МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОЦЕНКЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ОБЛАСТИ СО СКОСАМИ СТЕН

Авторы
Файлы

Абрамов В.В. Статья в формате PDF 835 KB

Рассмотрим задачу о расчете собственных частот колебания прямоугольной области со скосами стен. Данная проблема актуальна в акустике помещений при улучшении качества звучания. Для решения задачи используем метод граничных интегральных уравнений (ГИУ).

Остановимся на геометрии этой области. Пусть две смежные стороны без скоса имеют размеры a и b. А две другие зададим, как уравнение прямой через угловой коэффициент и точку:

(1)

(2)

где k* = ctgα, k₂ = tgβ. Углы a и b отсчитываются от соответствующих сторон прямоугольника с размерами a на b, как показана на рисунке.

Геометрия задаваемой области

Заметим, что такая параметризация скошенных сторон четырехугольника позволит избежать неприятностей при переходе к прямоугольнику.

Будем рассматривать только выпуклые четырехугольники. Для этого наложим ограничения на углы скоса сторон. Такими условиями очевидно являются:

(3)

(4)

(5)

(6)

Отметим, условия (5) и (6) есть ни что иное, как условия нахождения точки пересечения двух скошенных сторон в правом верхнем квадранте.

Вернемся к решению самой задачи. Мы рассматриваем поле давлений внутри четырехугольной области с двумя смежными скошенными сторонами. Известно, что в данной области поле давлений удовлетворяет уравнению Гельмгольца:

(7)

где - волновое число, ω - круговая частота, c - скорость звука в данной среде.

Рассмотрим граничные условия. Оно имеет вид:

(8)

где l - контур (в нашем случаи четырехугольник). Заметим, что полное давление представимо в виде:

(9)

где p^inc - поле давлений порожденное точечным источником звука; p^sc - отраженное поле давлений.

Рассмотрим задачу об нахождении отраженного поля на контуре l. Для этого, перепишем условия (7) и (8) с учетом (9). Тогда получим:

(10)

Решать систему (10) будем с помощью метода граничных интегральных уравнений (МГИУ). Зафиксируем точку x = (x₁, x₂) внутри контура l, а точка y = (y₁, y₂) - переменная. Введем расстояние между точками x и y, как .

Заметим, функция Грина для данной задачи имеет вид:

(11)

где - функция Ханкеля, а J₀(kr), Y₀(kr) - функции Бесселя первого и второго рода соответственно, причем она сама по определению удовлетворяет уравнению Гельмгольца:

. (12)

Возьмем первое уравнение (10) и умножим его на функцию Грина, затем уравнение (12) умножим на отраженное поле давлений, вычитаем одно из другого и интегрируем по области заключенной в нашем четырехугольнике. Далее воспользовавшись формулой Грина получим:

(13)

Устремив и воспользовавшись свойствами потенциала двойного слоя, получим:

(14)

В формуле (14) было использовано второе уравнение из (10).

Стоит отметить, что p^inc удовлетворяет уравнению Гельмгольца (7), а следовательно имеет вид:

(15)

Заметим, что интегральное уравнение (14) является уравнением Фредгольма второго рода, правая часть которого нам известна, так как функция Грина известна из (11), а из (15) следует что:

(16)

где

(17)

и - внешняя нормаль.

Разберемся с вопросом о выборе внешней нормали на каждой из сторон. Очевидно, что для стороны длинной a внешняя нормаль - , для стороны длинной b внешняя нормаль - , для стороны y₁ внешняя нормаль - ; для стороны y₂ внешняя нормаль - .

Решим интегральное уравнение (14) методом коллокаций. Организуем две последовательности: - внешние узлы и - внутренние узлы, где i = 1, ..., N и j = 1, ..., N. Заметим, что методом коллокаций называется такой численный метод дискретизации интегрального (14) при котором множество внутренних узлов совпадает с множеством внешних узлов, то есть . Из вида уравнения (14) отраженное поле следует искать в виде:

(18)

Тогда дискретизируя уравнение (14) и разделяя вещественные и мнимые части в нем получим:

(19)

(20)

где , и Dl - величина шага.

