ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГРУЗА ПРИ НАЛИЧИИ НЕУДЕРЖИВАЮЩЕЙ СВЯЗИ
Рассмотрим движение груза M массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной - l0 (рис. 1,а). Пренебрежем размерами груза и заменим его материальной точкой. Нить для материальной точки является связью, определяемой неравенством
или r ≤ l0, (1)
где r - длина радиус вектора, задающего положение точки на полярной оси OM.
Рассмотрим материальную точку в произвольный момент времени, предполагая наличие связи (1)
(рис. 1,б), действие которой, при составлении уравнений движения, заменим ее реакцией - силой натяжения нити . На точку также действует сила тяжести . Учитывая, что при наличии связи r = l0 и , дифференциальные уравнения в проекциях на оси полярной системы координат запишем в виде:
Данные уравнения можно преобразовать к виду
(2)
где , - приведенная угловая скорость отклонения нити от вертикали, - сила натяжения, отнесенная к весу груза.
Рис. 1. Расчетная схема
Начальные условия для системы (2) имеют вид
(3)
Движение материальной точки будет описываться дифференциальными уравнениями (2) с начальными условиями (3) до тех пор, пока связь, наложенная на данную точку, остается удерживающей, т.е. выполняется условие
r = l0 или N ≥ 0, т.е. (4)
Для решения первого уравнения системы (2) введем преобразование . Разделяя переменные, представим это уравнение в виде
Интегрируя с учетом начальных условий (3), получим
(5)
Интеграл энергии (5) примет вид:
(6)
где
Выражение для силы натяжения нити с учетом (6) запишется в виде
(7)
Рассмотрим теперь предельные состояния при движении груза. Анализ выражения (6) позволяет сделать вывод о том, что параметр s хаpaктеризует два вида движения груза: колебательное и круговое.
При значениях 0 < σ ≤ 1 его можно представить в виде и выражение (6) запишется в виде
откуда следует, что и , т.е. движение носит колебательный хаpaктер, а параметр α хаpaктеризует амплитуду колебательного движения:
При значениях σ > 1 величина в любой момент времени, и груз совершает круговое движение.
Таким образом, предельным, разделяющим два движения груза, является уравнение σ = 1 (рис. 2), которое можно записать в виде
или
При значениях груз может совершать круговое движение, а при значениях - колебательное движение.
Рис. 2. Области на фазовой плоскости
Область на фазовой плоскости, в которой связь становится неудерживающей , определяется кривыми (рис. 2), и расположена внутри интервалов и .
Следовательно, при колебательном движении груза, его амплитуда не может превышать величину . Значения начальных условий, обеспечивающих такое движения груза при наличии удерживающей связи, расположены внутри эллипса, задаваемого уравнением (область I на рис. 2)
или
Для определения области начальных условий, обеспечивающих круговое движение груза, рассмотрим выражение (7). Минимальное значение реакции нити достигается при значениях φ = π. Кривые , определяемые уравнением , ограничивают снизу область начальных условий, обеспечивающих круговое движение груза (области III рис. 2).
В качестве примера рассмотрим численные решения системы (2) со следующими начальными условиями (см. рис. 2):
1. φ0 = 0, - обеспечивают колебательное движение (область I);
2. φ0 = 0, - связь становится неудерживающей (область II);
3. φ0 = 0, - обеспечивают круговое движение (область III).
Рис. 3. Графики изменения угловых координат, при начальных условиях:
1 - φ0 = 0, ; 2 - φ0 = 0, ; 3 - φ0 = 0,
Рис 4. График изменения силы реакций связи при начальных условиях:
1 - φ0 = 0, ; 2 - φ0 = 0, ; 3 - φ0 = 0,
Рис. 5. Траектории груза при начальных условиях:
1 - φ0 = 0, ; 2 - φ0 = 0,
Как видно из рис. 4 и 5, в некоторый момент времени связь исчезает, т.е. , и груз начинает двигаться под действием силы тяжести, как свободная материальная точка. В последующих движениях мгновенное возникновение связи приводит к изменению направления движения груза.
Список литературы
- Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Пpaктикум: учебное пособие // СПБ, БХВ. - СПб., 2005. - 752 с.
- Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики: ч. 1, 2. - М.: Наука, 1983.
