МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОЦЕНКЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ОБЛАСТИ СО СКОСАМИ СТЕН

Авторы
Файлы

Абрамов В.В. Статья в формате PDF 835 KB

Рассмотрим задачу о расчете собственных частот колебания прямоугольной области со скосами стен. Данная проблема актуальна в акустике помещений при улучшении качества звучания. Для решения задачи используем метод граничных интегральных уравнений (ГИУ).

Остановимся на геометрии этой области. Пусть две смежные стороны без скоса имеют размеры a и b. А две другие зададим, как уравнение прямой через угловой коэффициент и точку:

(1)

(2)

где k* = ctgα, k₂ = tgβ. Углы a и b отсчитываются от соответствующих сторон прямоугольника с размерами a на b, как показана на рисунке.

Геометрия задаваемой области

Заметим, что такая параметризация скошенных сторон четырехугольника позволит избежать неприятностей при переходе к прямоугольнику.

Будем рассматривать только выпуклые четырехугольники. Для этого наложим ограничения на углы скоса сторон. Такими условиями очевидно являются:

(3)

(4)

(5)

(6)

Отметим, условия (5) и (6) есть ни что иное, как условия нахождения точки пересечения двух скошенных сторон в правом верхнем квадранте.

Вернемся к решению самой задачи. Мы рассматриваем поле давлений внутри четырехугольной области с двумя смежными скошенными сторонами. Известно, что в данной области поле давлений удовлетворяет уравнению Гельмгольца:

(7)

где - волновое число, ω - круговая частота, c - скорость звука в данной среде.

Рассмотрим граничные условия. Оно имеет вид:

(8)

где l - контур (в нашем случаи четырехугольник). Заметим, что полное давление представимо в виде:

(9)

где p^inc - поле давлений порожденное точечным источником звука; p^sc - отраженное поле давлений.

Рассмотрим задачу об нахождении отраженного поля на контуре l. Для этого, перепишем условия (7) и (8) с учетом (9). Тогда получим:

(10)

Решать систему (10) будем с помощью метода граничных интегральных уравнений (МГИУ). Зафиксируем точку x = (x₁, x₂) внутри контура l, а точка y = (y₁, y₂) - переменная. Введем расстояние между точками x и y, как .

Заметим, функция Грина для данной задачи имеет вид:

(11)

где - функция Ханкеля, а J₀(kr), Y₀(kr) - функции Бесселя первого и второго рода соответственно, причем она сама по определению удовлетворяет уравнению Гельмгольца:

. (12)

Возьмем первое уравнение (10) и умножим его на функцию Грина, затем уравнение (12) умножим на отраженное поле давлений, вычитаем одно из другого и интегрируем по области заключенной в нашем четырехугольнике. Далее воспользовавшись формулой Грина получим:

(13)

Устремив и воспользовавшись свойствами потенциала двойного слоя, получим:

(14)

В формуле (14) было использовано второе уравнение из (10).

Стоит отметить, что p^inc удовлетворяет уравнению Гельмгольца (7), а следовательно имеет вид:

(15)

Заметим, что интегральное уравнение (14) является уравнением Фредгольма второго рода, правая часть которого нам известна, так как функция Грина известна из (11), а из (15) следует что:

(16)

где

(17)

и - внешняя нормаль.

Разберемся с вопросом о выборе внешней нормали на каждой из сторон. Очевидно, что для стороны длинной a внешняя нормаль - , для стороны длинной b внешняя нормаль - , для стороны y₁ внешняя нормаль - ; для стороны y₂ внешняя нормаль - .

Решим интегральное уравнение (14) методом коллокаций. Организуем две последовательности: - внешние узлы и - внутренние узлы, где i = 1, ..., N и j = 1, ..., N. Заметим, что методом коллокаций называется такой численный метод дискретизации интегрального (14) при котором множество внутренних узлов совпадает с множеством внешних узлов, то есть . Из вида уравнения (14) отраженное поле следует искать в виде:

(18)

Тогда дискретизируя уравнение (14) и разделяя вещественные и мнимые части в нем получим:

(19)

(20)

где , и Dl - величина шага.

Введем обозначения:

Таким образом, мы получили систему вида Ap = f, где A ∈ M_2N×2N; p, f ∈ R^2N и имеют вид:

Заметим, что диагональные элементы матрицы A ∈ M_2N×2N должны иметь вид , но так как , то ими можно пренебречь.

