МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОЦЕНКЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ОБЛАСТИ СО СКОСАМИ СТЕН
Рассмотрим задачу о расчете собственных частот колебания прямоугольной области со скосами стен. Данная проблема актуальна в акустике помещений при улучшении качества звучания. Для решения задачи используем метод граничных интегральных уравнений (ГИУ).
Остановимся на геометрии этой области. Пусть две смежные стороны без скоса имеют размеры a и b. А две другие зададим, как уравнение прямой через угловой коэффициент и точку:
(1)
(2)
где k* = ctgα, k2 = tgβ. Углы a и b отсчитываются от соответствующих сторон прямоугольника с размерами a на b, как показана на рисунке.
Геометрия задаваемой области
Заметим, что такая параметризация скошенных сторон четырехугольника позволит избежать неприятностей при переходе к прямоугольнику.
Будем рассматривать только выпуклые четырехугольники. Для этого наложим ограничения на углы скоса сторон. Такими условиями очевидно являются:
(3)
(4)
(5)
(6)
Отметим, условия (5) и (6) есть ни что иное, как условия нахождения точки пересечения двух скошенных сторон в правом верхнем квадранте.
Вернемся к решению самой задачи. Мы рассматриваем поле давлений внутри четырехугольной области с двумя смежными скошенными сторонами. Известно, что в данной области поле давлений удовлетворяет уравнению Гельмгольца:
(7)
где - волновое число, ω - круговая частота, c - скорость звука в данной среде.
Рассмотрим граничные условия. Оно имеет вид:
(8)
где l - контур (в нашем случаи четырехугольник). Заметим, что полное давление представимо в виде:
(9)
где pinc - поле давлений порожденное точечным источником звука; psc - отраженное поле давлений.
Рассмотрим задачу об нахождении отраженного поля на контуре l. Для этого, перепишем условия (7) и (8) с учетом (9). Тогда получим:
(10)
Решать систему (10) будем с помощью метода граничных интегральных уравнений (МГИУ). Зафиксируем точку x = (x1, x2) внутри контура l, а точка y = (y1, y2) - переменная. Введем расстояние между точками x и y, как .
Заметим, функция Грина для данной задачи имеет вид:
(11)
где - функция Ханкеля, а J0(kr), Y0(kr) - функции Бесселя первого и второго рода соответственно, причем она сама по определению удовлетворяет уравнению Гельмгольца:
. (12)
Возьмем первое уравнение (10) и умножим его на функцию Грина, затем уравнение (12) умножим на отраженное поле давлений, вычитаем одно из другого и интегрируем по области заключенной в нашем четырехугольнике. Далее воспользовавшись формулой Грина получим:
(13)
Устремив и воспользовавшись свойствами потенциала двойного слоя, получим:
(14)
В формуле (14) было использовано второе уравнение из (10).
Стоит отметить, что pinc удовлетворяет уравнению Гельмгольца (7), а следовательно имеет вид:
(15)
Заметим, что интегральное уравнение (14) является уравнением Фредгольма второго рода, правая часть которого нам известна, так как функция Грина известна из (11), а из (15) следует что:
(16)
где
(17)
и - внешняя нормаль.
Разберемся с вопросом о выборе внешней нормали на каждой из сторон. Очевидно, что для стороны длинной a внешняя нормаль - , для стороны длинной b внешняя нормаль - , для стороны y1 внешняя нормаль - ; для стороны y2 внешняя нормаль - .
Решим интегральное уравнение (14) методом коллокаций. Организуем две последовательности: - внешние узлы и - внутренние узлы, где i = 1, ..., N и j = 1, ..., N. Заметим, что методом коллокаций называется такой численный метод дискретизации интегрального (14) при котором множество внутренних узлов совпадает с множеством внешних узлов, то есть . Из вида уравнения (14) отраженное поле следует искать в виде:
(18)
Тогда дискретизируя уравнение (14) и разделяя вещественные и мнимые части в нем получим:
(19)
(20)
где , и Dl - величина шага.
Введем обозначения:
Таким образом, мы получили систему вида Ap = f, где A ∈ M2N×2N; p, f ∈ R2N и имеют вид:
Заметим, что диагональные элементы матрицы A ∈ M2N×2N должны иметь вид , но так как , то ими можно пренебречь.
Так как на диагонали матрицы A ∈ M2N×2N стоят элементы большие, чем остальные элементы матрицы, то эта матрица хорошо обусловлена. Для решения данной системы линейных алгебраических уравнений можно пользоваться QL - алгоритмами.
Предложенный в данной работе метод был апробирован на конкретных тестовых геометриях, для которых удается эффективно построить распределение первой сотни собственных частот колебания в реальном масштабе времени.
Список литературы
- Исакович М.А. Общая акустика. - М.: Наука, 1973.
- Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. - М.: Мир, 1987.
- Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. - М.: Мир, 1984.
