ОБОБЩЕННОЕ ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ДЛЯ КОЛЕЦ НЕПРИВОДИМЫХ ПОЛИНОМОВ > Полезные советы
Тысяча полезных мелочей    

ОБОБЩЕННОЕ ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ДЛЯ КОЛЕЦ НЕПРИВОДИМЫХ ПОЛИНОМОВ

ОБОБЩЕННОЕ ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ДЛЯ КОЛЕЦ НЕПРИВОДИМЫХ ПОЛИНОМОВ

Калмыков И.А. Емарлукова Я.В. Тимошенко Л.И. Гахов В.Р. Статья в формате PDF 119 KB

При решении многих пpaктических задач цифровой обработки сигналов (ЦОС) необходимо осуществлять ортогональные преобразования над входной последовательностью дискретных отсчетов. Такие преобразования, как правило, определены над полем комплексных чисел и называются дискретным преобразованием Фурье (ДПФ), которое определяется выражениями:

 ;           (1)

,   (2)

где - поворачивающий коэффициент; x(n) - количество отсчетов, , .

Известно, что реализация прямого и обратного ДПФ предопределяет значительные погрешности при вычислении значений спектральных коэффициентов в поле комплексных чисел. Это, прежде всего, обусловлено тем, что поворачивающие коэффициенты  представляют собой иррациональные числа, а это при значительных значениях N приводит к существенной аддитивной арифметической погрешности. Поэтому для уменьшения среднеквадратической погрешности необходимо определить алгоритм ортогонального преобразования входного вектора x(n), в котором бы не использовались операции поля комплексных чисел.

С этой точки зрения наиболее привлекательными являются преобразования, определенные над расширенным полем Галуа , где p  - простое, а  - положительное целое число. Известно [1], что данное поле содержит  ненулевых элемента, которые образуют циклическую мультипликативную группу. Следовательно, в этой группе должен существовать хотя бы один элемент d, который являлся бы делителем. Если  представляет собой простое число, то значение .

Пусть β является элементом порядка k в мультипликативной группе ненулевых элементов . Тогда выражение (1) можно преобразовать к виду

, .  (3)

Выражение (3) описывает преобразование входной последовательности отсчетов x(n), являющихся элементами расширенного поля Галуа  в последовательность «частотных» составляющих X(k), определенных над этим же полем.

Преобразование обратное (3), то есть эквивалентное множество уравнений, позволяющих определить входной вектор x(n) через совокупность спектральных составляющих X(k), определяется выражением

, , (4)

где d* - целое число, удовлетворяющее условию

.                    (5)

Анализ выражений (3) и (4) показывает, что полученное преобразование аналогично ДПФ комплексной области и действует в прострaнcтве циклической группы порядка d, определенной полем . Так как  и x(n) представляют собой целочисленные элементы расширенного поля Галуа, то при реализации выражений (3) и (4) будут полностью отсутствовать шумы округления.

В подавляющем большинстве приложений задача ЦОС сводится к нахождению значений ортогонального преобразования конечной реализации сигнала для большого числа точек, что предопределяет повышенные требования к разрядности вычислительного устройства.

Рассмотрим возможность выполнения обобщенного ДПФ в расширенных полях Галуа с использованием конечных полиномиальных колец, полученных с помощью неприводимых полиномов.

Пусть имеем конечное кольцо полиномов P(z), с коэффициентами в виде элементов поля GF(p), определяющего точность вычисления ортогональных преобразований сигналов. Положим, что данное кольцо разлагается в виде , где Pl(z) - локальное кольцо полиномов, образованных неприводимым полиномом pl(z) над полем GF(p); l=1,  ...,k.

Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема: Пусть  P(z) - конечное кольцо полиномов с коэффициентами поля GF(p) представляет собой прямую сумму локальных колец полиномов

.   (6)

Тогда в данной системе существует ортогональное преобразование, представляющее собой обобщенное ДПФ, если выполняются следующие условия:

1.  - первообразный элемент порядка d для локального кольца Pl(z), где l=1,  ...,m.

2. d имеет мультипликативный обратный элемент d*.

Доказательство: Ортогональное преобразование является обобщенным ДПФ для кольца вычетов P(z) если существуют преобразования вида

,         (7)

где , l=1,2,...,m; k=0,1,...d-1, над конечным кольцом Pl(z).

