ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ (2,1)-МЕТОДА ПЕРЕМЕННОГО ШАГА
Предложен параллельный алгоритм переменного шага на основе (2,1)-метода. В предлагаемом параллельном алгоритме изменение величины шага построено на основе контроля точности численной схемы.
В настоящее время одним из основных параметром, хаpaктеризующих эффективность использования вычислительной техники в науке и технологии, являются математические модели и численные методы, применяемые при создании программ для реализации исследований и расчетов по этим моделям. Моделирование процессов во многие важных приложениях приводит к необходимости численного решения задачи Коши для умеренно жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений [1, 2].
Рассматривается задача Коши для автономной системы обыкновенных дифференциаль ных уравнений первого порядка
(1)
где y:[t0, tk] → RN, f:[t0, tk]×RN → RN, [t0, tk] - отрезок интегрирования. Для численного решения (1) применим схему (2,1)-метода
(2)
где коэффициенты a, p1 и p2 определяют свойства точности и устойчивости схемы (2), h - шаг интегрирования, fn′ = ∂f(yn)/∂y - матрица Якоби системы (1). Будем считать, что (1) имеет единственное решение. Пусть известны условия для контроля точности вычислений, именно p1 + p2 = 1 и ap1 + 2ap2 = 0,5, . Изменение величины шага основано на оценке локальной ошибки δn. Учитывая соотношение, , новый шаг hnew определяем по формуле hnew = qh, где значение q находится из уравнения q2||δn|| = ε. Если q < 1, то осуществляем повторное вычисление решения с шагом h = hnew. При q > 1 выполняем следующий шаг интегрирования с шагом hnew. Введем функции Par_LU_Decompos(), Par_LU_Solution(), реализующие декомпозицию матрицы Dn и нахождение векторов , . Для контроля точности численной схемы (2) введем функцию accur_control (), для выполнения которой назначим процессор proc(1). Параллельный алгоритм вычисления приближенного решения y(n+1) переменного шага формулируем следующим образом.
Алгоритм. Пусть для численного решения системы (1) используется (2.1)-метод с контролем точности, и известно решение y(n) в точке tn с шагом hn. Тогда для получения значения y(n+1) в точке tn+1 справедлив параллельный алгоритм, в котором на каждом процессоре proc(j) формируется своя j-я часть вектора решения.
Шаг 1. В каждом proc(j), 1 ≤ j ≤ p; (j-1) s + 1 ≤ sj ≤ j⋅s: выполнить recv(, h; 1,..., p), вычислить и матрицу Якоби Jj, 1 ≤ j ≤ p.
Шаг 2. Сформировать матрицу .
Шаг 3. Разложить матрицу Dn, Dn = Par_LU_Decompos().
Шаг 4. Вычислить ,
.
Шаг 5. Вычислить ,
Шаг 6. В каждом proc(j), 1 ≤ j ≤ p;
(j-1)⋅s +1 ≤ sj ≤ j⋅s:
определить
,
и выполнить .
Шаг 7. В proc(1): выполнить accur_control () и, если необходимо, вывести вектор y(n+1).
Шаг 8. В каждом proc(j), 1 ≤ j » p;
(j-1)⋅s +1 ≤ sj ≤ j⋅s:
вычислить
и выполнить .
Шаг 9. Выполнить следующий шаг интегрирования.
Как показывают теоретические и пpaктические расчеты, выполняемые на кластере ИВМ СО РАН [3] показывают, что основные вычислительные затраты связаны с реализацией
LU-факторизации и последующем решении систем для определения шаговых коэффициентов.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ проект №11-01-00106.
Список литературы
- Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. - Новосибирск: Наука, 1997.
- Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. - М.: Мир, 1999.
- Исаев С.В., Малышев А.В., Шайдуров В.В. Развитие Красноярского центра параллельных вычислений // Вычислительные технологии. - 2006. - №11. - С. 28-33.
Статья в формате PDF
174 KB...
04 11 2026 3:32:34
Статья в формате PDF
112 KB...
03 11 2026 6:50:57
Статья в формате PDF
305 KB...
01 11 2026 15:38:45
Статья в формате PDF
105 KB...
31 10 2026 16:24:21
Применение большого спектра фармакологических препаратов, как природного происхождения, так и синтезированных требует создания стабильных условий, которые необходимы лечащему врачу при проведении все более усложняющихся ступеней вмешательства человека взаимодействие среды и живого организма. Неизбежным следствием применения лекарственных препаратов без учета механизма действия на структурно-функциональные свойства мембранных взаимодействий, является развитие побочных реакций, отличающихся по своей природе, тяжести клинических проявлений и скорости нарастания.
