ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ (2,1)-МЕТОДА ПЕРЕМЕННОГО ШАГА

Авторы
Файлы

Ващенко Г.В. Статья в формате PDF 505 KB

Предложен параллельный алгоритм переменного шага на основе (2,1)-метода. В предлагаемом параллельном алгоритме изменение величины шага построено на основе контроля точности численной схемы.

В настоящее время одним из основных параметром, хаpaктеризующих эффективность использования вычислительной техники в науке и технологии, являются математические модели и численные методы, применяемые при создании программ для реализации исследований и расчетов по этим моделям. Моделирование процессов во многие важных приложениях приводит к необходимости численного решения задачи Коши для умеренно жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений [1, 2].

Рассматривается задача Коши для автономной системы обыкновенных дифференциаль ных уравнений первого порядка

(1)

где y:[t₀, t_k] → R^N, f:[t₀, t_k]×R^N → R^N, [t₀, t_k] - отрезок интегрирования. Для численного решения (1) применим схему (2,1)-метода

(2)

где коэффициенты a, p₁ и p₂ определяют свойства точности и устойчивости схемы (2), h - шаг интегрирования, f_n′ = ∂f(y_n)/∂y - матрица Якоби системы (1). Будем считать, что (1) имеет единственное решение. Пусть известны условия для контроля точности вычислений, именно p₁ + p₂ = 1 и ap₁ + 2ap₂ = 0,5, . Изменение величины шага основано на оценке локальной ошибки δ_n. Учитывая соотношение, , новый шаг h_new определяем по формуле h_new = qh, где значение q находится из уравнения q²||δ_n|| = ε. Если q < 1, то осуществляем повторное вычисление решения с шагом h = h_new. При q > 1 выполняем следующий шаг интегрирования с шагом h_new. Введем функции Par_LU_Decompos(), Par_LU_Solution(), реализующие декомпозицию матрицы Dn и нахождение векторов , . Для контроля точности численной схемы (2) введем функцию accur_control (), для выполнения которой назначим процессор proc(1). Параллельный алгоритм вычисления приближенного решения y⁽ⁿ⁺¹⁾ переменного шага формулируем следующим образом.

Алгоритм. Пусть для численного решения системы (1) используется (2.1)-метод с контролем точности, и известно решение y⁽ⁿ⁾ в точке t_n с шагом h_n. Тогда для получения значения y⁽ⁿ⁺¹⁾ в точке t_n+1 справедлив параллельный алгоритм, в котором на каждом процессоре proc(j) формируется своя j-я часть вектора решения.

Шаг 1. В каждом proc(j), 1 ≤ j ≤ p; (j-1) s + 1 ≤ s_j ≤ j⋅s: выполнить recv(, h; 1,..., p), вычислить и матрицу Якоби J_j, 1 ≤ j ≤ p.

Шаг 2. Сформировать матрицу .

Шаг 3. Разложить матрицу D_n, D_n = Par_LU_Decompos().

Шаг 4. Вычислить ,

Шаг 5. Вычислить ,

Шаг 6. В каждом proc(j), 1 ≤ j ≤ p;

(j-1)⋅s +1 ≤ sj ≤ j⋅s:

определить

и выполнить .

Шаг 7. В proc(1): выполнить accur_control () и, если необходимо, вывести вектор y^(n+1).

Шаг 8. В каждом proc(j), 1 ≤ j » p;

(j-1)⋅s +1 ≤ sj ≤ j⋅s:

вычислить

и выполнить .

Шаг 9. Выполнить следующий шаг интегрирования.

Как показывают теоретические и пpaктические расчеты, выполняемые на кластере ИВМ СО РАН [3] показывают, что основные вычислительные затраты связаны с реализацией
LU-факторизации и последующем решении систем для определения шаговых коэффициентов.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ проект №11-01-00106.

Список литературы

Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. - Новосибирск: Наука, 1997.
Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. - М.: Мир, 1999.
Исаев С.В., Малышев А.В., Шайдуров В.В. Развитие Красноярского центра параллельных вычислений // Вычислительные технологии. - 2006. - №11. - С. 28-33.

Нарушения реактивности иммунной и лейкоцитарной систем и их коррекция после операционной травмы

Статья в формате PDF 130 KB...

23 03 2026 3:42:20

СПОСОБ ВИРТУАЛЬНОЙ ВЕРБАЛЬНОЙ РЕЧЕВОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Статья в формате PDF 95 KB...

