К АНАЛИЗУ ПРОБЛЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ

Авторы
Файлы

Крупенин В.Л. Статья в формате PDF 104 KB

1. Нелинейные волновые процессы моделируются при помощи нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных. Если ограничится нелинейными аналогами волнового уравнения, то упомянутая модель может быть представлена в виде

u_tt - с²u_xx=h(u,u_t,u_x,t,x), (1)

h - нелинейная функция, структура которой определяется геометрическими и (или) физическими особенностями задачи. Раскладывая функцию h в ряд, в разных приближениях можно получать модели нелинейных волновых процессов. Нелинейные волновые эффекты весьма многочисленны и многообразны. В частности показывается, что при рассмотрении простейших нелинейных волновых моделей проявляются такие весьма хаpaктерные и важные явления как «деформирование» и «опрокидывание» профилей волн.

2. Рассмотрим примеры анализа нелинейных волн в так называемых виброударных системах с распределенными ударными элементами. Обозначим: u(x,t) - искомый прогиб. Пусть расстояние между струной и ограничителем равно Δ; 0<Δ<1. Имеем для определенности:

u(x,t)≤Δ<1, x [-½,½], t≥0. (2)

При реализации в первом соотношении строгого неравенства задача линейна и, ограничиваясь консервативным случаем имеем u≡u_tt-u_xx=0. Пусть: u(±½,t)=0, u(x,0)= u₀(x) ≤0, u_t(x,0)= 0.Гладкость функции u₀(x) такова, что (хотя бы в обобщенном смысле) обеспечивается существование и единственность решение задачи Коши в соответствующей линейной системе. При реализации контакта ограничитель действует на струну «от себя» поэтому при u>0:

u≤0 (3)

Условие аналогичное (3) эквивалентно дозвуковому распространению взаимодействий.Потребуем: suppu⊂ {(x,t); u(x,t)=Δ, где символ «supp» обозначает носитель обобщенной функции. Считая, что при взаимодействии энергия не теряется, постулируем здесь выполнение, имеющего место в соответствующей линейной системе соотношения, выражающего закон сохранения энергии, т.е. в смысле обобщенных функций ∂ ⁄∂t(|u_t|+|u_x|)=∂ ⁄∂x(2u_tu_x).Это соотношение постулируется и выражает, в частности, гиротезу удара:

u_t(x, t-0)=-u_t(x, t+0), (x,t) ∈ suppu, u(x,t)=Δ. (4)

Данные определяют гипотезу удара взаимодействия струны об ограничителем без учета потерь энергии. Данную задачу можно символически записать в виде нелинейного уравнения Клейна - Гордона u+Ф(u)=0, где обобщенная функция Ф(u) определяется указанными соотношениями.

Постановка задачи о поляризованных колебаниях струны, находящейся, например, в трубе, вполне аналогична. Вместо неравенства (2) имеем двойное неравенство u^≤_≥0.

3. Постановка задачи о взаимодействии струны с точечным ограничителем принципиально отличается от предыдущих, так как при достижении точечного ограничителя, струна некоторое время покоится на нем и мы имеем в определенном смысле аналог гипотезы об абсолютно неупругом ударе. При этом гипотеза взаимодействия подразумевает, что потери энергии отсутствуют. Обсуждение моделей диссипации энергии в системах с распределенными ударными элементами не проводится.

Пусть в плоскости колебаний струны зафиксирован точечный ограничитель и пусть точка фиксации есть (0,∆). Таким образом здесь u(0,t)≥∆. Записывая уравнение движения снова в виде нелинейного уравнения Клейна-Гордона, заметим, что при возникновении контакта струны с ограничителем, как отмечалось, ее серединная точка будет некоторое время покоится. Если t_k -начало k-го взаимодействия, а θ_k - его окончание: u(0,t)=∆, t∈[t_k,θ_k], то Ф(u)=-ΣR_k(t)δ(x)[η(t-t_k)-η(θ-θ_k)], где к -индексы по которым проводится суммирование,δ(x) и η(t) - δ-функция Диpaка и единичная функция Хевисайда;R_k(t)= u_x(-0,t) - u_x(+0,t) ≥0, t∈ [t_k,θ_k] - сила реакции ограничителя. При реализации строгого неравенства) контакт отсутствует. Действие точечного ограничителя равносильно систематическому дополнительному защемлению (в данном случае - середины) струны.

Подробное изложение данных проблем дано в [1]. (Поддержка РФФИ 05-08-50183).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

Крупенин В.Л. К описанию динамических эффектов, сопровождающих колебания струн вблизи однотавровых ограничителей // ДАН. 2003. № 388 (3). С.31- 38.

ДИНАМИКА ПОКАЗАТЕЛЕЙ ПОВЕДЕНИЯ ГОМОЗИГОТНЫХ (А2/А2) КРЫС ПО ЛОКУСУ TAG 1A DRD2 ДО И ПОСЛЕ АУДИОГЕННОЙ СТИМУЛЯЦИИ

В тесте «открытое поле» изучено поведение гомозиготных (A2/A2) по локусу TAG 1A DRD2 крыс линии WAG/Rij до и после шести сеансов аудиогенной стимуляции, сопровождавшихся большими судорожными припадками. Найдено, что после стимуляции резко снижается двигательная и исследовательская активность крыс. ...

