ОБОБЩЕННОЕ ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ДЛЯ КОЛЕЦ НЕПРИВОДИМЫХ ПОЛИНОМОВ > Полезные советы
Тысяча полезных мелочей    

ОБОБЩЕННОЕ ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ДЛЯ КОЛЕЦ НЕПРИВОДИМЫХ ПОЛИНОМОВ

ОБОБЩЕННОЕ ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ДЛЯ КОЛЕЦ НЕПРИВОДИМЫХ ПОЛИНОМОВ

Калмыков И.А. Емарлукова Я.В. Тимошенко Л.И. Гахов В.Р. Статья в формате PDF 119 KB

При решении многих пpaктических задач цифровой обработки сигналов (ЦОС) необходимо осуществлять ортогональные преобразования над входной последовательностью дискретных отсчетов. Такие преобразования, как правило, определены над полем комплексных чисел и называются дискретным преобразованием Фурье (ДПФ), которое определяется выражениями:

 ;           (1)

,   (2)

где - поворачивающий коэффициент; x(n) - количество отсчетов, , .

Известно, что реализация прямого и обратного ДПФ предопределяет значительные погрешности при вычислении значений спектральных коэффициентов в поле комплексных чисел. Это, прежде всего, обусловлено тем, что поворачивающие коэффициенты  представляют собой иррациональные числа, а это при значительных значениях N приводит к существенной аддитивной арифметической погрешности. Поэтому для уменьшения среднеквадратической погрешности необходимо определить алгоритм ортогонального преобразования входного вектора x(n), в котором бы не использовались операции поля комплексных чисел.

С этой точки зрения наиболее привлекательными являются преобразования, определенные над расширенным полем Галуа , где p  - простое, а  - положительное целое число. Известно [1], что данное поле содержит  ненулевых элемента, которые образуют циклическую мультипликативную группу. Следовательно, в этой группе должен существовать хотя бы один элемент d, который являлся бы делителем. Если  представляет собой простое число, то значение .

Пусть β является элементом порядка k в мультипликативной группе ненулевых элементов . Тогда выражение (1) можно преобразовать к виду

, .  (3)

Выражение (3) описывает преобразование входной последовательности отсчетов x(n), являющихся элементами расширенного поля Галуа  в последовательность «частотных» составляющих X(k), определенных над этим же полем.

Преобразование обратное (3), то есть эквивалентное множество уравнений, позволяющих определить входной вектор x(n) через совокупность спектральных составляющих X(k), определяется выражением

, , (4)

где d* - целое число, удовлетворяющее условию

.                    (5)

Анализ выражений (3) и (4) показывает, что полученное преобразование аналогично ДПФ комплексной области и действует в прострaнcтве циклической группы порядка d, определенной полем . Так как  и x(n) представляют собой целочисленные элементы расширенного поля Галуа, то при реализации выражений (3) и (4) будут полностью отсутствовать шумы округления.

В подавляющем большинстве приложений задача ЦОС сводится к нахождению значений ортогонального преобразования конечной реализации сигнала для большого числа точек, что предопределяет повышенные требования к разрядности вычислительного устройства.

Рассмотрим возможность выполнения обобщенного ДПФ в расширенных полях Галуа с использованием конечных полиномиальных колец, полученных с помощью неприводимых полиномов.

Пусть имеем конечное кольцо полиномов P(z), с коэффициентами в виде элементов поля GF(p), определяющего точность вычисления ортогональных преобразований сигналов. Положим, что данное кольцо разлагается в виде , где Pl(z) - локальное кольцо полиномов, образованных неприводимым полиномом pl(z) над полем GF(p); l=1,  ...,k.

Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема: Пусть  P(z) - конечное кольцо полиномов с коэффициентами поля GF(p) представляет собой прямую сумму локальных колец полиномов

.   (6)

Тогда в данной системе существует ортогональное преобразование, представляющее собой обобщенное ДПФ, если выполняются следующие условия:

1.  - первообразный элемент порядка d для локального кольца Pl(z), где l=1,  ...,m.

