ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГРУЗА ПРИ НАЛИЧИИ НЕУДЕРЖИВАЮЩЕЙ СВЯЗИ > Полезные советы
Тысяча полезных мелочей    

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГРУЗА ПРИ НАЛИЧИИ НЕУДЕРЖИВАЮЩЕЙ СВЯЗИ

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГРУЗА ПРИ НАЛИЧИИ НЕУДЕРЖИВАЮЩЕЙ СВЯЗИ

Бертяев В.В. Статья в формате PDF 1342 KB

Рассмотрим движение груза M массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной - l0 (рис. 1,а). Пренебрежем размерами груза и заменим его материальной точкой. Нить для материальной точки является связью, определяемой неравенством

 или r ≤ l0, (1)

где r - длина радиус вектора, задающего положение точки на полярной оси OM.

Рассмотрим материальную точку в произвольный момент времени, предполагая наличие связи (1)
(рис. 1,б), действие которой, при составлении уравнений движения, заменим ее реакцией - силой натяжения нити . На точку также действует сила тяжести . Учитывая, что при наличии связи r = l0 и , дифференциальные уравнения в проекциях на оси полярной системы координат запишем в виде:

Данные уравнения можно преобразовать к виду

 (2)

где ,  - приведенная угловая скорость отклонения нити от вертикали,  - сила натяжения, отнесенная к весу груза.

Рис. 1. Расчетная схема

Начальные условия для системы (2) имеют вид

 (3)

Движение материальной точки будет описываться дифференциальными уравнениями (2) с начальными условиями (3) до тех пор, пока связь, наложенная на данную точку, остается удерживающей, т.е. выполняется условие

 r = l0 или N ≥ 0, т.е.  (4)

Для решения первого уравнения системы (2) введем преобразование . Разделяя переменные, представим это уравнение в виде

Интегрируя с учетом начальных условий (3), получим

 (5)

Интеграл энергии (5) примет вид:

 (6)

где

Выражение для силы натяжения нити с учетом (6) запишется в виде

 (7)

Рассмотрим теперь предельные состояния при движении груза. Анализ выражения (6) позволяет сделать вывод о том, что параметр s хаpaктеризует два вида движения груза: колебательное и круговое.

При значениях 0 < σ ≤ 1 его можно представить в виде  и выражение (6) запишется в виде

откуда следует, что  и , т.е. движение носит колебательный хаpaктер, а параметр α хаpaктеризует амплитуду колебательного движения:

При значениях σ > 1 величина  в любой момент времени, и груз совершает круговое движение.

Таким образом, предельным, разделяющим два движения груза, является уравнение σ = 1 (рис. 2), которое можно записать в виде

или 

При значениях  груз может совершать круговое движение, а при значениях  - колебательное движение.

Рис. 2. Области на фазовой плоскости

Область на фазовой плоскости, в которой связь становится неудерживающей , определяется кривыми  (рис. 2), и расположена внутри интервалов  и .

Следовательно, при колебательном движении груза, его амплитуда не может превышать величину . Значения начальных условий, обеспечивающих такое движения груза при наличии удерживающей связи, расположены внутри эллипса, задаваемого уравнением (область I на рис. 2)

 или 

Для определения области начальных условий, обеспечивающих круговое движение груза, рассмотрим выражение (7). Минимальное значение реакции нити достигается при значениях φ = π. Кривые , определяемые уравнением , ограничивают снизу область начальных условий, обеспечивающих круговое движение груза (области III рис. 2).

В качестве примера рассмотрим численные решения системы (2) со следующими начальными условиями (см. рис. 2):

1. φ0 = 0,  - обеспечивают колебательное движение (область I);

2. φ0 = 0,  - связь становится неудерживающей (область II);

3. φ0 = 0,  - обеспечивают круговое движение (область III).

Рис. 3. Графики изменения угловых координат, при начальных условиях:
1 - φ0 = 0,  ; 2 - φ0 = 0,  ; 3 - φ0 = 0,

Рис 4. График изменения силы реакций связи при начальных условиях:
1 - φ0 = 0,  ; 2 - φ0 = 0,  ; 3 - φ0 = 0,

Рис. 5. Траектории груза при начальных условиях:
1 - φ0 = 0,  ; 2 - φ0 = 0, 

Как видно из рис. 4 и 5, в некоторый момент времени связь исчезает, т.е. , и груз начинает двигаться под действием силы тяжести, как свободная материальная точка. В последующих движениях мгновенное возникновение связи приводит к изменению направления движения груза.

