ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГРУЗА ПРИ НАЛИЧИИ НЕУДЕРЖИВАЮЩЕЙ СВЯЗИ

Авторы
Файлы

Бертяев В.В. Статья в формате PDF 1342 KB

Рассмотрим движение груза M массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной - l₀ (рис. 1,а). Пренебрежем размерами груза и заменим его материальной точкой. Нить для материальной точки является связью, определяемой неравенством

или r ≤ l₀, (1)

где r - длина радиус вектора, задающего положение точки на полярной оси OM.

Рассмотрим материальную точку в произвольный момент времени, предполагая наличие связи (1)
(рис. 1,б), действие которой, при составлении уравнений движения, заменим ее реакцией - силой натяжения нити . На точку также действует сила тяжести . Учитывая, что при наличии связи r = l₀ и , дифференциальные уравнения в проекциях на оси полярной системы координат запишем в виде:

Данные уравнения можно преобразовать к виду

(2)

где , - приведенная угловая скорость отклонения нити от вертикали, - сила натяжения, отнесенная к весу груза.

Рис. 1. Расчетная схема

Начальные условия для системы (2) имеют вид

(3)

Движение материальной точки будет описываться дифференциальными уравнениями (2) с начальными условиями (3) до тех пор, пока связь, наложенная на данную точку, остается удерживающей, т.е. выполняется условие

r = l₀ или N ≥ 0, т.е. (4)

Для решения первого уравнения системы (2) введем преобразование . Разделяя переменные, представим это уравнение в виде

Интегрируя с учетом начальных условий (3), получим

(5)

Интеграл энергии (5) примет вид:

(6)

где

Выражение для силы натяжения нити с учетом (6) запишется в виде

(7)

Рассмотрим теперь предельные состояния при движении груза. Анализ выражения (6) позволяет сделать вывод о том, что параметр s хаpaктеризует два вида движения груза: колебательное и круговое.

При значениях 0 < σ ≤ 1 его можно представить в виде и выражение (6) запишется в виде

откуда следует, что и , т.е. движение носит колебательный хаpaктер, а параметр α хаpaктеризует амплитуду колебательного движения:

При значениях σ > 1 величина в любой момент времени, и груз совершает круговое движение.

Таким образом, предельным, разделяющим два движения груза, является уравнение σ = 1 (рис. 2), которое можно записать в виде

или

При значениях груз может совершать круговое движение, а при значениях - колебательное движение.

Рис. 2. Области на фазовой плоскости

Область на фазовой плоскости, в которой связь становится неудерживающей , определяется кривыми (рис. 2), и расположена внутри интервалов и .

Следовательно, при колебательном движении груза, его амплитуда не может превышать величину . Значения начальных условий, обеспечивающих такое движения груза при наличии удерживающей связи, расположены внутри эллипса, задаваемого уравнением (область I на рис. 2)

или

Для определения области начальных условий, обеспечивающих круговое движение груза, рассмотрим выражение (7). Минимальное значение реакции нити достигается при значениях φ = π. Кривые , определяемые уравнением , ограничивают снизу область начальных условий, обеспечивающих круговое движение груза (области III рис. 2).

В качестве примера рассмотрим численные решения системы (2) со следующими начальными условиями (см. рис. 2):

1. φ₀ = 0, - обеспечивают колебательное движение (область I);

2. φ₀ = 0, - связь становится неудерживающей (область II);

3. φ₀ = 0, - обеспечивают круговое движение (область III).

Рис. 3. Графики изменения угловых координат, при начальных условиях:
1 - φ₀ = 0, ; 2 - φ₀ = 0, ; 3 - φ₀ = 0,

Рис 4. График изменения силы реакций связи при начальных условиях:
1 - φ₀ = 0, ; 2 - φ₀ = 0, ; 3 - φ₀ = 0,

Рис. 5. Траектории груза при начальных условиях:
1 - φ₀ = 0, ; 2 - φ₀ = 0,

Как видно из рис. 4 и 5, в некоторый момент времени связь исчезает, т.е. , и груз начинает двигаться под действием силы тяжести, как свободная материальная точка. В последующих движениях мгновенное возникновение связи приводит к изменению направления движения груза.

Список литературы

Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Пpaктикум: учебное пособие // СПБ, БХВ. - СПб., 2005. - 752 с.
Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики: ч. 1, 2. - М.: Наука, 1983.

Влияние ингибиторов превращений арахидоновой кислоты на постоянное внутрисосудистое свертывание крови и липопероксидацию

Статья в формате PDF 124 KB...

31 10 2026 18:42:13

К ВОПРОСУ ОБ АДАПТАЦИИ ОРГАНИЗМА ЧЕЛОВЕКА В МЕНЯЮЩИХСЯ МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ

Статья в формате PDF 150 KB...

30 10 2026 13:35:46

Особенности развития промышленной политики экономически развитых стран

Статья в формате PDF 357 KB...

