ОБОБЩЕННОЕ ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ДЛЯ КОЛЕЦ НЕПРИВОДИМЫХ ПОЛИНОМОВ

Авторы
Файлы

Калмыков И.А. Емарлукова Я.В. Тимошенко Л.И. Гахов В.Р. Статья в формате PDF 119 KB

При решении многих пpaктических задач цифровой обработки сигналов (ЦОС) необходимо осуществлять ортогональные преобразования над входной последовательностью дискретных отсчетов. Такие преобразования, как правило, определены над полем комплексных чисел и называются дискретным преобразованием Фурье (ДПФ), которое определяется выражениями:

; (1)

, (2)

где - поворачивающий коэффициент; x(n) - количество отсчетов, , .

Известно, что реализация прямого и обратного ДПФ предопределяет значительные погрешности при вычислении значений спектральных коэффициентов в поле комплексных чисел. Это, прежде всего, обусловлено тем, что поворачивающие коэффициенты представляют собой иррациональные числа, а это при значительных значениях N приводит к существенной аддитивной арифметической погрешности. Поэтому для уменьшения среднеквадратической погрешности необходимо определить алгоритм ортогонального преобразования входного вектора x(n), в котором бы не использовались операции поля комплексных чисел.

С этой точки зрения наиболее привлекательными являются преобразования, определенные над расширенным полем Галуа , где p - простое, а - положительное целое число. Известно [1], что данное поле содержит ненулевых элемента, которые образуют циклическую мультипликативную группу. Следовательно, в этой группе должен существовать хотя бы один элемент d, который являлся бы делителем. Если представляет собой простое число, то значение .

Пусть β является элементом порядка k в мультипликативной группе ненулевых элементов . Тогда выражение (1) можно преобразовать к виду

, . (3)

Выражение (3) описывает преобразование входной последовательности отсчетов x(n), являющихся элементами расширенного поля Галуа в последовательность «частотных» составляющих X(k), определенных над этим же полем.

Преобразование обратное (3), то есть эквивалентное множество уравнений, позволяющих определить входной вектор x(n) через совокупность спектральных составляющих X(k), определяется выражением

, , (4)

где d* - целое число, удовлетворяющее условию

. (5)

Анализ выражений (3) и (4) показывает, что полученное преобразование аналогично ДПФ комплексной области и действует в прострaнcтве циклической группы порядка d, определенной полем . Так как и x(n) представляют собой целочисленные элементы расширенного поля Галуа, то при реализации выражений (3) и (4) будут полностью отсутствовать шумы округления.

В подавляющем большинстве приложений задача ЦОС сводится к нахождению значений ортогонального преобразования конечной реализации сигнала для большого числа точек, что предопределяет повышенные требования к разрядности вычислительного устройства.

Рассмотрим возможность выполнения обобщенного ДПФ в расширенных полях Галуа с использованием конечных полиномиальных колец, полученных с помощью неприводимых полиномов.

Пусть имеем конечное кольцо полиномов P(z), с коэффициентами в виде элементов поля GF(p), определяющего точность вычисления ортогональных преобразований сигналов. Положим, что данное кольцо разлагается в виде , где P_l(z) - локальное кольцо полиномов, образованных неприводимым полиномом p_l(z) над полем GF(p); l=1, ...,k.

Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема: Пусть P(z) - конечное кольцо полиномов с коэффициентами поля GF(p) представляет собой прямую сумму локальных колец полиномов

. (6)

Тогда в данной системе существует ортогональное преобразование, представляющее собой обобщенное ДПФ, если выполняются следующие условия:

1. - первообразный элемент порядка d для локального кольца P_l(z), где l=1, ...,m.

2. d имеет мультипликативный обратный элемент d^*.

Доказательство: Ортогональное преобразование является обобщенным ДПФ для кольца вычетов P(z) если существуют преобразования вида

, (7)

где , l=1,2,...,m; k=0,1,...d-1, над конечным кольцом P_l(z).

Полученная циклическая группа имеет порядок d. Поэтому дискретное преобразование Фурье над P_l(z) можно обобщить над кольцом P(z), если конечное кольцо P_l(z) содержит корень d-ой степени из единицы и d имеет мультипликативный обратный элемент d^*, такой что справедливо

. (8)

Доказательство закончено.