Статья в формате PDF
110 KB...
27 09 2026 23:22:15
Статья в формате PDF
275 KB...
26 09 2026 10:31:49
Статья в формате PDF
255 KB...
25 09 2026 5:30:50
Статья в формате PDF
121 KB...
23 09 2026 9:12:12
Статья в формате PDF
161 KB...
22 09 2026 1:41:34
Статья в формате PDF
104 KB...
21 09 2026 21:52:44
Статья в формате PDF
128 KB...
20 09 2026 21:55:59
Исследованы количество клеток и клеточный состав крови и кроветворных органов мелких млекопитающих (Mus musculus, Apodemus sylvaticus, Clethrionomys rutilus) с территорий, подвергшихся радиационному влиянию (Восточно-Уральский радиоактивный след, Свердловская область, Тоцкий радиоактивный след, Оренбургская область). Установлены изменения состава и структуры клеток крови, клеточного состава и концентрации клеток кроветворной ткани в зависимости от вида животных и места их обитания. Влияние на организм мышей и полевок радиационного фактора среды подтверждает обнаружение в тушках животных радионуклидов.
...
19 09 2026 5:59:38
Статья в формате PDF
113 KB...
18 09 2026 5:48:12
Целью исследования явился анализ биоэлектрической активности сердца коренных и пришлых дeвyшек Горного Алтая алтайской и русской национальностей по данным электрокардиографии. Выявлено, что длительность интервала QT снижена во всех исследуемых группах, а интервала ТР и комплекса QRS превышает общепринятые значения. Снижение длительности всех интервалов происходит от алтаек к русским пришлым, что может свидетельствовать о более выраженной симпатикотонии среди последних. Расчетные величины показывают существенное несоответствие фактических значений должным, за исключением синусового ритма, который также снижается от алтаек к русским пришлым. Анализ амплитудно-частотных хаpaктеристик указывает на нарушения, связанные с процессами реполяризации, внутрижелудочковой и внутрипредсердной проводимости, а также гипертрофии этих отделов. О гипертрофии отделов сердца и нарушениях внутрижелудочковой проводимости в виде блокады ножек пучка Гиса свидетельствует также положение электрической оси сердца.
...
16 09 2026 9:31:51
Статья в формате PDF
112 KB...
15 09 2026 12:38:12
Статья в формате PDF
117 KB...
14 09 2026 4:26:38
Статья в формате PDF
105 KB...
13 09 2026 21:47:29
В работе изучено состояние процессов перекисного окисления липидов и содержание фосфолипазы А2 в периферической крови беременных III триместра с обострением гepпeс-вирусной инфекции в зависимости от титра антител IgG к вирусу простого гepпeса 1 типа. Установлено, что обострение гepпeс-вирусной инфекции в период гестации способствует активации процессов перекисного окисления липидов, регистрируемого по содержанию ТБК-активных продуктов (малонового диальдегида), повышению содержания фосфолипазы А2, наиболее выраженное при титре антител IgG к ВПГ-1 1:12800 и является причиной деструктивных процессов в составе липидов эритроцитов.
...
12 09 2026 13:54:39
В работе обосновано применение метода Дэвиса для оценки коэффициентов активности ионов, образующихся в кислотно-основной системе, при определении термодинамических констант диссоциации ароматических кислот в среде диметилформамида.
...
11 09 2026 16:12:31
Статья в формате PDF
128 KB...
10 09 2026 21:58:42
Статья в формате PDF
151 KB...
09 09 2026 14:54:33
Статья в формате PDF
98 KB...
08 09 2026 7:43:14
Статья в формате PDF
254 KB...
06 09 2026 10:49:41
Статья в формате PDF
150 KB...
05 09 2026 18:11:29
Статья в формате PDF
139 KB...
03 09 2026 4:14:38
Статья в формате PDF
290 KB...
02 09 2026 8:18:18
Статья в формате PDF 217 KB...
31 08 2026 19:11:14
Статья в формате PDF
161 KB...
30 08 2026 15:11:47
Статья в формате PDF
124 KB...
29 08 2026 15:42:59
Статья в формате PDF
85 KB...
28 08 2026 13:37:37
Статья в формате PDF
306 KB...
26 08 2026 2:49:21
В результате патогенетического обоснования компьютерной дермографии (КД) изучены возможности использования этого метода при бронхиальной астме (БА) у 176 пациентов в возрасте от 3 до 15 лет. Показаны возможности использования КД для диагностики периода БА, форм тяжести и тяжести приступа заболевания, дифференциальной диагностики интермиттирующей и персистирующей БА, контроля течения и оценки эффективности терапии у детей и подростков.
...
25 08 2026 1:14:59
Статья в формате PDF
127 KB...
23 08 2026 5:16:52
Статья в формате PDF
666 KB...
22 08 2026 6:18:51
Статья в формате PDF
172 KB...
21 08 2026 23:45:54
Статья в формате PDF
135 KB...
20 08 2026 21:13:35
Статья в формате PDF
115 KB...
19 08 2026 12:20:47
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
