ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ (2,1)-МЕТОДА ПЕРЕМЕННОГО ШАГА

Авторы
Файлы

Ващенко Г.В. Статья в формате PDF 505 KB

Предложен параллельный алгоритм переменного шага на основе (2,1)-метода. В предлагаемом параллельном алгоритме изменение величины шага построено на основе контроля точности численной схемы.

В настоящее время одним из основных параметром, хаpaктеризующих эффективность использования вычислительной техники в науке и технологии, являются математические модели и численные методы, применяемые при создании программ для реализации исследований и расчетов по этим моделям. Моделирование процессов во многие важных приложениях приводит к необходимости численного решения задачи Коши для умеренно жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений [1, 2].

Рассматривается задача Коши для автономной системы обыкновенных дифференциаль ных уравнений первого порядка

(1)

где y:[t₀, t_k] → R^N, f:[t₀, t_k]×R^N → R^N, [t₀, t_k] - отрезок интегрирования. Для численного решения (1) применим схему (2,1)-метода

(2)

где коэффициенты a, p₁ и p₂ определяют свойства точности и устойчивости схемы (2), h - шаг интегрирования, f_n′ = ∂f(y_n)/∂y - матрица Якоби системы (1). Будем считать, что (1) имеет единственное решение. Пусть известны условия для контроля точности вычислений, именно p₁ + p₂ = 1 и ap₁ + 2ap₂ = 0,5, . Изменение величины шага основано на оценке локальной ошибки δ_n. Учитывая соотношение, , новый шаг h_new определяем по формуле h_new = qh, где значение q находится из уравнения q²||δ_n|| = ε. Если q < 1, то осуществляем повторное вычисление решения с шагом h = h_new. При q > 1 выполняем следующий шаг интегрирования с шагом h_new. Введем функции Par_LU_Decompos(), Par_LU_Solution(), реализующие декомпозицию матрицы Dn и нахождение векторов , . Для контроля точности численной схемы (2) введем функцию accur_control (), для выполнения которой назначим процессор proc(1). Параллельный алгоритм вычисления приближенного решения y⁽ⁿ⁺¹⁾ переменного шага формулируем следующим образом.

Алгоритм. Пусть для численного решения системы (1) используется (2.1)-метод с контролем точности, и известно решение y⁽ⁿ⁾ в точке t_n с шагом h_n. Тогда для получения значения y⁽ⁿ⁺¹⁾ в точке t_n+1 справедлив параллельный алгоритм, в котором на каждом процессоре proc(j) формируется своя j-я часть вектора решения.

Шаг 1. В каждом proc(j), 1 ≤ j ≤ p; (j-1) s + 1 ≤ s_j ≤ j⋅s: выполнить recv(, h; 1,..., p), вычислить и матрицу Якоби J_j, 1 ≤ j ≤ p.

Шаг 2. Сформировать матрицу .

Шаг 3. Разложить матрицу D_n, D_n = Par_LU_Decompos().

Шаг 4. Вычислить ,

Шаг 5. Вычислить ,

Шаг 6. В каждом proc(j), 1 ≤ j ≤ p;

(j-1)⋅s +1 ≤ sj ≤ j⋅s:

определить

и выполнить .

Шаг 7. В proc(1): выполнить accur_control () и, если необходимо, вывести вектор y^(n+1).

Шаг 8. В каждом proc(j), 1 ≤ j » p;

(j-1)⋅s +1 ≤ sj ≤ j⋅s:

вычислить

и выполнить .

Шаг 9. Выполнить следующий шаг интегрирования.

Как показывают теоретические и пpaктические расчеты, выполняемые на кластере ИВМ СО РАН [3] показывают, что основные вычислительные затраты связаны с реализацией
LU-факторизации и последующем решении систем для определения шаговых коэффициентов.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ проект №11-01-00106.

Список литературы

Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. - Новосибирск: Наука, 1997.
Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. - М.: Мир, 1999.
Исаев С.В., Малышев А.В., Шайдуров В.В. Развитие Красноярского центра параллельных вычислений // Вычислительные технологии. - 2006. - №11. - С. 28-33.

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ В МЕЖСИСТЕМНОМ КОМПЛЕКСЕ «ОБЩЕСТВО–ПРИ¬РОДА»

Статья в формате PDF 129 KB...

12 04 2026 11:44:43

МЕТОД ФРИКЦИОННО-ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО МОДИФИЦИРОВАНИЯ СТАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТРЕНИЯ

Статья в формате PDF 261 KB...

