ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ФИРМ НА ОДНОРОДНОМ РЫНКЕ

Авторы
Резюме
Файлы

Копылов А.В. Просвиров А.Э. Рассмотрена экономико-математическая модель конкуренции двух фирм на однородном рынке сбыта. Приводится формулировка соответствующей задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, описывающей динамику развития системы, которая может быть легко обобщена на случай произвольного количества конкурирующих предприятий. Дана экономическая интерпретация полученных результатов. Статья в формате PDF 154 KB Математическому моделированию процессов конкуренции и сотрудничества двух фирм на различных рынках посвящено довольно много научных работ, в основном использующих аппарат теории игр и статистических решений. В качестве примера можно привести работы таких исследователей, как Курно, Стакельберг, Бертран, Нэш, Парето, основные результаты которых приведены в [4].

В данной работе авторы предприняли взглянуть на эту задачу с точки зрения экономической динамики.

Следует отметить, что динамические дифференциальные модели уже давно и успешно используются для математического моделирования самых разнообразных по своей природе процессов. Достаточно упомянуть широко использующуюся в экологии модель «хищник-жертва» Вольтера [2], математическую теорию развития эпидемий, модели боевых действий.В качестве классических примеров дифференциальных моделей экономической динамики отметим модель Эванса установления равновесной цены на рынке одного товара, односекторную модель экономического роста Солоу [4], однопродуктовые динамические макроэкономические модели Леонтьева [3].

Задача решалась в следующей постановке.

На рынке однородного товара присутствуют две основные фирмы, разделяющие его между собой, т.е. имеет место классическая дуополия.

Безусловно, это является весьма сильным предположением, однако оно вполне оправдано в тех случаях, когда доля продаж остальных конкурентов на рассматриваемом сегменте рынке пренебрежимо мала. Хорошим примером может служить отечественный рынок микропроцессоров, который по существу разделили между собой две фирмы: Intel и AMD.

Изменение объемов продаж конкурирующих фирм с течением времени описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

с начальными условиями

q₁(0)=q₀₁, q₂(0)=q₀₂ (2)

Здесь и далее использованы следующие обозначения:

q₁(t) - объем продаж фирмы I;

q₂(t)-объем продаж фирмы II

N - объем рассматриваемого сегмента рынка сбыта;

a₁ , b₁ , a₂ , b₂ -положительные коэффициенты, хаpaктеризующие степень влияния различных факторов на изменения объема продаж первой и второй фирмы соответственно.

Уравнения (1) получены из следующих самых общих соображений.

С достаточным основанием можно утверждать, что скорость изменения объемов продаж фирм со временем задается формулами:

где A_i и B_ij являются в общем случае функциями q_i.

Задача теперь состоит в определении вида зависимостей A_i=A_i (q) и B_ij =B_ij (q).

Функция A_i(q) описывает влияние внутренней среды предприятия на рост объема продаж и может быть с учетом логистической поправки записана в виде [2]:

Заметим, что здесь учтен тот факт, что суммарный объем продаж двух фирм q_i+q_jне может превышать N.

Слагаемое B_ij (q) выражает влияние внешней среды предприятия на рост объема продаж и учитывает уменьшение объема продаж i-ой фирмы за счет роста продаж j-ой: b_iq_iq_j .

В результате подобных рассуждений удается построить систему дифференциальных уравнений (1)-(2), которая тривиально обобщается на случай произвольного количества конкурирующих предприятий.

Для удобства дальнейшего исследования введем в рассмотрение безразмерные переменные:

τ= a₁(Nt) - безразмерное время, (5)

y_i =q_i /N - безразмерный объем продаж i-ой фирмы (i=1,2).

После этого модель задачи приобретает вид

Начальные условия приобретают вид:y₁(0)=y₀₁, y₂(0)=y₀₂

Таким образом, мы приходим к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (6)-(7), представляющей собой основу для математического моделирования рассматриваемого процесса.

Система (6)-(7) интегрировалась ПЭВМ для широкого диапазона параметров и начальных условий с использованием стандартного алгоритма Рунге-Кутта четвертого порядка [5], реализованного в среде разработки VBA для пакета MS Office 2002 XP.

Некоторые полученные результаты приведены ниже в виде графиков зависимости безразмерных объемов продаж фирм y₁ и y₂от безразмерного времени τ на рис. 1-3. На всех графиках по горизонтальной оси отложена величина τ, а по вертикальной оси- y₁ и y₂.