29 10 2026 1:30:54

РЕЗУЛЬТАТЫ КОМПЛЕКСНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КОЖНОЙ МИКРОЦИРКУЛЯЦИИ И УРОВНЯ ПЛАЗМЕННОГО ЭНДОТЕЛИНА1 У БОЛЬНЫХ БРОНХИАЛЬНОЙ АСТМОЙ

Статья в формате PDF 122 KB...

28 10 2026 2:34:52

Динамическое хемилюминесцентное исследование слюны при бронхиальной астме у детей

Статья в формате PDF 110 KB...

27 10 2026 23:56:13

Микробиологические и биофизические исследования трaнcпортируемой воды водовода Астpaxaнь-Мангышлак (оценка качества воды в зимний период)

Одной из наиболее актуальных проблем современности является проблема обеспечения населения качественной питьевой водой. Для решения проблемы деффицита воды Прикаспийского региона в 1989 году был построен водовод «Астpaxaнь-Мангышлак», общей протяженностью 1041 км который берет свое начало из протоки Кигач, расположенной в дельте р. Волга. Биотестирование на дафниях в исходной воде и в воде, трaнcпортируемой по водоводу показало, что процент погибших дафний по сравнению с контролем составляет в зимний период 14%, а в весенний – 20%. В летний период процент погибших дафний явлется наиболее выским – 31,8% и к осени этот показатель снижается до 23,8%. Эти значения меньше 50%, то есть в соответствии с п.3.1.5 РД – 118-02-90 тестируемая вода не оказывает острого токсического действия на дафний. ...

26 10 2026 10:59:31

МЕЖДИСЦИПЛИНАРНАЯ ИНТЕГРАЦИЯ В ПРЕПОДАВАНИИ ПЕДИАТРИИ

Статья в формате PDF 243 KB...

25 10 2026 20:50:35

СТРУКТУРА СИНФЛОРИСЦЕНЦИИ ARTEMISIA DRACUNCULUS L. (ASTERACEAE)

Статья в формате PDF 89 KB...

24 10 2026 22:22:35

ИММУНОТРОПНЫЕ СРЕДСТВА В ТЕРАПИИ БОЛЬНЫХ ПСОРИАТИЧЕСКОЙ БОЛЕЗНЬЮ

Статья посвящена принципам индивидуального, дифференцированного назначения иммуномодулирующей терапии больным псориатической болезнью. Авторами подчёркнута клинико-иммунологическая эффективность применения синтетического иммуномодулятора полиоксидония в комплексной терапии больных псориатической болезнью различных клинических форм и стадий заболевания. ...

23 10 2026 18:16:49

О СТРАТЕГИИ ОБРАЗОВАНИЯ В НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНОМ ЦЕНТРЕ "ЕНИСЕЙ"

Статья в формате PDF 133 KB...

22 10 2026 17:42:21

ВЫРАЩИВАНИЕ КРИСТАЛЛОВ В ДОМАШНИХ УСЛОВИЯХ

Статья в формате PDF 539 KB...

21 10 2026 0:23:10

Хаpaктеристика нормальной микрофлоры влагалища у здоровых женщин репродуктивного возраста

Статья в формате PDF 109 KB...

20 10 2026 20:41:14

ЗНАЧИМОСТЬ МЕТОДИКО-ПРАКТИЧЕСКОГО АСПЕКТА ОЦЕНКИ КРЕДИТОСПОСОБНОСТИ ФИЗИЧЕСКИХ ЛИЦ В РАМКАХ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО КРЕДИТОВАНИЯ

Статья в формате PDF 124 KB...

19 10 2026 21:25:36

ИЗМЕНЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СИСТЕМЫ ИММУНИТЕТА И ПЕРЕКИСНОГО ОКИСЛЕНИЯ ЛИПИДОВ ПОД ВЛИЯНИЕМ СПИРТОВ

Статья в формате PDF 110 KB...

18 10 2026 20:45:36

СОЗИДАТЕЛЬНОЕ СОЗНАНИЕ – ЗАЛОГ УСПЕШНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Статья в формате PDF 137 KB...

17 10 2026 4:26:10

РОЛЬ КОНФЕССИОНАЛЬНЫХ ОБЩЕСТВ В РАЗВИТИИ НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НА СЕВЕРНОМ КАВКАЗЕ (ВТОРАЯ ПОЛОВИНА XIX – НАЧАЛО XX ВЕКОВ)

Статья в формате PDF 135 KB...

16 10 2026 21:40:52

ДЕПРЕССИЯ И ТРЕВОГА У ПАЦИЕНТОВ С ВЫСОКИМ РИСКОМ РАЗВИТИЯ ИБС НА ФОНЕ ДЛИТЕЛЬНОГО ПРИЕМА СТАТИНОВ

Статья в формате PDF 109 KB...

15 10 2026 22:23:43

СРАВНИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ ЧЕРЕЗ ПРИЗМУ ГЕНДЕРНЫХ РАЗЛИЧИЙ

Сравнительные конструкции рассматриваются с позиции гендерного аспекта. Представлены результаты направленного ассоциативного эксперимента, который позволил выявить различия в женском и мужском конструировании, употрeблении и восприятии сравнительных конструкций. ...