ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГРУЗА ПРИ НАЛИЧИИ НЕУДЕРЖИВАЮЩЕЙ СВЯЗИ

Авторы
Файлы

Бертяев В.В. Статья в формате PDF 1342 KB

Рассмотрим движение груза M массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной - l₀ (рис. 1,а). Пренебрежем размерами груза и заменим его материальной точкой. Нить для материальной точки является связью, определяемой неравенством

или r ≤ l₀, (1)

где r - длина радиус вектора, задающего положение точки на полярной оси OM.

Рассмотрим материальную точку в произвольный момент времени, предполагая наличие связи (1)
(рис. 1,б), действие которой, при составлении уравнений движения, заменим ее реакцией - силой натяжения нити . На точку также действует сила тяжести . Учитывая, что при наличии связи r = l₀ и , дифференциальные уравнения в проекциях на оси полярной системы координат запишем в виде:

Данные уравнения можно преобразовать к виду

(2)

где , - приведенная угловая скорость отклонения нити от вертикали, - сила натяжения, отнесенная к весу груза.

Рис. 1. Расчетная схема

Начальные условия для системы (2) имеют вид

(3)

Движение материальной точки будет описываться дифференциальными уравнениями (2) с начальными условиями (3) до тех пор, пока связь, наложенная на данную точку, остается удерживающей, т.е. выполняется условие

r = l₀ или N ≥ 0, т.е. (4)

Для решения первого уравнения системы (2) введем преобразование . Разделяя переменные, представим это уравнение в виде

Интегрируя с учетом начальных условий (3), получим

(5)

Интеграл энергии (5) примет вид:

(6)

где

Выражение для силы натяжения нити с учетом (6) запишется в виде

(7)

Рассмотрим теперь предельные состояния при движении груза. Анализ выражения (6) позволяет сделать вывод о том, что параметр s хаpaктеризует два вида движения груза: колебательное и круговое.

При значениях 0 < σ ≤ 1 его можно представить в виде и выражение (6) запишется в виде

откуда следует, что и , т.е. движение носит колебательный хаpaктер, а параметр α хаpaктеризует амплитуду колебательного движения:

При значениях σ > 1 величина в любой момент времени, и груз совершает круговое движение.

Таким образом, предельным, разделяющим два движения груза, является уравнение σ = 1 (рис. 2), которое можно записать в виде

или

При значениях груз может совершать круговое движение, а при значениях - колебательное движение.

Рис. 2. Области на фазовой плоскости

Область на фазовой плоскости, в которой связь становится неудерживающей , определяется кривыми (рис. 2), и расположена внутри интервалов и .

Следовательно, при колебательном движении груза, его амплитуда не может превышать величину . Значения начальных условий, обеспечивающих такое движения груза при наличии удерживающей связи, расположены внутри эллипса, задаваемого уравнением (область I на рис. 2)

или

Для определения области начальных условий, обеспечивающих круговое движение груза, рассмотрим выражение (7). Минимальное значение реакции нити достигается при значениях φ = π. Кривые , определяемые уравнением , ограничивают снизу область начальных условий, обеспечивающих круговое движение груза (области III рис. 2).

В качестве примера рассмотрим численные решения системы (2) со следующими начальными условиями (см. рис. 2):

1. φ₀ = 0, - обеспечивают колебательное движение (область I);

2. φ₀ = 0, - связь становится неудерживающей (область II);

3. φ₀ = 0, - обеспечивают круговое движение (область III).

Рис. 3. Графики изменения угловых координат, при начальных условиях:
1 - φ₀ = 0, ; 2 - φ₀ = 0, ; 3 - φ₀ = 0,

Рис 4. График изменения силы реакций связи при начальных условиях:
1 - φ₀ = 0, ; 2 - φ₀ = 0, ; 3 - φ₀ = 0,

Рис. 5. Траектории груза при начальных условиях:
1 - φ₀ = 0, ; 2 - φ₀ = 0,

Как видно из рис. 4 и 5, в некоторый момент времени связь исчезает, т.е. , и груз начинает двигаться под действием силы тяжести, как свободная материальная точка. В последующих движениях мгновенное возникновение связи приводит к изменению направления движения груза.

Список литературы

Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Пpaктикум: учебное пособие // СПБ, БХВ. - СПб., 2005. - 752 с.
Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики: ч. 1, 2. - М.: Наука, 1983.

НОВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ В ПЕРМСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ: КРЕАТИВНЫЙ ПАЛЕОТЕКТОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В НЕФТЕГАЗОВОЙ ГЕОЛОГИИ

Статья в формате PDF 153 KB...