Введем обозначения:

Таким образом, мы получили систему вида Ap = f, где A ∈ M_2N×2N; p, f ∈ R^2N и имеют вид:

Заметим, что диагональные элементы матрицы A ∈ M_2N×2N должны иметь вид , но так как , то ими можно пренебречь.

Так как на диагонали матрицы A ∈ M_2N×2N стоят элементы большие, чем остальные элементы матрицы, то эта матрица хорошо обусловлена. Для решения данной системы линейных алгебраических уравнений можно пользоваться QL - алгоритмами.

Предложенный в данной работе метод был апробирован на конкретных тестовых геометриях, для которых удается эффективно построить распределение первой сотни собственных частот колебания в реальном масштабе времени.

Список литературы

Исакович М.А. Общая акустика. - М.: Наука, 1973.
Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. - М.: Мир, 1987.
Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. - М.: Мир, 1984.

САМОИМИДЖ

Статья в формате PDF 99 KB...

09 03 2026 19:46:18

ФИНАНСИРОВАНИЕ ИННОВАЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ: МИРОВОЙ ОПЫТ И РОССИЙСКАЯ ПРАКТИКА

Статья в формате PDF 124 KB...

08 03 2026 21:13:19

ПРИСАДКИ КАК СРЕДСТВА СНИЖЕНИЯ ЕСТЕСТВЕННЫХ И ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ ПОТЕРЬ НЕФТЕПРОДУКТОВ

Статья в формате PDF 346 KB...

07 03 2026 1:32:28

CHYTRIDIOMYCOSIS У ЛИЧИНОК RANA ARVALIS NILSSON НА СРЕДНЕМ УРАЛЕ

На основании диагностических признаков приводятся доказательства, указывающие на то, что Chytridiomycosis существует в популяциях Rana arvalis на Среднем Урале. Показана методика обнаружения заболевания по аномалиям ротового аппарата личинок и отслеживания динамики частоты встречаемости его в популяции. В экстремальных условиях инфекция поражает ослабленных и ведет к их выбpaковке, что приводит к ускорению адаптации популяции в целом в быстро изменяемой среде. ...

06 03 2026 21:54:23

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФАКТОРОВ РИСКА АТЕРОСКЛЕРОЗА

Статья в формате PDF 114 KB...

05 03 2026 21:29:50

АРХИТЕКТУРНОЕ ОСВОЕНИЕ АКВАТОРИИ С УЧЕТОМ ПРИРОДНОКЛИМАТИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЕЙ (НА ПРИМЕРЕ АЭРОПОРТА

Статья в формате PDF 129 KB...

04 03 2026 13:18:53

ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Статья в формате PDF 225 KB...

03 03 2026 9:41:32

TЕСТИРОВАНИЕ ПРЕПАРАТОВ ПРОТИВ РАКА МОЛОЧНОЙ ЖЕЛЕЗЫ. ОРИГИНАЛЬНЫЕ ПОДХОДЫ. НОВАЯ СИСТЕМА МЫШИНЫХ МОДЕЛЕЙ

Статья в формате PDF 117 KB...

02 03 2026 2:42:35

ЧЕЛОВЕЧЕСКИЙ КАПИТАЛ В ЯДЕРНОМ ТЭК РОССИИ

Статья в формате PDF 108 KB...

01 03 2026 2:45:17

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ПРОЦЕССЕ МНОГОУРОВНЕВОЙ ПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТОВ

Статья в формате PDF 153 KB...

28 02 2026 17:34:44

Полиорганные патоморфологические поражения у новорожденных доношенных детей с нeблагоприятным исходом от пневмонии

Статья в формате PDF 105 KB...

27 02 2026 9:54:46

СОЦИАЛЬНАЯ ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ЖИЗНИ ПАЦИЕНТОВ СТРАДАЮЩИХ ИЗБЫТОЧНЫМ ВЕСОМ И ОЖИРЕНИЕМ В УСЛОВИЯХ КРУПНОГО ПРОМЫШЛЕННОГО РЕГИОНА

Статья в формате PDF 286 KB...

26 02 2026 10:35:13

КОНЦЕПЦИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ И ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ, ОСНОВАННАЯ НА ФИЗИЧЕСКОМ ВАКУУМЕ. ЧАСТЬ 2

Статья в формате PDF 316 KB...