Основным преимуществом доказанной теоремы является то, что существует возможность организации ортогональных преобразований сигналов на основе обобщенного ДПФ в расширенных полях Галуа при различных значениях разрядности сетки, задаваемой значением конечного кольца P(z). При этом вычисления организуются параллельно, независимо друг от друга, что значительно повышает быстродействие арифметических устройств ЦОС.

Проведенные исследования показали, что применение ортогональных преобразований в на основе обобщенного ДПФ позволило повысить производительность вычислительного устройства более чем в 1,5 раза. Таким образом, полученные результаты имеют важное пpaктическое значение, так как позволяют поднять аппаратные средства для ЦОС на качественно более высокую ступень.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

Абстpaктные алгебраические системы и цифровая обработка сигналов /Вариченко Л.В., Лабунец В.Г., Paков М.А. - Киев: Наук. думка, 1986.-248 с.
Калмыков И.А. Математические модели нейросетевых отказоустойчивых вычислительных средств, функционирующих в полиномиальной системе классов вычетов /Под ред. Н.И. Червякова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 276 с.
Элементы применения компьютерной математики и нейроинформатики /Н.И. Червяков, И.А. Калмыков И.А., В.А. Галкина, Ю.О. Щелкунова, А.А. Шилов; Под ред. Н.И. Червякова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 216 с.

УГНЕТАЮЩЕЕ ВЛИЯНИЕ МЕЛОКСИКАМА НА ИНДУЦИРОВАННЫЙ КАНЦЕРОГЕНЕЗ МОЛОЧНОЙ ЖЕЛЕЗЫ

Статья в формате PDF 93 KB...

03 05 2026 7:29:35

СТРУЙНОЕ РАСПЫЛИВАНИЕ ЖИДКОСТИ В ПРОТРАВЛИВАТЕЛЕ

Статья в формате PDF 391 KB...

02 05 2026 21:14:14

ГЕЛИОКЛИМАТОЛОГИЯ: ВНЕЗЕМНЫЕ ИСТОЧНИКИ ЗЕМНОГО КЛИМАТА

Проведен анализ поведения 380-летних изменений солнечной активности, температуры, осадков, солнечной радиации, штормистости и СО2. Обнаружена тенденция совпадения всех процессов на ветви роста 400-летних изменений. Показано, что основным фактором климатических изменений на Земле является солнечная активность. Для дальнейших сценариев существования человечества в обозримой перспективе, уже не так важно, что лежит в основе глобального повышения температуры, CO2, осадков … Теперь важно искать пути, как снизить риски глобальных климатических изменений на природу, биосферу и экономику. Важно также оценить факторы положительные экономического развития мирового сообщества в целом и России, в частности, вызванные этими изменениями. Показано, что своевременное отслеживание и прогнозирование изменения активности Солнца и вызванных ею земных явлений позволяют снижать экономические риски и выpaбатывать оптимальную стратегию для предотвращения природных катастроф. ...

01 05 2026 1:45:45

ВЛИЯНИЕ СОЧЕТАНИЯ ФИТОГОРМОНОВ И ВИТАМИНОВ НА РОСТ И ПРОДУКТИВНОСТЬ ХЛОПЧАТНИКА В УСЛОВИЯХ ВОЛГО-АХТУБИНСКОЙ ПОЙМЫ АСТРАХАНСКОЙ ОБЛАСТИ

Установлено, что предпосевное замачивание семян и опрыскивание вегетирующих растений хлопчатника (Gossipium hirsutum L.) растворами сочетаний фитогормонов кинетина (КН) и гибберелловой кислоты (ГК) и совместно с витаминами никотиновой кислотой (НК) и пантотеновой кислотой (ПК) эффективно стимулирует полевую всхожесть семян, рост стeбля и образование побегов, среднюю площадь листа и общую фотосинтетическую листовую поверхность, улучшение водного режима. Также отмечено увеличение числа коробочек, длины волокна и выхода волокна с растения от 34,6 до 60,4 %. Наиболее эффективно предпосевное замачивание семян сочетанием фитогормонов совместно с витаминами. ...

30 04 2026 14:56:23

МОТИВ «КУКОЛЬНОСТИ» В СТРУКТУРЕ СКАЗКИ Ю.К.ОЛЕШИ «ТРИ ТОЛСТЯКА»

Статья в формате PDF 276 KB...

