МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОЦЕНКЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ОБЛАСТИ СО СКОСАМИ СТЕН
Рассмотрим задачу о расчете собственных частот колебания прямоугольной области со скосами стен. Данная проблема актуальна в акустике помещений при улучшении качества звучания. Для решения задачи используем метод граничных интегральных уравнений (ГИУ).
Остановимся на геометрии этой области. Пусть две смежные стороны без скоса имеют размеры a и b. А две другие зададим, как уравнение прямой через угловой коэффициент и точку:
(1)
(2)
где k* = ctgα, k2 = tgβ. Углы a и b отсчитываются от соответствующих сторон прямоугольника с размерами a на b, как показана на рисунке.
Геометрия задаваемой области
Заметим, что такая параметризация скошенных сторон четырехугольника позволит избежать неприятностей при переходе к прямоугольнику.
Будем рассматривать только выпуклые четырехугольники. Для этого наложим ограничения на углы скоса сторон. Такими условиями очевидно являются:
(3)
(4)
(5)
(6)
Отметим, условия (5) и (6) есть ни что иное, как условия нахождения точки пересечения двух скошенных сторон в правом верхнем квадранте.
Вернемся к решению самой задачи. Мы рассматриваем поле давлений внутри четырехугольной области с двумя смежными скошенными сторонами. Известно, что в данной области поле давлений удовлетворяет уравнению Гельмгольца:
(7)
где - волновое число, ω - круговая частота, c - скорость звука в данной среде.
Рассмотрим граничные условия. Оно имеет вид:
(8)
где l - контур (в нашем случаи четырехугольник). Заметим, что полное давление представимо в виде:
(9)
где pinc - поле давлений порожденное точечным источником звука; psc - отраженное поле давлений.
Рассмотрим задачу об нахождении отраженного поля на контуре l. Для этого, перепишем условия (7) и (8) с учетом (9). Тогда получим:
(10)
Решать систему (10) будем с помощью метода граничных интегральных уравнений (МГИУ). Зафиксируем точку x = (x1, x2) внутри контура l, а точка y = (y1, y2) - переменная. Введем расстояние между точками x и y, как .
Заметим, функция Грина для данной задачи имеет вид:
(11)
где - функция Ханкеля, а J0(kr), Y0(kr) - функции Бесселя первого и второго рода соответственно, причем она сама по определению удовлетворяет уравнению Гельмгольца:
. (12)
Возьмем первое уравнение (10) и умножим его на функцию Грина, затем уравнение (12) умножим на отраженное поле давлений, вычитаем одно из другого и интегрируем по области заключенной в нашем четырехугольнике. Далее воспользовавшись формулой Грина получим:
(13)
Устремив и воспользовавшись свойствами потенциала двойного слоя, получим:
(14)
В формуле (14) было использовано второе уравнение из (10).
Стоит отметить, что pinc удовлетворяет уравнению Гельмгольца (7), а следовательно имеет вид:
(15)
Заметим, что интегральное уравнение (14) является уравнением Фредгольма второго рода, правая часть которого нам известна, так как функция Грина известна из (11), а из (15) следует что:
(16)
где
(17)
и - внешняя нормаль.
Разберемся с вопросом о выборе внешней нормали на каждой из сторон. Очевидно, что для стороны длинной a внешняя нормаль - , для стороны длинной b внешняя нормаль - , для стороны y1 внешняя нормаль - ; для стороны y2 внешняя нормаль - .
Решим интегральное уравнение (14) методом коллокаций. Организуем две последовательности: - внешние узлы и - внутренние узлы, где i = 1, ..., N и j = 1, ..., N. Заметим, что методом коллокаций называется такой численный метод дискретизации интегрального (14) при котором множество внутренних узлов совпадает с множеством внешних узлов, то есть . Из вида уравнения (14) отраженное поле следует искать в виде:
(18)
Тогда дискретизируя уравнение (14) и разделяя вещественные и мнимые части в нем получим:
(19)
(20)
где , и Dl - величина шага.
Введем обозначения:
Таким образом, мы получили систему вида Ap = f, где A ∈ M2N×2N; p, f ∈ R2N и имеют вид:
Заметим, что диагональные элементы матрицы A ∈ M2N×2N должны иметь вид , но так как , то ими можно пренебречь.
Так как на диагонали матрицы A ∈ M2N×2N стоят элементы большие, чем остальные элементы матрицы, то эта матрица хорошо обусловлена. Для решения данной системы линейных алгебраических уравнений можно пользоваться QL - алгоритмами.
