ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГРУЗА ПРИ НАЛИЧИИ НЕУДЕРЖИВАЮЩЕЙ СВЯЗИ

Авторы
Файлы

Бертяев В.В. Статья в формате PDF 1342 KB

Рассмотрим движение груза M массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной - l₀ (рис. 1,а). Пренебрежем размерами груза и заменим его материальной точкой. Нить для материальной точки является связью, определяемой неравенством

или r ≤ l₀, (1)

где r - длина радиус вектора, задающего положение точки на полярной оси OM.

Рассмотрим материальную точку в произвольный момент времени, предполагая наличие связи (1)
(рис. 1,б), действие которой, при составлении уравнений движения, заменим ее реакцией - силой натяжения нити . На точку также действует сила тяжести . Учитывая, что при наличии связи r = l₀ и , дифференциальные уравнения в проекциях на оси полярной системы координат запишем в виде:

Данные уравнения можно преобразовать к виду

(2)

где , - приведенная угловая скорость отклонения нити от вертикали, - сила натяжения, отнесенная к весу груза.

Рис. 1. Расчетная схема

Начальные условия для системы (2) имеют вид

(3)

Движение материальной точки будет описываться дифференциальными уравнениями (2) с начальными условиями (3) до тех пор, пока связь, наложенная на данную точку, остается удерживающей, т.е. выполняется условие

r = l₀ или N ≥ 0, т.е. (4)

Для решения первого уравнения системы (2) введем преобразование . Разделяя переменные, представим это уравнение в виде

Интегрируя с учетом начальных условий (3), получим

(5)

Интеграл энергии (5) примет вид:

(6)

где

Выражение для силы натяжения нити с учетом (6) запишется в виде

(7)

Рассмотрим теперь предельные состояния при движении груза. Анализ выражения (6) позволяет сделать вывод о том, что параметр s хаpaктеризует два вида движения груза: колебательное и круговое.

При значениях 0 < σ ≤ 1 его можно представить в виде и выражение (6) запишется в виде

откуда следует, что и , т.е. движение носит колебательный хаpaктер, а параметр α хаpaктеризует амплитуду колебательного движения:

При значениях σ > 1 величина в любой момент времени, и груз совершает круговое движение.

Таким образом, предельным, разделяющим два движения груза, является уравнение σ = 1 (рис. 2), которое можно записать в виде

или

При значениях груз может совершать круговое движение, а при значениях - колебательное движение.

Рис. 2. Области на фазовой плоскости

Область на фазовой плоскости, в которой связь становится неудерживающей , определяется кривыми (рис. 2), и расположена внутри интервалов и .

Следовательно, при колебательном движении груза, его амплитуда не может превышать величину . Значения начальных условий, обеспечивающих такое движения груза при наличии удерживающей связи, расположены внутри эллипса, задаваемого уравнением (область I на рис. 2)

или

Для определения области начальных условий, обеспечивающих круговое движение груза, рассмотрим выражение (7). Минимальное значение реакции нити достигается при значениях φ = π. Кривые , определяемые уравнением , ограничивают снизу область начальных условий, обеспечивающих круговое движение груза (области III рис. 2).

В качестве примера рассмотрим численные решения системы (2) со следующими начальными условиями (см. рис. 2):

1. φ₀ = 0, - обеспечивают колебательное движение (область I);

2. φ₀ = 0, - связь становится неудерживающей (область II);

3. φ₀ = 0, - обеспечивают круговое движение (область III).

Рис. 3. Графики изменения угловых координат, при начальных условиях:
1 - φ₀ = 0, ; 2 - φ₀ = 0, ; 3 - φ₀ = 0,

Рис 4. График изменения силы реакций связи при начальных условиях:
1 - φ₀ = 0, ; 2 - φ₀ = 0, ; 3 - φ₀ = 0,

Рис. 5. Траектории груза при начальных условиях:
1 - φ₀ = 0, ; 2 - φ₀ = 0,

Как видно из рис. 4 и 5, в некоторый момент времени связь исчезает, т.е. , и груз начинает двигаться под действием силы тяжести, как свободная материальная точка. В последующих движениях мгновенное возникновение связи приводит к изменению направления движения груза.

Список литературы

Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Пpaктикум: учебное пособие // СПБ, БХВ. - СПб., 2005. - 752 с.
Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики: ч. 1, 2. - М.: Наука, 1983.

Влияние энергетического кризиса 1973 года на экономику РФ

Статья в формате PDF 278 KB...