29 04 2026 20:54:10

ИССЛЕДОВАНИЕ АКСИАЛЬНОГО МЕХАНИЧЕСКОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЭЛЕКРОДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ РАЗРЯДНОГО КОНТУРА

Статья в формате PDF 416 KB...

28 04 2026 8:46:37

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ В ОБУЧЕНИИ ФИЗИКЕ

Статья в формате PDF 130 KB...

27 04 2026 19:11:12

МОНИТОРИНГ ПУТЕЙ ПОСТУПЛЕНИЯ ЗАГРЯЗНЯЮЩИХ ВЕЩЕСТВ В АРКТИЧЕСКУЮ АТМОСФЕРУ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИСТОЧНИКОВ ЕЁ ЗАГРЯЗНЕНИЯ

Статья в формате PDF 228 KB...

26 04 2026 6:41:45

НАРУШЕНИЯ СИСТЕМЫ ГЕМОСТАЗА И АНТИТРОМБОГЕННОЙ АКТИВНОСТИ СОСУДИСТОЙ СТЕНКИ И ИХ РОЛЬ В ПАТОГЕНЕЗЕ ДИАБЕТИЧЕСКИХ АНГИОПАТИЙ

Статья в формате PDF 174 KB...

25 04 2026 5:47:26

НЕЙРОГЕНЕЗ И ПРОЛИФЕРАТИВНЫЕ ЗОНЫ В ЦНС ВЗРОСЛЫХ ПОЗВОНОЧНЫХ ЖИВОТНЫХ

Статья в формате PDF 348 KB...

24 04 2026 10:59:18

ИЗУЧЕНИЕ ПРОТИВОИШЕМИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ ПРОИЗВОДНОГО ОКСИНИКОТИНОВОЙ КИСЛОТЫ

Статья в формате PDF 127 KB...

23 04 2026 6:20:53

ОПТИМИЗАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ НАЛОГООБЛОЖЕНИЯ

Статья в формате PDF 99 KB...

22 04 2026 20:41:28

ИММУНОРЕАБИЛИТАЛОГИЯ – НОВОЕ НАПРАВЛЕНИЕ В МЕДИЦИНЕ

Статья в формате PDF 93 KB...

21 04 2026 13:30:30

ОЦЕНКА МЕСТНЫХ ЗАЩИТНЫХ РЕАКЦИЙ ПРИ ПЕРИТОНИТЕ

Статья в формате PDF 111 KB...

20 04 2026 23:17:27

КОМПЕТЕНТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ СТУДЕНТОВ

Статья в формате PDF 155 KB...

19 04 2026 15:15:18

СЕРУСОДЕРЖАЩАЯ ПРИСАДКА НА ОСНОВЕ ФРАКЦИИ Α-ОЛЕФИНОВ С12-С14

Статья в формате PDF 303 KB...

18 04 2026 3:33:17

О РОЛИ ТЕРМИНОВ В НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЕ

Статья в формате PDF 307 KB...

17 04 2026 13:24:17

МОРФОЛОГИЯ ОРГАНОВ ЦЕНТРАЛЬНОЙ И ПЕРИФЕРИЧЕСКОЙ ИММУННОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛЯТ В ЭКОЛОГИЧЕСКИ НЕБЛАГОПОЛУЧНЫХ ЗОНАХ СВЕРДЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Статья в формате PDF 117 KB...

16 04 2026 14:47:30

ОСОБЕННОСТИ ОСТРОВНОЙ ФЛОРЫ ЛЗ «ВАГАНИХА» (ЧЕРЕПОВЕЦКИЙ РАЙОН, ВОЛОГОДСКАЯ ОБЛАСТЬ)

Статья в формате PDF 266 KB...

15 04 2026 21:53:31

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ КОСТНОЙ ТКАНИ У КРУПНОГО РОГАТОГО СКОТА И ЛОСЕЙ ПРИ ИСПЫТАНИИ НА ИЗГИБ ПЯСТНОЙ КОСТИ

Костная ткань обладает целым рядом уникальных физических свойств. Наиболее ценными с производственной точки зрения, представляются только некоторые из них: жесткость, твердость, упругость, эластичность. Наш научный интерес проявился на два основных свойства: жесткость и эластичность. ...