ОБОБЩЕННОЕ ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ДЛЯ КОЛЕЦ НЕПРИВОДИМЫХ ПОЛИНОМОВ
При решении многих пpaктических задач цифровой обработки сигналов (ЦОС) необходимо осуществлять ортогональные преобразования над входной последовательностью дискретных отсчетов. Такие преобразования, как правило, определены над полем комплексных чисел и называются дискретным преобразованием Фурье (ДПФ), которое определяется выражениями:
; (1)
, (2)
где - поворачивающий коэффициент; x(n) - количество отсчетов, , .
Известно, что реализация прямого и обратного ДПФ предопределяет значительные погрешности при вычислении значений спектральных коэффициентов в поле комплексных чисел. Это, прежде всего, обусловлено тем, что поворачивающие коэффициенты представляют собой иррациональные числа, а это при значительных значениях N приводит к существенной аддитивной арифметической погрешности. Поэтому для уменьшения среднеквадратической погрешности необходимо определить алгоритм ортогонального преобразования входного вектора x(n), в котором бы не использовались операции поля комплексных чисел.
С этой точки зрения наиболее привлекательными являются преобразования, определенные над расширенным полем Галуа , где p - простое, а - положительное целое число. Известно [1], что данное поле содержит ненулевых элемента, которые образуют циклическую мультипликативную группу. Следовательно, в этой группе должен существовать хотя бы один элемент d, который являлся бы делителем. Если представляет собой простое число, то значение .
Пусть β является элементом порядка k в мультипликативной группе ненулевых элементов . Тогда выражение (1) можно преобразовать к виду
, . (3)
Выражение (3) описывает преобразование входной последовательности отсчетов x(n), являющихся элементами расширенного поля Галуа в последовательность «частотных» составляющих X(k), определенных над этим же полем.
Преобразование обратное (3), то есть эквивалентное множество уравнений, позволяющих определить входной вектор x(n) через совокупность спектральных составляющих X(k), определяется выражением
, , (4)
где d* - целое число, удовлетворяющее условию
. (5)
Анализ выражений (3) и (4) показывает, что полученное преобразование аналогично ДПФ комплексной области и действует в прострaнcтве циклической группы порядка d, определенной полем . Так как и x(n) представляют собой целочисленные элементы расширенного поля Галуа, то при реализации выражений (3) и (4) будут полностью отсутствовать шумы округления.
В подавляющем большинстве приложений задача ЦОС сводится к нахождению значений ортогонального преобразования конечной реализации сигнала для большого числа точек, что предопределяет повышенные требования к разрядности вычислительного устройства.
Рассмотрим возможность выполнения обобщенного ДПФ в расширенных полях Галуа с использованием конечных полиномиальных колец, полученных с помощью неприводимых полиномов.
Пусть имеем конечное кольцо полиномов P(z), с коэффициентами в виде элементов поля GF(p), определяющего точность вычисления ортогональных преобразований сигналов. Положим, что данное кольцо разлагается в виде , где Pl(z) - локальное кольцо полиномов, образованных неприводимым полиномом pl(z) над полем GF(p); l=1, ...,k.
Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема: Пусть P(z) - конечное кольцо полиномов с коэффициентами поля GF(p) представляет собой прямую сумму локальных колец полиномов
. (6)
Тогда в данной системе существует ортогональное преобразование, представляющее собой обобщенное ДПФ, если выполняются следующие условия:
1. - первообразный элемент порядка d для локального кольца Pl(z), где l=1, ...,m.
2. d имеет мультипликативный обратный элемент d*.
Доказательство: Ортогональное преобразование является обобщенным ДПФ для кольца вычетов P(z) если существуют преобразования вида
, (7)
где , l=1,2,...,m; k=0,1,...d-1, над конечным кольцом Pl(z).
Полученная циклическая группа имеет порядок d. Поэтому дискретное преобразование Фурье над Pl(z) можно обобщить над кольцом P(z), если конечное кольцо Pl(z) содержит корень d-ой степени из единицы и d имеет мультипликативный обратный элемент d*, такой что справедливо
. (8)
Доказательство закончено.