Предложенный в данной работе метод был апробирован на конкретных тестовых геометриях, для которых удается эффективно построить распределение первой сотни собственных частот колебания в реальном масштабе времени.
Список литературы
- Исакович М.А. Общая акустика. - М.: Наука, 1973.
- Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. - М.: Мир, 1987.
- Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. - М.: Мир, 1984.
Статья в формате PDF
112 KB...
17 08 2026 4:14:44
Статья в формате PDF
125 KB...
16 08 2026 8:35:23
Статья в формате PDF
184 KB...
15 08 2026 1:39:41
Статья в формате PDF
321 KB...
14 08 2026 21:57:27
Статья в формате PDF
181 KB...
13 08 2026 1:35:56
Цель статьи — выявление закономерностей влияния топографических и почвенных условий прирусловых территорий на прострaнcтвенную структуру видового состава трав и продуктивность пойменных лугов.
...
12 08 2026 19:11:44
Статья в формате PDF
101 KB...
11 08 2026 18:16:30
В последнее время изыскиваются различные кормовые средства, витаминно-минеральные, биологические и другие препараты, которые бы оказывали благотворное влияние на организм животных. Анализ литературных источников показал, что вопросы влияния органического селена на морфофункциональное состояние организма животных (кроликов) выращиваемых в условиях интенсивных технологий полностью не выяснены, в связи с этим была поставлена цель изучить морфофункциональное состояние печени кроликов при использовании органического селена (Сел-Плекс) в составе гранулированного комбикорма в условиях Северного Зауралья. При топографическом исследовании и макроскопическом осмотре печени мы не выявили внешних различий у исследуемых групп. Изученное нами структурно-функциональное состояние печени в опытной группе кроликов, дает основание предполагать, что введение Сел-Плекс положительно влияет на морфофизиологическое состояние печени, что проявляется выраженным дольчатым строением, сохранность паренхиматозных структур печени.
...
10 08 2026 20:57:59
Проведен анализ криминальной агрессии лиц с психическими расстройствами в различные социально-экономические периоды развития России (советский, перестройка, современный период). Выявлена прямая корреляционная зависимость уровня криминальной агрессии лиц с умственной отсталостью со снижением уровня жизни. Существенную роль в формировании криминальной агрессии указанного контингента играли корыстные мотивы. Предлагаются методы первичной и вторичной психопрофилактики.
...
09 08 2026 16:39:15
Статья в формате PDF
99 KB...
08 08 2026 6:13:35
Статья в формате PDF
113 KB...
07 08 2026 17:38:36
Статья в формате PDF
149 KB...
05 08 2026 14:22:41
Статья в формате PDF
101 KB...
04 08 2026 1:10:56
Статья в формате PDF
123 KB...
03 08 2026 16:49:31
Статья в формате PDF
135 KB...
02 08 2026 23:56:12
Статья в формате PDF
1342 KB...
01 08 2026 22:57:40
Статья в формате PDF
125 KB...
29 07 2026 17:38:58
Статья в формате PDF
104 KB...
28 07 2026 2:57:48
Статья в формате PDF
252 KB...
27 07 2026 12:27:46
Статья в формате PDF
124 KB...
26 07 2026 3:44:25
Статья в формате PDF
93 KB...
25 07 2026 18:31:49
Статья в формате PDF
261 KB...
24 07 2026 8:29:47
Статья в формате PDF
187 KB...
23 07 2026 1:52:55
Статья в формате PDF
185 KB...
22 07 2026 21:35:18
В основе современной научной теории патологии должны лежать фундаментальные философские принципы бытия материи, из которых выводятся и обосновываются ее основные положения. В данной работе проведен анализ принципа подобия как частного выражения философского принципа субстанциального единства мира. Делается вывод, что один общий биологический процесс лежит в основе как нормальных, так и патологических явлений: приспособление есть сущность болезни.
...
21 07 2026 7:11:27
Статья в формате PDF
121 KB...
20 07 2026 7:41:56
Статья в формате PDF
205 KB...
19 07 2026 19:25:15
Статья в формате PDF
531 KB...
18 07 2026 21:17:26
Статья в формате PDF
116 KB...
17 07 2026 2:53:46
Статья в формате PDF
107 KB...
15 07 2026 9:54:36
Статья в формате PDF
267 KB...
14 07 2026 3:54:31
Статья в формате PDF
311 KB...
12 07 2026 21:45:23
Статья в формате PDF 114 KB...
09 07 2026 5:59:31
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