17 04 2024 8:14:43

Изменение структуры воспалительных заболеваний внутренних пoлoвых органов женщин за последние 10 лет по данным отделения гинекологии МУЗ ГКБ №2 г. Кемерово

Статья в формате PDF 117 KB...

16 04 2024 4:10:49

ПОЛУЧЕНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ ОГНЕУПОРНЫХ ФУТЕРОВОЧНЫХ МАТЕРИАЛОВ НА ОСНОВЕ ОТХОДОВ ПРОИЗВОДСТВА

Статья в формате PDF 148 KB...

15 04 2024 6:40:45

Математическая модель корреляции уровня oнкoлoгических заболеваний и активности природных источников радиации

Статья в формате PDF 102 KB...

14 04 2024 3:54:11

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ АНТИАРИТМИЧЕСКИХ ПРЕПАРАТОВ С ПОМОЩЬЮ КАРДИОИНТЕРВАЛОМЕТРИИ И НОВЫХ ПОДХОДОВ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА РИТМИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СЕРДЦА

Статья в формате PDF 131 KB...

13 04 2024 7:11:17

РЕАЛИЗАЦИЯ ПАЛЛИАТИВНОЙ ПОМОЩИ – ОДНО ИЗ ПРИОРИТЕТНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ В ОНКОЛОГИИ

Статья в формате PDF 125 KB...

12 04 2024 18:35:25

ЭФФЕКТИВНОСТЬ КРУГОВОГО МЕТОДА ПРИ ВОСПИТАНИИ ФИЗИЧЕСКИХ КАЧЕСТВ ЮНЫХ ФУТБОЛИСТОВ

Статья в формате PDF 249 KB...

11 04 2024 11:51:52

ДВУХУРОВНЕВАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЦИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ ХИМИИ В ЛИЦЕЕ РОСТОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО СТРОИТЕЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА

Статья в формате PDF 101 KB...

10 04 2024 17:25:16

СИДНЕВ АЛЕКСАНДР ВАЛЕНТИНОВИЧ

Статья в формате PDF 109 KB...

09 04 2024 10:51:58

ПРИМЕНЕНИе КОЛЛАГЕНА РЫБ В СОВРЕМЕННОЙ КОСМЕТОЛОГИИ

Статья в формате PDF 383 KB...

08 04 2024 1:29:20

РАЗВИТИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНОГО ИНТЕРЕСА МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ К УРОКАМ РУССКОГО ЯЗЫКА ПОСРЕДСТВОМ ФАКУЛЬТАТИВА «ВОЛШЕБНЫЙ КЛЮЧ К ЗНАНИЯМ»

Статья в формате PDF 287 KB...

07 04 2024 5:28:57

РОСТОСТИМУЛИРУЮЩАЯ АКТИВНОСТЬ АРИЛИДЕНПРОИЗВОДНЫХ ПИРИДАЗИН-3-ОНОВ И 3Н-ПИРРОЛ-2-ОНОВ

Нами впервые синтезированные арилиденпроизводные пиридазин-3-онов и 3Н-пиррол-2-онов исследованы на ростостимулирующую активность. Установлено, что 6-R-4-арилиден-пиридазин-3-оны, имеющие два атома азота в кольце, и N-арил-4-бром-3-арилиден-3Н-пиррол-2-оны обладают умеренной ростостимулирующей активностью. Можно утверждать, что выявленны синтетические ростостимулирующие соединения, которые проявляют свойства близкородственных натуральным гормонам веществ. ...

06 04 2024 11:59:52

ТРАНСПЛАЦЕНТАРНЫЙ КАНЦЕРОГЕНЕЗ, ВЫЗВАННЫЙ ПОЛИЦИКЛИЧЕСКИМИ АРОМАТИЧЕСКИМИ УГЛЕВОДОРОДАМИ

Статья в формате PDF 164 KB...

05 04 2024 16:28:30

АКТУАЛЬНОСТЬ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ФИЗКУЛЬТУРНОГО ОБРАЗОВАНИЯ В СОВРЕМЕННЫХ УСЛОВИЯХ РОССИЙСКОГО ОБЩЕСТВА

Статья в формате PDF 115 KB...

04 04 2024 1:55:58

Tрaнcформация наземных экосистем в результате воздействия алмaзoдобывающей промышленности

Проведены исследования наземных экосистем: почва, растительность, население млекопитающих, в зоне воздействия двух типичных алмaзoдобывающих предприятий, расположенных в среднетаежной и северотаежной подзонах. По интенсивности воздействия территория дифференцируется на микро, мезо и макроантропогенные участки. Показано, что любые уровни воздействия приводят к трaнcформациям окружающей среды. Наиболее глубокие трaнcформации выявлены на макроантропогенных участках, восстановление природной среды на таких участках в обозримое время невозможно. ...