Рис.1. соответствует ситуации, когда на рынке присутствует только фирма I, т.е. имеет место классическая монополия. Система (1) в этом случае вырождается в задачу Коши для одного уравнения

или в безразмерном виде

Задача (9) допускает аналитическое решение в виде

причем что полностью согласуется с тем очевидным фактом, что рано или поздно фирма-монополист будет целиком контролировать рассматриваемый сегмент рынка сбыта.

Выражение (10) представляет собой уравнение хорошо известной логистической кривой [3], которая и представлена на рис. 1.

Рис. 2. иллюстрирует динамику процесса раздела рынка между двумя фирмами в том случае, когда их взаимным противодействием, учитываемым посредством коэффициентов b₁ , b₂ , можно пренебречь. Это соответствует ситуации, когда влиянием внешней среды предприятий на рост объемов продаж можно пренебречь по сравнению с влиянием внутренней среды. В этом случае единственным внешним фактором, ограничивающим увеличение объемов продаж, является изначальная ограниченность рынка сбыта.

Рис 3. соответствует наиболее общему случаю, когда в полной мере учитываются как внутренние, так и внешние факторы, определяющие развитие обоих предприятий.

Обращает на себя внимание тот факт, что при прочих равных условиях в конечном итоге в выигрыше оказывается фирма с бо´льшим значением коэффициента a_i и с ме´ньшим значением коэффициента b_i.

Рис. 1. Динамика изменения объемов продаж при a₁=0,5; a₂=b₁=b₂=0; ,y₁(0) =0,01,y₂(0)= 0,00.

Рис. 2. Динамика изменения объемов продаж при a₂/a₁= 0,5; b₁/a₁=0,0; b₂/a₁=0,0 ,y₁(0)= 0,01, y₂(0)= 0,01 .

Следует также отметить, что зависимости отражает основные закономерности развития y₁(τ) и y₂(τ) имеют принципиально нелинейный хаpaктер, переживая «взлеты» и «падения», о чем особенно наглядно свидетельствует рис. 3.рассматриваемой ситуации, и использованные Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод о том, что, несмотря на некоторую абстpaктность, данная модель в целом адекватно для ее построения принципы могут быть с успехом применены для математического описания динамики развития различных экономических систем.

Рис. 3. Динамика изменения объемов продаж при a₂/a₁= 1,000; b₁/a₁=0,984; b₂/a₁=1,000 ,y₁(0)= 0,01, y₂(0)= 0,01 .

Литература

Coleman C.S. Combat models // Differential equation models.-New York e.a., 1983.-P. 109131.
Murray J. D. Some simple mathematical models in ecology// Math. Spectrum.-19831984.-V. 16, №2.-P. 48.-54.
Бережной Л.И.. Теория оптимального управления экономическими системами: Учебное пособие.СПб.:ИВЭСЭП, Знание, 2002.-64 с.
Малыхин В.И.. Математическое моделирование экономики. М., УРАО, 1998.-160 с.
Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль.- Томск: МП «Раско», 1991.-272 с,: ил.

ОЦЕНКА СОСТОЯНИЯ МИКРОЦИРКУЛЯЦИИ У БОЛЬНЫХ С ХРОНИЧЕСКОЙ АРТЕРИАЛЬНОЙ ИШЕМИЕЙ НИЖНИХ КОНЕЧНОСТЕЙ

Статья в формате PDF 117 KB...

10 05 2026 21:41:43

РАЗВИТИЕ ТОНКОЙ МОТОРИКИ У ДЕТЕЙ С ПАТОЛОГИЕЙ ЗРЕНИЯ И РЕЧИ

Статья в формате PDF 125 KB...

09 05 2026 11:11:58

ДИАГНОСТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ ЦВЕТОВОГО ДОППЛЕРОВСКОГО КАРТИРОВАНИЯ ДЛЯ ВЫЯВЛЕНИЯ ОСЛОЖНЕННОГО ТЕЧЕНИЯ ХИРУРГИЧЕСКОГО ЛЕЧЕНИЯ РАКА ЖЕЛУДКА

Статья в формате PDF 119 KB...

08 05 2026 19:38:15

СТОИТ ЛИ ИЗУЧАТЬ ГЕОМЕТРИЮ С ПЯТОГО КЛАССА?