Список литературы

  1. Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Пpaктикум: учебное пособие // СПБ, БХВ. - СПб., 2005. - 752 с.
  2. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики: ч. 1, 2. - М.: Наука, 1983.


СПЕЦИФИКА АФРОАМЕРИКАНСКОГО ЭТНИЧЕСКОГО ДИАЛЕКТА

СПЕЦИФИКА АФРОАМЕРИКАНСКОГО ЭТНИЧЕСКОГО ДИАЛЕКТА Статья в формате PDF 312 KB...

03 05 2026 13:33:45

ЯВЛЕНИЕ КРИОБИОГЕНЕЗА И САМООРГАНИЗАЦИЯ МЕРЗЛОТНЫХ ГЕОХИМИЧЕСКИХ ЛАНДШАФТОВ

ЯВЛЕНИЕ КРИОБИОГЕНЕЗА И САМООРГАНИЗАЦИЯ МЕРЗЛОТНЫХ  ГЕОХИМИЧЕСКИХ ЛАНДШАФТОВ Самоорганизация мерзлотных геохимических ландшафтов определяется явлением криобиогенеза и эффектами, которые он вызывает. Криобиогенез - это единство и взаимосвязь биогенных и криогенных процессов, формирующих мерзлотную экосистему, в которой геохимические процессы и миграция химических процессов тесно взаимосвязаны и взаимообусловлены энергией, веществом и информацией живого вещества и криогенеза. Главным условием возникновения и развития мерзлотных ландшафтов является непрерывный периодический (зима-лето) круговорот вещества во времени - криогенный и биогенный, проявляющийся в единстве, взаимодействии и соответствии друг с другом. Периодичность и взаимодействие этих главных противоположных процессов обеспечивают целостность и устойчивость системы. Периодичность явлений (зима-лето, оледенение - межледниковье) - важный признак мерзлотных ландшафтов. Этот признак обобщающий критерий и мера самоорганизации системы. В мерзлотном ландшафте биологический круговорот выполняет основную организующую роль. Он связывает воедино биогенный и криогенный циклы миграции - потоки вещества и энергии биогенеза и криогенеза, создают новую информационную систему, отличную от исходных составляющих. Криогенез и самоорганизация наиболее ярко проявляются в экосистемах на рудных провинциях, геохимически специализированных породах, нефтегазоносных и угленосных породах. Высокая самоорганизация мерзлотных ландшафтов (экосистем) Северной Азии с высокой биопродуктивностью и биоразнообразием с обилием животных (звери и рыбы) были главным фактором этногенеза. ...

26 04 2026 19:53:41

ЗЕМЦОВА ВАЛЕНТИНА ИВАНОВНА

ЗЕМЦОВА ВАЛЕНТИНА ИВАНОВНА Статья в формате PDF 344 KB...

23 04 2026 10:39:17

О РОЛИ АКТИВАЦИИ СВОБОДНОРАДИКАЛЬНОГО ОКИСЛЕНИЯ В СТРУКТУРНОЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ДЕЗОРГАНИЗАЦИИ БИОСИСТЕМ В УСЛОВИЯХ ПАТОЛОГИИ

О РОЛИ АКТИВАЦИИ СВОБОДНОРАДИКАЛЬНОГО ОКИСЛЕНИЯ В СТРУКТУРНОЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ДЕЗОРГАНИЗАЦИИ БИОСИСТЕМ В УСЛОВИЯХ ПАТОЛОГИИ В работе представлен анализ данных литературы и результатов собственных наблюдений авторов относительно молекулярно-клеточных механизмов структурной и функциональной дезорганизации клеток под влиянием гидроксильного радикала, супероксид анион-радикала и других активных форм кислорода в условиях патологии инфекционной и неинфекционной природы. Авторы приводят сведения относительно роли активации процессов липопероксидации в патогенезе ботулинической, газовогангренозной, синегнойной, холерной, чумной интоксикации. В работе указывается, что свободнорадикальная дезинтеграция биосистем возникает при ряде заболеваний, в частности, остром гематогенном остеомиелите, внутриутробном инфицировании плода, ожоговой болезни, гестозе, а также при развитии неоплазий различной локализации. ...

21 04 2026 6:35:41

ИНФОРМАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ БИОЛОГИЧЕСКОЙ ЖИДКОСТИ

ИНФОРМАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ БИОЛОГИЧЕСКОЙ  ЖИДКОСТИ Статья в формате PDF 111 KB...

15 04 2026 2:50:27

Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::