Тысяча полезных мелочей    

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ФИРМ НА ОДНОРОДНОМ РЫНКЕ

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ФИРМ НА ОДНОРОДНОМ РЫНКЕ

Копылов А.В. Просвиров А.Э. Рассмотрена экономико-математическая модель конкуренции двух фирм на однородном рынке сбыта. Приводится формулировка соответствующей задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, описывающей динамику развития системы, которая может быть легко обобщена на случай произвольного количества конкурирующих предприятий. Дана экономическая интерпретация полученных результатов. Статья в формате PDF 154 KB Математическому моделированию процессов конкуренции и сотрудничества двух фирм на различных рынках посвящено довольно много научных работ, в основном использующих аппарат теории игр и статистических решений. В качестве примера можно привести работы таких исследователей, как Курно, Стакельберг, Бертран, Нэш, Парето, основные результаты которых приведены в [4].

В данной работе авторы предприняли взглянуть на эту задачу с точки зрения экономической динамики.

Следует отметить, что динамические дифференциальные модели уже давно и успешно используются для математического моделирования самых разнообразных по своей природе процессов. Достаточно упомянуть широко использующуюся в экологии модель «хищник-жертва» Вольтера [2], математическую теорию развития эпидемий, модели боевых действий.В качестве классических примеров дифференциальных моделей экономической динамики отметим модель Эванса установления равновесной цены на рынке одного товара, односекторную модель экономического роста Солоу [4], однопродуктовые динамические макроэкономические модели Леонтьева [3].

Задача решалась в следующей постановке.

На рынке однородного товара присутствуют две основные фирмы, разделяющие его между собой, т.е. имеет место классическая дуополия.

Безусловно, это является весьма сильным предположением, однако оно вполне оправдано в тех случаях, когда доля продаж остальных конкурентов на рассматриваемом сегменте рынке пренебрежимо мала. Хорошим примером может служить отечественный рынок микропроцессоров, который по существу разделили между собой две фирмы: Intel и AMD. 

Изменение объемов продаж конкурирующих фирм с течением времени описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

с начальными условиями

q1(0)=q01, q2(0)=q02                               (2)

Здесь и далее использованы следующие обозначения:

q1(t) - объем продаж фирмы I;

q2(t)-объем продаж фирмы II 

N - объем рассматриваемого сегмента рынка сбыта;

a1 , b1 , a2 , b2 -положительные коэффициенты, хаpaктеризующие степень влияния различных факторов на изменения объема продаж первой и второй фирмы соответственно.

Уравнения (1) получены из следующих самых общих соображений.

С достаточным основанием можно утверждать, что скорость изменения объемов продаж фирм со временем задается формулами:

 

где A и Bij являются в общем случае функциями qi.

Задача теперь состоит в определении вида  зависимостей Ai=Ai (q) и Bij =Bij (q).  

Функция Ai (q) описывает влияние внутренней среды предприятия на рост объема продаж и может быть с учетом логистической поправки записана в виде [2]:

Заметим, что здесь учтен тот факт, что суммарный объем продаж двух фирм qi+qне может превышать N

Слагаемое Bij  (q) выражает влияние внешней среды предприятия на рост объема продаж и учитывает уменьшение объема продаж i-ой фирмы за счет роста продаж j-ой: bqq j .

В результате подобных рассуждений удается  построить систему дифференциальных уравнений (1)-(2), которая тривиально обобщается на случай произвольного количества конкурирующих предприятий.

Для удобства дальнейшего исследования введем в рассмотрение безразмерные переменные:

τ= a1(Nt) - безразмерное время,                   (5) 

yi =qi /N  - безразмерный объем продаж i-ой фирмы (i=1,2).

После этого модель задачи приобретает вид

Начальные условия  приобретают вид:y1(0)=y01, y2(0)=y02

Таким образом, мы приходим к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (6)-(7), представляющей собой основу для математического моделирования рассматриваемого процесса.

Система (6)-(7) интегрировалась ПЭВМ для широкого диапазона параметров и начальных условий с использованием стандартного алгоритма Рунге-Кутта четвертого порядка [5], реализованного в среде разработки VBA для пакета MS Office 2002 XP.

Некоторые полученные результаты приведены ниже в виде графиков зависимости безразмерных объемов продаж фирм y1 и y2 от безразмерного времени τ на рис. 1-3. На всех графиках по горизонтальной оси отложена величина τ, а по вертикальной оси- y1 и y2.

Рис.1. соответствует ситуации, когда на рынке присутствует только фирма I, т.е. имеет место классическая монополия. Система (1) в этом случае вырождается в задачу Коши для одного уравнения

или в безразмерном виде

Задача (9) допускает аналитическое решение в виде

причем  что полностью согласуется с тем очевидным фактом, что рано или поздно фирма-монополист будет целиком контролировать рассматриваемый сегмент рынка сбыта.

Выражение (10) представляет собой уравнение хорошо известной логистической кривой [3], которая и представлена на рис. 1.

