ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ФИРМ НА ОДНОРОДНОМ РЫНКЕ
В данной работе авторы предприняли взглянуть на эту задачу с точки зрения экономической динамики.
Следует отметить, что динамические дифференциальные модели уже давно и успешно используются для математического моделирования самых разнообразных по своей природе процессов. Достаточно упомянуть широко использующуюся в экологии модель «хищник-жертва» Вольтера [2], математическую теорию развития эпидемий, модели боевых действий.В качестве классических примеров дифференциальных моделей экономической динамики отметим модель Эванса установления равновесной цены на рынке одного товара, односекторную модель экономического роста Солоу [4], однопродуктовые динамические макроэкономические модели Леонтьева [3].
Задача решалась в следующей постановке.
На рынке однородного товара присутствуют две основные фирмы, разделяющие его между собой, т.е. имеет место классическая дуополия.
Безусловно, это является весьма сильным предположением, однако оно вполне оправдано в тех случаях, когда доля продаж остальных конкурентов на рассматриваемом сегменте рынке пренебрежимо мала. Хорошим примером может служить отечественный рынок микропроцессоров, который по существу разделили между собой две фирмы: Intel и AMD.
Изменение объемов продаж конкурирующих фирм с течением времени описывается следующей системой дифференциальных уравнений:
с начальными условиями
q1(0)=q01, q2(0)=q02 (2)
Здесь и далее использованы следующие обозначения:
q1(t) - объем продаж фирмы I;q2(t)-объем продаж фирмы II
N - объем рассматриваемого сегмента рынка сбыта;
a1 , b1 , a2 , b2 -положительные коэффициенты, хаpaктеризующие степень влияния различных факторов на изменения объема продаж первой и второй фирмы соответственно.
Уравнения (1) получены из следующих самых общих соображений.
С достаточным основанием можно утверждать, что скорость изменения объемов продаж фирм со временем задается формулами:
где Ai и Bij являются в общем случае функциями qi.
Задача теперь состоит в определении вида зависимостей Ai=Ai (q) и Bij =Bij (q).
Функция Ai (q) описывает влияние внутренней среды предприятия на рост объема продаж и может быть с учетом логистической поправки записана в виде [2]:
Заметим, что здесь учтен тот факт, что суммарный объем продаж двух фирм qi+qj не может превышать N.
Слагаемое Bij (q) выражает влияние внешней среды предприятия на рост объема продаж и учитывает уменьшение объема продаж i-ой фирмы за счет роста продаж j-ой: bi qi q j .
В результате подобных рассуждений удается построить систему дифференциальных уравнений (1)-(2), которая тривиально обобщается на случай произвольного количества конкурирующих предприятий.
Для удобства дальнейшего исследования введем в рассмотрение безразмерные переменные:
τ= a1(Nt) - безразмерное время, (5)
yi =qi /N - безразмерный объем продаж i-ой фирмы (i=1,2).
После этого модель задачи приобретает вид
Начальные условия приобретают вид:y1(0)=y01, y2(0)=y02
Таким образом, мы приходим к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (6)-(7), представляющей собой основу для математического моделирования рассматриваемого процесса.
Система (6)-(7) интегрировалась ПЭВМ для широкого диапазона параметров и начальных условий с использованием стандартного алгоритма Рунге-Кутта четвертого порядка [5], реализованного в среде разработки VBA для пакета MS Office 2002 XP.
Некоторые полученные результаты приведены ниже в виде графиков зависимости безразмерных объемов продаж фирм y1 и y2 от безразмерного времени τ на рис. 1-3. На всех графиках по горизонтальной оси отложена величина τ, а по вертикальной оси- y1 и y2.
Рис.1. соответствует ситуации, когда на рынке присутствует только фирма I, т.е. имеет место классическая монополия. Система (1) в этом случае вырождается в задачу Коши для одного уравнения
или в безразмерном виде
Задача (9) допускает аналитическое решение в виде
причем что полностью согласуется с тем очевидным фактом, что рано или поздно фирма-монополист будет целиком контролировать рассматриваемый сегмент рынка сбыта.
Выражение (10) представляет собой уравнение хорошо известной логистической кривой [3], которая и представлена на рис. 1.
Рис. 2. иллюстрирует динамику процесса раздела рынка между двумя фирмами в том случае, когда их взаимным противодействием, учитываемым посредством коэффициентов b1 , b2 , можно пренебречь. Это соответствует ситуации, когда влиянием внешней среды предприятий на рост объемов продаж можно пренебречь по сравнению с влиянием внутренней среды. В этом случае единственным внешним фактором, ограничивающим увеличение объемов продаж, является изначальная ограниченность рынка сбыта.
Рис 3. соответствует наиболее общему случаю, когда в полной мере учитываются как внутренние, так и внешние факторы, определяющие развитие обоих предприятий.
Обращает на себя внимание тот факт, что при прочих равных условиях в конечном итоге в выигрыше оказывается фирма с бо´льшим значением коэффициента ai и с ме´ньшим значением коэффициента bi .
Рис. 1. Динамика изменения объемов продаж при a1=0,5; a2=b1=b2=0; ,y1(0) =0,01,y2(0)= 0,00.
Рис. 2. Динамика изменения объемов продаж при a2/a1= 0,5; b1/a1=0,0; b2/a1=0,0 ,y1(0)= 0,01, y2(0)= 0,01 .
