МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОЦЕНКЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ОБЛАСТИ СО СКОСАМИ СТЕН
Рассмотрим задачу о расчете собственных частот колебания прямоугольной области со скосами стен. Данная проблема актуальна в акустике помещений при улучшении качества звучания. Для решения задачи используем метод граничных интегральных уравнений (ГИУ).
Остановимся на геометрии этой области. Пусть две смежные стороны без скоса имеют размеры a и b. А две другие зададим, как уравнение прямой через угловой коэффициент и точку:
(1)
(2)
где k* = ctgα, k2 = tgβ. Углы a и b отсчитываются от соответствующих сторон прямоугольника с размерами a на b, как показана на рисунке.
Геометрия задаваемой области
Заметим, что такая параметризация скошенных сторон четырехугольника позволит избежать неприятностей при переходе к прямоугольнику.
Будем рассматривать только выпуклые четырехугольники. Для этого наложим ограничения на углы скоса сторон. Такими условиями очевидно являются:
(3)
(4)
(5)
(6)
Отметим, условия (5) и (6) есть ни что иное, как условия нахождения точки пересечения двух скошенных сторон в правом верхнем квадранте.
Вернемся к решению самой задачи. Мы рассматриваем поле давлений внутри четырехугольной области с двумя смежными скошенными сторонами. Известно, что в данной области поле давлений удовлетворяет уравнению Гельмгольца:
(7)
где - волновое число, ω - круговая частота, c - скорость звука в данной среде.
Рассмотрим граничные условия. Оно имеет вид:
(8)
где l - контур (в нашем случаи четырехугольник). Заметим, что полное давление представимо в виде:
(9)
где pinc - поле давлений порожденное точечным источником звука; psc - отраженное поле давлений.
Рассмотрим задачу об нахождении отраженного поля на контуре l. Для этого, перепишем условия (7) и (8) с учетом (9). Тогда получим:
(10)
Решать систему (10) будем с помощью метода граничных интегральных уравнений (МГИУ). Зафиксируем точку x = (x1, x2) внутри контура l, а точка y = (y1, y2) - переменная. Введем расстояние между точками x и y, как .
Заметим, функция Грина для данной задачи имеет вид:
(11)
где - функция Ханкеля, а J0(kr), Y0(kr) - функции Бесселя первого и второго рода соответственно, причем она сама по определению удовлетворяет уравнению Гельмгольца:
. (12)
Возьмем первое уравнение (10) и умножим его на функцию Грина, затем уравнение (12) умножим на отраженное поле давлений, вычитаем одно из другого и интегрируем по области заключенной в нашем четырехугольнике. Далее воспользовавшись формулой Грина получим:
(13)
Устремив и воспользовавшись свойствами потенциала двойного слоя, получим:
(14)
В формуле (14) было использовано второе уравнение из (10).
Стоит отметить, что pinc удовлетворяет уравнению Гельмгольца (7), а следовательно имеет вид:
(15)
Заметим, что интегральное уравнение (14) является уравнением Фредгольма второго рода, правая часть которого нам известна, так как функция Грина известна из (11), а из (15) следует что:
(16)
где
(17)
и - внешняя нормаль.
Разберемся с вопросом о выборе внешней нормали на каждой из сторон. Очевидно, что для стороны длинной a внешняя нормаль - , для стороны длинной b внешняя нормаль - , для стороны y1 внешняя нормаль - ; для стороны y2 внешняя нормаль - .
Решим интегральное уравнение (14) методом коллокаций. Организуем две последовательности: - внешние узлы и - внутренние узлы, где i = 1, ..., N и j = 1, ..., N. Заметим, что методом коллокаций называется такой численный метод дискретизации интегрального (14) при котором множество внутренних узлов совпадает с множеством внешних узлов, то есть . Из вида уравнения (14) отраженное поле следует искать в виде:
(18)
Тогда дискретизируя уравнение (14) и разделяя вещественные и мнимые части в нем получим:
(19)
(20)
где , и Dl - величина шага.
Введем обозначения:
Таким образом, мы получили систему вида Ap = f, где A ∈ M2N×2N; p, f ∈ R2N и имеют вид:
Заметим, что диагональные элементы матрицы A ∈ M2N×2N должны иметь вид , но так как , то ими можно пренебречь.
Так как на диагонали матрицы A ∈ M2N×2N стоят элементы большие, чем остальные элементы матрицы, то эта матрица хорошо обусловлена. Для решения данной системы линейных алгебраических уравнений можно пользоваться QL - алгоритмами.
Предложенный в данной работе метод был апробирован на конкретных тестовых геометриях, для которых удается эффективно построить распределение первой сотни собственных частот колебания в реальном масштабе времени.