25 02 2026 23:45:22

К ВОПРОСУ О АРТЕРИАЛЬНОМ ДАВЛЕНИИ И СЕРДЕЧНО-СОСУДИСТЫХ ОСЛОЖНЕНИЯХ. ЧАСТЬ 2

Статья в формате PDF 252 KB...

24 02 2026 12:12:21

РЕАБИЛИТАЦИЯ, ИМУНОРЕАБИЛИТАЦИЯ И ТЕРАПИЯ – ГЛАВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СОВРЕМЕННОЙ КЛИНИЧЕСКОЙ МЕДИЦИНЫ

Статья в формате PDF 116 KB...

23 02 2026 14:56:34

ПОДАТЛИВОСТЬ ШТЕПСЕЛЬНЫХ СТЫКОВ КОЛОНН (методическое пособие)

Статья в формате PDF 106 KB...

22 02 2026 5:13:33

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С РУЧЕНИЯМИ

Статья в формате PDF 118 KB...

21 02 2026 17:27:48

Природа времени

Данная работа посвящена обоснованию несостоятельности современных путей решения вопроса о природе времени. Авторами показана абстpaктность этих подходов, а также подчеркивается, что при создании научных теорий, описывающих материю, присутствует идеализация времени. Необходимо отметить, что в процессе решения данного вопроса нельзя забывать о сущности материи. До тех пор пока не будет понимания сущности материи, не будет понимания и природы времени. Поэтому авторы предлагают не создавать отдельных гипотез природы времени, а направить силы на понимание сущности материи. Для этого необходимо рассмотреть в более широком аспекте саму материю и те типичные процессы, в которые она включается. Только через решение вопроса о сущности материи можно прийти к пониманию природы времени. ...

20 02 2026 10:43:11

О ПРИМЕНЕНИИ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ТУРИСТИЧЕСКОЙ СФЕРЕ

Статья в формате PDF 252 KB...

19 02 2026 4:12:29

Метаболические эффекты бактериальных экзотоксинов

Статья в формате PDF 111 KB...

18 02 2026 10:21:24

Клиническое наблюдение генерализованной формы ветряной оспы

Статья в формате PDF 103 KB...

17 02 2026 0:54:50

ИССЛЕДОВАНИЕ АКТИВНОСТИ НЕКОТОРЫХ ФЕРМЕНТОВ В ЛИСТЬЯХ БЕРЁЗЫ БОРОДАВЧАТОЙ (BETULA PENDULA ROTH.) В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ТЕХНОГЕННОЙ НАГРУЗКИ

Статья в формате PDF 133 KB...

16 02 2026 17:51:38

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ФИЗИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ РАЗЛИЧНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ НА АНТРОПОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ У ЖЕНЩИН РАЗНЫХ ВОЗРАСТНЫХ ГРУПП С ИЗБЫТОЧНОЙ МАССОЙ ТЕЛА

Проведен анализ эффективности различных типов фитнес-программ в коррекции избыточной массы тела женщин юношеского и зрелого возраста. Применяемые физические нагрузки отличались хаpaктером нагрузки и наличию/отсутствию компонента коррекции питания. Исследовали антропометрические показатели, ИМТ, определяли содержание жировой массы в организме методом калипометрии в динамике 6-мecячного тренировочного цикла. Проводили промежуточные исследования: в середине, через 3 месяца от начала тренировочного цикла. В исследовании приняли участие 93 пpaктически здоровые женщины с избыточной массой тела, не имеющие эндокринных заболеваний и противопоказаний к занятиям физической культурой. Выделены группы в зависимости от типа программы (I, II), а также подгруппы (Ia, IIa) в зависимости от возраста: 18–21 год (I и II, n = 17 и n = 17, соответственно) и 36–45 лет (Ia, IIa, n = 30 и n = 29, соответственно). Показана динамика и статистическая значимость различий в группах, проведен сравнительный анализ между группами. Выявлена более высокая физиологическая эффективность программы I, базирующейся на смешанном хаpaктере тренировки, многовариантной схеме упражнений с мониторированием и коррекцией хаpaктера питания. ...