Нестандартная методика деления (слева и справа) квадратных матриц одного размера в среде MathCAD
Применяя обратные операции в математике можно увидеть новые связи в учебном материале. Их применение позволяет получить и новые методические подходы, обобщения, модификацию научного знания.
При использовании обратных операций, несомненно, лучше понимается изучаемый материал. Поставленная перед студентом задача может быть легче проанализирована, составлен план её решения.
Выполнение обратных операций позволяет использовать различные ходы мысли: аналитические и синтетические, с помощью которых можно увидеть и осознать те логические связи в соответствующем разделе или теме (а также и между ними), которые до этого были не известны, или воспринимались формально, без обдумывания. Несомненно, что умение видеть и выполнять обратные операции позволяют иной раз заметить кроме стандартных способов решения поставленной задачи и нестандартные.
Примерами обратных операций: могут быть: умножение - деление, сложение - вычитание, дифференцирование - интегрирование, и т.д. В данной работе будем рассматривать операцию, обратную операции умножения матриц - их деление (для случая квадратных матриц одного размера) без использования обратных матриц. Рассмотрим этот вопрос и в теории матриц, и с использованием математического редактора MathCAD.
Указанная задача появляется при решении матричных уравнений или систем матричных уравнений. При этом все компоненты этих структур - квадратные матрицы одинакового размера. Традиционно эта задача решается посредством нахождения обратной матрицы. Но есть и другой способ решения задачи!
Впервые формулы и правила непосредственного деления квадратных матриц одинакового размера вывел студент Кендюхов В.С. (07-ФАПИ. 2008 г.), под руководством одного из авторов (Часов К.В. [1, с. 46-48]). Необходимо отметить, что небезызвестные формулы Крамера вычисляют лишь неизвестную матрицу-столбец (решение системы n уравнений с n неизвестными), но не матрицу того же порядка, что и основная матрица системы при произведении матриц одного порядка, дающих в результате матрицу того же порядка, что и перемножаемые матрицы. Исследование литературных источников (по высшей алгебре) также не вывило наличия непосредственной операции деления квадратных матриц одинакового размера (кроме формул Крамера с известным ограничением).
Умение нестандартно делить квадратные матрицы одного размера позволяет получить более полное представление об операциях с матрицами и определителями [2, с. 92].
Поэтому авторы поставили перед собой проблему: внедрение в учебный процесс нестандартной методики деления квадратных матриц одного размера (в том числе и n-го порядка) без вычисления обратной, получение формул вычисления элементов неизвестной матрицы как множимого, так и множителя, реализация полученных формул в среде математического редактора MathCAD.
Основными результатами проведённого научного исследования одним из авторов (Колупаев И.А.) являются подтверждение формул вычисления элементов неизвестной матрицы-множимого (или множителя) 2-го, 3-го, ..., n-го порядков, правил их вычисления, полученных студентом Кендюховым В.С. Кроме того, были впервые получены формулы вычисления матрицы-множимого или множителя с помощью MathCAD.
При этом нужно отметить, что в среде MathCAD есть только одна операция деления - деления на матрицу-множитель (деление справа) (рис. 1). Но совершенно не представлена операция деления на матрицу-множимое (деление слева).
Рис. 1. Операция деления на матрицу-множитель (деление справа)
Авторами были изучены операции с матрицами в математическом редакторе MathCAD (в частности - рис. 1). Проводя компьютерный эксперимент, были получены соответствующие поставленной задаче формулы поэлементного расчёта искомой матрицы.
Рассмотрим алгебраическое решение задачи для матриц 2-го порядка. Пусть имеются две матрицы 2-го порядка А и Х, при их перемножении получаем матрицу С.
А×Х = С, тогда искомая матрица Х = С/Аслева.
Ниже (рис. 2) приведены формулы нахождения элементов матрицы, получаемой при делении одной матрицы 2-го порядка на другую.
Рис. 2. Операция деления матрицы на матрицу
В результате вывода по формулам Крамера получаем матрицу-результат (рис. 3).
Аналогично получаются формулы для случая X×A = С - Х = С/шсправа.
Рис. 3. Матрица-результат «левого» деления в теории
Далее составляем документ в MathCAD. Несмотря на то, что деление справа присутствует в редакторе (рис. 1), формулы были получены и реализованы (для проверки формул и правил). Для получения формул «левого» деления матриц зададим соответствующие матрицы третьего порядка (рис. 4). Соответствующие формулы и правила для деления матриц второго порядка легко переносятся на матрицы третьего порядка.
Рис. 4. Задание исходных матриц
Затем, используя правило [1, с. 47-48], составляем формулы, вычисляющие соответствующие элементы матрицы. После этого проверяем соответствующие формулы «левого» деления (рис. 5).
Рис. 5. Проверка «левого» деления матриц
Правило работает! И, хотя вычислительных операций по этой методике больше, чем при использовании обратных матриц, применив функцию пользователя или специальное средство - области, все промежуточные выкладки или вычисления мож- но скрыть.
Проведённое исследование расширяет представление о взаимно-обратных операциях в математике, показывает многообразие методов решения задач, в частности деления квадратных матриц одинакового размера как стандартными, так и нестандартными методами. Это, несомненно, влияет на усвояемость обучающимися теоретического материала на операции с матрицами. Применение математического редактора MathCad позволяет обучающимся более ясно представлять смысл выполняемых математических действий.