Полученная циклическая группа имеет порядок d. Поэтому дискретное преобразование Фурье над Pl(z) можно обобщить над кольцом P(z), если конечное кольцо Pl(z) содержит корень  d-ой степени из единицы и d имеет мультипликативный обратный элемент d*, такой что справедливо

.                     (8)

Доказательство закончено.

Основным преимуществом доказанной теоремы является то, что существует возможность организации ортогональных преобразований сигналов на основе обобщенного ДПФ в расширенных полях Галуа при различных значениях разрядности сетки, задаваемой значением конечного кольца P(z). При этом вычисления организуются параллельно, независимо друг от друга, что значительно повышает быстродействие арифметических устройств ЦОС.

Проведенные исследования показали, что применение ортогональных преобразований в  на основе обобщенного ДПФ позволило повысить производительность вычислительного устройства более чем в 1,5 раза. Таким образом, полученные результаты имеют важное пpaктическое значение, так как позволяют поднять аппаратные средства для ЦОС на качественно более высокую ступень.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Абстpaктные алгебраические системы и цифровая обработка сигналов /Вариченко Л.В., Лабунец В.Г., Paков М.А. - Киев: Наук. думка, 1986.-248 с.
  2. Калмыков И.А. Математические модели нейросетевых отказоустойчивых вычислительных средств, функционирующих в полиномиальной системе классов вычетов /Под ред. Н.И. Червякова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 276 с.
  3. Элементы применения компьютерной математики и нейроинформатики /Н.И. Червяков, И.А. Калмыков И.А., В.А. Галкина, Ю.О. Щелкунова, А.А. Шилов; Под ред. Н.И. Червякова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 216 с.


СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ (учебник для вузов)

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ (учебник для вузов) Статья в формате PDF 135 KB...

10 06 2026 23:45:38

ПРОБЛЕМА ОЦЕНКИ СТУДЕНЧЕСКОЙ НАУЧНОЙ РАБОТЫ

ПРОБЛЕМА ОЦЕНКИ СТУДЕНЧЕСКОЙ НАУЧНОЙ РАБОТЫ Статья в формате PDF 105 KB...

06 06 2026 9:32:16

ОСОБЕННОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ СЛИЗИСТОЙ ОБОЛОЧКИ И СОСУДИСТОЙ СИСТЕМЫ ПОЛОСТИ НОСА: МОРФО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И КЛИНИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ (ОБЗОР)

ОСОБЕННОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ СЛИЗИСТОЙ ОБОЛОЧКИ И СОСУДИСТОЙ СИСТЕМЫ ПОЛОСТИ НОСА: МОРФО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И КЛИНИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ (ОБЗОР) В статье приведены современные данные о микроанатомии и гистологии слизистой оболочки полости носа. Приводятся особенности морфо-функциональной организации носа в связи с зональными особенностями, сравнителая хаpaктеристика различных отделов носовой полости. Представлено клиническое значение вариантов анатомической организации структур носа с различными видами ринопатологии. ...

05 06 2026 3:21:55

СВОЙСТВА КРУГА БРЕССЕ

СВОЙСТВА КРУГА БРЕССЕ Статья в формате PDF 655 KB...

02 06 2026 9:36:19

СТРОЕНИЕ ХРУСТАЛИКА ГЛАЗА ЧЕЛОВЕКА

СТРОЕНИЕ ХРУСТАЛИКА ГЛАЗА ЧЕЛОВЕКА Статья в формате PDF 126 KB...

31 05 2026 3:43:19

ИЗВЛЕЧЕНИЕ ФЛАВОНОИДОВ ИЗ ПИЖМЫ ОБЫКНОВЕННОЙ

ИЗВЛЕЧЕНИЕ ФЛАВОНОИДОВ ИЗ ПИЖМЫ ОБЫКНОВЕННОЙ Статья в формате PDF 193 KB...

30 05 2026 8:25:14

ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ СЛЕПОЙ КИШКИ У БЕЛОЙ КРЫСЫ

ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ СЛЕПОЙ КИШКИ У БЕЛОЙ КРЫСЫ Статья в формате PDF 243 KB...