23 03 2026 15:35:53

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ И ТЕСТИРОВАНИЕ ПО БЕЗОПАСНОСТИ ДВИЖЕНИЯ ПОЕЗДОВ И ОХРАНЕ ТРУДА

Статья в формате PDF 165 KB...

22 03 2026 23:45:42

РЕГИОНАЛЬНАЯ ТЕКТОНИКА И ГЛАВНЫЕ НЕФТЕГАЗОНОСНЫЕ БАССЕЙНЫ КИТАЯ

Статья в формате PDF 1797 KB...

21 03 2026 22:14:54

МЕХАНИЗМЫ ИНТЕГРАЦИИ ЭКОНОМИКИ В СИСТЕМУ МИРОХОЗЯЙСТВЕННЫХ СВЯЗЕЙ: РЕГИОНАЛЬНЫЙ АСПЕКТ

Статья в формате PDF 123 KB...

20 03 2026 3:54:59

Состояние гемокоагуляционного и тромбоцитарного компонентов гемостаза под влиянием антибиотиков в опытах in vitro

Статья в формате PDF 101 KB...

19 03 2026 1:18:41

ВЛИЯНИЕ ТЕХНОГЕННЫХ ЭМИССИЙ ТОБОЛЬСКОГО НЕФТЕХИМИЧЕСКОГО КОМБИНАТА НА ИЗМЕНЕНИЕ МОРФОФИЗИОЛОГИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ БЕРЕЗЫ ПОВИСЛОЙ (BETULA PENDULA ROTH.IN TENT.FL.GERM) И ТОПОЛЯ ДРОЖАЩЕГО (POPULUS TREMULA L.IN SP.PL.)

Статья в формате PDF 139 KB...

18 03 2026 10:30:50

Особенности фосфорно-кальциевого обмена у больных эпилепсией

Статья в формате PDF 102 KB...

17 03 2026 0:58:23

СОСТОЯНИЕ ЛИЗОСОМАЛЬНОГО КАТИОННОГО БЕЛКА И АКТИВНОСТИ МИЕЛОПЕРОКСИДАЗЫ У БОЛЬНЫХ АНГИНАМИ РАЗЛИЧНОЙ ЭТИОЛОГИИ

Статья в формате PDF 119 KB...

16 03 2026 13:37:47

Некоторые социальные аспекты начального образования

Статья в формате PDF 121 KB...

15 03 2026 19:51:10

НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ПРОМЫШЛЕННОЙ БЕЗОПАСНОСТИ ЦЕХА №633 СБОРКИ ПЛАТЫ ПРЕДПРИЯТИЯ ОАО «МЗ РИП»

Статья в формате PDF 117 KB...

14 03 2026 15:39:38

ИССЛЕДОВАНИЕ ФАКТОРОВ ПРЕДРАСПОЛОЖЕННОСТИ К АЛКОГОЛИЗМУ: СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПОВЕДЕНЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ И СИСТЕМЫ БИОГЕННЫХ АМИНОВ У ПРЕДПОЧИТАЮЩИХ И НЕ ПРЕДПОЧИТАЮЩИХ АЛКОГОЛЬ КРЫС

Предпочитающие алкоголь крысы при исследовании поведения в тестах «открытое поле» и «приподнятый крестообразный лабиринт» показали значимо большую двигательную активность и признаки повышенной тревожности. Содержание дофамина и норадреналина в миндалевидном комплексе мозга предпочитающих алкоголь крыс значимо выше, у них также ускорен метаболизм дофамина по сравнению с не предпочитающими алкоголь крысами. ...

13 03 2026 10:42:47

ФИЗИЧЕСКОЕ ВОСПИТАНИЕ ДЕТЕЙ 5-6 ЛЕТ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НАЦИОНАЛЬНОЙ КУЛЬТУРЫ ЧУКОТКИ

Статья в формате PDF 139 KB...

12 03 2026 9:33:52

Креативность образования через психологию здоровья

Статья в формате PDF 119 KB...

11 03 2026 16:47:55

К МЕТОДИКЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ПОСТРОЕНИЯ СПЕКТРА ИЗЛУЧЕНИЯ ЛЮМИНОФОРА

Статья в формате PDF 147 KB...

10 03 2026 7:36:40

ВЛИЯНИЕ АНТРОПОГЕННОГО ФАКТОРА НА ЦЕНОПОПУЛЯЦИИ PULSATILLA MULTIFIDA В ЮГО-ЗАПАДНОЙ И ЗАПАДНОЙ ЯКУТИИ

Изучены ценопопуляции Pulsatilla multifida на территории Юго-Западной и Западной Якутии. Рассмотрено влияние антропогенного фактора на их состояние ...