МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОЦЕНКЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ОБЛАСТИ СО СКОСАМИ СТЕН
Рассмотрим задачу о расчете собственных частот колебания прямоугольной области со скосами стен. Данная проблема актуальна в акустике помещений при улучшении качества звучания. Для решения задачи используем метод граничных интегральных уравнений (ГИУ).
Остановимся на геометрии этой области. Пусть две смежные стороны без скоса имеют размеры a и b. А две другие зададим, как уравнение прямой через угловой коэффициент и точку:
(1)
(2)
где k* = ctgα, k2 = tgβ. Углы a и b отсчитываются от соответствующих сторон прямоугольника с размерами a на b, как показана на рисунке.
Геометрия задаваемой области
Заметим, что такая параметризация скошенных сторон четырехугольника позволит избежать неприятностей при переходе к прямоугольнику.
Будем рассматривать только выпуклые четырехугольники. Для этого наложим ограничения на углы скоса сторон. Такими условиями очевидно являются:
(3)
(4)
(5)
(6)
Отметим, условия (5) и (6) есть ни что иное, как условия нахождения точки пересечения двух скошенных сторон в правом верхнем квадранте.
Вернемся к решению самой задачи. Мы рассматриваем поле давлений внутри четырехугольной области с двумя смежными скошенными сторонами. Известно, что в данной области поле давлений удовлетворяет уравнению Гельмгольца:
(7)
где - волновое число, ω - круговая частота, c - скорость звука в данной среде.
Рассмотрим граничные условия. Оно имеет вид:
(8)
где l - контур (в нашем случаи четырехугольник). Заметим, что полное давление представимо в виде:
(9)
где pinc - поле давлений порожденное точечным источником звука; psc - отраженное поле давлений.
Рассмотрим задачу об нахождении отраженного поля на контуре l. Для этого, перепишем условия (7) и (8) с учетом (9). Тогда получим:
(10)
Решать систему (10) будем с помощью метода граничных интегральных уравнений (МГИУ). Зафиксируем точку x = (x1, x2) внутри контура l, а точка y = (y1, y2) - переменная. Введем расстояние между точками x и y, как .
Заметим, функция Грина для данной задачи имеет вид:
(11)
где - функция Ханкеля, а J0(kr), Y0(kr) - функции Бесселя первого и второго рода соответственно, причем она сама по определению удовлетворяет уравнению Гельмгольца:
. (12)
Возьмем первое уравнение (10) и умножим его на функцию Грина, затем уравнение (12) умножим на отраженное поле давлений, вычитаем одно из другого и интегрируем по области заключенной в нашем четырехугольнике. Далее воспользовавшись формулой Грина получим:
(13)
Устремив и воспользовавшись свойствами потенциала двойного слоя, получим:
(14)
В формуле (14) было использовано второе уравнение из (10).
Стоит отметить, что pinc удовлетворяет уравнению Гельмгольца (7), а следовательно имеет вид:
(15)
Заметим, что интегральное уравнение (14) является уравнением Фредгольма второго рода, правая часть которого нам известна, так как функция Грина известна из (11), а из (15) следует что:
(16)
где
(17)
и - внешняя нормаль.
Разберемся с вопросом о выборе внешней нормали на каждой из сторон. Очевидно, что для стороны длинной a внешняя нормаль - , для стороны длинной b внешняя нормаль - , для стороны y1 внешняя нормаль - ; для стороны y2 внешняя нормаль - .
Решим интегральное уравнение (14) методом коллокаций. Организуем две последовательности: - внешние узлы и - внутренние узлы, где i = 1, ..., N и j = 1, ..., N. Заметим, что методом коллокаций называется такой численный метод дискретизации интегрального (14) при котором множество внутренних узлов совпадает с множеством внешних узлов, то есть . Из вида уравнения (14) отраженное поле следует искать в виде:
(18)
Тогда дискретизируя уравнение (14) и разделяя вещественные и мнимые части в нем получим:
(19)
(20)
где , и Dl - величина шага.
Введем обозначения:
Таким образом, мы получили систему вида Ap = f, где A ∈ M2N×2N; p, f ∈ R2N и имеют вид:
Заметим, что диагональные элементы матрицы A ∈ M2N×2N должны иметь вид , но так как , то ими можно пренебречь.
Так как на диагонали матрицы A ∈ M2N×2N стоят элементы большие, чем остальные элементы матрицы, то эта матрица хорошо обусловлена. Для решения данной системы линейных алгебраических уравнений можно пользоваться QL - алгоритмами.
Предложенный в данной работе метод был апробирован на конкретных тестовых геометриях, для которых удается эффективно построить распределение первой сотни собственных частот колебания в реальном масштабе времени.
Список литературы
- Исакович М.А. Общая акустика. - М.: Наука, 1973.
- Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. - М.: Мир, 1987.
- Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. - М.: Мир, 1984.
Статья в формате PDF
128 KB...
06 05 2026 9:42:19
Статья в формате PDF
132 KB...
05 05 2026 3:59:27
Статья в формате PDF
126 KB...
04 05 2026 22:14:49
Статья в формате PDF
132 KB...
03 05 2026 18:23:23
Статья в формате PDF 251 KB...
02 05 2026 22:41:22
Достоверными методами исследования потребности населения в традиционной медицине являются: опрос в «фокус-группе», анкетирование и интервьюирование. Выяснились: высокая готовность населения потрeбллять методы традиционной медицины; врачи готовы применять в своей пpaктике методы традиционной медицины в симбиозе с официальной; врачи нуждаются в дополнительном образовании в области традиционной медицины, на что следует обратить внимание органам здравоохранения. ...
01 05 2026 3:54:44
На основе сухого экстpaкта полученного из растительного сбора (солодка гoлая, софора японская, календула лекарственная) были приготовлены три композиции в виде гранул, которые отличаются количеством склеивающего вещества – прополиса. Выбор вспомогательных веществ был подтвержден и обоснован в опытах in vitro, in vivo, in situ.
...
30 04 2026 23:20:59
Статья в формате PDF
113 KB...
29 04 2026 1:30:39
Статья в формате PDF
117 KB...
28 04 2026 14:44:27
Статья в формате PDF
102 KB...
27 04 2026 3:10:27
Статья в формате PDF
250 KB...
26 04 2026 11:53:21
Статья в формате PDF
109 KB...
25 04 2026 20:33:58
Статья в формате PDF
377 KB...
24 04 2026 16:27:41
Статья в формате PDF
102 KB...
23 04 2026 22:12:10
Статья в формате PDF
150 KB...
22 04 2026 17:41:44
Статья в формате PDF
262 KB...
21 04 2026 11:47:42
Реформы в образовании ума человека происходят всегда до новых циклов экономического возрождения из кризисов. Это запаздывание весьма большое у России. В развитых странах цикл реформ в образовании начинается за 3–5 лет до начала экономических реформ. Но в России долго запрягают, а потом несутся напролом, на авось. Поэтому колебательное возмущение мнений экспертов превалирует над постоянством, – менталитет очень неровный. Предлагается принципиально новая методика, основанная на анализе устойчивых закономерностей с волновыми составляющими и полученная по конкретным экспертным оценкам. Цель статьи – кратко показать возможности методологии идентификации свойств поведения у групп экспертов, как неких условных популяций много знающих и оценивающих людей, а также привести критерии поведенческой динамики по тем или иным экспертным оценкам об интернационализации российского образования.
...
20 04 2026 11:17:23
Статья в формате PDF
149 KB...
19 04 2026 15:12:45
Статья в формате PDF
127 KB...
18 04 2026 16:23:20
Статья в формате PDF
153 KB...
17 04 2026 8:27:53
Статья в формате PDF
155 KB...
16 04 2026 4:19:47
Статья в формате PDF
99 KB...
15 04 2026 19:26:58
В статье рассматриваются теоретические и пpaктические вопросы модернизации реального сектора экономики России. Исследуются факторы и условия, доказывающие необходимость коренных преобразований в базовых отраслях общественного производства. Раскрываются особенности функционирования реального сектора экономики в рыночных условиях современной социально-экономической системы России. Показывается роль научно-технического прогресса в формировании инновационной модели воспроизводства. Обоснована необходимость проведения действенной государственной промышленной и инновационной политики с целью создания целостной и эффективной национальной инновационной системы; создания системы экономических стимулов для производителей при вовлечении в гражданско-правовой оборот результатов интеллектуальной деятельности и обеспечения государственной поддержки дальнейшего развития национальной инновационной инфраструктуры.
...
14 04 2026 2:13:25
Статья в формате PDF
284 KB...
10 04 2026 21:42:46
Статья в формате PDF
132 KB...
09 04 2026 13:58:28
В работе показано как, используя концептуальный язык «Бинарная Модель Знаний», можно представлять метаданные для публикаций по биологии медицине в Семантическом Вебе. Представление метаданных дается в форме соответствующих онтологий.
...
08 04 2026 18:36:19
Статья в формате PDF
113 KB...
07 04 2026 22:58:49
Статья в формате PDF
144 KB...
06 04 2026 0:30:43
Статья в формате PDF
124 KB...
05 04 2026 20:12:51
Статья в формате PDF
92 KB...
03 04 2026 23:43:26
Статья в формате PDF
194 KB...
02 04 2026 21:50:19
Статья в формате PDF
114 KB...
01 04 2026 4:35:48
Статья в формате PDF
245 KB...
31 03 2026 5:38:36
Статья в формате PDF
113 KB...
30 03 2026 23:44:59
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