Рис. 2. иллюстрирует динамику процесса раздела рынка между двумя фирмами в том случае, когда их взаимным противодействием, учитываемым посредством коэффициентов b1 , b2 , можно пренебречь. Это соответствует ситуации, когда влиянием внешней среды предприятий на рост объемов продаж можно пренебречь по сравнению с влиянием внутренней среды. В этом случае единственным внешним фактором, ограничивающим увеличение объемов продаж, является изначальная ограниченность рынка сбыта.

Рис 3. соответствует наиболее общему случаю, когда в полной мере учитываются как внутренние, так и внешние факторы, определяющие развитие обоих предприятий.

Обращает на себя внимание тот факт, что при прочих равных условиях в конечном итоге в выигрыше оказывается фирма с бо´льшим значением коэффициента a и с ме´ньшим значением коэффициента bi .

Рис. 1. Динамика изменения объемов продаж при a1=0,5; a2=b1=b2=0; ,y1(0) =0,01,y2(0)= 0,00.

 

Рис. 2. Динамика изменения объемов продаж при a2/a1= 0,5; b1/a1=0,0; b2/a1=0,0 ,y1(0)= 0,01, y2(0)= 0,01 .

Следует также отметить, что зависимости отражает основные закономерности развития y1(τ) и y2(τ) имеют принципиально нелинейный хаpaктер, переживая «взлеты» и «падения», о чем особенно наглядно свидетельствует рис. 3.рассматриваемой ситуации, и использованные Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод о том, что, несмотря на некоторую абстpaктность, данная модель в целом адекватно для ее построения принципы могут быть с успехом применены для математического описания динамики развития различных экономических систем.

Рис. 3. Динамика изменения объемов продаж при a2/a1= 1,000; b1/a1=0,984; b2/a1=1,000 ,y1(0)= 0,01, y2(0)= 0,01 .

Литература

  1. Coleman C.S. Combat models // Differential equation models.-New York e.a., 1983.-P. 109131.
  2. Murray J. D. Some simple mathematical models  in  ecology//  Math. Spectrum.-19831984.-V. 16, №2.-P. 48.-54.
  3. Бережной  Л.И.. Теория оптимального управления экономическими системами: Учебное пособие.СПб.:ИВЭСЭП, Знание, 2002.-64 с.
  4. Малыхин В.И.. Математическое моделирование экономики. М., УРАО, 1998.-160 с.
  5. Мудров  А.Е.  Численные  методы  для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль.- Томск: МП «Раско», 1991.-272 с,: ил.


ВИДОСПЕЦИФИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ЛИЧИНОК RANA ARVALIS И RANA TEMPORARIA ПРИ СОВМЕСТНОМ ОБИТАНИИ

ВИДОСПЕЦИФИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ЛИЧИНОК RANA ARVALIS И RANA TEMPORARIA ПРИ СОВМЕСТНОМ ОБИТАНИИ Проведено исследование экологических ниш двух видов бурых лягушек при совместном обитании на водоемах. В период скопления на кладках у R. temporaria идет отбор крупных особей, ускоренно развивающихся за счет питания мелкими собратьями. R. arvalis – скоплений не образуют и являются типичными детритофагами. Успех роста и развития первого вида зависит от облигатного каинизма и нeкpoфагии. При отсутствии такой возможности питание схоже с питанием личинок R. arvalis. Выявлены различия в поведении личинок при появлении опасности. Крупные личинки R. temporaria, уходят на глубину, мелкие - мимикрируют под цвет грунта и становятся малоподвижными. Личинки R. arvalis не имеют маскировочной окраски, при возникновении опасности зарываются в грунт или прячутся в укрытиях. ...

27 07 2026 15:29:11

О ПОЛИМОРФИЗМЕ СОБОЛЕЙ СЕВЕРО-ВОСТОЧНОЙ АЗИИ

О ПОЛИМОРФИЗМЕ СОБОЛЕЙ СЕВЕРО-ВОСТОЧНОЙ АЗИИ Статья в формате PDF 117 KB...

26 07 2026 3:30:22

ИССЛЕДОВАНИЕ УСЛОВИЙ ВЫДЕЛЕНИЯ И ОЧИСТКИ ГЛЮКОАМИЛАЗЫ ИЗ SACCHAROMYCES CEREVISIAE ЛВ-7

ИССЛЕДОВАНИЕ УСЛОВИЙ ВЫДЕЛЕНИЯ И ОЧИСТКИ ГЛЮКОАМИЛАЗЫ ИЗ SACCHAROMYCES CEREVISIAE ЛВ-7 Разработана методика выделения и очистки глюкоамилазы, включающая стадии ультрафильтрации на мембране УФМ-50, осаждения изопропиловым спиртом и гель-хроматографии на сефадексах G-25 и G-150, которая позволила получить гомогенный препарат глюкоамилазы из Saccharomyces cerevisiae ЛВ-7 с 70-кратной степенью чистоты; кажущаяся молекулярная масса фермента 99,8 кДа. ...

