ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГРУЗА ПРИ НАЛИЧИИ НЕУДЕРЖИВАЮЩЕЙ СВЯЗИ
Рассмотрим движение груза M массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной - l0 (рис. 1,а). Пренебрежем размерами груза и заменим его материальной точкой. Нить для материальной точки является связью, определяемой неравенством
или r ≤ l0, (1)
где r - длина радиус вектора, задающего положение точки на полярной оси OM.
Рассмотрим материальную точку в произвольный момент времени, предполагая наличие связи (1)
(рис. 1,б), действие которой, при составлении уравнений движения, заменим ее реакцией - силой натяжения нити . На точку также действует сила тяжести . Учитывая, что при наличии связи r = l0 и , дифференциальные уравнения в проекциях на оси полярной системы координат запишем в виде:
Данные уравнения можно преобразовать к виду
(2)
где , - приведенная угловая скорость отклонения нити от вертикали, - сила натяжения, отнесенная к весу груза.
Рис. 1. Расчетная схема
Начальные условия для системы (2) имеют вид
(3)
Движение материальной точки будет описываться дифференциальными уравнениями (2) с начальными условиями (3) до тех пор, пока связь, наложенная на данную точку, остается удерживающей, т.е. выполняется условие
r = l0 или N ≥ 0, т.е. (4)
Для решения первого уравнения системы (2) введем преобразование . Разделяя переменные, представим это уравнение в виде
Интегрируя с учетом начальных условий (3), получим
(5)
Интеграл энергии (5) примет вид:
(6)
где
Выражение для силы натяжения нити с учетом (6) запишется в виде
(7)
Рассмотрим теперь предельные состояния при движении груза. Анализ выражения (6) позволяет сделать вывод о том, что параметр s хаpaктеризует два вида движения груза: колебательное и круговое.
При значениях 0 < σ ≤ 1 его можно представить в виде и выражение (6) запишется в виде
откуда следует, что и , т.е. движение носит колебательный хаpaктер, а параметр α хаpaктеризует амплитуду колебательного движения:
При значениях σ > 1 величина в любой момент времени, и груз совершает круговое движение.
Таким образом, предельным, разделяющим два движения груза, является уравнение σ = 1 (рис. 2), которое можно записать в виде
или
При значениях груз может совершать круговое движение, а при значениях - колебательное движение.
Рис. 2. Области на фазовой плоскости
Область на фазовой плоскости, в которой связь становится неудерживающей , определяется кривыми (рис. 2), и расположена внутри интервалов и .
Следовательно, при колебательном движении груза, его амплитуда не может превышать величину . Значения начальных условий, обеспечивающих такое движения груза при наличии удерживающей связи, расположены внутри эллипса, задаваемого уравнением (область I на рис. 2)
или
Для определения области начальных условий, обеспечивающих круговое движение груза, рассмотрим выражение (7). Минимальное значение реакции нити достигается при значениях φ = π. Кривые , определяемые уравнением , ограничивают снизу область начальных условий, обеспечивающих круговое движение груза (области III рис. 2).
В качестве примера рассмотрим численные решения системы (2) со следующими начальными условиями (см. рис. 2):
1. φ0 = 0, - обеспечивают колебательное движение (область I);
2. φ0 = 0, - связь становится неудерживающей (область II);
3. φ0 = 0, - обеспечивают круговое движение (область III).
Рис. 3. Графики изменения угловых координат, при начальных условиях:
1 - φ0 = 0, ; 2 - φ0 = 0, ; 3 - φ0 = 0,
Рис 4. График изменения силы реакций связи при начальных условиях:
1 - φ0 = 0, ; 2 - φ0 = 0, ; 3 - φ0 = 0,
Рис. 5. Траектории груза при начальных условиях:
1 - φ0 = 0, ; 2 - φ0 = 0,
Как видно из рис. 4 и 5, в некоторый момент времени связь исчезает, т.е. , и груз начинает двигаться под действием силы тяжести, как свободная материальная точка. В последующих движениях мгновенное возникновение связи приводит к изменению направления движения груза.
Список литературы
- Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Пpaктикум: учебное пособие // СПБ, БХВ. - СПб., 2005. - 752 с.
- Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики: ч. 1, 2. - М.: Наука, 1983.
Статья в формате PDF
100 KB...
22 05 2026 13:12:25
Статья в формате PDF
95 KB...
21 05 2026 19:56:19
Рассматриваются показатели видового разнообразия мелких млекопитающих в зоне влияния алмaзoдобывающей промышленности Западной Якутии. Исследования проводились на территории двух крупных промышленных узлов – Мирнинского (среднетаежная подзона) и Айхало-Удачнинского (северотаежная подзона). Отработано около 7040 конусо-суток, 4700 ловушко-суток и отловлено 1920 экз. мелких млекопитающих, относящихся к 17 видам. Отмечено, что при масштабных преобразованиях ландшафтов, хаpaктерных для деятельности предприятий горнодобывающей промышленности, происходят изменения состава сообществ и популяционных параметров мелких млекопитающих, что свидетельствует о пессимизации среды обитания. Причем негативные трaнcформации более резко выражены в пределах северотаежной подзоны.
...
20 05 2026 18:13:57
Статья в формате PDF
111 KB...
19 05 2026 14:24:41
Статья в формате PDF
128 KB...
18 05 2026 21:59:23
Статья в формате PDF
264 KB...
17 05 2026 21:26:53
Статья в формате PDF
98 KB...
16 05 2026 1:25:21
Статья в формате PDF
137 KB...
15 05 2026 4:22:38
Статья в формате PDF
136 KB...
14 05 2026 3:24:24
Основная задача при работе с одаренными детьми заключается в том, чтобы поддержать в ребенке стремление к освоению высших ценностей, создать условия, в которых ребенок сможет строить свою личность самостоятельно, накапливать индивидуальный познавательный опыт. Физика наряду с другими фундаментальными науками дает возможность развивать творческие способности учащихся, навыки системного мышления.
...
13 05 2026 3:55:49
Статья в формате PDF
123 KB...
10 05 2026 13:58:58
Статья в формате PDF
119 KB...
08 05 2026 8:22:13
Статья в формате PDF 257 KB...
07 05 2026 2:30:13
Представлены данные литературы, посвященные изучению консервативной тактике при травматических повреждениях селезенки. Показаны показания и противопоказания и необходимые условия для проведения консервативного лечения таких повреждений.
...
06 05 2026 14:30:55
Статья в формате PDF
137 KB...
05 05 2026 0:40:43
Статья в формате PDF
126 KB...
04 05 2026 0:30:55
Статья в формате PDF
181 KB...
03 05 2026 9:59:36
Статья в формате PDF
280 KB...
01 05 2026 14:35:40
Статья в формате PDF
114 KB...
30 04 2026 16:11:44
Статья в формате PDF
116 KB...
28 04 2026 8:38:58
Статья в формате PDF
99 KB...
27 04 2026 13:56:51
В последние годы на медицинском факультете Российского университета дружбы народов периодически проводятся научные конференции международного масштаба, на которых в том или ином объёме обсуждаются проблемы, связанные с воздействиями на организм нарушений взаимоотношения человека со средой его обитания. Важность такой тематики стала несомненной с того момента, когда в мировой научной литературе впервые появился термин «Болезни цивилизации». Это определение включает в себя следующий смысл: «Болезни цивилизации – это результат безответственного и неправильного использования возможностей, предоставленных человеку цивилизацией» (Шош, Гати, Чолаи, 1972).
...
25 04 2026 5:31:59
Статья в формате PDF
119 KB...
24 04 2026 6:22:13
Статья в формате PDF
108 KB...
23 04 2026 17:49:39
Статья в формате PDF
133 KB...
21 04 2026 14:15:57
Статья в формате PDF
141 KB...
20 04 2026 1:48:45
Статья в формате PDF
112 KB...
18 04 2026 4:20:49
Статья в формате PDF
101 KB...
17 04 2026 7:40:20
Статья в формате PDF
124 KB...
16 04 2026 20:39:50
Статья в формате PDF
109 KB...
14 04 2026 17:25:30
Статья в формате PDF
111 KB...
13 04 2026 8:42:22
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
