ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПО ВРЕМЕНИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В работах [1, 2] известный метод Римана для гиперболического уравнения второго порядка распространен на одномерные гиперболические системы общего вида. Получено явное представление решений задачи Коши. Ядрами интегральной формулы служат матрицы двух типов, получившие название матриц Римана первого и второго рода и представляющие собой сингулярную и регулярную компоненты фундаментальной матрицы гиперболической системы. Изучена детальная структура матриц Римана. В [3 - 5] этот математический аппарат применен к анализу асимптотического поведения решений задачи Коши. В частности, в [4] построен оператор монодромии системы указанного в названии класса, получены спектральные признаки устойчивости и дихотомии; в прострaнcтвенно-однородном случае вычислена резольвента оператора монодромии, получено конструктивное описание его спектра.
В [6, 7] предложен подход к анализу устойчивости решений краевых задач для одномерной гиперболической системы на основе прямого метода Ляпунова: в [6] - для задачи Коши, в [7] - для смешанной задачи, встречающейся в акустике, химической кинетике. В [7] получено приложение к анализу устойчивости стационарных режимов в химических реакторах.
Данный доклад - продолжение [6, 7]. Рассматривается, как и в [4], задача Коши для системы указанного в названии класса. Построен вариант прямого метода Ляпунова, в котором условие на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы существенно ослаблено по сравнению с общей ситуацией в [6].
Рассмотрим гладкий гиперболический оператор с кратными хаpaктеристиками
.
Здесь
- единичная матрица порядка . Будем предполагать
1) A, B периодичны по t с периодом T>0;
2) ограничены в .
Обозначим H линеал гладких финитных функций .
Задача Коши
(1)
однозначно разрешима в классе гладких функций и при каждом . Введем в H скалярное произведение и норму формулами . Зафиксируем гладкую ограниченную вместе с производными первого порядка матрицу порядка N со свойствами
(2)
и определим функционал
равенством
.
Производная функционала вдоль траекторий системы (1) дается формулой
.
ТЕОРЕМА. Пусть существует матрица со свойствами (2) такая, что
1º) в полуплоскости ;
2º) хотя бы на одной прямой .
Тогда решение системы (1) экспоненциально устойчиво: существуют постоянные такие, что для любого решения
. (3)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим разрешающий оператор задачи Коши (1). Из формулы для решения задачи Коши в [1] следует: - линейный ограниченный (при фиксированных ) оператор , гладкий по в операторной топологии, при этом выполняется равенство (свойство стационарности на периоде)
(4)
1. Пусть условия 1º, 2º выполняются при . Имеем для значений на любом решении u(x,t) равенства
.
Условия 1º, 2º дают:
(5)
при некотором t≥0.
Из второго неравенства (5) легко получить: существует t0>0 такое, что
(6)
Зафиксируем период ; с учетом (6) и первого неравенства (5) имеем: число
(7)
Далее, из (4) вытекает равенство
(8)
Из (7), (8) с учетом априорной оценки для решения задачи Коши (1) вытекает для решений (1) оценка (3) с константой .
2. В общем случае замена Ляпунова где - эрмитово-положительный корень из , приводит к ситуации пункта 1.
Заметим, что требования 1º, 2º на существенно слабее, чем в аналогичной ситуации в [6] для систем с любыми гладкими коэффициентами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Романовский Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода// Докл. АН СССР 1982. Т. 267, №3. С. 577 - 580.
- Романовский Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода// Мат. сб. 1985. Т. 127, №4. С. 494 - 501.
- Романовский Р.К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными// Мат. сб. 1987. Т. 133, №3. С. 341 - 355.
- Романовский Р.К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами// В книге: Применение методов функционального анализа к задачам математической физики. Киев: Изд. ИМ АН УССР 1987. С. 47 - 52.
- Романовский Р.К. Усреднение гиперболических уравнений// Докл. АН СССР 1989. Т. 306, №2. С. 286 - 289.
- Воробьева Е.В., Романовский Р.К. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболической системы с двумя независимыми переменными// Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, №6. С. 1290 - 1292.
