МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРАТЧАЙШЕГО ПУТИ МЕЖДУ ВЕРШИНАМИ ГРАФА
Анализ алгоритмов, применяемых в настоящее время для поиска кратчайших путей между вершинами графа, позволил выявить алгоритмы Уоршолла, Дейкстры, Форда [1]. Все алгоритмы хаpaктеризуются разными вычислительными затратами и позволяют решать поставленную задачу, но наиболее эффективным считается алгоритм Дейкстры, предложенный в 1959 году.
Перед началом выполнения алгоритма все вершины и дуги не отмечены. Каждой вершине в ходе выполнения алгоритма присваивается число d(xi), равное длине кратчайшего пути из xi в xj, включающего только отмеченные вершины.
Выполняется присвоение начальных значений, для чего необходимо обозначить d(xi) пометку исходной вершины и считать, что d(xi) = 0. Отметить постоянной пометкой исходную вершину xi и положить y = xi, где y - последняя из отмеченных вершин. Остальные вершины имеют временные пометки и считать, что для xj ≠ y d(xj) = ∞. Алгоритм итерационный. Каждая итерация состоит из ряда шагов. Алгоритм Дейкстры рассмотрен на примере взвешенного графа (рис. 1,a). Матрица весов дуг приведена на рис. 1,b. Требуется найти кратчайший путь от вершины x1 до вершины x6.
Рис. 1. Пример поиска кратчайшего пути: a - граф; б - матрица весов дуг
Выполняется присвоение начальных значений: d(x1) = 0; xi ≠ x1 d(xi) = ∞.
Для каждой итерации, в соответствующую строку таблицы заносится отмеченная вершина и текущие значения d(xi). Для 1-й итерации будем иметь:
y = x1. Г(x1) = {x2, x3, x4}.
Для всех вершин, входящих в Г(x1), пометки которых временные, необходимо пересчитать d(xi) в виде:
d(x2) = min [d(x2), d(x1) + t(x1, x2)] = min [∞, 0 + 4] = 4.
Аналогично для d(x3), d(x4). Массив временных пометок будет иметь вид: {d(x2), d(x3), d(x4)} = 4, 3, 7}.
Поскольку величина d(x3) = 3 является минимальной, то вершина x3 отмечается x3*. Также отмечается и дуга (x1, x3)*. Наименьшее из значений d(xi) среди неотмеченных вершин в таблице выделено полужирным шрифтом.
Текущее дерево кратчайших путей состоит из дуги (x1, x3)* (рис. 2,а).
Таким образом, выполнив еще 4 итерации, получим окончательно построенное дерево кратчайших путей, которое состоит из дуг (x1, x3)*, (x1, x2)*, (x3, x5)*, (x2, x4)* и (x5, x6)* (рис. 2,д).
а б в г д
Рис. 2. Текущие деревья кратчайшего пути ─ a, б, в, г и окончательно построенное дерево кратчайших путей ─ д
Вычисления по алгоритму Дейкстры
|
Итерация |
Отмеченная вершина |
Расстояние до вершины |
|||||
|
d(x1) |
d(x2) |
d(x3) |
d(x4) |
d(x5) |
d(x6) |
||
|
Начало |
x1 |
0 |
∞ |
∞ |
∞ |
∞ |
∞ |
|
1 |
x1* |
0 |
4 |
3 |
7 |
∞ |
∞ |
|
2 |
x3* |
0 |
4 |
3* |
7 |
6 |
∞ |
|
3 |
x2* |
0 |
4* |
3* |
7 |
6 |
∞ |
|
4 |
x5* |
0 |
4* |
3* |
7 |
6* |
8 |
|
5 |
x4* |
0 |
4* |
3* |
7* |
6* |
8 |
Кратчайший путь, соединяющий вершину x1 с вершиной x6, состоит из дуг (x1, x2), (x2, x5) и (x5, x6) имеет длину 4 + 2 + 2 = 8. Это не единственный кратчайший путь между вершинами x1 и x6. Путь, состоящий из дуг (x1, x3), (x3, x5) и (x5, x6) имеет длину 3 + 3 + 2 = 8 и также является кратчайшим путем между вершинами x1 и x6.
Существуют алгоритмы более эффективные, чем процеДypa многократного повторения алгоритма Дейкстры. Эти алгоритмы принадлежат Флойду и Данцигу. В обоих алгоритмах для длин дуг допускаются отрицательные значения, однако не допускается наличие контуров отрицательной длины.
Как видно из описания алгоритмов поиска кратчайших путей, в основном они состоят из операций двух типов: операции сложения и операции сравнения по минимуму. При анализе вычислительной сложности любого из этих алгоритмов обычно предполагается, что для выполнения обеих операций требуется одинаковое время.
Список литературы
1. Майника Э. Алгоритмы оптимизации на сетях и графах. - М.: Мир, 1981. - 324 с.
2. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. - СПб: Питер, 2000. - 304 с.
3. Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов. - М.: Техносфера, 2005. - 400 с.
Статья в формате PDF
307 KB...
12 04 2026 11:44:31
Лимфатическая система с момента закладки является частью единой сердечно-сосудистой системы и образуется в эмбриогенезе путем выключения части первичных вен и их притоков с эндотелиальными стенками из кровотока. Неравномерный рост первичного лимфатического русла с эндотелиальными стенками, в т.ч. путем его частичной магистрализации и редукции, лежит в основе морфогенеза вариабельной дефинитивной лимфатической системы у плодов в прямой связи с закладкой лимфатических узлов.
...
11 04 2026 9:42:59
Целью настоящей работы является выявление мест редких и нуждающихся в охране видов лишайников дельты Волги.
...