2. d имеет мультипликативный обратный элемент d*.

Доказательство: Ортогональное преобразование является обобщенным ДПФ для кольца вычетов P(z) если существуют преобразования вида

,         (7)

где , l=1,2,...,m; k=0,1,...d-1, над конечным кольцом Pl(z).

Полученная циклическая группа имеет порядок d. Поэтому дискретное преобразование Фурье над Pl(z) можно обобщить над кольцом P(z), если конечное кольцо Pl(z) содержит корень  d-ой степени из единицы и d имеет мультипликативный обратный элемент d*, такой что справедливо

.                     (8)

Доказательство закончено.

Основным преимуществом доказанной теоремы является то, что существует возможность организации ортогональных преобразований сигналов на основе обобщенного ДПФ в расширенных полях Галуа при различных значениях разрядности сетки, задаваемой значением конечного кольца P(z). При этом вычисления организуются параллельно, независимо друг от друга, что значительно повышает быстродействие арифметических устройств ЦОС.

Проведенные исследования показали, что применение ортогональных преобразований в  на основе обобщенного ДПФ позволило повысить производительность вычислительного устройства более чем в 1,5 раза. Таким образом, полученные результаты имеют важное пpaктическое значение, так как позволяют поднять аппаратные средства для ЦОС на качественно более высокую ступень.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Абстpaктные алгебраические системы и цифровая обработка сигналов /Вариченко Л.В., Лабунец В.Г., Paков М.А. - Киев: Наук. думка, 1986.-248 с.
  2. Калмыков И.А. Математические модели нейросетевых отказоустойчивых вычислительных средств, функционирующих в полиномиальной системе классов вычетов /Под ред. Н.И. Червякова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 276 с.
  3. Элементы применения компьютерной математики и нейроинформатики /Н.И. Червяков, И.А. Калмыков И.А., В.А. Галкина, Ю.О. Щелкунова, А.А. Шилов; Под ред. Н.И. Червякова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 216 с.


СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОРИЕНТИРОВОЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ПОВЕДЕНИЯ КРЫС ЛИНИИ ВИСТАР И WAG/RIJ С ГЕНОТИПОМ А1А1 ПО ЛОКУСУ TAQ 1A ДОФАМИНОВОГО РЕЦЕПТОРА ВТОРОГО ТИПА (DRD2)

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОРИЕНТИРОВОЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ПОВЕДЕНИЯ КРЫС ЛИНИИ ВИСТАР И WAG/RIJ С ГЕНОТИПОМ А1А1 ПО ЛОКУСУ TAQ 1A ДОФАМИНОВОГО РЕЦЕПТОРА ВТОРОГО ТИПА (DRD2) В статье изложены результаты тестирования ориентировочно-исследовательского поведения крыс указанных линий, которые показали, что крысы линии WAG/Rij обладают более выраженной двигательной активностью и исследовательской деятельностью по сравнению с крысами линии Вистар. ...

04 04 2026 21:58:37

ИСТОКИ ГУМАНИСТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ИСТОКИ ГУМАНИСТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ Статья в формате PDF 317 KB...

03 04 2026 15:55:32

К ПРОБЛЕМЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛИТИЧЕСКОЙ ДИСКУРСИИ В СОВРЕМЕННОЙ ЛИНГВИСТИКЕ

К ПРОБЛЕМЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛИТИЧЕСКОЙ ДИСКУРСИИ В СОВРЕМЕННОЙ ЛИНГВИСТИКЕ В статье рассматривается проблема изучения понятия «политическая дискурсия» в современной лингвистике. Развитие когнитивной парадигмы в лингвистике актуализировало изучение понятия «дикурс», исследование же политической дискурсии даёт возможность исследовать подробнее языковую личность политика. ...