31 10 2026 4:13:14

ВЛИЯНИЕ ЛАЗЕРНОЙ ФОТОМОДИФИКАЦИИ КРОВИ (ЛФМК) НА ПЕРЕКИСНОЕ ОКИСЛЕНИЕ ЛИПИДОВ, СРЕДНИЕ МОЛЕКУЛЫ И ЦЕРУЛОПЛАЗМИН ПЛАЗМЫ У БОЛЬНЫХ ХРОНИЧЕСКИМ ГЕПАТИТОМ

Статья в формате PDF 85 KB...

30 10 2026 14:28:54

ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ВЫРАЩИВАНИЯ СОРГО В УСЛОВИЯХ АСТРАХАНСКОЙ ОБЛАСТИ

В обзорной статье рассмотрены основные элементы энергосберегающей технологии возделывания сорго в условиях Астpaxaнской области, к которым относятся: подготовка семян к посеву, севооборот, подбор сортов, нормы высева и способы посева, минеральные подкормки, борьба с сорными растениями и болезнями с помощью внесение гербицидов, орошение по фазам роста и развития, с помощью дождевания наименее энергозатратных агрегатов. ...

29 10 2026 5:33:34

РОЛЬ ИННОВАЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ В УСЛОВИЯХ РЕФОРМИРОВАНИЯ ВЫСШЕГО МЕДИЦИНСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Статья в формате PDF 254 KB...

28 10 2026 19:42:45

ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ПОЛУЧЕНИЯ СТЕКЛЯННЫХ МИКРОШАРИКОВ МЕТОДОМ ПЛАЗМЕННОГО РАСПЫЛЕНИЯ

Статья в формате PDF 134 KB...

27 10 2026 18:18:45

ПРОБЛЕМА УСПЕШНОСТИ ПРОЦЕССА АДАПТАЦИИ УЧАЩЕГОСЯ В ОБРАЗОВАТЕЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ШКОЛЫ

Статья в формате PDF 122 KB...

26 10 2026 11:31:52

ОПТИМИЗАЦИЯ РЕЖИМОВ ПОВЕРХНОСТНОЙ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ С ЦЕЛЬЮ ПОВЫШЕНИЯ ЭКСПЛУАТАЦИОННОЙ ДОЛГОВЕЧНОСТИ МЕТАЛЛОИЗДЕЛИЙ

Статья в формате PDF 361 KB...

25 10 2026 16:59:32

СОВРЕМЕННЫЕ НАУКОЕМКИЕ ФОТОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ В МЕДИЦИНЕ

Статья в формате PDF 100 KB...

24 10 2026 3:25:27

ОПТИМИЗАЦИЯ ТАКТИКИ МИНИИНВАЗИВНОГО ЛЕЧЕНИЯ ПОЛИПОВ ЭНДОМЕТРИЯ У ЖЕНЩИН В ПОСТМЕНОПАУЗЕ С ОЖИРЕНИЕМ

Статья в формате PDF 262 KB...

23 10 2026 14:51:48

ВЛИЯНИЕ НЕМЕДИКАМЕНТОЗНЫХ МЕТОДОВ ЛЕЧЕНИЯ АНГИОПАТИИ НА СОСТОЯНИЕ СИСТЕМЫ ГЕМОСТАЗА У БОЛЬНЫХ САХАРНЫМ ДИАБЕТОМ

Статья в формате PDF 90 KB...

22 10 2026 7:28:38

РАСПРЕДЕЛЕННОЕ УСИЛЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ СОЛИТОНОВ

Статья в формате PDF 264 KB...

21 10 2026 19:50:17

ГЕНЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ НАСЛЕДСТВЕННЫХ ГЕМОЛИТИЧЕСКИХ АНЕМИЙ (Энзимопатий)

Проведен анализ опубликованных данных по вопросу генетических факторов развития гемолитических анемий (мембранопатий, энзимопатий). Список возможных мутаций при определенной форме анемии обобщен в виде таблиц. Дано понятие о сущности, строении и функции основной клетки красной крови – эритроците. Приведена классификация различных групп анемий, причины их возникновения, возможные симптомы проявления заболевания, прогноз для жизни. Затронуты аспекты донорства при ферментодефицитных состояниях доноров и реципиентов. ...

20 10 2026 7:45:16

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ЗАБОЛЕВАЕМОСТЬ И ЗАБОЛЕВАЕМОСТЬ С ВРЕМЕННОЙ УТРАТОЙ ТРУДОСПОСОБНОСТИ РАБОТАЮЩИХ В ХИМИЧЕСКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ

Статья в формате PDF 235 KB...

