ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ (2,1)-МЕТОДА ПЕРЕМЕННОГО ШАГА

Авторы
Файлы

Ващенко Г.В. Статья в формате PDF 505 KB

Предложен параллельный алгоритм переменного шага на основе (2,1)-метода. В предлагаемом параллельном алгоритме изменение величины шага построено на основе контроля точности численной схемы.

В настоящее время одним из основных параметром, хаpaктеризующих эффективность использования вычислительной техники в науке и технологии, являются математические модели и численные методы, применяемые при создании программ для реализации исследований и расчетов по этим моделям. Моделирование процессов во многие важных приложениях приводит к необходимости численного решения задачи Коши для умеренно жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений [1, 2].

Рассматривается задача Коши для автономной системы обыкновенных дифференциаль ных уравнений первого порядка

(1)

где y:[t₀, t_k] → R^N, f:[t₀, t_k]×R^N → R^N, [t₀, t_k] - отрезок интегрирования. Для численного решения (1) применим схему (2,1)-метода

(2)

где коэффициенты a, p₁ и p₂ определяют свойства точности и устойчивости схемы (2), h - шаг интегрирования, f_n′ = ∂f(y_n)/∂y - матрица Якоби системы (1). Будем считать, что (1) имеет единственное решение. Пусть известны условия для контроля точности вычислений, именно p₁ + p₂ = 1 и ap₁ + 2ap₂ = 0,5, . Изменение величины шага основано на оценке локальной ошибки δ_n. Учитывая соотношение, , новый шаг h_new определяем по формуле h_new = qh, где значение q находится из уравнения q²||δ_n|| = ε. Если q < 1, то осуществляем повторное вычисление решения с шагом h = h_new. При q > 1 выполняем следующий шаг интегрирования с шагом h_new. Введем функции Par_LU_Decompos(), Par_LU_Solution(), реализующие декомпозицию матрицы Dn и нахождение векторов , . Для контроля точности численной схемы (2) введем функцию accur_control (), для выполнения которой назначим процессор proc(1). Параллельный алгоритм вычисления приближенного решения y⁽ⁿ⁺¹⁾ переменного шага формулируем следующим образом.

Алгоритм. Пусть для численного решения системы (1) используется (2.1)-метод с контролем точности, и известно решение y⁽ⁿ⁾ в точке t_n с шагом h_n. Тогда для получения значения y⁽ⁿ⁺¹⁾ в точке t_n+1 справедлив параллельный алгоритм, в котором на каждом процессоре proc(j) формируется своя j-я часть вектора решения.

Шаг 1. В каждом proc(j), 1 ≤ j ≤ p; (j-1) s + 1 ≤ s_j ≤ j⋅s: выполнить recv(, h; 1,..., p), вычислить и матрицу Якоби J_j, 1 ≤ j ≤ p.

Шаг 2. Сформировать матрицу .

Шаг 3. Разложить матрицу D_n, D_n = Par_LU_Decompos().

Шаг 4. Вычислить ,

Шаг 5. Вычислить ,

Шаг 6. В каждом proc(j), 1 ≤ j ≤ p;

(j-1)⋅s +1 ≤ sj ≤ j⋅s:

определить

и выполнить .

Шаг 7. В proc(1): выполнить accur_control () и, если необходимо, вывести вектор y^(n+1).

Шаг 8. В каждом proc(j), 1 ≤ j » p;

(j-1)⋅s +1 ≤ sj ≤ j⋅s:

вычислить

и выполнить .

Шаг 9. Выполнить следующий шаг интегрирования.

Как показывают теоретические и пpaктические расчеты, выполняемые на кластере ИВМ СО РАН [3] показывают, что основные вычислительные затраты связаны с реализацией
LU-факторизации и последующем решении систем для определения шаговых коэффициентов.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ проект №11-01-00106.

Список литературы

Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. - Новосибирск: Наука, 1997.
Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. - М.: Мир, 1999.
Исаев С.В., Малышев А.В., Шайдуров В.В. Развитие Красноярского центра параллельных вычислений // Вычислительные технологии. - 2006. - №11. - С. 28-33.