Список литературы
1. Кендюхов В.С., Часов К.В. Операция деления матрицы на матрицу (квадратные) // Сборник студенческих работ, отмеченных наградами XIV студенческой научной конференции АМТИ. - Армавир: Изд-во АМТИ, 2008.- Вып.1. - С. 46-48.
2. Часов К.В. Развитие учебной деятельности студентов при обучении математике // Педагогика-XXI: материалы II Международной научно-теоретической конференции. - Ч.2. - Караганда: ПЦ «Полиграфист», 2011. - С. 90-95.
Статья в формате PDF
156 KB...
30 08 2026 0:55:21
Статья посвящена экспериментальному исследованию по разработке технологии приготовления хлеба повышенной биологической ценности на основе биоактивированных семян нута. В ходе исследований были определены рациональные режимы проращивания семян нута, исследованы их химический состав и ферментативная активность; разработана технология хлебобулочных изделий на основе измельченных биоактивированных семян нута; составлен аппаратурно-технологический участок приготовления теста.
...
29 08 2026 22:28:26
Статья в формате PDF
110 KB...
28 08 2026 3:56:46
Статья в формате PDF
126 KB...
27 08 2026 4:57:43
Статья в формате PDF
100 KB...
26 08 2026 8:59:50
Статья в формате PDF
115 KB...
25 08 2026 18:53:36
Статья в формате PDF
807 KB...
22 08 2026 4:41:45
Статья в формате PDF
265 KB...
21 08 2026 18:18:43
Проведен анализ историй болезней 218 больных, оперированных по поводу травмы селезенки с использованием лазерной техники. Установлено, что применение органосохраняющих операций на селезенке по времени можно разделить на несколько этапов, которые зависят от оснащенности, а так же наличия опыта у оперирующего хирурга. Применение общехирургических методов гемостаза позволяет сохранить селезенку при ее травме лишь у 5,1 % больных; СО2-лазеров – у 38 %, а СО2 и АИГ-лазеров – у 58 % больных.
...
20 08 2026 3:19:32
Статья в формате PDF
108 KB...
19 08 2026 23:42:25
Статья в формате PDF
120 KB...
18 08 2026 12:58:54
Статья в формате PDF
124 KB...
16 08 2026 17:19:10
Статья в формате PDF
98 KB...
15 08 2026 2:28:14
Статья в формате PDF
306 KB...
12 08 2026 10:12:18
Статья в формате PDF
193 KB...
11 08 2026 14:29:55
Статья в формате PDF
329 KB...
10 08 2026 17:24:17
Статья в формате PDF
124 KB...
09 08 2026 11:30:11
Приводятся данные по содержаниям магнетита, ильменита, лейкоксена, циркона и аутигенных минералов – лимонита, пирита, марказита в неогеновых озерных отложениях. Рассматриваются некоторые особенности минерального и химического состава неогеновых глин, и содержания в них химических элементов. На основании минералогических и геохимических особенностей делается вывод, что осадконакопление происходило в глубоких теплых и бессточных солоноватых озерах в условиях щелочной восстановительной среды и сероводородного заражения. Постепенно растущая аридизация климата в неогене неоднократно прерывалась периодами повышенной увлажненности. При этом отложения кошагачской и туерыкской свит накапливались на трaнcгрессивном этапе развития неогеновых озер, а бекенской – на регрессивном.
...
08 08 2026 1:43:54
Статья в формате PDF
131 KB...
07 08 2026 16:40:24
Статья в формате PDF
99 KB...
06 08 2026 23:18:39
Статья в формате PDF
102 KB...
05 08 2026 7:26:54
Статья в формате PDF
133 KB...
04 08 2026 5:50:22
Статья в формате PDF
219 KB...
03 08 2026 11:33:18
Статья в формате PDF
127 KB...
02 08 2026 4:28:42
Изучены видовой состав и экобиоморфы лишайников, проведена комплексная оценка роли экологических факторов в развитии лишайникового покрова карстовых воронок на территории Северо-Западного Кавказа.
...
01 08 2026 2:57:14
Профилактика респираторных инфекций у детей раннего возраста на современном этапе включает воздействие на местные факторы защиты входных ворот инфекции. Исследовано 48 детей с ОРВИ, 27 с менингококковой инфекцией и 24 с коклюшем в возрасте до 15 месяцев включительно в острый период заболевания и период реконвалесценции. Контрольную группу составили 38 детей того же возраста. Бактериологическими и микроскопическими методами исследования обнаружены изменения в микробиоте слизистой ротоглотки, связанные преимущественно с ростом кандидозной микрофлоры. Наибольшие количественные показатели роста микобиоты в десятки раз выявлены при ОРВИ, тогда как при менингококковой инфекции при условии массивной антибактериальной терапии рост грибковых клеток был умеренным. Коклюш сопровождается на фоне значительных деструктивных процессов в эпителии ротоглотки незначительным ростом грибковой микробиоты.
...
31 07 2026 17:40:24
Статья в формате PDF
112 KB...
29 07 2026 8:55:54
Статья в формате PDF
134 KB...
28 07 2026 3:38:51
Статья в формате PDF
127 KB...
27 07 2026 21:46:35
Статья в формате PDF
162 KB...
26 07 2026 12:23:52
Статья в формате PDF
110 KB...
25 07 2026 11:34:37
Статья в формате PDF
300 KB...
23 07 2026 2:54:44
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