Статья в формате PDF 250 KB...

07 05 2026 22:31:57

К ВОПРОСУ ОБ АНОМАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ВОДЫ (О МЕХАНИЗМЕ АКТИВАЦИИ ВОДЫ) (ЧАСТЬ 3)

Статья в формате PDF 118 KB...

06 05 2026 2:57:42

ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ В ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С СИММЕТРИЕЙ C3V

Статья в формате PDF 494 KB...

05 05 2026 1:46:58

Жабры осетровых рыб как органы кроветворения

Статья в формате PDF 120 KB...

04 05 2026 20:48:41

ИЗУЧЕНИЕ ВЛИЯНИЯ СК (СТИМУЛЯТОР КУБАНСКИЙ) НА НЕКОТОРЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ ГУМОРАЛЬНОГО ИММУНИТЕТА У СТРЕССИРОВАННЫХ МЫШЕЙ

Статья в формате PDF 147 KB...

03 05 2026 13:29:38

ОСОБЕННОСТИ РЕСПИРАТОРНОЙ ГИПОКСИИ У БОЛЬНЫХ ХРОНИЧЕСКОЙ ОБСТРУКТИВНОЙ БОЛЕЗНЬЮ ЛЕГКИХ

Статья в формате PDF 131 KB...

02 05 2026 1:35:30

ОСОБЕННОСТИ ЭКСПРЕССИИ CD68 ВТКАНЕВОМ ВОСПАЛИТЕЛЬНОМ ИНФИЛЬТРАТЕ ПОДЖЕЛУДОЧНОЙ ЖЕЛЕЗЫ ПРИ ОСТРОМ ПАНКРЕАТИТЕ

Статья в формате PDF 305 KB...

01 05 2026 3:32:34

ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ИНТЕНСИВНОСТИ НАГРЕВА МЕТАЛЛА ДЛЯ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕЖИМОВ РАБОТЫ ЭЛЕКТРОПЕЧНЫХ АГРЕГАТОВ

В статье даются разъяснения к применению зависимости коэффициента интенсивности нагрева (kи.н) металла от тока электрода с целью обеспечения оптимальных электрических и технологических показателей работы электропечных агрегатов для случаев экранированного и неэкранированного горения дуг. Представлено соспоставление скорости нагрева металла и kи.н для двух указанных случаев. ...

30 04 2026 22:36:22

ПРАВОВАЯ ОЦЕНКА ВРАЧЕБНЫХ ОШИБОК СУБЪЕКТИВНОГО ХАРАКТЕРА ПРИ ОКАЗАНИИ МЕДИЦИНСКОЙ ПОМОЩИ БОЛЬНЫМ ЛЕПТОСПИРОЗОМ

Статья в формате PDF 128 KB...

29 04 2026 14:26:37

НАРУШЕНИЯ ЦЕНТРАЛЬНОЙ НЕРВНОЙ СИСТЕМЫ И ОРГАНОВ ЧУВСТВ СРЕДИ ПОПУЛЯЦИИ ШИРВАНСКОЙ ЗОНЫ АЗЕРБАЙДЖАНА

Среди населения Ширванской зоны Азербайджана проведены медико-генетические исследования по выявлению нарушений ЦНС и органов чувств, установлены типы наследования патологий. Среди 119 больных с 14 наследственными и врожденными заболеваниями 71,43 % приходится на моногенные патологии с аутосомно-рецессивным типом наследования, что объясняется кровнородственными бpaками среди родителей пробандов. ...

28 04 2026 3:29:26

ЭКОЛОГО-БИОЛОГИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ФЛОРЫ КАРСТОВЫХ ФОРМ РЕЛЬЕФА ПРИГОРОДНЫХ ЛЕСОВ ГОРОДА САМАРЫ

Статья в формате PDF 276 KB...

27 04 2026 8:38:27

РАСЧЕТ ДЕБИТА ГАЗОДОБЫВАЮЩЕЙ СКВАЖИНЫ С ВЕРТИКАЛЬНОЙ ТРЕЩИНОЙ ГИДРОРАЗРЫВА ПЛАСТА

Статья в формате PDF 430 KB...

26 04 2026 18:24:48

К вопросу об историографии древнерусского государства и права (VIII-X вв.)

Статья в формате PDF 314 KB...