22 03 2026 5:24:50

ВЛИЯНИЕ ГИСТИДИНА НА АЛЬФА-АДРЕНОБЛОКИРУЮЩИЙ ЭФФЕКТ ЛИЗОФОСФАТИДИЛХОЛИНА В ОПЫТАХ С ГЛАДКИМИ МЫШЦАМИ ПОЧЕЧНОЙ АРТЕРИИ КОРОВЫ

Статья в формате PDF 126 KB...

21 03 2026 19:15:41

ОЦЕНКА ДОЛГОВЕЧНОСТИ ВАЛКОВ ТОНКОЛИСТОВЫХ СТАНОВ ПО КРИТЕРИЮ ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТАКТНО-УСТАЛОСТНОГО ПОВРЕЖДЕНИЯ

Статья в формате PDF 240 KB...

20 03 2026 17:30:40

СОЦИАЛЬНАЯ СУЩНОСТЬ ЕРЕТИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ ЗАПАДНОЙ ЕВРОПЫ ЭПОХИ РАЗВИТОГО СРЕДНЕВЕКОВЬЯ И ИХ ВЛИЯНИЕ НА ФОРМИРОВАНИЕ ПРОТЕСТАНТИЗМА

Статья в формате PDF 257 KB...

19 03 2026 21:20:49

ЭКСПРЕССИЯ ГЕНОВ ПРОВОСПАЛИТЕЛЬНЫХ ЦИТОКИНОВ У БОЛЬНЫХ УРОГЕНИТАЛЬНОЙ ГОНОРЕЕЙ

Статья в формате PDF 124 KB...

18 03 2026 12:33:14

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С РУЧЕНИЯМИ

Статья в формате PDF 118 KB...

17 03 2026 7:56:40

ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ ГРАНУЛОЦИТОВ КРОВИ ЧЕЛОВЕКА, ПОДВЕРГАВШИХСЯ ХОЛОДОВОМУ ГИПО- И АНАБИОЗУ

Статья в формате PDF 139 KB...

16 03 2026 0:28:59

НЕКОТОРЫЕ АКТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ УРОГЕНИТАЛЬНОЙ ХЛАМИДИЙНОЙ ИНФЕКЦИИ

В статье представлены актуальные данные о проблеме урогeнитaльного xлaмидиоза. Рассмотрены современные вопросы эпидемиологии, патогенеза и терапии инфекции. ...

15 03 2026 14:38:46

ПРИМЕНЕНИЕ ДЕРИНАТА И МАГНИТНО-ИНФРАКРАСНО-ЛАЗЕРНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ ПРИ ЛЕЧЕНИИ УРОГЕНИТАЛЬНОЙ ГЕРПЕСВИРУСНОЙ ИНФЕКЦИИ В СОЧЕТАНИИ С ХЛАМИДИОЗОМ

Статья в формате PDF 102 KB...

14 03 2026 2:38:22

Калашникова А. А., Ясьян Ю. П., Коваленко А. Н., Калашникова Л. И.

Статья в формате PDF 280 KB...

13 03 2026 20:42:31

АДАПТАЦИЯ СТУДЕНТОВ В ВУЗЕ ПРИ ТРЕХСТУПЕНЧАТОЙ СИСТЕМЕ ОБРАЗОВАНИЯ

Статья в формате PDF 194 KB...

12 03 2026 3:10:25

Методы оценки эффективности маркетинга в организации

Статья в формате PDF 124 KB...

11 03 2026 16:19:14

ОСОБЕННОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА НА ФАКУЛЬТЕТЕ ДОВУЗОВСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Статья в формате PDF 111 KB...

10 03 2026 12:53:13

ОСОБЕННОСТИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МЕДИКОБИОЛОГИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН В ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ВУЗЕ

Статья в формате PDF 207 KB...

09 03 2026 4:48:39

ПАТРИОТИЧЕСКОЕ ВОСПИТАНИЕ УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ ЛИТЕРАТУРЫ

Статья в формате PDF 97 KB...

08 03 2026 13:40:30

ТОПОГРАФИЯ БРЫЖЕЕЧНОГО КИШЕЧНОГО СТВОЛА У БЕЛОЙ КРЫСЫ

Брыжеечный лимфатический ствол белой крысы проходит вдоль ствола краниальной брыжеечной артерии без перерыва в одноименных лимфоузлах. ...

07 03 2026 22:42:32

ПРИМЕНЕНИЕ ПОДШИПНИКОВ НА ГАЗОВОЙ СМАЗКЕ

Изложена краткая история развития теории и пpaктики подшипников на газовой смазке. Проанализированы достоинства и недостатки газовых опор. Показаны области рационального использования подшипников на газовой смазке в современных технических устройствах. ...