О МОДУЛЯРНЫХ РЕШЕТКАХ В ИЕРАРХИИ СТРАТ

1

• Авторы
• Файлы

Суровцева Н.Н. Клейменов В.Ф. Статья в формате PDF 139 KB

Старость и старение населения вышли в последние годы на уровень глобальных проблем человечества. Проблемность этих процессов связана с массой нерешенных социальных, экономических, культурных и медицинских задач по обеспечению и созданию оптимальных условий жизнедеятельности людей пожилого возраста.

Проблема старения общества представляет собой новый социальный феномен, с которым человечество столкнулось лишь во второй половине XX века. Сегодня российское общество вплотную подошло к такому периоду своего развития, когда увеличение доли пожилых людей в составе населения серьезно влияет на экономические, политические, социальные, духовно-нравственные изменения. Реализация идей построения "общества для людей всех возрастов" ставит в качестве важнейшей в российском обществе задачу формирования в общественном сознании положительного образа старости, уважения к пожилым людям, использование их потенциала в экономике.

Категория пожилых людей имеет сложную структуру, разбивается на большое количество страт, как пересекающихся между собой, так и не имеющих пересечения. При этом многим стратам присущи одинаковые функции, возможно, с различными значениями [1, 2]. Так как страты с течением времени могут изменяться, появляются новые или исчезают уже имеющиеся, то исходную решетку полезно представлять себе потенциально бесконечной, а само множество страт в виде иерархической системы. Дадим необходимые определения.

Упорядоченным множеством L называется множество, на котором определено бинарное отношение x≤y, удовлетворяющее для любых элементов x, y, z из L следующим условиям: 1. x≤x (рефлексивность), 2. если x≤y и y≤x, то x=y (антисимметричность), 3. если x≤y и y≤z, то x≤z (транзитивность). Далее, элемент, a упорядоченного множества L называется точной верхней (нижней) гранью элементов x и y этого множества, если x≤a, y≤a (a≤x, a≤y) и для любого b, такого, что x≤b, y≤b (b≤x, b≤y) имеет место, a≤b (b≤a). Точная верхняя грань элементов x, y обозначается x y, а точная нижняя x y. Упорядоченное множество L, в котором для любых элементов этого множества определена точная верхняя и точная нижняя грань называется решеткой.

Определение 1. Подмножество I решетки L называется иерархией, если для любых двух элементов множества I определена их точная верхняя грань.

Следующие два эквивалентных условия для элементов x, y, z решетки L называются дистрибутивностью:

1. x (y z) = (x y) (x z)
2. x (y z)=(x y) (x z), а условие
3. если x≤z, то x (y z)= (x y) z - модулярностью.

Если условия 1, 2 выполняются для любых элементов x, y, z решетки L, то эта решетка называется дистрибутивной, а если для любых элементов x, y, z выполняется условия 3., то решетка называется модулярной [3]. Любая дистрибутивная решетка модулярна, но обратное не верно. В иерархии существуют страты x, y, z, для которых не выполняется условия 1, 2 и 3.

Утверждение 1. Существует немодулярная решетка, содержащаяся в иерархии страт.

Доказательство. Обозначим через S₀ - страту пожилых людей, являющихся либо УВОВ, либо инвалидами 1 группы, S₁ - страту пожилых людей являющихся УВОВ, S₂ - страту пожилых людей инвалиды 1 группы, S₃ - страту пожилых людей ИВОВ, S₄ - страту пожилых инвалидов 1 группы УВОВ. Тогда выполняются следующие равенства: S₀ =S₁ S₂, S₃ ≤ S₁, S₄ =S₂ S₃.

Докажем, что для элементов S₁, S₂, S₃ не выполняется тождество модулярности. Действительно, S₃≤S₁, рассмотрим элемент S₃ (S₂ S₁). Так как S₂ S₁= S₄, а S₃ S₄=S₃, то S₃ (S₂ S₁)=S₃. С другой стороны, вычислим элемент (S₃ S₂) S_1, так как S₃ S₂= S₀, а S₀ S₁= S₁, то (S₃ S₂) S₁=S₁. Таким образом, S₃ (S₂ S₁)≠(S₃ S₂) S₁, более точно S₃ (S₂  S₁)< (S₃ S₂) S₁, что и доказывает немодулярность построенной решетки.

Замечание. Отметим, что внеся даже небольшие изменения в построении примера из утверждения 1 можно получить модулярную решетку.

Пример 1. Пусть S₀ - страта пожилых людей являющихся либо инвалидами, либо людьми имеющими высшее образование, S₁ - пожилые люди инвалиды, S₂ - пожилые люди с высшим образованием, S₃ - пожилые люди инвалиды 1 группы, S₄ - пожилые инвалиды с высшим образованием, S₅ - пожилые инвалиды 1 группы с высшим образованием. Тогда S₀=S₁ S₂, S₃≤S_1, S₄=S₁ S₂, S₅=S₂ S₃. Рассмотрим элемент S₃ (S₂ S₁), получим S₃ S₂= S₀ и S₀ S₁= S₁. Таким образом, S₃ (S₂ S₁)=(S₃ S₂) S₁ модулярность, для элементов S₁, S₂, S₃ выполняется.

Можно отметить, что большинство подрешеток в иерархии страт все - таки удовлетворяют этому условию. Более того, в любой иерархии можно построить подрешетку удовлетворяющую условию не только модулярности но и дистрибутивности.

Утверждение 2. В любой иерархии существует последовательность страт S_i1 , S_i2 , ... S_in , которые образуют дистрибутивную подрешетку.

Часто является необходимым оценить, насколько две страты близки друг к другу. Для этого введем понятие расстояния между стратами. Дадим следующее определение.

Определение 2. Расстоянием d (A, B) между стратами называется число

d= ,

где |A|, |B| - мощность страт A и B, min (a, b) - минимальное из чисел a, b, а max (a, b) - максимальное из чисел a, b.

Утверждение 3. Расстояния между стратами обладают следующими свойствами:

1. d (A, B)=1<=>A∩B=Ø

2. d (A, B)=0<=>A ⊂B или B ⊂A

3. 0≤d(A, B)≤1

В доказательстве следующего критерия немодулярности иерархии также используется понятие расстояния между стратами.

Утверждение 4. В иерархии I тогда и только тогда существует немодулярная подрешетка, когда в ней найдутся такие страты A, B, C, которые удовлетворяют следующим условиям:

1. d(A,C)=0, A≠C

2. d(A,B)>0

3. B∩C=A∩B (при этом если |B|<|А| это условие эквивалентно равенству d(A, B)=
d(B, C)).

Доказательства утверждений 2, 3, 4 будут рассмотрены в следующих работах.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Клейменов В.Ф., Суровцева Н.Н., Функции для иерархии категорий пожилых людей // Фундаментальные исследования. № 10, 2008 г., С. 75.
2. Клейменов В.Ф., Суровцева Н.Н., Вычисление для иерархии страт // Фундаментальные исследования. № 3, 2009 г., С.58-59.
3. Биркгоф Г. Теория решеток. - М.: Наука.1984. - 568 с.

---