ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПО ВРЕМЕНИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В работах [1, 2] известный метод Римана для гиперболического уравнения второго порядка распространен на одномерные гиперболические системы общего вида. Получено явное представление решений задачи Коши. Ядрами интегральной формулы служат матрицы двух типов, получившие название матриц Римана первого и второго рода и представляющие собой сингулярную и регулярную компоненты фундаментальной матрицы гиперболической системы. Изучена детальная структура матриц Римана. В [3 - 5] этот математический аппарат применен к анализу асимптотического поведения решений задачи Коши. В частности, в [4] построен оператор монодромии системы указанного в названии класса, получены спектральные признаки устойчивости и дихотомии; в прострaнcтвенно-однородном случае вычислена резольвента оператора монодромии, получено конструктивное описание его спектра.
В [6, 7] предложен подход к анализу устойчивости решений краевых задач для одномерной гиперболической системы на основе прямого метода Ляпунова: в [6] - для задачи Коши, в [7] - для смешанной задачи, встречающейся в акустике, химической кинетике. В [7] получено приложение к анализу устойчивости стационарных режимов в химических реакторах.
Данный доклад - продолжение [6, 7]. Рассматривается, как и в [4], задача Коши для системы указанного в названии класса. Построен вариант прямого метода Ляпунова, в котором условие на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы существенно ослаблено по сравнению с общей ситуацией в [6].
Рассмотрим гладкий гиперболический оператор с кратными хаpaктеристиками
.
Здесь
- единичная матрица порядка . Будем предполагать
1) A, B периодичны по t с периодом T>0;
2) ограничены в .
Обозначим H линеал гладких финитных функций .
Задача Коши
(1)
однозначно разрешима в классе гладких функций и при каждом . Введем в H скалярное произведение и норму формулами . Зафиксируем гладкую ограниченную вместе с производными первого порядка матрицу порядка N со свойствами
(2)
и определим функционал
равенством
.
Производная функционала вдоль траекторий системы (1) дается формулой
.
ТЕОРЕМА. Пусть существует матрица со свойствами (2) такая, что
1º) в полуплоскости ;
2º) хотя бы на одной прямой .
Тогда решение системы (1) экспоненциально устойчиво: существуют постоянные такие, что для любого решения
. (3)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим разрешающий оператор задачи Коши (1). Из формулы для решения задачи Коши в [1] следует: - линейный ограниченный (при фиксированных ) оператор , гладкий по в операторной топологии, при этом выполняется равенство (свойство стационарности на периоде)
(4)
1. Пусть условия 1º, 2º выполняются при . Имеем для значений на любом решении u(x,t) равенства
.
Условия 1º, 2º дают:
(5)
при некотором t≥0.
Из второго неравенства (5) легко получить: существует t0>0 такое, что
(6)
Зафиксируем период ; с учетом (6) и первого неравенства (5) имеем: число
(7)
Далее, из (4) вытекает равенство
(8)
Из (7), (8) с учетом априорной оценки для решения задачи Коши (1) вытекает для решений (1) оценка (3) с константой .
2. В общем случае замена Ляпунова где - эрмитово-положительный корень из , приводит к ситуации пункта 1.
Заметим, что требования 1º, 2º на существенно слабее, чем в аналогичной ситуации в [6] для систем с любыми гладкими коэффициентами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Романовский Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода// Докл. АН СССР 1982. Т. 267, №3. С. 577 - 580.
- Романовский Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода// Мат. сб. 1985. Т. 127, №4. С. 494 - 501.
- Романовский Р.К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными// Мат. сб. 1987. Т. 133, №3. С. 341 - 355.
- Романовский Р.К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами// В книге: Применение методов функционального анализа к задачам математической физики. Киев: Изд. ИМ АН УССР 1987. С. 47 - 52.
- Романовский Р.К. Усреднение гиперболических уравнений// Докл. АН СССР 1989. Т. 306, №2. С. 286 - 289.