25 04 2026 5:34:30

Правовая культура общества и проблемы формирования политической системы

Статья в формате PDF 121 KB...

24 04 2026 12:44:15

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ГОРОДСКОЙ БИОТЫ СРЕДСТВАМИ ПРАКТИКО-ОРИЕНТИРОВАННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Статья в формате PDF 160 KB...

23 04 2026 15:59:23

ГЕНЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ НАСЛЕДСТВЕННЫХ ГЕМОЛИТИЧЕСКИХ АНЕМИЙ (Мембранопатий)

Проведен анализ опубликованных данных по вопросу генетических факторов развития гемолитических анемий (мембранопатий, энзимопатий). Список возможных мутаций при определенной форме анемии обобщен в виде таблиц. Дано понятие о сущности, строении и функции основной клетки красной крови – эритроците. Приведена классификация различных групп анемий, причины их возникновения, возможные симптомы проявления заболевания, прогноз для жизни. Затронуты аспекты донорства при ферментодефицитных состояниях доноров и реципиентов. ...

22 04 2026 6:23:51

КЛАССИФИКАЦИЯ КИШЕЧНОГО ДИСБАКТЕРИОЗА

Проведенные исследования по изучению микробиоценоза кишечника у больных вирусными гепатитами В (ВГВ), С (ВГС) и микст-инфекции В+С (ВГВ+ВГС) позволили выявить дисбактериоз у 93,1% больных ВГВ, 100% -ВГС, 92,8% - ВГВ+ВГС. Обнаруженные изменения не укладываются в общепринятую классификацию дисбактериоза, что побудило нас разработать собственный вариант классификации. Предлагаемая классификация учитывает объективно существующие изменения количественного и качественного состава микрофлоры и позволяет осуществить рациональную коррекцию выявленных изменений. ...

21 04 2026 4:39:47

УЧАСТИЕ В МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛЕ КАК СПОСОБ РЕАЛИЗАЦИИ ВНУТРЕННЕГО ИНТЕРЕСА СТРАНЫ

Наиболее универсальное объяснение причин внешней торговли дано Э. Хекшером и Б. Олином: страна предлагает на международные рынки те блага, создание которых требует относительно изобильного для данной страны фактора производства. Развивая их идею, можно предположить, что это только начальный этап – этап формирования за счет экспортных доходов запасов фактора «капитал», стратегического в условиях НТП. В настоящее время участие в международной торговле уже используется отдельными странами как наиболее эффективный способ реализации собственных долгосрочных интересов. Мы остановились на примере Китая. ...

20 04 2026 7:11:37

ВЛИЯНИЕ ПОСЕЩАЕМОСТИ ЗАНЯТИЙ УЧАЩИМИСЯ НА КАЧЕСТВО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА

Статья в формате PDF 354 KB...

19 04 2026 13:51:30

ПОДТВЕРЖДЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЕПАРАТА «КОРТЕКСИН» У ПОДРОСТКОВ МЕТОДОМ ИК-СПЕКТРОМЕТРИИ

Малоизученным направлением в диагностике психосоматических заболеваний является исследование физико-химических хаpaктеристик крови. Методы, применяемые в диагностике и контроле лечения психосоматических заболеваний в целом, и задержке психического развития в частности (ЗПР), являются достаточно субъективными. Во многом это обусловлено отсутствием однозначных лабораторно-диагностических методов, позволяющих осуществлять диагностику на ранних этапах заболевания. Целью нашего исследования явилось изучение особенностей ИК – спектра сыворотки крови детей подросткового возраста. В качестве субстрата для исследования использовали сыворотку крови больных детей, которую затем подвергали ИК-спектроскопии с регистрацией спектров поглощения в области 3500-963 см-1. Исследована сыворотка крови 30 детей с диагнозом ЗПР и 30 здоровых, сопоставимых по возрасту и полу. Было проведено сравнение ИК-спектра сыворотки крови больных с ЗПР и здоровых доноров. Достоверно выявлена разница показателей инфpaкрасной спектрометрии в норме и патологии, а так же проверена эффективность применяемой терапии. Таким образом, с помощью ИК-спектрометрии установлены особенности спектров сыворотки крови детей подросткового возраста и выявлены отличия в спектре у детей с ЗПР и динамические изменения в процессе лечения, что может использоваться для диагностики данной патологии, а так же для контроля за эффективностью проводимого лечения. ...