10 04 2026 10:58:39
Статья в формате PDF
390 KB...
09 04 2026 5:50:22
Статья в формате PDF
109 KB...
08 04 2026 23:33:59
Статья в формате PDF
141 KB...
06 04 2026 23:16:31
Статья в формате PDF
103 KB...
05 04 2026 1:46:13
Статья в формате PDF
107 KB...
04 04 2026 15:16:52
Статья в формате PDF
153 KB...
03 04 2026 10:21:33
Статья в формате PDF
126 KB...
02 04 2026 1:45:45
Статья в формате PDF
102 KB...
01 04 2026 18:45:45
Методом рентген-компьютерной томографии изучены надпочечники 248 мужчин и 203 женщин зрелого (41 – 60 лет), пожилого (61 – 75 лет) и старческого возрастов (76 и более лет). Установлено, что как форма, так и динамика инволюции надпочечников человека проявляют изменчивость и пoлoвoй диморфизм. Выявлена преимущественная возрастная элиминация субъектов с L-формами надпочечников. Полученные результаты можно интерпретировать в пользу предположения о значительной стабильности макропараметров и наличии высокой морфофункциональной устойчивости надпочечников.
...
31 03 2026 14:24:22
Статья в формате PDF
256 KB...
30 03 2026 11:12:29
Формулируется базовая проблема социально-экономического развития и регулирования процессов на российском Севере – на фоне возрастания геополитического и экономического значения эта специфическая зона хаpaктеризуется нарастанием системных проблем и появлением новых вызовов современности. Значительный опыт исследования перспектив оптимизации управленческих социально-экономических отношений в Институте экономических проблем Кольского НЦ РАН позволил выявить и обосновать два важнейших научных направления: 1) необходимость введения особого направления – «Североведения» – в систему макроэкономических и региональных исследований; 2) необходимость формирования целостной теории прострaнcтвенного развития Севера и Арктики в современном мире. Плодотворному обсуждению этих научных направлений в рамках современных и перспективных проблем была посвящена межрегиональная научно-пpaктическая конференция «Развитие Севера и Арктики: проблемы и перспективы», состоявшаяся 14–16 ноября 2012 года в г. Апатиты Мурманской области. Результаты обсуждения приведены в настоящей статье. Делается вывод, что фундаментальная задача современности – необходимость формирования новой парадигмы развития Севера и Арктики с учетом существенных изменений в глобальной расстановке сил последнего двадцатилетия, национальных интересов арктических стран, и. прежде всего, России, глобальных изменений природной среды, роста значения ресурсов севера и Арктики, экологических требований и культурно-цивилизационных задач развития.
...
29 03 2026 6:12:11
Статья в формате PDF
115 KB...
28 03 2026 15:40:49
Статья в формате PDF
114 KB...
27 03 2026 2:10:39
Статья в формате PDF
129 KB...
26 03 2026 1:23:55
Приводятся данные по содержаниям магнетита, ильменита, лейкоксена, циркона и аутигенных минералов – лимонита, пирита, марказита в неогеновых озерных отложениях. Рассматриваются некоторые особенности минерального и химического состава неогеновых глин, и содержания в них химических элементов. На основании минералогических и геохимических особенностей делается вывод, что осадконакопление происходило в глубоких теплых и бессточных солоноватых озерах в условиях щелочной восстановительной среды и сероводородного заражения. Постепенно растущая аридизация климата в неогене неоднократно прерывалась периодами повышенной увлажненности. При этом отложения кошагачской и туерыкской свит накапливались на трaнcгрессивном этапе развития неогеновых озер, а бекенской – на регрессивном.
...
25 03 2026 16:59:19
Статья в формате PDF
124 KB...
24 03 2026 17:55:46
Статья в формате PDF
114 KB...
23 03 2026 0:58:36
Статья в формате PDF
121 KB...
22 03 2026 15:32:36
В статье приводятся обобщенные данные о принципах лечения и современных подходах к дифференцированной терапии носовых кровотечений, отражена специфика коррекции геморрагического синдрома при кранио-фациальных травмах. Приводится критический анализ общепринятых положении о принципах лечения носовых геморрагий.
...
21 03 2026 1:33:10
Статья в формате PDF
183 KB...
20 03 2026 23:15:51
Статья в формате PDF
112 KB...
19 03 2026 3:16:38
Статья в формате PDF
116 KB...
18 03 2026 5:52:51
Статья в формате PDF
111 KB...
16 03 2026 19:22:28
Статья в формате PDF
119 KB...
15 03 2026 6:52:45
Статья в формате PDF
119 KB...
14 03 2026 3:42:15
Статья в формате PDF
100 KB...
13 03 2026 20:37:19
Статья в формате PDF
110 KB...
12 03 2026 10:23:47
Статья в формате PDF
230 KB...
11 03 2026 15:35:43
Статья в формате PDF
291 KB...
10 03 2026 17:39:17
С помощью комплекса ядерно-физических методов, ЯМР-спектроскопии, выявлена неоднозначная степень насыщения связанной фазы воды молекулами воды и ряда химических элементов, где основу их специфической связи представляет многослойная поляризованная структура сыворотки крови и лимфы здоровых людей, пациентов с актуальными заболеваниями. Разработана иерархическая двухуровневая модель, согласно собственной концепции сопряженного действия и эффекта энергии, системного ЭМП, энергии биохимических цикловых процессов, объединенных потоком протонов, регулируемых буферной системой и гормонами стресса.
...
09 03 2026 1:25:29
Статья в формате PDF
265 KB...
08 03 2026 19:16:38
Статья в формате PDF
114 KB...
07 03 2026 6:53:14
Статья в формате PDF
297 KB...
06 03 2026 17:48:25
Статья в формате PDF
250 KB...
04 03 2026 16:37:35
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