16 07 2026 4:55:49

ФОРМИРОВАНИЕ И РАЗВИТИЕ МЫСЛИТЕЛЬНЫХ СПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ-БИЛИНГВОВ

ФОРМИРОВАНИЕ И РАЗВИТИЕ МЫСЛИТЕЛЬНЫХ СПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ-БИЛИНГВОВ В статье раскрываются внешние и внутренние условия психического развития обучаемых. Автором проанализирован механизм становления и развития перцептивных элементов в процессе обучения двуязычных учащихся на первом и втором языках. В работе приведены педагогические условия развития мыслительных способностей учащихся-монолингвов, а также выявлены условия эффективного развития мыслительных способностей двуязычных учащихся. ...

15 07 2026 15:36:20

Целиакия – современные представления о патогенезе и классификация (обзор)

Целиакия – современные представления о патогенезе и классификация (обзор) Целиакия – энтеропатия, обусловленная развитием неадекватной иммунной реакции в ответ на поступление глютена – белка, содержащегося в злаковых, – в просвет тонкой кишки. Распространенность заболевания составляет 0,5-1,0 % в популяции. Большинство больных являются носителями мутировавшего лейкоцитарного гена DQ2/DQ8. В обзоре обсуждаются современные представления о патогенезе целиакии и классификация Marsh, дополненная Oberhuber. «Золотым стандартом» диагностики целиакии является биопсийное исследование. Диагностически значимыми морфологическими критериями целиакии являются атрофия ворсинок слизистой оболочки тонкой кишки, гиперплазия крипт увеличение числа межэпителиальных лимфоцитов, лимфо-плазмоцитарная инфильтрация собственной пластинки. В плане лечения наиболее эффективна строгая аглютеновая диета, обсуждается возможность применения заместительной ферментной терапии. ...

14 07 2026 15:46:40

К ЕДИНСТВУ НАУКИ ЧЕРЕЗ ВСЕ-ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ

К ЕДИНСТВУ НАУКИ ЧЕРЕЗ ВСЕ-ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ Статья в формате PDF 93 KB...

09 07 2026 18:10:25

ВОЗМОЖНОСТИ СОВРЕМЕННОЙ КРИОМЕДИЦИНЫ

ВОЗМОЖНОСТИ СОВРЕМЕННОЙ КРИОМЕДИЦИНЫ Статья в формате PDF 129 KB...

08 07 2026 4:12:59

ИЗМЕРЕНИЕ ШИРИНЫ ГОДИЧНОГО СЛОЯ НА КЕРНЕ ДРЕВЕСИНЫ

ИЗМЕРЕНИЕ ШИРИНЫ ГОДИЧНОГО СЛОЯ НА КЕРНЕ ДРЕВЕСИНЫ С помощью геоинформационной системы были получены точные измеренные значения каждого годичного слоя на всем керне древесины сосны. Данные обработаны в математической среде и получена статистическая формула, которая состоит из 16 составляющих, что позволило дать ориентировочный долгосрочный прогноз. ...

03 07 2026 0:33:32

КЛИНИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МАЛЫХ АНОМАЛИЙ СЕРДЦА У ДЕТЕЙ С АРИТМИЯМИ

КЛИНИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МАЛЫХ АНОМАЛИЙ СЕРДЦА У ДЕТЕЙ С АРИТМИЯМИ На основании результатов комплексного клинико- инструментального обследования 390 детей в возрасте от 5 до 15 лет, проживающих в г. Красноярске, была изучена зависимость клинического течения нарушений сердечного ритма и проводимости от выраженности и формы малых аномалий развития сердца. Установлены основные эхокардиографические параметры и прогностические критерии развития гемодинамических нарушений у детей с аритмиями. ...

30 06 2026 14:25:47

ЭКОЛОГИЧЕСКАЯ РОЛЬ ЛЕСНЫХ ПОЖАРОВ

ЭКОЛОГИЧЕСКАЯ РОЛЬ ЛЕСНЫХ ПОЖАРОВ Статья в формате PDF 326 KB...

29 06 2026 11:39:26

СЕМЕЙНО-СОЦИАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗВИТИЯ ГИПЕРАКТИВНОСТИ

СЕМЕЙНО-СОЦИАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗВИТИЯ ГИПЕРАКТИВНОСТИ Представлены результаты собственных исследований, которые проводились методом добровольного сплошного анкетирования в 9 областных и районных центрах Российской федерации. В качестве исследуемых явлений были оценены: наличие синдрома дефицита внимания с гипеpaктивностью (СДВГ) и социальные факторы, участвующие в механизмах СДВГ. Установлена значимость последних в формировании и инициации данного заболевания, изучена их структура, также оценен вклад социально-психологического окружения. ...

24 06 2026 17:14:52

КУЛЬТУРОЛОГИЯ: СОЦИОДИНАМИКА КУЛЬТУРЫ

КУЛЬТУРОЛОГИЯ: СОЦИОДИНАМИКА КУЛЬТУРЫ Статья в формате PDF 252 KB...

23 06 2026 7:12:40

ПРОБЛЕМЫ ВНЕШНЕЙ ЗАДОЛЖНОСТИ РАЗВИВАЮЩИХСЯ СТРАН

ПРОБЛЕМЫ ВНЕШНЕЙ ЗАДОЛЖНОСТИ РАЗВИВАЮЩИХСЯ СТРАН Статья в формате PDF 256 KB...

22 06 2026 11:16:46

Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::