Список литературы
- Исакович М.А. Общая акустика. - М.: Наука, 1973.
- Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. - М.: Мир, 1987.
- Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. - М.: Мир, 1984.
Статья в формате PDF
228 KB...
28 07 2026 9:59:44
Статья в формате PDF
115 KB...
27 07 2026 6:46:31
Статья в формате PDF
101 KB...
26 07 2026 23:32:38
Статья в формате PDF
255 KB...
25 07 2026 0:59:51
Статья в формате PDF
338 KB...
24 07 2026 17:56:38
Статья в формате PDF
251 KB...
23 07 2026 22:25:41
Статья в формате PDF
117 KB...
22 07 2026 22:10:29
Статья в формате PDF
244 KB...
21 07 2026 11:27:14
Статья в формате PDF
132 KB...
20 07 2026 21:17:57
Статья в формате PDF
262 KB...
19 07 2026 13:29:28
Статья в формате PDF
140 KB...
18 07 2026 14:20:56
В работе рассматривается процесс утилизации ртутьсодержащих соединений с использованием в качестве активного соединения кремния, что экономически более выгодно, чем использование порошкообразного титана. Рассматривается возможность миграции ртути в условиях возрастающей техногенной деятельности человечества.
...
17 07 2026 8:15:32
Статья в формате PDF
147 KB...
16 07 2026 15:17:43
Статья в формате PDF
100 KB...
15 07 2026 18:45:16
Статья в формате PDF
163 KB...
14 07 2026 8:20:14
Статья в формате PDF
144 KB...
13 07 2026 16:41:51
Рассматриваются вопросы локального термодинамического равновесия растворов при фазовых переходах в многолетнемерзлых горных породах. Предложен способ расчета понижения температуры замерзания раствора и с учетом взаимодействия в ней ионов растворенного вещества. Получен критерий существования утойчивости термодинамического равновесия раствора при фазовых переходах.
...
12 07 2026 5:28:58
Статья в формате PDF
110 KB...
10 07 2026 13:17:24
Статья в формате PDF
256 KB...
09 07 2026 9:51:54
Статья в формате PDF
144 KB...
08 07 2026 16:27:24
Статья в формате PDF 108 KB...
06 07 2026 9:48:18
Статья в формате PDF
222 KB...
04 07 2026 4:37:41
Представлен научный обзор литературных данных о репаративной регенерации соединительной ткани и возможного регуляторного влияния на этот процесс с помощью облучения рефлексогенных кожных зон электромагнитным излучением крайне высокочастотного и терагерцового диапазонов. Акцентируется внимание на значении нейровегетативного компонента в ходе адаптационных реакций соединительной ткани к повреждению с помощью современных стресс-лимитирующих реабилитационных технологий. Анализируются современные гипотезы предполагаемого механизма действия корригирующих методик на основе электромагнитных стимулов крайне высокочастотного и терагерцового диапазонов на процессы межклеточных нейроиммунноэндокринных взаимодействий. Обосновывается необходимость дальнейших экспериментальных исследований на клеточном уровне in vitro для подбора оптимальных параметров воздействия с целью регуляции пролиферативной и функциональной клеточной активности и разработки новых приборов с шумовым диапазоном излучения.
...
03 07 2026 22:17:35
Статья в формате PDF
254 KB...
02 07 2026 0:52:28
Статья в формате PDF
330 KB...
01 07 2026 17:52:28
Статья в формате PDF
307 KB...
30 06 2026 14:55:41
Статья в формате PDF
107 KB...
29 06 2026 0:57:12
Статья в формате PDF
99 KB...
28 06 2026 1:54:46
Статья в формате PDF
121 KB...
26 06 2026 3:17:54
Статья в формате PDF
124 KB...
25 06 2026 20:23:22
Статья в формате PDF
113 KB...
24 06 2026 14:39:12
Статья в формате PDF
251 KB...
23 06 2026 2:35:44
По комплексу признаков оценили трaнcформированные урбанизацией лесные фитоценозы, и населяющие их сообщества мелких млекопитающих в лесопарково-парковой зоне крупного промышленного центра. Выявили, что хотя и наблюдаются общие закономерности в группировке фито- и зооценозов в зависимости от уровня и хаpaктера урбаногенного воздействия, но между ними нет полного соответствия. Специфика сообществ мелких млекопитающих определяется не только эдафо-растительными условиями. Ведущим параметром в трaнcформации сообществ является рекреация и сопровождающие ее факторы.
...
22 06 2026 1:23:53
Статья в формате PDF
111 KB...
20 06 2026 16:50:50
Статья в формате PDF
115 KB...
19 06 2026 19:59:32
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
