄∂x(2u_tu_x).Это соотношение постулируется и выражает, в частности, гиротезу удара:

u_t(x, t-0)=-u_t(x, t+0), (x,t) ∈ suppu, u(x,t)=Δ. (4)

Данные определяют гипотезу удара взаимодействия струны об ограничителем без учета потерь энергии. Данную задачу можно символически записать в виде нелинейного уравнения Клейна - Гордона u+Ф(u)=0, где обобщенная функция Ф(u) определяется указанными соотношениями.

Постановка задачи о поляризованных колебаниях струны, находящейся, например, в трубе, вполне аналогична. Вместо неравенства (2) имеем двойное неравенство u^≤_≥0.

3. Постановка задачи о взаимодействии струны с точечным ограничителем принципиально отличается от предыдущих, так как при достижении точечного ограничителя, струна некоторое время покоится на нем и мы имеем в определенном смысле аналог гипотезы об абсолютно неупругом ударе. При этом гипотеза взаимодействия подразумевает, что потери энергии отсутствуют. Обсуждение моделей диссипации энергии в системах с распределенными ударными элементами не проводится.

Пусть в плоскости колебаний струны зафиксирован точечный ограничитель и пусть точка фиксации есть (0,∆). Таким образом здесь u(0,t)≥∆. Записывая уравнение движения снова в виде нелинейного уравнения Клейна-Гордона, заметим, что при возникновении контакта струны с ограничителем, как отмечалось, ее серединная точка будет некоторое время покоится. Если t_k -начало k-го взаимодействия, а θ_k - его окончание: u(0,t)=∆, t∈[t_k,θ_k], то Ф(u)=-ΣR_k(t)δ(x)[η(t-t_k)-η(θ-θ_k)], где к -индексы по которым проводится суммирование,δ(x) и η(t) - δ-функция Диpaка и единичная функция Хевисайда;R_k(t)= u_x(-0,t) - u_x(+0,t) ≥0, t∈ [t_k,θ_k] - сила реакции ограничителя. При реализации строгого неравенства) контакт отсутствует. Действие точечного ограничителя равносильно систематическому дополнительному защемлению (в данном случае - середины) струны.

Подробное изложение данных проблем дано в [1]. (Поддержка РФФИ 05-08-50183).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

Крупенин В.Л. К описанию динамических эффектов, сопровождающих колебания струн вблизи однотавровых ограничителей // ДАН. 2003. № 388 (3). С.31- 38.

Аспекты экологического мониторинга аскаридоза в хозяйствах Ульяновской области

Статья в формате PDF 105 KB...

07 10 2026 12:53:32

СПЕЦИФИКА ТРАНСПОРТНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ПЕРЕВОЗКИ ТОВАРОВ

Статья в формате PDF 133 KB...

06 10 2026 23:15:50

ДИАГНОСТИЧЕСКИЕ И ПРОГНОСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ДЛЯ ФАРМАКОТЕРАПИИ ДИФФУЗНОГО ОСТЕОПОРОЗА У БОЛЬНЫХ МНОЖЕСТВЕННОЙ МИЕЛОМОЙ

Статья в формате PDF 118 KB...

05 10 2026 7:53:41

АНАЛИЗ ЗАБОЛЕВАЕМОСТИ ВИЧ-ИНФЕКЦИЕЙ В ПЕРИОД С 1997 ПО 2004 ГГ.

Статья в формате PDF 110 KB...

04 10 2026 8:39:28

ГНОСЕОЛОГИЧЕСКИЙ ПРОЕКТ СТРУКТУРАЛИЗМА: НЕПРЕХОДЯЩЕЕ АКТУАЛЬНОЕ

Статья в формате PDF 107 KB...

03 10 2026 9:41:20

ОТ ИННОВАЦИОННЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ К ИННОВАЦИОННЫМ ФОРМАМ ВЫПОЛНЕНИЯ И ЗАЩИТЫ ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Статья в формате PDF 164 KB...

02 10 2026 20:59:37

УРОЖАЙ И КАЧЕСТВО ЗЕРНА НОВЫХ СОРТОВ ОЗИМОЙ ПШЕНИЦЫ

Статья в формате PDF 304 KB...

01 10 2026 6:55:25

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ПОДСИСТЕМЫ УЧЁТА ТОВАРНО-МАТЕРИАЛЬНЫХ ЦЕННОСТЕЙ В ЗАО «ТЕКЛАЙН»

Статья в формате PDF 364 KB...

30 09 2026 6:19:33

ОСОБЕННОСТИ СТАФИЛОКОККОВОЙ КОНТАМИНАЦИИ В ПОКРОВНЫЕ ТКАНИ

Статья в формате PDF 173 KB...