- Романовский Р.К., Воробьева Е.В., И.Д. Макарова. Об устойчивости решений смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы на плоскости// Сиб. журн. индустриальной математики 2003. Т. VI, №1. С. 118 - 124.
Статья в формате PDF
280 KB...
12 04 2026 11:26:42
Статья в формате PDF
141 KB...
11 04 2026 3:12:36
Статья в формате PDF
215 KB...
10 04 2026 23:49:52
Статья в формате PDF
253 KB...
09 04 2026 23:11:17
Статья в формате PDF
94 KB...
08 04 2026 22:10:10
В статье рассмотрена реакция видов растений тундровых сообществ европейского северо-востока на механические нарушения. Выявлено, что основная роль в обеспечении устойчивости фитоценозов принадлежит видам-содоминантам и субдоминантам, которые способны временно доминировать (содоминировать) в сообществе, существенно не меняя его структуры. Это обстоятельство необходимо принимать во внимание при разработке экосиcтемных нормативов, которые должны быть ориентированы только на флуктуационную динамику фитоценозов.
...
07 04 2026 12:33:41
Статья в формате PDF
120 KB...
06 04 2026 1:27:14
Статья в формате PDF
113 KB...
05 04 2026 0:24:30
Проведено исследование экологических ниш двух видов бурых лягушек при совместном обитании на водоемах. В период скопления на кладках у R. temporaria идет отбор крупных особей, ускоренно развивающихся за счет питания мелкими собратьями. R. arvalis – скоплений не образуют и являются типичными детритофагами. Успех роста и развития первого вида зависит от облигатного каинизма и нeкpoфагии. При отсутствии такой возможности питание схоже с питанием личинок R. arvalis. Выявлены различия в поведении личинок при появлении опасности. Крупные личинки R. temporaria, уходят на глубину, мелкие - мимикрируют под цвет грунта и становятся малоподвижными. Личинки R. arvalis не имеют маскировочной окраски, при возникновении опасности зарываются в грунт или прячутся в укрытиях.
...
04 04 2026 3:30:10
Статья в формате PDF
121 KB...
03 04 2026 3:49:23
Статья в формате PDF
125 KB...
02 04 2026 14:38:20
Статья в формате PDF
98 KB...
30 03 2026 19:33:54
Статья в формате PDF
97 KB...
29 03 2026 8:39:31
Методика диагональной сегментарной амплитудометрии, заключающаяся в регистрации амплитуды колебаний активного и реактивного сопротивления тканей человеческого организма, широко используемая в медицинской пpaктике, начинает применяться в спорте для контроля за функциональным состоянием спортсменов в различные периоды учебно-тренировочного процесса. Результаты, полученные данным методом, показывают, что различия в проводимости тканей определяются видом спорта, а также квалификацией спортсменов. Проводимость тканей более устойчива в подготовительный период по сравнению с соревновательным. Суммарная нестабильность проводимости тканей выше на соревнованиях более высокого уровня.
...
28 03 2026 14:31:38
Статья в формате PDF
132 KB...
27 03 2026 20:14:19
Статья в формате PDF
254 KB...
26 03 2026 7:24:15
Статья в формате PDF
115 KB...
25 03 2026 20:45:14
Проведен анализ ошибок и осложнений хирургического лечения пролапса тазовых органовс использованием системы Prolift ™ (Gynecare, Pelvic Floor Repair System, Johnson&Johnson comp., US). Были определены факторы риска и способы уменьшения количества осложнений. Несмотря на высокую эффективность, операция Prolift может сопровождаться тяжелыми осложнениями. Некоторые из них могут представлять серьезную опасность для жизни и здоровья больных.
...
24 03 2026 20:11:26
Статья в формате PDF
126 KB...
23 03 2026 19:29:20
Статья в формате PDF
114 KB...
22 03 2026 17:39:11
Статья в формате PDF
275 KB...
21 03 2026 22:31:12
В статье изложены результаты исследования содержания таких биоэнергетически активных компонентов-углеводов и липидов в организме Trichocephalus trichiurus,Tr.muris в норме и после применения принятых терапевтических дозах Вермокса, Медамина и Дифезила.
