Нестандартная методика деления (слева и справа) квадратных матриц одного размера в среде MathCAD

1

• Авторы
• Файлы

Колупаев И.А. Часов К.В. Статья в формате PDF 534 KB

Применяя обратные операции в математике можно увидеть новые связи в учебном материале. Их применение позволяет получить и новые методические подходы, обобщения, модификацию научного знания.

При использовании обратных операций, несомненно, лучше понимается изучаемый материал. Поставленная перед студентом задача может быть легче проанализирована, составлен план её решения.

Выполнение обратных операций позволяет использовать различные ходы мысли: аналитические и синтетические, с помощью которых можно увидеть и осознать те логические связи в соответствующем разделе или теме (а также и между ними), которые до этого были не известны, или воспринимались формально, без обдумывания. Несомненно, что умение видеть и выполнять обратные операции позволяют иной раз заметить кроме стандартных способов решения поставленной задачи и нестандартные.

Примерами обратных операций: могут быть: умножение - деление, сложение - вычитание, дифференцирование - интегрирование, и т.д. В данной работе будем рассматривать операцию, обратную операции умножения матриц - их деление (для случая квадратных матриц одного размера) без использования обратных матриц. Рассмотрим этот вопрос и в теории матриц, и с использованием математического редактора MathCAD.

Указанная задача появляется при решении матричных уравнений или систем матричных уравнений. При этом все компоненты этих структур - квадратные матрицы одинакового размера. Традиционно эта задача решается посредством нахождения обратной матрицы. Но есть и другой способ решения задачи!

Впервые формулы и правила непосредственного деления квадратных матриц одинакового размера вывел студент Кендюхов В.С. (07-ФАПИ. 2008 г.), под руководством одного из авторов (Часов К.В. [1, с. 46-48]). Необходимо отметить, что небезызвестные формулы Крамера вычисляют лишь неизвестную матрицу-столбец (решение системы n уравнений с n неизвестными), но не матрицу того же порядка, что и основная матрица системы при произведении матриц одного порядка, дающих в результате матрицу того же порядка, что и перемножаемые матрицы. Исследование литературных источников (по высшей алгебре) также не вывило наличия непосредственной операции деления квадратных матриц одинакового размера (кроме формул Крамера с известным ограничением).

Умение нестандартно делить квадратные матрицы одного размера позволяет получить более полное представление об операциях с матрицами и определителями [2, с. 92].

Поэтому авторы поставили перед собой проблему: внедрение в учебный процесс нестандартной методики деления квадратных матриц одного размера (в том числе и n-го порядка) без вычисления обратной, получение формул вычисления элементов неизвестной матрицы как множимого, так и множителя, реализация полученных формул в среде математического редактора MathCAD.

Основными результатами проведённого научного исследования одним из авторов (Колупаев И.А.) являются подтверждение формул вычисления элементов неизвестной матрицы-множимого (или множителя) 2-го, 3-го, ..., n-го порядков, правил их вычисления, полученных студентом Кендюховым В.С. Кроме того, были впервые получены формулы вычисления матрицы-множимого или множителя с помощью MathCAD.

При этом нужно отметить, что в среде MathCAD есть только одна операция деления - деления на матрицу-множитель (деление справа) (рис. 1). Но совершенно не представлена операция деления на матрицу-множимое (деление слева).

 

Рис. 1. Операция деления на матрицу-множитель (деление справа)

Авторами были изучены операции с матрицами в математическом редакторе MathCAD (в частности - рис. 1). Проводя компьютерный эксперимент, были получены соответствующие поставленной задаче формулы поэлементного расчёта искомой матрицы.

Рассмотрим алгебраическое решение задачи для матриц 2-го порядка. Пусть имеются две матрицы 2-го порядка А и Х, при их перемножении получаем матрицу С.

А×Х = С, тогда искомая матрица Х = С/А_слева.

Ниже (рис. 2) приведены формулы нахождения элементов матрицы, получаемой при делении одной матрицы 2-го порядка на другую.

Рис. 2. Операция деления матрицы на матрицу

В результате вывода по формулам Крамера получаем матрицу-результат (рис. 3).

Аналогично получаются формулы для случая X×A = С - Х = С/ш_справа.

 

Рис. 3. Матрица-результат «левого» деления в теории

Далее составляем документ в MathCAD. Несмотря на то, что деление справа присутствует в редакторе (рис. 1), формулы были получены и реализованы (для проверки формул и правил). Для получения формул «левого» деления матриц зададим соответствующие матрицы третьего порядка (рис. 4). Соответствующие формулы и правила для деления матриц второго порядка легко переносятся на матрицы третьего порядка.

Рис. 4. Задание исходных матриц

Затем, используя правило [1, с. 47-48], составляем формулы, вычисляющие соответствующие элементы матрицы. После этого проверяем соответствующие формулы «левого» деления (рис. 5).

　

Рис. 5. Проверка «левого» деления матриц

Правило работает! И, хотя вычислительных операций по этой методике больше, чем при использовании обратных матриц, применив функцию пользователя или специальное средство - области, все промежуточные выкладки или вычисления мож- но скрыть.

Проведённое исследование расширяет представление о взаимно-обратных операциях в математике, показывает многообразие методов решения задач, в частности деления квадратных матриц одинакового размера как стандартными, так и нестандартными методами. Это, несомненно, влияет на усвояемость обучающимися теоретического материала на операции с матрицами. Применение математического редактора MathCad позволяет обучающимся более ясно представлять смысл выполняемых математических действий.

Список литературы

1. Кендюхов В.С., Часов К.В. Операция деления матрицы на матрицу (квадратные) // Сборник студенческих работ, отмеченных наградами XIV студенческой научной конференции АМТИ. - Армавир: Изд-во АМТИ, 2008.- Вып.1. - С. 46-48.

2. Часов К.В. Развитие учебной деятельности студентов при обучении математике // Педагогика-XXI: материалы II Международной научно-теоретиче­ской конференции. - Ч.2. - Караганда: ПЦ «Полиграфист», 2011. - С. 90-95.

---