ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПО ВРЕМЕНИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В работах [1, 2] известный метод Римана для гиперболического уравнения второго порядка распространен на одномерные гиперболические системы общего вида. Получено явное представление решений задачи Коши. Ядрами интегральной формулы служат матрицы двух типов, получившие название матриц Римана первого и второго рода и представляющие собой сингулярную и регулярную компоненты фундаментальной матрицы гиперболической системы. Изучена детальная структура матриц Римана. В [3 - 5] этот математический аппарат применен к анализу асимптотического поведения решений задачи Коши. В частности, в [4] построен оператор монодромии системы указанного в названии класса, получены спектральные признаки устойчивости и дихотомии; в прострaнcтвенно-однородном случае вычислена резольвента оператора монодромии, получено конструктивное описание его спектра.
В [6, 7] предложен подход к анализу устойчивости решений краевых задач для одномерной гиперболической системы на основе прямого метода Ляпунова: в [6] - для задачи Коши, в [7] - для смешанной задачи, встречающейся в акустике, химической кинетике. В [7] получено приложение к анализу устойчивости стационарных режимов в химических реакторах.
Данный доклад - продолжение [6, 7]. Рассматривается, как и в [4], задача Коши для системы указанного в названии класса. Построен вариант прямого метода Ляпунова, в котором условие на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы существенно ослаблено по сравнению с общей ситуацией в [6].
Рассмотрим гладкий гиперболический оператор с кратными хаpaктеристиками
.
Здесь
- единичная матрица порядка . Будем предполагать
1) A, B периодичны по t с периодом T>0;
2) ограничены в .
Обозначим H линеал гладких финитных функций .
Задача Коши
(1)
однозначно разрешима в классе гладких функций и при каждом . Введем в H скалярное произведение и норму формулами . Зафиксируем гладкую ограниченную вместе с производными первого порядка матрицу порядка N со свойствами
(2)
и определим функционал
равенством
.
Производная функционала вдоль траекторий системы (1) дается формулой
.
ТЕОРЕМА. Пусть существует матрица со свойствами (2) такая, что
1º) в полуплоскости ;
2º) хотя бы на одной прямой .
Тогда решение системы (1) экспоненциально устойчиво: существуют постоянные такие, что для любого решения
. (3)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим разрешающий оператор задачи Коши (1). Из формулы для решения задачи Коши в [1] следует: - линейный ограниченный (при фиксированных ) оператор , гладкий по в операторной топологии, при этом выполняется равенство (свойство стационарности на периоде)
(4)
1. Пусть условия 1º, 2º выполняются при . Имеем для значений на любом решении u(x,t) равенства
.
Условия 1º, 2º дают:
(5)
при некотором t≥0.
Из второго неравенства (5) легко получить: существует t0>0 такое, что
(6)
Зафиксируем период ; с учетом (6) и первого неравенства (5) имеем: число
(7)
Далее, из (4) вытекает равенство
(8)
Из (7), (8) с учетом априорной оценки для решения задачи Коши (1) вытекает для решений (1) оценка (3) с константой .
2. В общем случае замена Ляпунова где - эрмитово-положительный корень из , приводит к ситуации пункта 1.
Заметим, что требования 1º, 2º на существенно слабее, чем в аналогичной ситуации в [6] для систем с любыми гладкими коэффициентами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Романовский Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода// Докл. АН СССР 1982. Т. 267, №3. С. 577 - 580.
- Романовский Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода// Мат. сб. 1985. Т. 127, №4. С. 494 - 501.
- Романовский Р.К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными// Мат. сб. 1987. Т. 133, №3. С. 341 - 355.
- Романовский Р.К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами// В книге: Применение методов функционального анализа к задачам математической физики. Киев: Изд. ИМ АН УССР 1987. С. 47 - 52.
- Романовский Р.К. Усреднение гиперболических уравнений// Докл. АН СССР 1989. Т. 306, №2. С. 286 - 289.
- Воробьева Е.В., Романовский Р.К. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболической системы с двумя независимыми переменными// Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, №6. С. 1290 - 1292.
- Романовский Р.К., Воробьева Е.В., И.Д. Макарова. Об устойчивости решений смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы на плоскости// Сиб. журн. индустриальной математики 2003. Т. VI, №1. С. 118 - 124.