Так как на диагонали матрицы A ∈ M_2N×2N стоят элементы большие, чем остальные элементы матрицы, то эта матрица хорошо обусловлена. Для решения данной системы линейных алгебраических уравнений можно пользоваться QL - алгоритмами.

Предложенный в данной работе метод был апробирован на конкретных тестовых геометриях, для которых удается эффективно построить распределение первой сотни собственных частот колебания в реальном масштабе времени.

Список литературы

Исакович М.А. Общая акустика. - М.: Наука, 1973.
Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. - М.: Мир, 1987.
Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. - М.: Мир, 1984.

ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРОЦЕССА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ КОРПОРАТИВНОЙ СЕТИ

Статья в формате PDF 106 KB...

17 06 2026 17:29:26

ВЛАГАЛИЩНАЯ ЛАЗЕРОПУНКТУРА

Статья в формате PDF 135 KB...

16 06 2026 2:27:26

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НЕРВНО-МЫШЕЧНОГО АППАРАТА КОСМОНАВТОВ И ИХ ИЗМЕНЕНИЯ ПОСЛЕ СЕМИСУТОЧНОГО КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА НА МЕЖДУНАРОДНОЙ КОСМИЧЕСКОЙ СТАНЦИИ

Статья в формате PDF 125 KB...

15 06 2026 1:59:37

ЕРЁМЕНКО АЛЕКСАНДР ИВАНОВИЧ

Статья в формате PDF 554 KB...

14 06 2026 14:26:56

ОКСИДАНТНЫЙ И ИММУННЫЙ СТАТУСЫ БОЛЬНЫХ ХРОНИЧЕСКИМ ПАРОДОНТИТОМ

Статья в формате PDF 129 KB...

13 06 2026 21:38:28

ЗАХВАТ НОРАДРЕНАЛИНА МИОКАРДОМ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ РЕЖИМАХ ФИЗИЧЕСКИХ НАГРУЗОК

Статья в формате PDF 92 KB...

12 06 2026 12:45:18

Взаимосвязь иммуностимулирующего влияния ультразвука и влияния его на белковый спектр мембран эритроцитов

Статья в формате PDF 110 KB...

11 06 2026 10:51:34

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ФИЛОСОФИИ И СОВРЕМЕННАЯ НАУКА (КАЗАНСКАЯ ШКОЛА ФИЛОСОФОВ: РУБЕЖ XX-XXI СТОЛЕТИЙ)

Статья в формате PDF 321 KB...

10 06 2026 16:30:42

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННО-КОММУНИКАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ НА УРОКАХ ИСТОРИИ (НА ПРИМЕРЕ ИСТОРИИ ДАГЕСТАНА)

Статья в формате PDF 244 KB...

09 06 2026 6:15:41

Адаптивные возможности организма юношей в условиях кисловодского курорта

Статья в формате PDF 105 KB...

08 06 2026 13:40:41

ФЛУКТУИРУЮЩАЯ АСИММЕТРИЯ ПРИЗНАКОВ ХЕТОТАКСИИ У ПРЕДСТАВИТЕЛЕЙ ОТРЯДА SIPHONAPTERA

Статья в формате PDF 135 KB...

07 06 2026 14:19:22

ВЫБОР СПОСОБА ОБРАБОТКИ ДЕТАЛЕЙ ГИДРОУДАРНИКА

Статья в формате PDF 284 KB...

06 06 2026 23:26:34

ОЦЕНКА ПЕРСПЕКТИВ РАЗВИТИЯ ЛЕСНЫХ КОМПЛЕКСОВ В РЕГИОНАХ С СИЛЬНЫМ АНТРОПОГЕННЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ

Все более актуальной в настоящее время становится проблема прогнозирования динамики развития региональных лесных комплексов. В качестве одного из этапов исследований по этой теме автором в содружестве с Гринпис России был выполнен описанный в статье проект. В рамках проекта разработана экономико-математическая модель. Последующая реализация модели на компьютере с использованием реальных данных показала ее эффективность для решения задач прогнозирования лесной отрасли. В качестве региона для апробации модели был выбран Санкт-Петербург и область, где влияние человека на окружающую среду в последнее время существенно возросло. Проведенная на основе статистических тестов верификация модели показала ее соответствие реальности. С целью апробации модели были сформированы два сценария с различными значениями показателей внешнего воздействия на региональную систему лесного комплекса. В результате, после имитации были получены основные параметры регионального лесного комплекса, соответствующие двум сценариям. ...