КОНВЕКЦИЯ СМЕСЕЙ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

1

• Авторы
• Резюме
• Файлы

Тактаров Н.Г. Получены уравнения конвекции и конвективной диффузии двухкомпонентных смесей в магнитном поле. Исследованы различные частные случаи. Решена задача о конвективном движении смеси вблизи вертикальной пластины, на поверхности которой происходит гетерогенная химическая реакция. Библиогр. 4 назв. Статья в формате PDF 135 KB

1. Вывод уравнений конвекции намагничивающихся смесей. Уравнения движения двух компонентных неэлектропроводных смесей в магнитном поле имеют вид [2,3]:

 

Здесь v¯ - скорость смеси, ρ - плотность смеси,  c - концентрация   первого  компонента  (c= ρ₁/ ρ₂) , S_m -энтропия единицы массы смеси, Т температура, ξ₁ и ξ₂ - химические потенциалы единицы массы для первого и второго компонентов соответственно,  p давление смеси, η и ζ - коэффициенты вязкости смеси, q¯ вектор потока тепла, I¯ - вектор потока диффузии  первого компонента, μ= μ (ρ,c,T,H¯) - магнитная проницаемость смеси, H¯ - магнитное поле, g¯ -ускорение свободного падения. Имея в виду вывод уравнений конвекции, вязкой диссипацией  в уравнении притока тепла пренебрегаем [1]. Давление p в уравнении (1.1) записывается в виде:

где P  -давление в отсутствие магнитного поля при заданных значениях плотности, температуры и концентрации. Выражение для потоков:

Здесь  - кинетические коэффициенты, связанные между собой соотношениями взаимности Онзагера

Запишем тождество Гиббса для намагничивающихся смесей [2]:

Здесь G^~_m - потенциал Гиббса, приходящий ся на единицу массы среды, ξ=ξ₁-ξ₂; в качестве независимых термодинамических переменных в тождестве (1.4) выбраны c, p, T, H¯. Выражение для V¯ (с,p,T,H) имеет вид:

Здесь  H = |H¯| ; среда предполагается изотропной.

Далее ограничимся случаем несжимаемой среды, уравнение неразрывности будем писать в  виде div v¯= 0 . Из первой формулы (1.1) следует, что в состоянии равновесия выполняется условие:

Подставляя формулу (1.6) в (1.5) будем иметь:

Аналогично (1.7) записывается уравнение для энтропии

Здесь   - удельная теплоемкость при постоянном давлении, концентрации и магнитном поле.

Будем считать, что отклонения величин от некоторых средних значений малы, поэтому в  формулах (1.7) и (1.8) и далее коэффициенты при   будем считать постоянными величинами, соответствующими некоторым средним значениям концентрации c₀ , температуры  T₀  и магнитного поля  Выражение для потоков I¯ и q¯ принимают вид:

В формулах (1.9) вместо кинетических коэффициентов L₁₁ , L₁₂ , L₂₂ введены другие параметры:

коэффициент диффузии:

коэффициент теплопроводности:

термодиффузионное отношение:

а также следующие параметры

μ₀ и ρ₀ постоянные средние значения магнитной проницаемости и плотности. Все коэффициенты при градиентах в формулах (1.9) предполагаются постоянными.

Подставляя формулы (1.9) в третье и четвертое уравнение системы (1.1), будем иметь:

Здесь  - коэффициент    температуропроводности;

В уравнении притока тепла слагаемое, содержащее   δH² / δt , надо учитывать в случае переменного магнитного поля, например, в задачах, в которых в качестве модулируемого параметра берется магнитное поле.

Найдем теперь необходимые условия равновесия среды. Взяв rot от обеих частей уравнения (1.6), будет иметь вид:

Из формулы (1.11) следует, что механическое равновесие в среде возможно в случае когда    либо  в  

случае,  когда  векторы  параллельны. Возможны и другие случаи равновесия  когда эти векторы не обязательно вертикальны,но выбраны так, что выполняется условие (1.11).  Далее ограничимся случаем,  когда векторы  вертикальны.

Линеаризуя уравнения (1.1) и (1.10) по малым конвективным возмущениям и предполагая, что  имеем:

Здесь G¯=ΔH градиент магнитного поля, предполагаемый постоянной заданной величиной; c´ ,T´ - отклонения концентрации и температуры от постоянных средних значений c₀ и T₀ .  