...
30 10 2026 9:30:50
Статья в формате PDF
115 KB...
29 10 2026 10:25:42
Статья в формате PDF
109 KB...
28 10 2026 9:53:33
Статья в формате PDF
104 KB...
27 10 2026 20:41:30
Статья в формате PDF
114 KB...
25 10 2026 2:40:43
Статья в формате PDF
115 KB...
23 10 2026 10:17:55
Статья в формате PDF
116 KB...
22 10 2026 1:43:10
Статья в формате PDF
101 KB...
20 10 2026 12:27:41
Статья в формате PDF
101 KB...
19 10 2026 3:25:59
Статья в формате PDF
477 KB...
18 10 2026 7:18:27
Статья в формате PDF
113 KB...
15 10 2026 21:49:42
Статья в формате PDF
119 KB...
13 10 2026 16:35:21
Статья в формате PDF
118 KB...
12 10 2026 16:50:11
В работе изучено противоболевое действие аспирина, ацетилсалицилатов кобальта и цинка в сверхмалых дозах (40·10–8, 40·10–10, 40·10–13 мг/кг). Все тестируемые соединения оказывали аналгетический эффект, наибольший – обнаружен при действии ацетилсалицилата цинка в дозе 40·10–8 мг/кг. Установлен аналгетический эффект ацетилсалицилата кобальта в сверхмалых дозах, не хаpaктерный для его терапевтической дозы (40 мг/кг). Оказалось, что ацетилсалицилаты кобальта и цинка в дозе 40·10–8 мг/кг превосходили по противоболевой эффективности аспирин в терапевтической и сверхмалых дозах.
...
09 10 2026 0:43:10
На основе анализа литературных источников показана необходимость создания эффективных методов переработки руд цветных металлов. Описано отрицательное воздействие горнообогатительного производства на окружающую среду. Рассмотрены проблемы освоения месторождений сырья и предложены пути их решения. Приведена схема рационального освоения минеральных ресурсов рудного месторождения с применением разрядноимпульсных методов. Обоснована возможность использования разрядноимпульсных воздействий в обогатительных процессах, что позволит повысить полноту извлечения полезных компонентов при переработке минерального сырья. Выделены ограничения применения импульсных методов. Установлено, что разрядноимпульсные методы интенсифицируют избирательное раскрытие минеральных ассоциаций во всем диапазоне исходных классов крупности. Эти методы эффективны в комбинированных схемах переработки труднообогатимых руд сложного состава. Применение комбинированных схем позволит сократить на 10–15 % время измельчения до выхода контрольного класса.
...
08 10 2026 12:33:23
Статья в формате PDF
732 KB...
07 10 2026 23:20:58
Статья в формате PDF
189 KB...
06 10 2026 9:18:43
Статья в формате PDF
205 KB...
05 10 2026 12:29:10
Статья в формате PDF
111 KB...
04 10 2026 14:58:19
Статья в формате PDF
133 KB...
03 10 2026 8:53:46
Статья в формате PDF
111 KB...
02 10 2026 20:24:45
Статья в формате PDF
109 KB...
01 10 2026 12:11:24
Статья в формате PDF
90 KB...
30 09 2026 21:16:18
Статья в формате PDF
257 KB...
29 09 2026 3:31:15
На основе представлений о системности мироустройства и о прострaнcтве, как онтологической, непрерывной безмассовой вихревой среде даны определения основных физических понятий (материя, масса, заряд, энергия и т.д.). Физические параметры среды определяют закономерность существования единственной материальной частицы - носителе массы и заряда, названной массон (единство физических представлений об электроне, позитроне и заряде). В соответствии с природными правилами структурирования первочастиц из 273 и 207 массонов формируются гексагональные структуры, соответственно, пи-, и мю-мезонов, а из 7 этих частиц построены нуклоны. Объяснены ядерные силы и свойства всех частиц.
...
28 09 2026 22:43:40
Статья в формате PDF
86 KB...
27 09 2026 2:59:17
Статья в формате PDF
294 KB...
26 09 2026 9:19:55
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