Статья в формате PDF
264 KB...
11 10 2026 1:46:51
Статья в формате PDF
126 KB...
10 10 2026 4:35:30
Статья в формате PDF
162 KB...
09 10 2026 4:20:35
Статья в формате PDF
121 KB...
08 10 2026 18:26:51
Статья в формате PDF
254 KB...
07 10 2026 23:19:52
Статья в формате PDF
89 KB...
05 10 2026 5:10:15
Статья в формате PDF
331 KB...
04 10 2026 14:26:28
Статья в формате PDF
146 KB...
03 10 2026 2:41:17
Статья в формате PDF
207 KB...
02 10 2026 17:42:48
Статья в формате PDF
113 KB...
30 09 2026 14:51:29
Статья в формате PDF
120 KB...
29 09 2026 1:32:34
Статья в формате PDF
161 KB...
27 09 2026 19:39:15
Статья в формате PDF
110 KB...
26 09 2026 8:46:43
Статья в формате PDF
300 KB...
25 09 2026 11:25:49
Статья в формате PDF
164 KB...
24 09 2026 17:46:50
Статья в формате PDF
99 KB...
23 09 2026 0:11:11
Статья в формате PDF
91 KB...
21 09 2026 6:51:34
Представлены результаты исследований инфpaкрасных спектров поглощения в образцах высушенной капли мочи. Применение метода ИК – спектроскопии для исследования образцов мочи в виде высушенной капли позволяет повысить диагностическую значимость молекулярного анализа. Полученные результаты могут быть использованы при разработке новых методов ранней диагностики различных заболеваний.
...
20 09 2026 13:28:13
Использование двухфазной экстpaкции в присутствии поверхностно-активных веществ (ПАВ) обеспечивает увеличение выхода гидрофильных и липофильных биологически-активных веществ (БАВ) из растительного сырья.
Экстрагировали высушенные плоды шиповника 70% этиловым спиртом и подсолнечным маслом в присутствии различных комбинаций эмульгаторов твина-80 и Т-2 (ГЛБ = 5,5÷14,5).
Показано, что по сравнению с двухфазной экстpaкцией без ПАВ переход каротиноидов (липофильных БАВ) в масляную фазу возрастает в 1,5 раза в присутствии эмульгатора 2-го рода (ГЛБ = 5,5) и не изменяется в присутствии эмульгатора 1-го рода (ГЛБ = 14,5). Переход гидрофильных БАВ (аскорбиновая кислота) в водно-спиртовую фазу возрастает в 2 раза при ГЛБ = 14,5 и падает с уменьшением чисел ГЛБ.
...
19 09 2026 13:14:42
Статья в формате PDF
107 KB...
18 09 2026 9:25:13
Статья в формате PDF
120 KB...
17 09 2026 18:55:49
Статья в формате PDF
122 KB...
16 09 2026 13:38:51
Статья в формате PDF
290 KB...
15 09 2026 11:35:33
Статья в формате PDF
98 KB...
14 09 2026 10:17:43
Статья в формате PDF
221 KB...
13 09 2026 2:26:58
Статья в формате PDF
295 KB...
12 09 2026 5:24:25
В статье осуществлен краткий анализ основных философских подходов к феномену человеческой индивидуальности буддизмом, даосизмом, конфуцианством. Определены «пропорции» между лично-индивидуальным и социально-необходимым как составляющей проблемы человека. Также предложен авторский подход по коррекции распространенного мнения об отсутствии проблематики индивидуальности в рамках древневосточного социума.
...
11 09 2026 13:12:48
Статья в формате PDF
113 KB...
09 09 2026 16:47:32
Статья в формате PDF
194 KB...
08 09 2026 12:26:17
Статья в формате PDF
90 KB...
07 09 2026 18:29:57
Статья в формате PDF
103 KB...
06 09 2026 0:40:38
Одинаково назначаемые одни и те же лекарственные средства могут действовать на организм различных людей соответственно неодинаково. Каждый уважающий себя и пациента врач стремится к такому клиническому подходу в свете фармакологии и медицины, что каждый человек мог извлечь из схемы лечения максимальную пользу и минимальный побочный эффект, говоря иным образом, подходить к терапии пациента индивидуально. Но принципиально это стало возможно после расшифровки генома человека. Отличие хромосомных наборов у женщины и мужчины состоит в том, что они имеют разные пoлoвые хромосомы. Женский пол гомогаметный — в кариотипе отсутствует Y-хромосома, и пара пoлoвых хромосом представлена двумя X-хромосомами. Хромосомный набор мужчины содержит две разные пoлoвые хромосомы, X и Y. А значит и применяемые фитопрепараты на основе жирных растительных масел по-разному могут действовать на мужской и женский организм.
...
05 09 2026 19:32:25
Статья в формате PDF
122 KB...
04 09 2026 2:51:11
Статья в формате PDF
120 KB...
03 09 2026 1:19:47
Статья в формате PDF
103 KB...
02 09 2026 22:24:59
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