01 04 2026 2:15:45

ЭКОНОМИЧЕСКАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ

ЭКОНОМИЧЕСКАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ Статья в формате PDF 100 KB...

30 03 2026 4:50:10

STATISTICAL DESCRIPTION OF CONTROL SYSTEMS IN NANOLITHOGRAPHY

STATISTICAL DESCRIPTION OF CONTROL SYSTEMS IN NANOLITHOGRAPHY Статья в формате PDF 144 KB...

28 03 2026 2:39:24

Оценка гигиенической безопасности сырого молока

Оценка гигиенической безопасности сырого молока Статья в формате PDF 148 KB...

27 03 2026 18:11:23

ТРАНСНАЦИОНАЛИЗАЦИЯ РОССИЙСКОГО БИЗНЕСА

ТРАНСНАЦИОНАЛИЗАЦИЯ РОССИЙСКОГО БИЗНЕСА Статья в формате PDF 320 KB...

22 03 2026 22:59:39

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОМАТОТИПА ЧЕЛОВЕКА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОМАТОТИПА ЧЕЛОВЕКА Статья в формате PDF 315 KB...

19 03 2026 1:17:25

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРУЖИННЫХ ТРАНСПОРТЕРОВ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРУЖИННЫХ ТРАНСПОРТЕРОВ Статья в формате PDF 114 KB...

15 03 2026 13:18:50

ФОРМА И ТОПОГРАФИЯ ПОДЖЕЛУДОЧНОЙ ЖЕЛЕЗЫ У КРЫСЫ

ФОРМА И ТОПОГРАФИЯ ПОДЖЕЛУДОЧНОЙ ЖЕЛЕЗЫ У КРЫСЫ Поджелудочная железа белой крысы имеет три основные части – головка (дуоденальная часть), тело (пилорическая часть) и хвост (желудочно-селезеночная часть). По сравнению с человеком, она отличается большей рыхлостью, изогнутостью, разветвленностью. Встречаются два крайних варианта формы (в виде молотка или трилистника) и топографии поджелудочной железы у белой крысы. ...

14 03 2026 20:31:27

МЕТОДИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ДИАГНОСТИКИ РЕСУРСНОГО ПОТЕНЦИАЛА АГРАРНОЙ СФЕРЫ РЕГИОНА

МЕТОДИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ДИАГНОСТИКИ РЕСУРСНОГО ПОТЕНЦИАЛА АГРАРНОЙ СФЕРЫ РЕГИОНА В статье предлагается тpaктовка ресурсного потенциала сельского хозяйства региона. Представлена авторская методика построения интегрального индикатора, позволяющего судить об уровне развития ресурсного потенциала аграрной сферы региона. Дана оценка ресурсного потенциала аграрной сферы регионов Юга России. ...

12 03 2026 23:18:17

ВАМПИРОМАНИЯ СОВРЕМЕННОЙ КУЛЬТУРЫ

ВАМПИРОМАНИЯ СОВРЕМЕННОЙ КУЛЬТУРЫ Статья в формате PDF 301 KB...

10 03 2026 22:17:54

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ РОСТ В РОССИИ В ПЕРИОД 2000-2010 ГГ.

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ РОСТ В РОССИИ  В ПЕРИОД 2000-2010 ГГ. Статья в формате PDF 603 KB...

07 03 2026 11:48:27

О СТРОЕНИИ И ТОПОГРАФИИ КРАНИАЛЬНЫХ БРЫЖЕЕЧНЫХ ЛИМФАТИЧЕСКИХ УЗЛОВ У НОВОРОЖДЕННЫХ БЕЛОЙ КРЫСЫ

Краниальные брыжеечные лимфатические узлы у новорожденных белой крысы располагаются главным образом вдоль ствола одноименной артерии и отличаются слабо дифференцированной паренхимой. ...

05 03 2026 0:36:20

Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::