ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ (2,1)-МЕТОДА ПЕРЕМЕННОГО ШАГА
Предложен параллельный алгоритм переменного шага на основе (2,1)-метода. В предлагаемом параллельном алгоритме изменение величины шага построено на основе контроля точности численной схемы.
В настоящее время одним из основных параметром, хаpaктеризующих эффективность использования вычислительной техники в науке и технологии, являются математические модели и численные методы, применяемые при создании программ для реализации исследований и расчетов по этим моделям. Моделирование процессов во многие важных приложениях приводит к необходимости численного решения задачи Коши для умеренно жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений [1, 2].
Рассматривается задача Коши для автономной системы обыкновенных дифференциаль ных уравнений первого порядка
(1)
где y:[t0, tk] → RN, f:[t0, tk]×RN → RN, [t0, tk] - отрезок интегрирования. Для численного решения (1) применим схему (2,1)-метода
(2)
где коэффициенты a, p1 и p2 определяют свойства точности и устойчивости схемы (2), h - шаг интегрирования, fn′ = ∂f(yn)/∂y - матрица Якоби системы (1). Будем считать, что (1) имеет единственное решение. Пусть известны условия для контроля точности вычислений, именно p1 + p2 = 1 и ap1 + 2ap2 = 0,5, . Изменение величины шага основано на оценке локальной ошибки δn. Учитывая соотношение, , новый шаг hnew определяем по формуле hnew = qh, где значение q находится из уравнения q2||δn|| = ε. Если q < 1, то осуществляем повторное вычисление решения с шагом h = hnew. При q > 1 выполняем следующий шаг интегрирования с шагом hnew. Введем функции Par_LU_Decompos(), Par_LU_Solution(), реализующие декомпозицию матрицы Dn и нахождение векторов , . Для контроля точности численной схемы (2) введем функцию accur_control (), для выполнения которой назначим процессор proc(1). Параллельный алгоритм вычисления приближенного решения y(n+1) переменного шага формулируем следующим образом.
Алгоритм. Пусть для численного решения системы (1) используется (2.1)-метод с контролем точности, и известно решение y(n) в точке tn с шагом hn. Тогда для получения значения y(n+1) в точке tn+1 справедлив параллельный алгоритм, в котором на каждом процессоре proc(j) формируется своя j-я часть вектора решения.
Шаг 1. В каждом proc(j), 1 ≤ j ≤ p; (j-1) s + 1 ≤ sj ≤ j⋅s: выполнить recv(, h; 1,..., p), вычислить и матрицу Якоби Jj, 1 ≤ j ≤ p.
Шаг 2. Сформировать матрицу .
Шаг 3. Разложить матрицу Dn, Dn = Par_LU_Decompos().
Шаг 4. Вычислить ,
.
Шаг 5. Вычислить ,
Шаг 6. В каждом proc(j), 1 ≤ j ≤ p;
(j-1)⋅s +1 ≤ sj ≤ j⋅s:
определить
,
и выполнить .
Шаг 7. В proc(1): выполнить accur_control () и, если необходимо, вывести вектор y(n+1).
Шаг 8. В каждом proc(j), 1 ≤ j » p;
(j-1)⋅s +1 ≤ sj ≤ j⋅s:
вычислить
и выполнить .
Шаг 9. Выполнить следующий шаг интегрирования.
Как показывают теоретические и пpaктические расчеты, выполняемые на кластере ИВМ СО РАН [3] показывают, что основные вычислительные затраты связаны с реализацией
LU-факторизации и последующем решении систем для определения шаговых коэффициентов.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ проект №11-01-00106.
Список литературы
- Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. - Новосибирск: Наука, 1997.
- Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. - М.: Мир, 1999.
- Исаев С.В., Малышев А.В., Шайдуров В.В. Развитие Красноярского центра параллельных вычислений // Вычислительные технологии. - 2006. - №11. - С. 28-33.
Статья в формате PDF
114 KB...
23 05 2026 20:35:47
Статья в формате PDF
99 KB...
22 05 2026 15:47:18
Статья в формате PDF
103 KB...
19 05 2026 15:40:13
Проанализированы изменения теплового состояния грунтов при техногенных воздействиях. Выявлено значительное повышение среднегодовой температуры верхних горизонтов криолитозоны и увеличение глубины сезонного протаивания при вырубке леса и удалении напочвенного покрова, вырубке леса на гарях в межаласном типе местности. Количественно оценена динамика среднегодовой температуры грунтов на разнорежимных вырубках, на гарях в зависимости от стадий сукцессионного развития растительности.
...
18 05 2026 21:23:59
Статья в формате PDF
132 KB...
15 05 2026 20:23:33
Статья в формате PDF
140 KB...
14 05 2026 23:22:32
Статья в формате PDF
99 KB...
12 05 2026 0:15:11
Статья в формате PDF
101 KB...
11 05 2026 13:23:22
Статья в формате PDF
58 KB...
10 05 2026 0:25:24
Статья в формате PDF
253 KB...
09 05 2026 3:59:45
Статья в формате PDF
303 KB...
08 05 2026 1:16:11
Статья в формате PDF
243 KB...
07 05 2026 0:17:28
Статья в формате PDF
148 KB...
06 05 2026 10:49:54
Статья в формате PDF
129 KB...
05 05 2026 23:59:34
Статья в формате PDF
121 KB...
04 05 2026 17:36:46
Статья в формате PDF
115 KB...
03 05 2026 20:15:29
Статья в формате PDF
108 KB...
02 05 2026 5:45:26
Статья в формате PDF
113 KB...
01 05 2026 10:23:45
Статья в формате PDF
118 KB...
30 04 2026 22:44:38
Статья в формате PDF
138 KB...
29 04 2026 2:34:26
Выявлены особенности распределения элементов в системе породы-почвы в результате почвообразовательного процесса в горно-лесных бурых почвах.
...
28 04 2026 3:19:53
Основным направлением совершенствования межбюджетных отношений является достижение сбалансированности бюджетов различных уровней, что, в свою очередь, позволит регионам активно используя потенциал всех форм собственности, иметь самостоятельную базу финансовых ресурсов как основу саморазвития и самообеспечения воспроизводственного процесса.
...
27 04 2026 15:41:48
Статья в формате PDF
154 KB...
25 04 2026 16:22:45
Статья в формате PDF
175 KB...
24 04 2026 10:22:22
Статья в формате PDF
151 KB...
22 04 2026 23:16:43
Статья в формате PDF
111 KB...
21 04 2026 8:46:13
В статье приведены данные оценки экологического состояния атмосферной среды Промышленного района города Ставрополя, с помощью методов лихеноиндикации. Исследованиями были охвачены придорожные лесополосы проспекта Кулакова и улицы Доваторцев и лесной массив – «Русский лес».
...
19 04 2026 6:32:58
Статья в формате PDF
97 KB...
18 04 2026 12:28:36
Статья в формате PDF
253 KB...
17 04 2026 23:55:34
Статья в формате PDF
104 KB...
16 04 2026 15:59:48
Статья в формате PDF
135 KB...
15 04 2026 5:40:36
Статья в формате PDF
129 KB...
14 04 2026 16:15:20
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