Следует также отметить, что зависимости отражает основные закономерности развития y1(τ) и y2(τ) имеют принципиально нелинейный хаpaктер, переживая «взлеты» и «падения», о чем особенно наглядно свидетельствует рис. 3.рассматриваемой ситуации, и использованные Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод о том, что, несмотря на некоторую абстpaктность, данная модель в целом адекватно для ее построения принципы могут быть с успехом применены для математического описания динамики развития различных экономических систем.
Рис. 3. Динамика изменения объемов продаж при a2/a1= 1,000; b1/a1=0,984; b2/a1=1,000 ,y1(0)= 0,01, y2(0)= 0,01 .
Литература
- Coleman C.S. Combat models // Differential equation models.-New York e.a., 1983.-P. 109131.
- Murray J. D. Some simple mathematical models in ecology// Math. Spectrum.-19831984.-V. 16, №2.-P. 48.-54.
- Бережной Л.И.. Теория оптимального управления экономическими системами: Учебное пособие.СПб.:ИВЭСЭП, Знание, 2002.-64 с.
- Малыхин В.И.. Математическое моделирование экономики. М., УРАО, 1998.-160 с.
- Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль.- Томск: МП «Раско», 1991.-272 с,: ил.
Статья в формате PDF 99 KB...
15 02 2025 6:56:51
Статья в формате PDF
103 KB...
14 02 2025 12:17:59
Обсуждаются возможности использования микроскопических почвенных водорослей при оценке качества окружающей среды. Показано, что в качестве критериев при прогнозировании антропогенной нагрузки на наземные экосистемы можно использовать изменение видового состава и численности почвенных водорослей.
...
12 02 2025 23:53:23
11 02 2025 11:44:44
Статья в формате PDF
110 KB...
10 02 2025 8:12:59
Статья в формате PDF
255 KB...
09 02 2025 10:59:22
Статья в формате PDF
235 KB...
08 02 2025 11:25:26
Статья в формате PDF
163 KB...
07 02 2025 16:13:22
Статья в формате PDF
101 KB...
06 02 2025 9:39:33
Статья в формате PDF
142 KB...
05 02 2025 18:48:16
Статья в формате PDF
104 KB...
04 02 2025 1:47:20
Статья в формате PDF
264 KB...
03 02 2025 12:26:39
Статья в формате PDF
109 KB...
02 02 2025 6:48:28
В процессе тренировки отдельных компонентов ручной моторики (тонус, сила, точность движений, кинетический и динамический пpaксис) у детей совершенствуется произвольное внимание, развиваются навыки контроля и планирования целостного действия.
...
01 02 2025 3:43:34
31 01 2025 6:17:45
Статья в формате PDF
110 KB...
29 01 2025 3:26:20
Статья в формате PDF
102 KB...
27 01 2025 8:32:27
Статья в формате PDF
291 KB...
26 01 2025 9:48:28
В статье отражен анализ работы котельного агрегата ТП-13/В, работающего на смеси природного и доменного газов, выявлены основные недостатки его работы. Также предложены мероприятия, позволяющие повысить эффективность котельного агрегата и решить некоторые проблемы, связанные с его работой. Рассмотрена целесообразность внесения предложенных изменений.
...
25 01 2025 13:50:34
Статья в формате PDF
111 KB...
24 01 2025 19:45:29
Статья в формате PDF
104 KB...
23 01 2025 5:27:59
Статья в формате PDF
105 KB...
22 01 2025 16:32:57
Статья в формате PDF
448 KB...
21 01 2025 9:53:21
Возникшее при низкодозовом радиационном воздействии повышение уровня ТТГ, снижение уровня тиреоидных гормонов, истощение симпатической импульсации и вегетативный дисбаланс, свидетельствует об установившейся адрено-тиреоидной дисфункции в организме жителей молодого (21–30 лет) и пожилого возраста (61–70 лет) проживающих в районах, прилегающих к Семипалатинскому ядерному полигону.
...
20 01 2025 20:15:26
Статья в формате PDF
148 KB...
19 01 2025 21:33:34
Все более актуальной в настоящее время становится проблема прогнозирования динамики развития региональных лесных комплексов. В качестве одного из этапов исследований по этой теме автором в содружестве с Гринпис России был выполнен описанный в статье проект. В рамках проекта разработана экономико-математическая модель. Последующая реализация модели на компьютере с использованием реальных данных показала ее эффективность для решения задач прогнозирования лесной отрасли. В качестве региона для апробации модели был выбран Санкт-Петербург и область, где влияние человека на окружающую среду в последнее время существенно возросло. Проведенная на основе статистических тестов верификация модели показала ее соответствие реальности. С целью апробации модели были сформированы два сценария с различными значениями показателей внешнего воздействия на региональную систему лесного комплекса. В результате, после имитации были получены основные параметры регионального лесного комплекса, соответствующие двум сценариям.
...
18 01 2025 13:41:23
Статья в формате PDF
117 KB...
17 01 2025 10:40:43
Статья в формате PDF
127 KB...
16 01 2025 13:20:33
Статья в формате PDF
301 KB...
15 01 2025 5:34:24
Статья в формате PDF
116 KB...
14 01 2025 6:11:40
Статья в формате PDF
189 KB...
13 01 2025 20:35:39
Статья в формате PDF
114 KB...
09 01 2025 19:24:53
Статья в формате PDF
113 KB...
08 01 2025 15:36:16
Статья в формате PDF
135 KB...
07 01 2025 12:43:17
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::