- Воробьева Е.В., Романовский Р.К. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболической системы с двумя независимыми переменными// Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, №6. С. 1290 - 1292.
- Романовский Р.К., Воробьева Е.В., И.Д. Макарова. Об устойчивости решений смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы на плоскости// Сиб. журн. индустриальной математики 2003. Т. VI, №1. С. 118 - 124.
Статья в формате PDF
107 KB...
31 10 2026 16:52:59
Статья в формате PDF
137 KB...
30 10 2026 2:28:45
Статья в формате PDF
118 KB...
29 10 2026 9:46:28
Статья в формате PDF
112 KB...
26 10 2026 9:55:18
Статья в формате PDF
112 KB...
24 10 2026 23:17:56
Статья в формате PDF
155 KB...
23 10 2026 23:45:40
По частотам генов белковых локусов остромордой лягушки и ее паразитов изучали уровень генетической изменчивости в паразитарных системах. Показано, что состояние генетической структуры популяции у хозяина и разных видов паразитов в одних и тех же условиях может быть различным.
...
22 10 2026 3:37:35
Представлены результаты двухлетних опытных работ с целью разработки эффективных способов биологической рекультивации без нанесения плодородного слоя на отвалах Айхальского ГОКа.
...
21 10 2026 7:18:56
Статья в формате PDF
113 KB...
19 10 2026 0:39:16
Статья в формате PDF
148 KB...
18 10 2026 14:28:32
Статья в формате PDF
131 KB...
16 10 2026 13:56:39
Статья в формате PDF
253 KB...
14 10 2026 3:29:49
Озонированный (5х10 -7 г/мл) раствор Кребса не влиял на базальный тонус продольных полосок (n=21) трахеи 5 коров, а также на их тонус, вызванный ацетилхолином (10 -6 г/мл), но в 43% опытов достоверно уменьшал релаксирующий эффект адреналина (10 -7 г/мл), т.е. проявлял β-адреноблокирующий эффект. Это свойство озона необходимо учитывать при нормировании условий труда в производствах с повышенным образованием озона и при озонотерапии.
...
13 10 2026 1:52:15
Статья в формате PDF
119 KB...
12 10 2026 17:42:30
Статья в формате PDF
113 KB...
11 10 2026 5:32:43
Статья в формате PDF
129 KB...
10 10 2026 22:37:45
Статья в формате PDF
108 KB...
09 10 2026 12:20:50
Показано, что бытующее до сих пор утверждение, что центростремительные и гироскопические силы работы не совершают, неверно. При движении тела с постоянной скоростью по круговой орбите непрерывно затрачивается работа на изменение направления движения (поворот вектора скорости).
...
07 10 2026 10:50:14
Статья в формате PDF
224 KB...
06 10 2026 20:58:43
Аграрная реформа высветила многие проблемы, носящие хаpaктер долговременного действия на экономику России и, в частности, на ее агропромышленный комплекс, от успешного развития которого зависит продовольственная безопасность страны и жизненный уровень населения. К их числу относится и проблема земельных отношений.
...
04 10 2026 9:52:31
Статья в формате PDF
246 KB...
03 10 2026 1:57:56
Статья в формате PDF
89 KB...
02 10 2026 22:18:59
Статья в формате PDF 111 KB...
01 10 2026 11:37:19
Статья в формате PDF
142 KB...
30 09 2026 5:38:19
Статья в формате PDF
132 KB...
29 09 2026 6:55:39
Статья в формате PDF
131 KB...
28 09 2026 21:39:23
Статья в формате PDF
108 KB...
27 09 2026 5:44:40
Статья в формате PDF
105 KB...
26 09 2026 1:46:46
Статья в формате PDF
111 KB...
25 09 2026 16:19:23
Статья в формате PDF
298 KB...
24 09 2026 21:52:20
Статья в формате PDF
260 KB...
23 09 2026 20:57:40
Статья в формате PDF
110 KB...
22 09 2026 17:50:52
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