...
20 03 2026 5:43:34
Статья в формате PDF
311 KB...
18 03 2026 1:35:29
Статья в формате PDF 234 KB...
17 03 2026 9:12:20
Статья в формате PDF
111 KB...
16 03 2026 2:42:33
Статья в формате PDF
101 KB...
15 03 2026 13:43:23
Проведен анализ результатов многолетних исследований по выявлению состава и объема видового разнообразия,расположенных в наземных экосистемах региона. Наибольшая видовая насыщенность отмечена в среднегорной части района – темнохвойных лесах, где господствует пихта кавказская (запас на исследуемых территориях – 3950 тыс.м3, сомкнутость от 0,5 до 0,9). Нижний подъярус составляют бук восточный, эндемики – дуб скальный, липа кавказская, третичные реликты: граб кавказский, тис ягодный.Геоботанические описания экосистем субальпийских лугов Лагонакского нагорья(1500 м н.у.м.) показал всего 39 видов растений, что говорит о низком видовом богатстве этого сообщества. Число видов на площади 16 м2 изменялось от 7 до 26, в среднем 14,3 вида. Проективное покрытие почвы цветковыми растениями в среднем составляет 19 %. Экосистемы субальпийских лугов хаpaктеризуются высокой относительной численностью животного населения при сравнительно небольшом количестве видов. Здесь доминирует полевка кустариниковая – 51,3 %, обычны – крот кавказский– 2,0 %, другие виды редки, но хаpaктерны – бурозубка кавказская– 6,4 %, мышовка кавказская, а вдоль ручьев – полевка Роберта – 8,2 %. Регулярное сенокошение лугов приводит к обеднению флористического состава, снижению общей высоты травостоя и как следствие, к деградации, выпадению бурозубки кавказской, крота кавказского и полевки прометеевой, численность которых падает до 1,0 %. В результате антропогенного пресса в экосистемах горных поясов, первоначальная структура растительного и животного состава изменена почти на 70 % исследуемой территории. Экосистемы, сформированные в каменных осыпях, криволесьях, парковых лесах региона хаpaктеризуются богатым видовым составом и эндемичностью (от 30 до 70 %). Наиболее эффективным способом сохранения редких видов является охрана их в местах естественного обитания на особо охраняемых территориях. Необходимо выделить эталонные участки с редкими и уязвимыми видами и контролировать с учетом их экологических особенностей (например, горные склоны Пшеха-Су и Фишт с видами – лисохвост пушистоцветковый, лютик Елены, лапчатка чудесная, овсяница кавказская, овсяница джимильская; серна,тур западнокавказский,улар кавказский).
...
14 03 2026 8:33:46
Показано значение естественнонаучной составляющей образования для развития способов умственной деятельности у одаренных детей и значение основополагающих знаний естественных наук для будущих поколений.
...
13 03 2026 4:13:16
Статья в формате PDF
91 KB...
11 03 2026 0:17:40
Статья в формате PDF
132 KB...
10 03 2026 7:17:35
Статья в формате PDF
257 KB...
09 03 2026 19:39:44
Статья в формате PDF
265 KB...
08 03 2026 22:49:51
Статья в формате PDF
205 KB...
07 03 2026 5:58:48
Приведены закономерности рангового распределения по рейтингу 110 стран, среди них Россия занимала 49-е место. Для анализа были приняты показатели: 1) инновационные затраты/суммарный балл; 2) инновационная эффективность/суммарный балл); 3) инновационная эффективность/инновационные затраты. Сравнение показывает весьма скромную инновационную активность России, но при этом значения всех трех относительных показателей инновационной активности у России положительные или позитивные. Только изобретения имеют мировую новизну и достаточно высокую конкурентоспособность, а полезные модели нужны в основном для внутреннего употрeбления. В итоге в стране образуется так называемый инновационный крест. Динамика изобретений куда значимее, если при этом снизить справедливое в неспокойной экономике колебательное возмущение изобретателей.
...
06 03 2026 17:42:41
Статья в формате PDF
117 KB...
04 03 2026 17:18:41
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