Основным преимуществом доказанной теоремы является то, что существует возможность организации ортогональных преобразований сигналов на основе обобщенного ДПФ в расширенных полях Галуа при различных значениях разрядности сетки, задаваемой значением конечного кольца P(z). При этом вычисления организуются параллельно, независимо друг от друга, что значительно повышает быстродействие арифметических устройств ЦОС.
Проведенные исследования показали, что применение ортогональных преобразований в на основе обобщенного ДПФ позволило повысить производительность вычислительного устройства более чем в 1,5 раза. Таким образом, полученные результаты имеют важное пpaктическое значение, так как позволяют поднять аппаратные средства для ЦОС на качественно более высокую ступень.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
- Абстpaктные алгебраические системы и цифровая обработка сигналов /Вариченко Л.В., Лабунец В.Г., Paков М.А. - Киев: Наук. думка, 1986.-248 с.
- Калмыков И.А. Математические модели нейросетевых отказоустойчивых вычислительных средств, функционирующих в полиномиальной системе классов вычетов /Под ред. Н.И. Червякова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 276 с.
- Элементы применения компьютерной математики и нейроинформатики /Н.И. Червяков, И.А. Калмыков И.А., В.А. Галкина, Ю.О. Щелкунова, А.А. Шилов; Под ред. Н.И. Червякова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 216 с.
Статья в формате PDF
132 KB...
13 05 2026 16:36:26
Статья в формате PDF
104 KB...
11 05 2026 15:54:35
Статья в формате PDF
256 KB...
10 05 2026 16:46:40
Медицинская пиявка (Hirudo medicinalis L.) относится к классу пиявок (Hirudinea) подклассу настоящих пиявок (Euhirudinea) отряду челюстных пиявок (Ghathobdellidae), роду Hirudo. Более 30 веков она использовалась человеком как лечебное средство. В России велик опыт клинического применения пиявки (гирудотерапия), его расцветом считаются 18-19 века, когда по экспорту пиявки Россия занимала место, равное злаковым культурам, что являлось существенной статьей дохода государственной казны. В статье показаны оптимальные условия среды для обитания медицинской пиявки и возможные лимитирующие факторы ее распространения и численности. Сегодня основной причиной снижения численности пиявки в Краснодарском крае является антропогенный фактор. Так бpaконьерский вылов Hirudo medicinalis привел к сильному подрыву ее популяции в большинстве районов Краснодарского края, по сравнению с серединой 90-х годов, ее численность снизилась до 10 раз. В 2002 г. губернатором Краснодарского края А.Н. Ткачевым было выпущено постановление №955 «Об изучении и сохранении медицинской пиявки на территории Краснодарского края». Важным условием сохранения медицинской пиявки в нашем крае является введение запрета на ее вылов на территории Ростовской области, куда в последнее время сместились рынки нелегальной торговли пиявкой. Идеальным вариантом стал бы запрет на ловлю пиявки во всем Южном федеральном округе и принятие коллективных мер по ее охране.
...
09 05 2026 18:16:16
Статья в формате PDF
138 KB...
08 05 2026 9:19:47
Статья в формате PDF
111 KB...
07 05 2026 11:47:17
Статья в формате PDF
104 KB...
06 05 2026 9:47:34
Статья в формате PDF
119 KB...
05 05 2026 13:11:18
Статья в формате PDF
312 KB...
03 05 2026 14:28:12
Статья в формате PDF
127 KB...
02 05 2026 9:13:48
Статья в формате PDF 279 KB...
01 05 2026 17:16:23
В листьях древесных пород и травянистой растительности определены корреляционные зависимости между Mn, Cr, Ni, Cu, Ti, Pb, Zn, Co в условиях геохимического фона и на колчеданных месторождениях.
...
