МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОЦЕНКЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ОБЛАСТИ СО СКОСАМИ СТЕН

1

• Авторы
• Файлы

Абрамов В.В. Статья в формате PDF 835 KB

Рассмотрим задачу о расчете собственных частот колебания прямоугольной области со скосами стен. Данная проблема актуальна в акустике помещений при улучшении качества звучания. Для решения задачи используем метод граничных интегральных уравнений (ГИУ).

Остановимся на геометрии этой области. Пусть две смежные стороны без скоса имеют размеры a и b. А две другие зададим, как уравнение прямой через угловой коэффициент и точку:

 (1)

 (2)

где k* = ctgα, k₂ = tgβ. Углы a и b отсчитываются от соответствующих сторон прямоугольника с размерами a на b, как показана на рисунке.

Геометрия задаваемой области

Заметим, что такая параметризация скошенных сторон четырехугольника позволит избежать неприятностей при переходе к прямоугольнику.

Будем рассматривать только выпуклые четырехугольники. Для этого наложим ограничения на углы скоса сторон. Такими условиями очевидно являются:

 (3)

 (4)

 (5)

 (6)

Отметим, условия (5) и (6) есть ни что иное, как условия нахождения точки пересечения двух скошенных сторон в правом верхнем квадранте.

Вернемся к решению самой задачи. Мы рассматриваем поле давлений внутри четырехугольной области с двумя смежными скошенными сторонами. Известно, что в данной области поле давлений удовлетворяет уравнению Гельмгольца:

 (7)

где  - волновое число, ω - круговая частота, c - скорость звука в данной среде.

Рассмотрим граничные условия. Оно имеет вид:

 (8)

где l - контур (в нашем случаи четырехугольник). Заметим, что полное давление представимо в виде:

 (9)

где p^inc - поле давлений порожденное точечным источником звука; p^sc - отраженное поле давлений.

Рассмотрим задачу об нахождении отраженного поля на контуре l. Для этого, перепишем условия (7) и (8) с учетом (9). Тогда получим:

 (10)

Решать систему (10) будем с помощью метода граничных интегральных уравнений (МГИУ). Зафиксируем точку x = (x₁, x₂) внутри контура l, а точка y = (y₁, y₂) - переменная. Введем расстояние между точками x и y, как .

Заметим, функция Грина для данной задачи имеет вид:

 (11)

где  - функция Ханкеля, а J₀(kr), Y₀(kr) - функции Бесселя первого и второго рода соответственно, причем она сама по определению удовлетворяет уравнению Гельмгольца:

. (12)

Возьмем первое уравнение (10) и умножим его на функцию Грина, затем уравнение (12) умножим на отраженное поле давлений, вычитаем одно из другого и интегрируем по области заключенной в нашем четырехугольнике. Далее воспользовавшись формулой Грина получим:

 (13)

Устремив  и воспользовавшись свойствами потенциала двойного слоя, получим:

 (14)

В формуле (14) было использовано второе уравнение из (10).

Стоит отметить, что p^inc удовлетворяет уравнению Гельмгольца (7), а следовательно имеет вид:

 (15)

Заметим, что интегральное уравнение (14) является уравнением Фредгольма второго рода, правая часть которого нам известна, так как функция Грина известна из (11), а из (15) следует что:

 (16)

где 

 (17)

и  - внешняя нормаль.

Разберемся с вопросом о выборе внешней нормали на каждой из сторон. Очевидно, что для стороны длинной a внешняя нормаль - , для стороны длинной b внешняя нормаль - , для стороны y₁ внешняя нормаль - ; для стороны y₂ внешняя нормаль - .

Решим интегральное уравнение (14) методом коллокаций. Организуем две последовательности:  - внешние узлы и  - внутренние узлы, где i = 1, ..., N и j = 1, ..., N. Заметим, что методом коллокаций называется такой численный метод дискретизации интегрального (14) при котором множество внутренних узлов совпадает с множеством внешних узлов, то есть . Из вида уравнения (14) отраженное поле следует искать в виде:

 (18)

Тогда дискретизируя уравнение (14) и разделяя вещественные и мнимые части в нем получим:

 (19)

 (20)

где ,  и Dl - величина шага.

Введем обозначения:

Таким образом, мы получили систему вида Ap = f, где A ∈ M_2N×2N; p, f ∈ R^2N и имеют вид:

   

Заметим, что диагональные элементы матрицы A ∈ M_2N×2N должны иметь вид , но так как , то ими можно пренебречь.

Так как на диагонали матрицы A ∈ M_2N×2N стоят элементы большие, чем остальные элементы матрицы, то эта матрица хорошо обусловлена. Для решения данной системы линейных алгебраических уравнений можно пользоваться QL - алгоритмами.

Предложенный в данной работе метод был апробирован на конкретных тестовых геометриях, для которых удается эффективно построить распределение первой сотни собственных частот колебания в реальном масштабе времени.

Список литературы

1. Исакович М.А. Общая акустика. - М.: Наука, 1973.
2. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. - М.: Мир, 1987.
3. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. - М.: Мир, 1984.

---