ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ФИРМ НА ОДНОРОДНОМ РЫНКЕ
В данной работе авторы предприняли взглянуть на эту задачу с точки зрения экономической динамики.
Следует отметить, что динамические дифференциальные модели уже давно и успешно используются для математического моделирования самых разнообразных по своей природе процессов. Достаточно упомянуть широко использующуюся в экологии модель «хищник-жертва» Вольтера [2], математическую теорию развития эпидемий, модели боевых действий.В качестве классических примеров дифференциальных моделей экономической динамики отметим модель Эванса установления равновесной цены на рынке одного товара, односекторную модель экономического роста Солоу [4], однопродуктовые динамические макроэкономические модели Леонтьева [3].
Задача решалась в следующей постановке.
На рынке однородного товара присутствуют две основные фирмы, разделяющие его между собой, т.е. имеет место классическая дуополия.
Безусловно, это является весьма сильным предположением, однако оно вполне оправдано в тех случаях, когда доля продаж остальных конкурентов на рассматриваемом сегменте рынке пренебрежимо мала. Хорошим примером может служить отечественный рынок микропроцессоров, который по существу разделили между собой две фирмы: Intel и AMD.
Изменение объемов продаж конкурирующих фирм с течением времени описывается следующей системой дифференциальных уравнений:
с начальными условиями
q1(0)=q01, q2(0)=q02 (2)
Здесь и далее использованы следующие обозначения:
q1(t) - объем продаж фирмы I;q2(t)-объем продаж фирмы II
N - объем рассматриваемого сегмента рынка сбыта;
a1 , b1 , a2 , b2 -положительные коэффициенты, хаpaктеризующие степень влияния различных факторов на изменения объема продаж первой и второй фирмы соответственно.
Уравнения (1) получены из следующих самых общих соображений.
С достаточным основанием можно утверждать, что скорость изменения объемов продаж фирм со временем задается формулами:
где Ai и Bij являются в общем случае функциями qi.
Задача теперь состоит в определении вида зависимостей Ai=Ai (q) и Bij =Bij (q).
Функция Ai (q) описывает влияние внутренней среды предприятия на рост объема продаж и может быть с учетом логистической поправки записана в виде [2]:
Заметим, что здесь учтен тот факт, что суммарный объем продаж двух фирм qi+qj не может превышать N.
Слагаемое Bij (q) выражает влияние внешней среды предприятия на рост объема продаж и учитывает уменьшение объема продаж i-ой фирмы за счет роста продаж j-ой: bi qi q j .
В результате подобных рассуждений удается построить систему дифференциальных уравнений (1)-(2), которая тривиально обобщается на случай произвольного количества конкурирующих предприятий.
Для удобства дальнейшего исследования введем в рассмотрение безразмерные переменные:
τ= a1(Nt) - безразмерное время, (5)
yi =qi /N - безразмерный объем продаж i-ой фирмы (i=1,2).
После этого модель задачи приобретает вид
Начальные условия приобретают вид:y1(0)=y01, y2(0)=y02
Таким образом, мы приходим к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (6)-(7), представляющей собой основу для математического моделирования рассматриваемого процесса.
Система (6)-(7) интегрировалась ПЭВМ для широкого диапазона параметров и начальных условий с использованием стандартного алгоритма Рунге-Кутта четвертого порядка [5], реализованного в среде разработки VBA для пакета MS Office 2002 XP.
Некоторые полученные результаты приведены ниже в виде графиков зависимости безразмерных объемов продаж фирм y1 и y2 от безразмерного времени τ на рис. 1-3. На всех графиках по горизонтальной оси отложена величина τ, а по вертикальной оси- y1 и y2.
Рис.1. соответствует ситуации, когда на рынке присутствует только фирма I, т.е. имеет место классическая монополия. Система (1) в этом случае вырождается в задачу Коши для одного уравнения
или в безразмерном виде
Задача (9) допускает аналитическое решение в виде
причем что полностью согласуется с тем очевидным фактом, что рано или поздно фирма-монополист будет целиком контролировать рассматриваемый сегмент рынка сбыта.
Выражение (10) представляет собой уравнение хорошо известной логистической кривой [3], которая и представлена на рис. 1.