30 04 2026 9:18:38
Статья в формате PDF
112 KB...
29 04 2026 15:43:59
Статья в формате PDF
121 KB...
28 04 2026 20:34:51
Статья в формате PDF
112 KB...
27 04 2026 20:24:44
Статья в формате PDF
144 KB...
25 04 2026 6:11:14
Статья в формате PDF
118 KB...
24 04 2026 16:27:47
Статья в формате PDF
140 KB...
23 04 2026 17:31:55
Статья в формате PDF
102 KB...
22 04 2026 19:15:52
Статья в формате PDF
129 KB...
21 04 2026 17:21:55
По частотам генов белковых локусов остромордой лягушки и ее паразитов изучали уровень генетической изменчивости в паразитарных системах. Показано, что состояние генетической структуры популяции у хозяина и разных видов паразитов в одних и тех же условиях может быть различным.
...
20 04 2026 20:15:31
Приведены новые положения теории зацепления, отражающие специфику цилиндрической винтовой пары «инструмент-деталь»
...
19 04 2026 20:20:29
Статья в формате PDF
367 KB...
18 04 2026 22:58:26
Статья в формате PDF
138 KB...
17 04 2026 23:33:12
Статья в формате PDF
125 KB...
16 04 2026 23:36:21
В статье излагается в систематизированном в виде эконометрический анализ в сфере планирования и обосновании плана по прибыли. Проведено статистическое исследование факторов, влияющих на прибыль предприятия, на основе временных рядов. Рассматривается алгоритм построения прогноза цеховой прибыли предприятия. Построен комплекс эконометрических моделей для анализа взаимосвязи результата хозяйственной деятельности предприятия с внутренними и внешними факторами на него влияющими.
...
14 04 2026 7:54:56
Статья посвящена авторской методологии прогнозирования экономического потенциала региона на примере Краснодарского края. В ходе научных исследований был разработан оригинальный математический аппарат, позволяющий оценить основные экономические показатели региона, который применяется для социально-экономического прогноза региона на текущий и перспективный периоды. Описательная часть содержит основные подходы и этапы эффективного экономического прогнозирования региона.
...
13 04 2026 8:42:44
Представленный материал является предварительной попыткой изучить направления работы, результаты исследований и определить их значение для развития современных агротехнологий в экстремальных климатических условиях, а также конкретный вклад специалистов и ученых полярников в развитие полярного овощеводства в истекшем столетии. Архивные материала, включающие некогда засекреченные отчеты с.-х. опытных станций и опopных пунктов академических структур, Главсевморпути и МТБ содержит значительный и не потерявший своей актуальности научно-исследовательский материал, накопленный специалистами и учеными предыдущих поколений, но элиминированный из памяти социальной истории отечественной науки и техники. Исследование и осмысление этих материалов будет способствовать развитию современного научного овощеводства.
...
12 04 2026 15:57:22
Статья в формате PDF
100 KB...
11 04 2026 16:31:15
Статья в формате PDF
281 KB...
09 04 2026 19:52:40
Статья в формате PDF
303 KB...
08 04 2026 2:17:13
Статья в формате PDF
111 KB...
07 04 2026 22:36:42
Статья в формате PDF
242 KB...
06 04 2026 16:45:20
Приведены закономерности рангового распределения по рейтингу 110 стран, среди них Россия занимала 49-е место. Для анализа были приняты показатели: 1) инновационные затраты/суммарный балл; 2) инновационная эффективность/суммарный балл); 3) инновационная эффективность/инновационные затраты. Сравнение показывает весьма скромную инновационную активность России, но при этом значения всех трех относительных показателей инновационной активности у России положительные или позитивные. Только изобретения имеют мировую новизну и достаточно высокую конкурентоспособность, а полезные модели нужны в основном для внутреннего употрeбления. В итоге в стране образуется так называемый инновационный крест. Динамика изобретений куда значимее, если при этом снизить справедливое в неспокойной экономике колебательное возмущение изобретателей.
...
05 04 2026 9:10:57
Статья в формате PDF
334 KB...
04 04 2026 13:25:42
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