19 10 2026 10:23:25

ОЦЕНКА АДАПТАЦИИ К УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ, ЗАНИМАЮЩИХСЯ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОМУ ВАРИАНТУ ФИЗИЧЕСКОГО ВОСПИТАНИЯ

Представлен экспериментальный вариант физического воспитания младших школьников в образовательных учреждениях с целью предупреждения негативных последствий воздействия чрезмерной учебной нагрузки на организм школьников. Использование в процессе физического воспитания изометрических упражнений, включенных в уроки физической культуры, показало увеличение статической выносливости на фоне улучшения функционального состояния младших школьников. ...

18 10 2026 9:57:35

НЕКОТОРЫЕ ФИЗИОЛОГИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ СТАТУС КОРЕННОГО НАСЕЛЕНИЯ ХАНТЫ-МАНСИЙСКОГО АВТОНОМНОГО ОКРУГА

Статья в формате PDF 120 KB...

17 10 2026 8:30:26

АНАЛИЗ ЭЛЕМЕНТНОГО СОСТАВА ВОЛОС ПАЦИЕНТОВ, МЕДИЦИНСКИЕ КОНСУЛЬТАЦИИ ПО ЕГО РЕЗУЛЬТАТАМ. ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПОДБОР ПРЕПАРАТОВ ДЛЯ КОРРЕКЦИИ МИКРОЭЛЕМЕНТОЗА

Статья в формате PDF 216 KB...

16 10 2026 8:30:21

МОРКОВНАЯ И СВЕКОЛЬНАЯ КЛЕТЧАТКА КАК ОБОГАТИТЕЛЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ МЯСНЫХ ПРОДУКТОВ ПИЩЕВЫМИ ВОЛОКНАМИ

Статья в формате PDF 263 KB...

15 10 2026 9:11:21

ФОРМИРОВАНИЕ ХОЛДИНГОВЫХ СТРУКТУР В САНАТОРНО-КУРОРТНОЙ СФЕРЕ РЕГИОНОВ

Статья в формате PDF 134 KB...

14 10 2026 13:59:15

КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ КРИВОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ЛЕСОВОЗНОГО АВТОПОЕЗДА

Статья в формате PDF 117 KB...

13 10 2026 22:24:48

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ АНТРОПОГЕННОЙ НАГРУЗКИ НА ЛАНДШАФТЫ СРЕДНЕГО ТЕЧЕНИЯ РЕКИ СЕХИ

Статья в формате PDF 292 KB...

12 10 2026 15:25:22

ТРИ КОМПЕТЕНТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ЛИЧНОСТНОЙ ТЕХНОЛОГИИ ОБУЧЕНИЯ БЕЗОПАСНОСТИ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Были построены модели: первая ─ модель деятельности специалиста в сфере безопасности жизнедеятельности на производственном объекте, состоящая из блоков знаний, умений, навыков, компетенций и компетентностей, выявленных на основе определения специфики его деятельности в условиях современных трудовых отношений (рассматривалась строительная отрасль) и составления списка умений, знаний, навыков и компетентностей. Вторая ─ модель специалиста (строится на основе первой), третья – модель обучения, включает в себя такие компоненты: цель обучения, функции, задачи, содержание, формы и методы, критерии оценки. ...

11 10 2026 8:24:49

ИЗМЕНЕНИЯ КАЧЕСТВА ЖИЗНИ БОЛЬНОГО СИФИЛИСОМ

Статья в формате PDF 100 KB...

10 10 2026 12:57:25

К АНАЛИЗУ ПРОБЛЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ

Статья в формате PDF 104 KB...

09 10 2026 20:23:37

КОНСТИТУЦИИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ И РЕСПУБЛИКИ ДАГЕСТАН О ПРИНЦИПАХ ЗЕМЛЕПОЛЬЗОВАНИЯ

Статья в формате PDF 119 KB...

08 10 2026 19:30:16

Сравнительное изучение показателей окислительно-антиоксидантной системы в мышечной ткани русского осетра (Acipenser gueldenstaedti brant) и карпа (Cyprinus carpio L.) при воздействии свинца

Исследованы показатели окислительно-антиоксидантной системы (содержание малоновогодиальдегида, каталазная и общая антиоксидантная активности) мышечной ткани русского осетра и карпа при свинцовой интоксикации. В мышцах молоди осетра обнаружена активация перекисного окисления липидов и снижение общей антиоксидантной активности. В отличие от осетра у молоди карпаактивация перекисного окисления липидов сопровождается компенсаторным повышением общей антиоксидантной активности и поддержанием достаточно высокого уровня активности каталазы. Повышение активности каталазы осетра при значительной активации ПОЛ может быть связано с выходом фермента из клеточных органелл, вследствие лабилизации клеточных мембран. Полученные данные свидетельствуют о большей толерантности карпа к свинцовой интоксикации, по сравнению с контролем. ...