Рис. 2. иллюстрирует динамику процесса раздела рынка между двумя фирмами в том случае, когда их взаимным противодействием, учитываемым посредством коэффициентов b1 , b2 , можно пренебречь. Это соответствует ситуации, когда влиянием внешней среды предприятий на рост объемов продаж можно пренебречь по сравнению с влиянием внутренней среды. В этом случае единственным внешним фактором, ограничивающим увеличение объемов продаж, является изначальная ограниченность рынка сбыта.
Рис 3. соответствует наиболее общему случаю, когда в полной мере учитываются как внутренние, так и внешние факторы, определяющие развитие обоих предприятий.
Обращает на себя внимание тот факт, что при прочих равных условиях в конечном итоге в выигрыше оказывается фирма с бо´льшим значением коэффициента ai и с ме´ньшим значением коэффициента bi .
Рис. 1. Динамика изменения объемов продаж при a1=0,5; a2=b1=b2=0; ,y1(0) =0,01,y2(0)= 0,00.
Рис. 2. Динамика изменения объемов продаж при a2/a1= 0,5; b1/a1=0,0; b2/a1=0,0 ,y1(0)= 0,01, y2(0)= 0,01 .
Следует также отметить, что зависимости отражает основные закономерности развития y1(τ) и y2(τ) имеют принципиально нелинейный хаpaктер, переживая «взлеты» и «падения», о чем особенно наглядно свидетельствует рис. 3.рассматриваемой ситуации, и использованные Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод о том, что, несмотря на некоторую абстpaктность, данная модель в целом адекватно для ее построения принципы могут быть с успехом применены для математического описания динамики развития различных экономических систем.
Рис. 3. Динамика изменения объемов продаж при a2/a1= 1,000; b1/a1=0,984; b2/a1=1,000 ,y1(0)= 0,01, y2(0)= 0,01 .
Литература
- Coleman C.S. Combat models // Differential equation models.-New York e.a., 1983.-P. 109131.
- Murray J. D. Some simple mathematical models in ecology// Math. Spectrum.-19831984.-V. 16, №2.-P. 48.-54.
- Бережной Л.И.. Теория оптимального управления экономическими системами: Учебное пособие.СПб.:ИВЭСЭП, Знание, 2002.-64 с.
- Малыхин В.И.. Математическое моделирование экономики. М., УРАО, 1998.-160 с.
- Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль.- Томск: МП «Раско», 1991.-272 с,: ил.
Статья в формате PDF
138 KB...
18 10 2026 21:20:50
В работе представлены результаты исследования влияния высокоинтенсивных физических факторов электрического поля коронного разряда с напряженностью 1-6 кВ/см, создаваемого установкой «Экран», на жизнеспособность семян ячменя сорта «Абава», с целью повышения качества семенного материала.
Определено, что наиболее эффективными воздействиями ЭПКР для повышения качества семенного материала без отлежки зерна перед посевом являются режимы с напряженностью 1 кВ/см и 2 кВ/см. Показано, что наиболее ярко выраженный бактерицидный эффект получен при воздействии на семена электрическим полем коронного разряда с напряженностью 6 кВ/см и 4 кВ/см. Эти режимы наряду с угнетением очаговой плесени тормозят всхожесть, прорастание и снижают жизнеспособность семян. Однако, данные режимы могут оказаться перспективными для обеззараживающей обработки фуражного зерна.
Выявлено, что наиболее эффективным режимом электрического поля коронного разряда для повышения качества семенного материала с отлежкой зерна перед посевом является режим с напряженностью 2 кВ/см, поскольку данное воздействие оказывает наиболее ярко выраженный бактерицидный эффект наряду со стимуляцией всхожести, прорастания и повышением жизнеспособности семян.
...
17 10 2026 20:53:35
Статья в формате PDF
257 KB...
16 10 2026 23:25:51
Рассмотренные в статье особенности геологического строения и металлогении Восточной Тувы, в пределах которой сосредоточены перспективные объекты золото-медно-молибден-порфировой рудной формации, позволяют выделить золото-медно-молибденовую провинцию площадью около 70 тыс. км2. Приведена технология обогащения руды, которая обеспечивает высокие показатели извлечения золота, серебра, меди (общее извлечение в концентраты Au – 99,2 %, Ag – 92,0 %, Cu – 80,2 %). Полученный концентрат хаpaктеризуется высокими содержаниями меди (50 %), а также золота и серебра, что позволяет относить концентрат к медным концентратам высшей марки КМО (ГОСТ 48-77-74).
