ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПО ВРЕМЕНИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Авторы
Файлы

Романовский Р.К. Мендзив М.В. Статья в формате PDF 120 KB

В работах [1, 2] известный метод Римана для гиперболического уравнения второго порядка распространен на одномерные гиперболические системы общего вида. Получено явное представление решений задачи Коши. Ядрами интегральной формулы служат матрицы двух типов, получившие название матриц Римана первого и второго рода и представляющие собой сингулярную и регулярную компоненты фундаментальной матрицы гиперболической системы. Изучена детальная структура матриц Римана. В [3 - 5] этот математический аппарат применен к анализу асимптотического поведения решений задачи Коши. В частности, в [4] построен оператор монодромии системы указанного в названии класса, получены спектральные признаки устойчивости и дихотомии; в прострaнcтвенно-однородном случае вычислена резольвента оператора монодромии, получено конструктивное описание его спектра.

В [6, 7] предложен подход к анализу устойчивости решений краевых задач для одномерной гиперболической системы на основе прямого метода Ляпунова: в [6] - для задачи Коши, в [7] - для смешанной задачи, встречающейся в акустике, химической кинетике. В [7] получено приложение к анализу устойчивости стационарных режимов в химических реакторах.

Данный доклад - продолжение [6, 7]. Рассматривается, как и в [4], задача Коши для системы указанного в названии класса. Построен вариант прямого метода Ляпунова, в котором условие на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы существенно ослаблено по сравнению с общей ситуацией в [6].

Рассмотрим гладкий гиперболический оператор с кратными хаpaктеристиками

Здесь

- единичная матрица порядка . Будем предполагать

1) A, B периодичны по t с периодом T>0;

2) ограничены в .

Обозначим H линеал гладких финитных функций .

Задача Коши

(1)

однозначно разрешима в классе гладких функций и при каждом . Введем в H скалярное произведение и норму формулами . Зафиксируем гладкую ограниченную вместе с производными первого порядка матрицу порядка N со свойствами

(2)

и определим функционал

равенством

Производная функционала вдоль траекторий системы (1) дается формулой

ТЕОРЕМА. Пусть существует матрица со свойствами (2) такая, что

1º) в полуплоскости ;

2º) хотя бы на одной прямой .

Тогда решение системы (1) экспоненциально устойчиво: существуют постоянные такие, что для любого решения

. (3)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим разрешающий оператор задачи Коши (1). Из формулы для решения задачи Коши в [1] следует: - линейный ограниченный (при фиксированных ) оператор , гладкий по в операторной топологии, при этом выполняется равенство (свойство стационарности на периоде)

(4)

1. Пусть условия 1º, 2º выполняются при . Имеем для значений на любом решении u(x,t) равенства

Условия 1º, 2º дают:

(5)

при некотором t≥0.

Из второго неравенства (5) легко получить: существует t₀>0 такое, что

(6)

Зафиксируем период ; с учетом (6) и первого неравенства (5) имеем: число

(7)

Далее, из (4) вытекает равенство

(8)

Из (7), (8) с учетом априорной оценки для решения задачи Коши (1) вытекает для решений (1) оценка (3) с константой .

2. В общем случае замена Ляпунова где - эрмитово-положительный корень из , приводит к ситуации пункта 1.

Заметим, что требования 1º, 2º на существенно слабее, чем в аналогичной ситуации в [6] для систем с любыми гладкими коэффициентами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Романовский Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода// Докл. АН СССР 1982. Т. 267, №3. С. 577 - 580.
Романовский Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода// Мат. сб. 1985. Т. 127, №4. С. 494 - 501.
Романовский Р.К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными// Мат. сб. 1987. Т. 133, №3. С. 341 - 355.
Романовский Р.К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами// В книге: Применение методов функционального анализа к задачам математической физики. Киев: Изд. ИМ АН УССР 1987. С. 47 - 52.
Романовский Р.К. Усреднение гиперболических уравнений// Докл. АН СССР 1989. Т. 306, №2. С. 286 - 289.
Воробьева Е.В., Романовский Р.К. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболической системы с двумя независимыми переменными// Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, №6. С. 1290 - 1292.
Романовский Р.К., Воробьева Е.В., И.Д. Макарова. Об устойчивости решений смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы на плоскости// Сиб. журн. индустриальной математики 2003. Т. VI, №1. С. 118 - 124.

ОРГАНИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ РЕГИОНАЛЬНОГО МОНИТОРИНГА НА ТЕРРИТОРИИ НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ В 2008 ГОДУ

Статья в формате PDF 121 KB...

02 05 2026 9:41:19

ПСИХОНЕЙРОИММУНОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОГРАММЫ АДАПТАЦИИ ПРИ НОРМАЛЬНО РАЗВИВАЮЩЕЙСЯ БЕРЕМЕННОСТИ

Статья в формате PDF 123 KB...

01 05 2026 0:34:12

МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ У ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ ВУЗА УМЕНИЙ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МОНИТОРИНГА КАЧЕСТВА ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ ВУЗОВ

Статья в формате PDF 136 KB...

30 04 2026 11:55:41

РЕАЛИЗАЦИЯ РАДИОЭЛЕКТРОННОЙ АППАРАТУРЫ НА ОСНОВЕ АНАЛОГО-ЦИФРОВЫХ БАЗОВЫХ МАТРИЧНЫХ КРИСТАЛЛОВ

Статья в формате PDF 140 KB...

29 04 2026 3:57:36

ФОРМИРОВАНИЕ «СИСТЕМЫ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ АДАПТАЦИИ» В УСЛОВИЯХ СОВРЕМЕННОЙ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ

Статья в формате PDF 100 KB...

28 04 2026 10:10:32

ПРИНИП ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТИ, КАК ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНОЕ И ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ

Статья в формате PDF 90 KB...

27 04 2026 18:11:11

Штаммовые отличия Yersinia pestis по чувствительности к бактерицидному действию сыворотки

Статья в формате PDF 109 KB...

26 04 2026 1:31:26

ОЦЕНКА СОРБЦИОННОЙ СПОСОБНОСТИ ИОНИТОВ ПРИ ИЗВЛЕЧЕНИИ СВИНЦА ИЗ СТОЧНЫХ ВОД

Статья в формате PDF 133 KB...

25 04 2026 9:31:10

ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕТЕРОТРОФНОГО БАКТЕРИОБЕНТОСА И ЕГО ОСНОВНЫХ МОРФОФИЗИОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП

Статья в формате PDF 257 KB...

24 04 2026 0:42:34

ПРОГРАММЫ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ И УЛУЧШЕНИЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СИСТЕМЫ МЕНЕДЖМЕНТА КАЧЕСТВА В ВОЛГОГРАДСКОМ КОЛЛЕДЖЕ ГАЗА И НЕФТИ

Статья в формате PDF 204 KB...

23 04 2026 10:56:43

ЗНАЧЕНИЕ ИММУНОЦИТОКИНОВЫХ ТЕСТОВ В КЛИНИЧЕСКОЙ ПРАКТИКЕ

Статья в формате PDF 98 KB...

22 04 2026 17:53:18

Изменение активности катепсина Д в тканях сеголеток карпа под влиянием солей тяжелых металлов

Cтатья посвящена исследованию влияния хлорида кадмия (0,25 мг/л) и ацетата свинца (0,5 мг/л) на активность катепсина Д в тканях сеголеток карпа. Результаты наших исследований свидетельствуют о наличии тканеспецифичности в изменении активности катепсина Д в ответ на действие ионов тяжелых металлов.Предлагается использовать показатели протеолитических ферментов в тканях рыб в качестве чувствительного теста на загрязнение водной среды ионами тяжелых металлов. ...