11 04 2026 11:40:54

ТВОРЧЕСКОЕ ВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕКОТОРЫХ МУЗЫКАЛЬНЫХ ТРАДИЦИЙ КАК ОДИН ИЗ ИСТОЧНИКОВ ФОРМИРОВАНИЯ РЕПЕРТУАРА КОЛЛЕКТИВА НАРОДНОЙ ПЕСНИ

Статья в формате PDF 135 KB...

10 04 2026 9:10:19

КИСЛОТНО-ЩЕЛОЧНОЙ БАЛАНС У ЖИВОТНЫХ НА РАННИХ ЭТАПАХ ОНТОГЕНЕЗА

Статья в формате PDF 111 KB...

09 04 2026 1:11:18

РАЗРАБОТКА СИСТЕМЫ ОЦЕНКИ ТЯЖЕСТИ СОСТОЯНИЯ БОЛЬНЫХ ОСТРЫМ ПАНКРЕАТИТОМ

Статья в формате PDF 119 KB...

08 04 2026 9:32:45

НАПРАВЛЕННОСТЬ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕКИСНОГО ОКИСЛЕНИЯ ФУРАНОВЫХ СОЕДИНЕНИЙ РАЗЛИЧНОГО СТРОЕНИЯ

Статья в формате PDF 129 KB...

07 04 2026 16:47:24

О НЕКОТОРЫХ ПОПУЛЯЦИОННО-ДЕМОГРАФИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ НАСЕЛЕНИЯ БЕЛГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ

Статья в формате PDF 132 KB...

06 04 2026 2:45:57

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОМАТОТИПА ЧЕЛОВЕКА

Статья в формате PDF 315 KB...

05 04 2026 22:38:26

ЗНАЧЕНИЕ ПРООКСИДАНТНОЙ И АНТИОКСИДАНТНОЙ СИСТЕМЫ У БОЛЬНЫХ ПИЩЕВЫМИ ТОКСИКОИНФЕКЦИЯМИ

Статья в формате PDF 125 KB...

04 04 2026 4:31:23

Возможности мониторинга адаптации системы внешнего дыхания человека к действию экологических факторов

Статья в формате PDF 115 KB...

03 04 2026 18:28:20

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СРЕДЫ MATHCAD ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ В КУРСЕ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Статья в формате PDF 101 KB...

02 04 2026 15:45:10

БАЗОВЫЕ ФОРМЫ ОВЛАДЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬЮ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ БИОЛОГИИ»

Статья в формате PDF 116 KB...

01 04 2026 13:32:32

СОВРЕМЕННЫЕ ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ ХИМИЧЕСКИХ НАУК

Статья в формате PDF 173 KB...

31 03 2026 16:39:14

ДЕЙСТВИЕ ИНТЕРЛЕЙКИНА-4 НА ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НЕЙТРОФИЛЬНЫХ ГРАНУЛОЦИТОВ

Статья в формате PDF 92 KB...

30 03 2026 12:39:13

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И СИСТЕМНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ В ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЯХ

Статья в формате PDF 171 KB...

29 03 2026 16:53:13

НАПРАВЛЕНИЯ РЕФОРМИРОВАНИЯ ИНСТРУМЕНТОВ РЕАЛИЗАЦИИ МЕЖБЮДЖЕТНЫХ ОТНОШЕНИЙ НА РЕГИОНАЛЬНОМ И МЕСТНОМ УРОВНЕ

Статья в формате PDF 136 KB...

28 03 2026 2:53:47

Расчет трaнcдермальной абсорбции компонентов минеральных растворов в роговом слое эпидермиса

Статья в формате PDF 103 KB...

27 03 2026 21:57:55

БИОЛОГИЧЕСКАЯ НОРМА ОРТОГНАТИЧЕСКОГО ПРИКУСА (монография)

Статья в формате PDF 111 KB...

26 03 2026 7:39:28

АППАРАТНО-ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ УПРАВЛЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫМИ АППАРАТАМИ

Статья в формате PDF 107 KB...

25 03 2026 15:30:11

ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ВЫРАЩИВАНИЯ СОРГО В УСЛОВИЯХ АСТРАХАНСКОЙ ОБЛАСТИ

В обзорной статье рассмотрены основные элементы энергосберегающей технологии возделывания сорго в условиях Астpaxaнской области, к которым относятся: подготовка семян к посеву, севооборот, подбор сортов, нормы высева и способы посева, минеральные подкормки, борьба с сорными растениями и болезнями с помощью внесение гербицидов, орошение по фазам роста и развития, с помощью дождевания наименее энергозатратных агрегатов. ...