29 09 2026 13:55:26

ЗОЛОТОНОСНЫЕ ЩЕЛОЧНЫЕ МАГМАТИЧЕСКИЕ КОМПЛЕКСЫ

В статье приведены сведения о золотоносности щелочных и ультpaбазит-базитовых щелочных комплексов. Впервые обращено внимание на золотоносность карбонатитовых комплексов. Приведены данные о золотоносности шошонитовых и щелочных лампрофировых комплексов. Основными геолого-промышленными типами оруденения указанных комплексов являются жильные, жильно-штокверковые, порфировые мезотермальные, скарновые, а также эпитермальные золото-серебряно-теллуридные месторождения. Золото выявлено в комплексных месторождениях кобальт-медно-никелевых (типа Блэкбёд), ортомагматических платиноидных в «аляскинском» типе ультpaбазитов, в железо-оксидном медно-золоторудном классе месторождений типа Олимпик Дам и других. ...

28 09 2026 5:52:57

МЕТОДОЛОГИЯ КОМПЛЕКСНОЙ ОЦЕНКИ АНТРОПОГЕННЫХ ФАКТОРОВ В ПРОГНОЗЕ КАНЦЕРОГЕННОГО РИСКА

Статья в формате PDF 135 KB...

27 09 2026 14:34:47

ИНФОРМАЦИОННО-КОММУНИКАТИВНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ КАК ФАКТОР ФОРМИРОВАНИЯ ЛИЧНОСТИ В УСЛОВИЯХ СОЦИАЛЬНОЙ НЕСТАБИЛЬНОСТИ

Статья в формате PDF 107 KB...

26 09 2026 23:27:28

ПЕРСПЕКТИВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МРАМОРНОЙ ГОВЯДИНЫ В ТЕХНОЛОГИИ МЯСНЫХ ПРОДУКТОВ

Статья в формате PDF 254 KB...

25 09 2026 12:19:26

ОСОБЕННОСТИ СИМПТОМОКОМПЛЕКСА ЭКСТРАМЕДУЛЛЛЯРНЫХ ИНТРАДУРАЛЬНЫХ ОПУХОЛЕЙ СПИННОГО МОЗГА

Статья в формате PDF 276 KB...

24 09 2026 7:27:22

ОСНОВНЫЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ УРОВНЯ КОМФОРТНОСТИ ЖИЗНИ ЧЕЛОВЕКА

Статья в формате PDF 257 KB...

23 09 2026 7:50:16

ТРАНСПОРТИРОВКА ЛИЧИНОК КАРПА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЦЕОЛИТА

Статья в формате PDF 134 KB...

22 09 2026 17:57:46

КИНЕМАТИКА СЕМИЗВЕННОГО МЕХАНИЗМА С ДВУМЯ ПОДВИЖНЫМИ ГИДРОПРИВОДАМИ

Статья в формате PDF 323 KB...

21 09 2026 5:57:41

ВОЗМОЖНОСТИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ВАЛЮТНОГО КУРСА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ

Статья в формате PDF 252 KB...

20 09 2026 12:43:37

ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕТОДОВ И ПРИЕМОВ ОБУЧЕНИЯ В СИСТЕМЕ СРЕДНЕГО МЕДИЦИНСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Статья в формате PDF 121 KB...

19 09 2026 9:40:30

МЕСТО БОЛОНСКОГО ПРОЦЕССА В ФИНАНСОВОМ ОБРАЗОВАНИИ

Статья в формате PDF 98 KB...

18 09 2026 17:45:50

ПОКАЗАТЕЛИ ЦИТОКИНОВОГО СТАТУСА ЛАБОРАТОРНЫХ ЖИВОТНЫХ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ИНФЕКЦИОННОГО ПРОЦЕССА ВОЗБУДИТЕЛЯМИ ВНУТРИБОЛЬНИЧНЫХ ИНФЕКЦИЙ

Статья в формате PDF 141 KB...

17 09 2026 6:56:32

ИЗМЕНЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СВОЙСТВ ФАГОЦИТОВ ПРИ ЗАБОЛЕВАНИЯХ ПИЩЕВАРИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

Статья в формате PDF 121 KB...

16 09 2026 15:38:23

Морфология слизистой оболочки полости рта при желудочно-кишечных заболеваниях

Статья в формате PDF 111 KB...

15 09 2026 18:36:33

Центро-периферийная организация глобального экономического прострaнcтва

Статья в формате PDF 280 KB...

14 09 2026 1:50:58

ПРОСТРАНСТВО И МЕСТО КАК КОНЦЕПТ И ЛЕКСЕМЫ В ТЕКСТОВОМ ПОЛЕ МАРИНЫ ЦВЕТАЕВОЙ

Статья в формате PDF 135 KB...

13 09 2026 2:14:55

ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ОДЕЖДЫ ПРОТИВ SHISTOSOMIASIS ИНФЕКЦИИ

Статья рассматривает механизм возникновения и пути передачи Shistosomiasis инфекции. С использованием хлопчатобумажной ткани, прошедшей специальную медицинскую обработку, в качестве основного материала для одежды проведены лабораторные исследования, в том числе и с живыми существами. Показано, что использование 5 %-ных растворов химических медицинских препаратов при отделке ткани позволяет достигнуть 100 %ного уровня защиты. Промышленно произведенная ткань обладает лучшими свойствами, чем лабораторные образцы, на 43 % и обеспечивает превосходные результаты защиты. ...