21 04 2026 22:20:51

СОЗДАНИЕ ГИБРИДНЫХ АВТОМОБИЛЕЙ КАК ОДНО ИЗ НАПРАВЛЕНИЙ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ ЭКОЛОГИИ КРУПНЫХ ГОРОДОВ

Статья в формате PDF 134 KB...

20 04 2026 5:14:45

О ДЛИННОВОЛНОВЫХ МОДЕЛЯХ УДАРНЫХ ПАР

Статья в формате PDF 447 KB...

19 04 2026 14:11:43

ОРГАНИЗАЦИЯ СЛУЖБЫ РЕФЛЕКСОТЕРАПИИ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТНОЙ ДЕТСКОЙ БОЛЬНИЦЕ

Статья в формате PDF 252 KB...

18 04 2026 18:11:34

ВЛИЯНИЕ ТЕХНОЛОГИ ВЕБ-КВЕСТ НА РАЗВИТИЕ ТВОРЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ ОБУЧАЮЩИХСЯ В ПРОЦЕССЕ ИЗУЧЕНИЯ ИНОСТРАННОГО ЯЗЫКА

Статья в формате PDF 263 KB...

17 04 2026 15:48:57

ВЗАИМОСВЯЗЬ УРОВНЯ МЕТАБОЛИЗМА КОЛЛАГЕНА И ПОВЕДЕНИЯ КРЫС В ТЕСТЕ «ОТКРЫТОЕ ПОЛЕ»

В работе методом дискриминантного анализа исследована взаимосвязь между уровнем метаболизма коллагена и особенностями поведения крыс в тесте «Открытое поле». Обнаружено, что крысы с высокой активностью процессов катаболизма коллагена делают большее число уринаций при тестировании по сравнению с другими животными. В то же время особи с высоким уровнем анаболизма коллагена проявляют в «Открытом поле» повышенную горизонтальную двигательную активность. Учет этих хаpaктеристик поведения и массы тела крыс позволяет предсказывать особенности метаболизма коллагена у животных с точностью до 85%. ...

16 04 2026 8:44:26

КУРС «ЭТНОПСИХОЛОГИЯ». НЕКОТОРЫЕ НОВЫЕ ПОДХОДЫ В ОБУЧЕНИИ

Статья в формате PDF 270 KB...

15 04 2026 2:38:51

ОПТИМИЗАЦИЯ РЕЖИМОВ ВЫДЕРЖКИ СЛИТКОВ ИЗ ЖАРОПРОЧНЫХ СПЛАВОВ В ВАКУУМНО-ДУГОВОЙ ПЕЧИ НА БАЗЕ ПРЕДПРИЯТИЯ ОАО «РУСПОЛИМЕТ»

Статья в формате PDF 278 KB...

14 04 2026 21:34:32

СОСТАВ И ПЛОЩАДЬ ГИСТИОЛЕЙКОЦИТАРНЫХ ИНФИЛЬТРАТОВ ПРИ ДИСПЛАЗИИ СЛИЗИСТОЙ ОБОЛОЧКИ ЖЕЛУДКА

Статья в формате PDF 103 KB...

13 04 2026 16:44:34

О природе времени

Понятие время является важнейшим понятием, как физики, так и философии. Актуальность этой проблемы обусловлена тем, что до сих пор, несмотря на широкий круг исследований, не сложилось твердо закрепленного представления о времени. В статье делается попытка раскрыть сущность понятия времени и связать меру времени с движением. За меру времени механического движения предлагается выбрать путь, пройденный, например, концом стрелки часов, участвующей не только в собственном движении относительно циферблата, как это принято, но и в сложном движении, включающем движение часов как целое относительно внешнего наблюдателя. Синхронизация хода часов производится по периодам их движений в соответствие с принятым эталоном времени. Рассматривается случай, когда часы движутся относительно внешнего наблюдателя с постоянной скоростью. Такой подход к проблеме времени позволяет понять его непрерывность и бесконечность. ...