...
15 10 2026 3:52:36
В статье рассматриваются проблемы эстетического воспитания школьников, какую роль может играть в эстетическом воспитании подрастающего поколения творчество Расула Гамзатова.
...
14 10 2026 21:47:32
Статья в формате PDF
105 KB...
13 10 2026 8:16:52
Статья в формате PDF
193 KB...
11 10 2026 19:40:49
Статья в формате PDF
106 KB...
10 10 2026 18:44:19
Статья в формате PDF
91 KB...
09 10 2026 16:22:15
Статья в формате PDF
206 KB...
08 10 2026 15:42:59
Статья в формате PDF
110 KB...
07 10 2026 8:25:49
Статья в формате PDF 178 KB...
06 10 2026 18:17:46
Статья в формате PDF
121 KB...
05 10 2026 2:16:15
Статья в формате PDF
115 KB...
02 10 2026 8:34:28
Статья в формате PDF
220 KB...
01 10 2026 17:42:39
Статья в формате PDF
125 KB...
30 09 2026 4:21:17
Статья в формате PDF
141 KB...
29 09 2026 11:59:25
Статья в формате PDF
93 KB...
27 09 2026 2:36:29
Статья в формате PDF
293 KB...
26 09 2026 8:21:37
Статья в формате PDF
104 KB...
25 09 2026 10:13:31
8 февраля 2004 года исполняется 75 лет со дня рождения и 60 лет педагогической, производственной деятельности академика Российской Академии естествознания, Академии эмалирования России, Заслуженного деятеля науки и техники РФ, почетного работника высшего образования России, доктора технических наук, профессора кафедры технологии керамики, стекла и вяжущих веществ ЮРГТУ (НПИ).
...
24 09 2026 11:34:31
Статья в формате PDF
92 KB...
23 09 2026 3:28:51
Статья в формате PDF
205 KB...
22 09 2026 13:50:37
Статья в формате PDF
88 KB...
21 09 2026 20:24:22
Статья в формате PDF
120 KB...
20 09 2026 7:44:35
Статья в формате PDF
136 KB...
19 09 2026 4:15:39
Статья в формате PDF
103 KB...
18 09 2026 13:56:33
Статья в формате PDF
170 KB...
17 09 2026 18:40:13
Задачу формирования интеллекта учащихся призвана решать современная школа и, в первую очередь, учебные заведения с названиями «лицей» и «гимназия». В представленной работе излагаются сведения об основных этапах по подготовке и проведению школьной научно-пpaктической конференции «В науку первые шаги», которая ежегодно проводится в Лицее № 37 г. Саратова. В рамках конференции каждый учащийся 11 класса защищает выпускную работу по профильному предмету (математике, физике, информатике, химии, биологии и др.). Подготовка к защите выпускной или творческой работы по химии способствует личностно-ориентированному обучению и воспитанию школьников, развитию активности и самостоятельности, учит работать с библиографической и информационно-справочной литературой, пользоваться электронными каталогами через систему Internet, знакомит с историей науки, развивает экспериментальные навыки, обучает целенаправленным наблюдениям.
...
16 09 2026 18:47:13
Статья в формате PDF
112 KB...
15 09 2026 11:18:22
Выявлены количественные и качественные особенности формирования запасов углерода в степных экосистемах.
...
14 09 2026 21:53:28
Статья в формате PDF
263 KB...
13 09 2026 2:45:18
Обследовано 65 больных шизофренией, направленных в психиатрический стационар в недобровольном порядке. Установлено, что только 16% из них госпитализируются по Постановлению суда (что составляет 0,46% от всех поступивших больных в течение года), остальные 84% дают согласие на госпитализацию в первые дни пребывания в стационаре. У большинства больных указанного контингента наблюдается выраженная социально-трудовая дезадаптация и низкая комплаентность. Приводятся рекомендации по стратегии и тактике лечения в условиях стационара и внебольничного звена психиатрической помощи, требования к преемственности и особенности диспансерного наблюдения.
...
11 09 2026 22:41:55
Статья в формате PDF
264 KB...
10 09 2026 7:47:59
Статья в формате PDF
133 KB...
09 09 2026 20:46:45
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