29 05 2026 11:36:10

СИСТЕМА ПОДГОТОВКИ БОРЦОВ С УЧЁТОМ ИХ КВАЛИФИКАЦИИ И ВОЗРАСТА

СИСТЕМА ПОДГОТОВКИ БОРЦОВ С УЧЁТОМ ИХ КВАЛИФИКАЦИИ И ВОЗРАСТА В статье рассматриваются вопросы разработки единой системы подготовки спортсменов. Обоснованы четыре взаимообусловленных и неразрывно связанных между собой факторов, от которых зависит прогресс высшего спортивного мастерства. Первый фактор системы подготовки предполагает наличие у спортсменов высоких двигательных и психологических качеств в сочетании с хорошим здоровьем. Второй фактор системы подготовки предполагает совершенную методику спортивной тренировки, систему соревнований и восстановления. Третий фактор системы подготовки предполагает наличие хорошо оборудованных на современном уровне мест для тренировочных занятий, соревнований и восстановления (отдыха). Четвёртый фактор системы подготовки предполагает высокий уровень знаний, педагогическое мастерство тренера, и постоянное самоусовершенствование спортсмена. Приведённые факторы определяют основные принципиальные положения системы подготовки спортсмена. Разработаны и разделены по возрастным группам (от 7 до 20 лет и старше) требования предъявляемые к системе подготовки спортсмена и соревнованиям. ...

25 05 2026 13:35:28

ТИПИЗАЦИЯ ГРАНИТОИДОВ НА ОСНОВЕ СОСТАВОВ БИОТИТОВ

ТИПИЗАЦИЯ ГРАНИТОИДОВ НА ОСНОВЕ СОСТАВОВ БИОТИТОВ Статья в формате PDF 393 KB...

19 05 2026 14:27:34

ИССЛЕДОВАНИЕ УСЛОВИЙ ВЫДЕЛЕНИЯ И ОЧИСТКИ ГЛЮКОАМИЛАЗЫ ИЗ SACCHAROMYCES CEREVISIAE ЛВ-7

ИССЛЕДОВАНИЕ УСЛОВИЙ ВЫДЕЛЕНИЯ И ОЧИСТКИ ГЛЮКОАМИЛАЗЫ ИЗ SACCHAROMYCES CEREVISIAE ЛВ-7 Разработана методика выделения и очистки глюкоамилазы, включающая стадии ультрафильтрации на мембране УФМ-50, осаждения изопропиловым спиртом и гель-хроматографии на сефадексах G-25 и G-150, которая позволила получить гомогенный препарат глюкоамилазы из Saccharomyces cerevisiae ЛВ-7 с 70-кратной степенью чистоты; кажущаяся молекулярная масса фермента 99,8 кДа. ...

16 05 2026 21:43:56

ОСОБЕННОСТИ ГРВ БИОЭЛЕКТРОГРАФИИ СЕКРЕТОВ БОЛЬШИХ СЛЮННЫХ ЖЕЛЕЗ У БОЛЬНЫХ САХАРНЫМ ДИАБЕТОМ

ОСОБЕННОСТИ ГРВ БИОЭЛЕКТРОГРАФИИ СЕКРЕТОВ БОЛЬШИХ СЛЮННЫХ ЖЕЛЕЗ У БОЛЬНЫХ САХАРНЫМ ДИАБЕТОМ С использованием метода газоразрядной визуализации (ГРВ) проведено исследование секретов околоушных, подчелюстных и подъязычных больших слюнных желез у 20 больных 2 типом сахарного диабета и 14 пpaктически здоровых людей. Выявлено, что параметры ГРВ-грамм секретов больших слюнных желез у пациентов с сахарным диабетом существенно ниже, чем у относительно здоровых лиц (p ...

15 05 2026 8:57:58

ОЦЕНКИ ЗНАНИЙ: НОВЫЙ КРИТЕРИЙ И ШКАЛА

ОЦЕНКИ ЗНАНИЙ: НОВЫЙ КРИТЕРИЙ И ШКАЛА Статья в формате PDF 277 KB...

14 05 2026 18:45:43

ПРИМЕНЕНИЕ СВЕРХПРОВОДНИКОВ В ЭНЕРГЕТИКЕ

ПРИМЕНЕНИЕ СВЕРХПРОВОДНИКОВ В ЭНЕРГЕТИКЕ Статья в формате PDF 267 KB...

08 05 2026 16:18:24

Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::