Тысяча полезных мелочей    

МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОЦЕНКЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ОБЛАСТИ СО СКОСАМИ СТЕН

МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОЦЕНКЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ОБЛАСТИ СО СКОСАМИ СТЕН

Абрамов В.В. Статья в формате PDF 835 KB

Рассмотрим задачу о расчете собственных частот колебания прямоугольной области со скосами стен. Данная проблема актуальна в акустике помещений при улучшении качества звучания. Для решения задачи используем метод граничных интегральных уравнений (ГИУ).

Остановимся на геометрии этой области. Пусть две смежные стороны без скоса имеют размеры a и b. А две другие зададим, как уравнение прямой через угловой коэффициент и точку:

 (1)

 (2)

где k* = ctgα, k2 = tgβ. Углы a и b отсчитываются от соответствующих сторон прямоугольника с размерами a на b, как показана на рисунке.

Геометрия задаваемой области

Заметим, что такая параметризация скошенных сторон четырехугольника позволит избежать неприятностей при переходе к прямоугольнику.

Будем рассматривать только выпуклые четырехугольники. Для этого наложим ограничения на углы скоса сторон. Такими условиями очевидно являются:

 (3)

 (4)

 (5)

 (6)

Отметим, условия (5) и (6) есть ни что иное, как условия нахождения точки пересечения двух скошенных сторон в правом верхнем квадранте.

Вернемся к решению самой задачи. Мы рассматриваем поле давлений внутри четырехугольной области с двумя смежными скошенными сторонами. Известно, что в данной области поле давлений удовлетворяет уравнению Гельмгольца:

 (7)

где  - волновое число, ω - круговая частота, c - скорость звука в данной среде.

Рассмотрим граничные условия. Оно имеет вид:

 (8)

где l - контур (в нашем случаи четырехугольник). Заметим, что полное давление представимо в виде:

 (9)

где pinc - поле давлений порожденное точечным источником звука; psc - отраженное поле давлений.

Рассмотрим задачу об нахождении отраженного поля на контуре l. Для этого, перепишем условия (7) и (8) с учетом (9). Тогда получим:

 (10)

Решать систему (10) будем с помощью метода граничных интегральных уравнений (МГИУ). Зафиксируем точку x = (x1, x2) внутри контура l, а точка y = (y1, y2) - переменная. Введем расстояние между точками x и y, как .

Заметим, функция Грина для данной задачи имеет вид:

 (11)

где  - функция Ханкеля, а J0(kr), Y0(kr) - функции Бесселя первого и второго рода соответственно, причем она сама по определению удовлетворяет уравнению Гельмгольца:

. (12)

Возьмем первое уравнение (10) и умножим его на функцию Грина, затем уравнение (12) умножим на отраженное поле давлений, вычитаем одно из другого и интегрируем по области заключенной в нашем четырехугольнике. Далее воспользовавшись формулой Грина получим:

 (13)

Устремив  и воспользовавшись свойствами потенциала двойного слоя, получим:

 (14)

В формуле (14) было использовано второе уравнение из (10).

Стоит отметить, что pinc удовлетворяет уравнению Гельмгольца (7), а следовательно имеет вид:

 (15)

Заметим, что интегральное уравнение (14) является уравнением Фредгольма второго рода, правая часть которого нам известна, так как функция Грина известна из (11), а из (15) следует что:

 (16)

где 

 (17)

и  - внешняя нормаль.

Разберемся с вопросом о выборе внешней нормали на каждой из сторон. Очевидно, что для стороны длинной a внешняя нормаль - , для стороны длинной b внешняя нормаль - , для стороны y1 внешняя нормаль - ; для стороны y2 внешняя нормаль - .

Решим интегральное уравнение (14) методом коллокаций. Организуем две последовательности:  - внешние узлы и  - внутренние узлы, где i = 1, ..., N и j = 1, ..., N. Заметим, что методом коллокаций называется такой численный метод дискретизации интегрального (14) при котором множество внутренних узлов совпадает с множеством внешних узлов, то есть . Из вида уравнения (14) отраженное поле следует искать в виде:

 (18)

Тогда дискретизируя уравнение (14) и разделяя вещественные и мнимые части в нем получим:

 (19)

 (20)

где ,  и Dl - величина шага.

Введем обозначения:

Таким образом, мы получили систему вида Ap = f, где A ∈ M2N×2N; p, f ∈ R2N и имеют вид:

   

Заметим, что диагональные элементы матрицы A ∈ M2N×2N должны иметь вид , но так как , то ими можно пренебречь.

Так как на диагонали матрицы A ∈ M2N×2N стоят элементы большие, чем остальные элементы матрицы, то эта матрица хорошо обусловлена. Для решения данной системы линейных алгебраических уравнений можно пользоваться QL - алгоритмами.

Предложенный в данной работе метод был апробирован на конкретных тестовых геометриях, для которых удается эффективно построить распределение первой сотни собственных частот колебания в реальном масштабе времени.

Список литературы

  1. Исакович М.А. Общая акустика. - М.: Наука, 1973.
  2. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. - М.: Мир, 1987.
  3. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. - М.: Мир, 1984.