ИЗУЧЕНИЕ ВЛИЯНИЯ ПИЩЕВОЙ ДОБАВКИ ХИТОЗОЛЬ НА БИОЛОГИЧЕСКУЮ АКТИВНОСТЬ ИНФУЗОРИЙ TETRAHYMENA PYRIFORMIS И ПРОЯВЛЕНИЕ ПРИЗНАКОВ ХРОНИЧЕСКОГО ДЕРМАТИТА У МЫШЕЙ CBRB

Статья в формате PDF 130 KB...

12 06 2026 10:45:46

СТРУКТУРНЫЕ ОСОБЕННОСТИ УРОКА ИЗОБРАЗИТЕЛЬНОГО ИСКУССТВА

Статья в формате PDF 236 KB...

11 06 2026 9:57:17

СООТНОШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ТРОМБОЦИТАРНОГО И ПЛАЗМЕННОГО ГЕМОСТАЗА У БОЛЬНЫХ Β1+ Β2-АДРЕНОЗАВИСИМЫМ ТИПОМ ГИПЕРТОНИЧЕСКОЙ БОЛЕЗНИ

Статья в формате PDF 115 KB...

10 06 2026 15:10:54

СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ ГИДРОГРАФО – ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ МОРСКИХ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫХ РАБОТ

В статье обсуждаются последние достижения технологий гидрографических и геодезических съемок, таких как дифференциальная система GPS/ГЛОНАСС субметровой точности определения положения на поверхности моря, интегрированная DGPS с гидроакустической системой HPR для определения положения под водой, многолучевые эхолоты, гидролокаторы бокового обзора; морские датчики движения, специально разработанные для высокоточного измерения перемещений в море для пользователей, требующих высокой точности измерений дифферента, крена и перемещений по высоте. Аэролазерная батиметрия имеет значительный потенциал для замены эхолота при измерении глубин. Отмечено, что ROV (буксируемые подводные аппараты) и AUV (автономные подводные аппараты) становятся технически и экономически более выгодной платформой для съемки в специальных применениях и в будущем станут широко использующейся техникой. ...

09 06 2026 16:24:52

БИОХИМИЧЕСКАЯ ДЕГРАДАЦИЯ АЛИФАТИЧЕСКИХ И АРОМАТИЧЕСКИХ АМИНОВ

Статья в формате PDF 97 KB...

08 06 2026 7:27:53

ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ИНТЕНСИВНОСТИ НАГРЕВА МЕТАЛЛА ДЛЯ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕЖИМОВ РАБОТЫ ЭЛЕКТРОПЕЧНЫХ АГРЕГАТОВ

В статье даются разъяснения к применению зависимости коэффициента интенсивности нагрева (kи.н) металла от тока электрода с целью обеспечения оптимальных электрических и технологических показателей работы электропечных агрегатов для случаев экранированного и неэкранированного горения дуг. Представлено соспоставление скорости нагрева металла и kи.н для двух указанных случаев. ...

07 06 2026 19:34:20

О ДИНАМИКЕ ЭКЗОГЕННЫХ ПРОЦЕССОВ И ЭКОЛОГИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМАХ В ДОЛИНАХ ПРЕДГОРИЙ И НИЗКОГОРИЙ АЛТАЯ В УСЛОВИЯХ ПОТЕПЛЕНИЯ КЛИМАТА

Статья в формате PDF 228 KB...

06 06 2026 23:12:24

НАРУШЕНИЯ ЦЕНТРАЛЬНОЙ НЕРВНОЙ СИСТЕМЫ И ОРГАНОВ ЧУВСТВ СРЕДИ ПОПУЛЯЦИИ МУГАНСКОЙ ЗОНЫ АЗЕРБАЙДЖАНА

Среди населения Муганской зоны Азербайджана проведены медико-генетические исследования по выявлению нарушений ЦНС и органов чувств, установлены типы наследования патологий. Путем цитогенетического анализа идентифицированы кариотипы больных синдромом Клайнфельтера. Среди 352 больных с 21 наследственными и врожденными заболеваниями большая часть приходится на моногенные патологии с аутосомно-рецессивным типом наследования, что объясняется кровнородственными бpaками среди родителей пробандов. ...