В отличие от традиционного, показан иной путь интегрирования для получения уравнения напряженности гравитационного поля в точке на удалении от модельного однородного шарообразного тела. Доказано его соответствие закону всемирного тяготения при проведении компьютерного суммирования. Обнаружено наличие максимального вклада элементов шарообразного тела в величину напряженности гравитационного поля в исследуемой точке вне этого тела. Получена аналитическая зависимость глубины положения этих элементов внутри шарообразного тела от высоты исследуемой точки над поверхностью тела и его радиуса.
...
01 05 2026 20:50:45
Статья в формате PDF
91 KB...
30 04 2026 6:36:53
Установлена высокая активизация в костном мозге крыс необработанным янтарем процессов пролиферации и дифференциации клеток зернистого ростка лейкоцитов, эритроидного ростка и лимфоидных клеток. Изучено влияние необработанного янтаря на морфофункциональные реакции в иммунокомпетентных структурных компонентах лимфоидных органов и выявлена активизация в них Т- и В-зависимых зон. В лимфатических узлах это выражалось виде расширения площадей лимфатических узелков без светлых и со светлыми центрами, мякотных тяжей и паpaкортикальной зоны на фоне уменьшения площади, занимаемой корковым плато; в селезенке в виде расширения площадей лимфатических узелков без светлых и со светлыми центрами и периваскулярных лимфоидных муфт; в тимусе в виде расширения площади коркового вещества органа, на фоне некоторого уменьшения площади мозгового вещества органа. Разные формы применения необработанного янтаря способствовали повышению в лимфоидных органах содержания Т- и В-лимфоцитов, Т-хелперов и снижению до уровня физиологических норм Т-супрессоров/киллеров.
...
29 04 2026 11:23:21
Статья в формате PDF
107 KB...
28 04 2026 10:50:12
Статья в формате PDF
150 KB...
27 04 2026 12:47:45
Статья в формате PDF
112 KB...
25 04 2026 15:48:54
Статья в формате PDF
97 KB...
24 04 2026 11:11:53
Статья в формате PDF
82 KB...
23 04 2026 5:59:28
Статья в формате PDF
138 KB...
21 04 2026 12:23:16
Статья в формате PDF
226 KB...
20 04 2026 19:58:15
Статья в формате PDF
117 KB...
19 04 2026 0:20:29
Статья в формате PDF
195 KB...
18 04 2026 8:52:50
Статья в формате PDF
144 KB...
17 04 2026 10:57:25
Статья в формате PDF
116 KB...
16 04 2026 9:27:18
Статья в формате PDF
395 KB...
15 04 2026 4:55:16
Статья в формате PDF
112 KB...
14 04 2026 20:31:56
Статья в формате PDF
346 KB...
13 04 2026 1:38:50
Статья в формате PDF
130 KB...
12 04 2026 3:33:37
Статья в формате PDF
286 KB...
11 04 2026 17:48:49
Статья в формате PDF
120 KB...
10 04 2026 23:15:50
Статья в формате PDF
264 KB...
09 04 2026 2:12:33
В статье исследованы некоторые проблемы опережающего антикризисного управления предприятием.
...
08 04 2026 8:23:53
Приведены результаты опыта искусственного разведения лиственницы, проведенного впервые в Центральной Якутии с целью ускорения лесообразовательного процесса в зеленой зоне с. Матта Мегино-Кангаласского района. Выявлен высокий процент приживаемости саженцев (98,3-83,5 %). Установлено, что в первые годы после посадки идет адаптация саженцев к новым условиям среды, начиная с 3-4 года после посадки дают хороший прирост в высоту.
...
07 04 2026 1:43:55
Статья в формате PDF
115 KB...
05 04 2026 11:56:47
Статья в формате PDF
141 KB...
04 04 2026 20:59:19
Статья в формате PDF
94 KB...
31 03 2026 22:25:58
Статья в формате PDF
252 KB...
29 03 2026 18:28:11
Статья в формате PDF
186 KB...
28 03 2026 21:52:28
Статья в формате PDF
104 KB...
27 03 2026 17:50:53
Статья в формате PDF 127 KB...
26 03 2026 9:58:12
В работе представлены результаты по гидрированию аллилового спирта на 1 % Pd/Nd2O3 катализаторе. Найдено увеличение скорости гидрирования в 3,3 раза на 1 %Pd/Nd2O3 катализаторе по сравнению с 1 %Pd/Al2O3.. Показана возможность «мягкого» жидкофазного гидрирования двойной связи в аллиловом спирте, не осложненное конкурирующим гидрированием гидроксильной группы. Побочной реакцией является образование пропаналя.
...
25 03 2026 14:54:28
Статья в формате PDF
161 KB...
24 03 2026 22:26:19
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