УТИЛИЗАЦИЯ РТУТЬСОДЕРЖАЩИХ ОТХОДОВ

УТИЛИЗАЦИЯ РТУТЬСОДЕРЖАЩИХ ОТХОДОВ В работе рассматривается процесс утилизации ртутьсодержащих соединений с использованием в качестве активного соединения кремния, что экономически более выгодно, чем использование порошкообразного титана. Рассматривается возможность миграции ртути в условиях возрастающей техногенной деятельности человечества. ...

17 07 2026 8:15:32

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СОСТОЯНИЙ ЛОКАЛЬНОГО ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ РАСТВОРОВ ПРИ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДАХ

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СОСТОЯНИЙ ЛОКАЛЬНОГО ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ  РАСТВОРОВ ПРИ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДАХ Рассматриваются вопросы локального термодинамического равновесия растворов при фазовых переходах в многолетнемерзлых горных породах. Предложен способ расчета понижения температуры замерзания раствора и с учетом взаимодействия в ней ионов растворенного вещества. Получен критерий существования утойчивости термодинамического равновесия раствора при фазовых переходах. ...

12 07 2026 5:28:58

ГОРНЫЕ ПОРОДЫ: АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ГОРНЫЕ ПОРОДЫ: АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Статья в формате PDF 157 KB...

11 07 2026 17:52:28

STATISTICAL DESCRIPTION OF CONTROL SYSTEMS IN NANOLITHOGRAPHY

STATISTICAL DESCRIPTION OF CONTROL SYSTEMS IN NANOLITHOGRAPHY Статья в формате PDF 144 KB...

08 07 2026 16:27:24

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА УДАРОВ ВАЛЬЦОВ БАРАБАНА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА УДАРОВ ВАЛЬЦОВ БАРАБАНА Статья в формате PDF 571 KB...

07 07 2026 0:16:23

ЭКОЛОГИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ ДРЕВОСТОЯ

ЭКОЛОГИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ ДРЕВОСТОЯ Статья в формате PDF 319 KB...

05 07 2026 4:10:30

МЕХАНИЗМЫ ВЛИЯНИЯ НИЗКОИНТЕНСИВНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ КРАЙНЕ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО И ТЕРАГЕРЦОВОГО ДИАПАЗОНОВ НА ПРОЦЕССЫ РЕПАРАТИВНОЙ РЕГЕНЕРАЦИИ СОЕДИНИТЕЛЬНОЙ ТКАНИ

МЕХАНИЗМЫ ВЛИЯНИЯ НИЗКОИНТЕНСИВНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ КРАЙНЕ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО И ТЕРАГЕРЦОВОГО ДИАПАЗОНОВ НА ПРОЦЕССЫ РЕПАРАТИВНОЙ РЕГЕНЕРАЦИИ СОЕДИНИТЕЛЬНОЙ ТКАНИ Представлен научный обзор литературных данных о репаративной регенерации соединительной ткани и возможного регуляторного влияния на этот процесс с помощью облучения рефлексогенных кожных зон электромагнитным излучением крайне высокочастотного и терагерцового диапазонов. Акцентируется внимание на значении нейровегетативного компонента в ходе адаптационных реакций соединительной ткани к повреждению с помощью современных стресс-лимитирующих реабилитационных технологий. Анализируются современные гипотезы предполагаемого механизма действия корригирующих методик на основе электромагнитных стимулов крайне высокочастотного и терагерцового диапазонов на процессы межклеточных нейроиммунноэндокринных взаимодействий. Обосновывается необходимость дальнейших экспериментальных исследований на клеточном уровне in vitro для подбора оптимальных параметров воздействия с целью регуляции пролиферативной и функциональной клеточной активности и разработки новых приборов с шумовым диапазоном излучения. ...

03 07 2026 22:17:35

Звягинцева Татьяна Владимировна

Звягинцева Татьяна Владимировна Статья в формате PDF 69 KB...

27 06 2026 0:16:10

МЕЛКИЕ МЛЕКОПИТАЮЩИЕ В ТРАНСФОРМИРОВАННЫХ УРБАНИЗАЦИЕЙ ЛЕСНЫХ ЭКОСИСТЕМАХ

МЕЛКИЕ МЛЕКОПИТАЮЩИЕ В ТРАНСФОРМИРОВАННЫХ УРБАНИЗАЦИЕЙ ЛЕСНЫХ ЭКОСИСТЕМАХ По комплексу признаков оценили трaнcформированные урбанизацией лесные фитоценозы, и населяющие их сообщества мелких млекопитающих в лесопарково-парковой зоне крупного промышленного центра. Выявили, что хотя и наблюдаются общие закономерности в группировке фито- и зооценозов в зависимости от уровня и хаpaктера урбаногенного воздействия, но между ними нет полного соответствия. Специфика сообществ мелких млекопитающих определяется не только эдафо-растительными условиями. Ведущим параметром в трaнcформации сообществ является рекреация и сопровождающие ее факторы. ...

22 06 2026 1:23:53

СУЩНОСТЬ КРИЗИСНЫХ ОТНОШЕНИЙ (ОТДЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ)

СУЩНОСТЬ КРИЗИСНЫХ ОТНОШЕНИЙ (ОТДЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ) Статья в формате PDF 295 KB...

21 06 2026 15:18:19

Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::