ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПО ВРЕМЕНИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В работах [1, 2] известный метод Римана для гиперболического уравнения второго порядка распространен на одномерные гиперболические системы общего вида. Получено явное представление решений задачи Коши. Ядрами интегральной формулы служат матрицы двух типов, получившие название матриц Римана первого и второго рода и представляющие собой сингулярную и регулярную компоненты фундаментальной матрицы гиперболической системы. Изучена детальная структура матриц Римана. В [3 - 5] этот математический аппарат применен к анализу асимптотического поведения решений задачи Коши. В частности, в [4] построен оператор монодромии системы указанного в названии класса, получены спектральные признаки устойчивости и дихотомии; в прострaнcтвенно-однородном случае вычислена резольвента оператора монодромии, получено конструктивное описание его спектра.
В [6, 7] предложен подход к анализу устойчивости решений краевых задач для одномерной гиперболической системы на основе прямого метода Ляпунова: в [6] - для задачи Коши, в [7] - для смешанной задачи, встречающейся в акустике, химической кинетике. В [7] получено приложение к анализу устойчивости стационарных режимов в химических реакторах.
Данный доклад - продолжение [6, 7]. Рассматривается, как и в [4], задача Коши для системы указанного в названии класса. Построен вариант прямого метода Ляпунова, в котором условие на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы существенно ослаблено по сравнению с общей ситуацией в [6].
Рассмотрим гладкий гиперболический оператор с кратными хаpaктеристиками
.
Здесь
- единичная матрица порядка . Будем предполагать
1) A, B периодичны по t с периодом T>0;
2) ограничены в .
Обозначим H линеал гладких финитных функций .
Задача Коши
(1)
однозначно разрешима в классе гладких функций и при каждом . Введем в H скалярное произведение и норму формулами . Зафиксируем гладкую ограниченную вместе с производными первого порядка матрицу порядка N со свойствами
(2)
и определим функционал
равенством
.
Производная функционала вдоль траекторий системы (1) дается формулой
.
ТЕОРЕМА. Пусть существует матрица со свойствами (2) такая, что
1º) в полуплоскости ;
2º) хотя бы на одной прямой .
Тогда решение системы (1) экспоненциально устойчиво: существуют постоянные такие, что для любого решения
. (3)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим разрешающий оператор задачи Коши (1). Из формулы для решения задачи Коши в [1] следует: - линейный ограниченный (при фиксированных ) оператор , гладкий по в операторной топологии, при этом выполняется равенство (свойство стационарности на периоде)
(4)
1. Пусть условия 1º, 2º выполняются при . Имеем для значений на любом решении u(x,t) равенства
.
Условия 1º, 2º дают:
(5)
при некотором t≥0.
Из второго неравенства (5) легко получить: существует t0>0 такое, что
(6)
Зафиксируем период ; с учетом (6) и первого неравенства (5) имеем: число
(7)
Далее, из (4) вытекает равенство
(8)
Из (7), (8) с учетом априорной оценки для решения задачи Коши (1) вытекает для решений (1) оценка (3) с константой .
2. В общем случае замена Ляпунова где - эрмитово-положительный корень из , приводит к ситуации пункта 1.
Заметим, что требования 1º, 2º на существенно слабее, чем в аналогичной ситуации в [6] для систем с любыми гладкими коэффициентами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Романовский Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода// Докл. АН СССР 1982. Т. 267, №3. С. 577 - 580.
- Романовский Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода// Мат. сб. 1985. Т. 127, №4. С. 494 - 501.
- Романовский Р.К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными// Мат. сб. 1987. Т. 133, №3. С. 341 - 355.
- Романовский Р.К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами// В книге: Применение методов функционального анализа к задачам математической физики. Киев: Изд. ИМ АН УССР 1987. С. 47 - 52.
- Романовский Р.К. Усреднение гиперболических уравнений// Докл. АН СССР 1989. Т. 306, №2. С. 286 - 289.
- Воробьева Е.В., Романовский Р.К. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболической системы с двумя независимыми переменными// Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, №6. С. 1290 - 1292.
- Романовский Р.К., Воробьева Е.В., И.Д. Макарова. Об устойчивости решений смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы на плоскости// Сиб. журн. индустриальной математики 2003. Т. VI, №1. С. 118 - 124.
Статья в формате PDF
207 KB...
22 05 2026 4:52:24
Статья в формате PDF
102 KB...
21 05 2026 13:57:10
Статья в формате PDF
114 KB...
20 05 2026 15:36:13
Статья в формате PDF
123 KB...
19 05 2026 21:35:22
Статья в формате PDF
107 KB...
18 05 2026 14:32:45
Статья в формате PDF
107 KB...
17 05 2026 1:37:42
Статья в формате PDF
266 KB...
16 05 2026 21:22:15
Статья в формате PDF
103 KB...
15 05 2026 10:16:58
Статья в формате PDF
240 KB...
14 05 2026 6:25:12
Статья в формате PDF
367 KB...
13 05 2026 19:49:13
Статья в формате PDF
268 KB...
12 05 2026 2:39:33
Статья в формате PDF
133 KB...
11 05 2026 4:36:36
Статья в формате PDF
96 KB...
09 05 2026 23:51:16
Статья в формате PDF
119 KB...
07 05 2026 22:45:33
Предлагается феноменологическое описание фазовых переходов в полигональных квазикристаллах, учитывающее собственную симметрию линейных фазонных и фононных деформаций. Определено представление группы этой симметрии, рассчитан базис инвариантов, построен типичный термодинамический потенциал и проведена симметрийная классификация решений уравнений состояния.
...
06 05 2026 21:40:49
Статья в формате PDF
104 KB...
05 05 2026 1:36:11
Статья в формате PDF
310 KB...
04 05 2026 2:51:13
Статья в формате PDF
150 KB...
03 05 2026 9:14:13
Статья в формате PDF
123 KB...
30 04 2026 13:52:35
Статья в формате PDF
56 KB...
28 04 2026 0:41:15
Статья в формате PDF
126 KB...
27 04 2026 19:58:36
Статья в формате PDF
87 KB...
26 04 2026 0:10:58
Исследованы особенности взаимосвязи увеличения массы и продольных размеров тела и его частей у здоровых новорожденных (535), детей с задержкой внутриутробного развития (938) и 221 детей с отставанием в росте одной из нижних конечностей. Использованы методы антропометрии детей, ультразвуковое исследование плода и оценка психического развития дошкольников. В этих группах обследуемых выявлены хаpaктерные различия динамики продольных размеров тела, отнесенных к его массе. Показано, что церебральный тип конституции появляется у детей при отсутствии диспластической задержки роста тела. Для успешного психического развития дошкольников благоприятны не максимальные, а средние размеры тела детей.
...
25 04 2026 12:49:42
Обсуждается проблемы разбиения и структурирования прострaнcтва, формирования структурных модулей, которые предназначены для конструирования модульных 3D структур кристаллов.
...
24 04 2026 19:12:12
Статья в формате PDF
102 KB...
22 04 2026 7:42:53
Статья в формате PDF
384 KB...
21 04 2026 6:57:33
Статья в формате PDF
207 KB...
19 04 2026 6:36:13
Статья в формате PDF
106 KB...
18 04 2026 8:31:11
Статья в формате PDF
175 KB...
17 04 2026 14:48:52
Статья в формате PDF
105 KB...
16 04 2026 17:31:20
Статья в формате PDF
103 KB...
15 04 2026 0:36:33
Статья в формате PDF
97 KB...
14 04 2026 23:38:18
Статья в формате PDF
132 KB...
13 04 2026 14:51:24
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