В случае G¯=const из уравнений (1.11), (1.12) следует, что необходимым условием равновесия является постоянство и вертикальность градиентов температуры и концентрации:

Здесь k¯ - единичный вектор, направленный вверх вдоль оси z.

Отметим, что вышеприведенные уравнения при отсутствии  магнитного поля совпадают с уравнениями работы [1]

Магнитное поле в среде можно записать в виде  H¯= H₀¯ +H´¯,  где  H₀¯ - поле при c₀ = const , T₀ = const , μ₀= const ;  H´¯ - возмущение. Так что G¯=G₀¯ + G´¯ , где ; величину G¯ можно считать заданной при выполнении условия G₀ >>G´.

2. Уравнения конвективной диффузии. Интерес для приложений представляет случай когда температуру вдоль смеси можно считать постоянной. Конвективная диффузия несжимаемой смеси описывается первым уравнением системы (1.1) и первым уравнением (1.10), а также уравнением неразрывности div v¯ =0 и уравнениями магнитного поля. Для решения конкретных задач необходимо также задавать соответствующие граничные условия на поверхности полости с  жидкостью. Вектор потока диффузии в случае T =const имеет вид:

Далее будем предполагать выполненным условие и пренебрегать в формуле (2.1) слагаемым, связанным с полем тяжести.

Движение смеси при отклонении концентрации от постоянного среднего значения описываются уравнением:

 

В уравнении (2.2) в отличие от уравнения (1.12) учитывается градиент магнитного поля G´¯, индуцированный неоднородностью концентрации.  Вводя  потенциал магнитного поля , из последних двух уравнений (1.1) имеем:

Здесь

Полагая  из формулы (2.3) находим:

Если геометрия задачи такова, что φ´ зависит только от z (z вдоль вектора k¯ ), из уравнения (2.4) следует:

Отсюда следует, что влияние градиента концентрации на магнитное поле надо учитывать в случае больших значений B.

Приведем к безразмерному виду стационарное уравнение конвективной диффузии:

 

Введем в рассмотрение  L_c - хаpaктерное расстояние, на котором происходит существенное изменение концентрации, L_H - хаpaктерное расстояние для градиента магнитного поля G, V₀ - хаpaктерную скорость, G₀ - хаpaктерный градиент магнитного поля. Обозначая безразмерные величины теми же буквами что и размерные, уравнение (2.5) можно записать в виде:

Здесь  - число   Пекле,

Если  γ << 1 ,  влиянием магнитного поля на диффузию можно пренебречь. При выполнении условия  Pe << 1  надо отбросить левую часть уравнения  (2.6) и  затем приравнять к нулю правую. Распределение концентрации в этом случае определяется уравнением:

Рассмотрим теперь задачу о конвективном движении смеси вблизи полубесконечной вертикальной пластины, на поверхности которой происходит  гетерогенная  изотермическая  реакция. Предполагая  скорость реакции бесконечно большой, запишем граничное условие для концентрации c = 0  на  поверхности пластины (предполагается, что реагирует первая компонента).
Концентрацию вдали от пластины обозначим через c₀. Будем считать, что заметное изменение  концентрации происходит в тонком слое вблизи пластины, так что течение имеет вид пограничного слоя. Движение жидкости вдоль пластины происходит под действием поля тяжести и градиента магнитного  поля.  Пренебрегая  индуцированным  градиентом магнитного поля, запишем уравнения движения  в приближении стационарного пограничного слоя [4]:

Здесь z - координата вверх вдоль пластины, x - перпендикулярно к пластине; нижней кромке пластины соответствует  - компонента градиента поля.

Граничные условия:

В работе  [4] показано, что система  (2.7) может быть приведена к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Распределение концентрации имеет вид:

Здесь Pr = v/D - число Прандтля,  предполагается что число Прандтля велико [4]. Из формул (2.1) и (2.8) следует, что плотность потока диффузии на пластину равна:

где G0x компонента градиента магнитного поля, n нормаль, направленная внутрь пластины. Таким образом, при помощи магнитного поля можно управлять диффузионными потоками на пластину, на поверхности которой происходит  реакция.

Градиент приложенного магнитного поля предполагается достаточно большим по сравнению с индуцированным градиентом.

Литература

1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости М.: Наука, 1972. 392 с.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 624 с.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.
4. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: ГИФМЛ, 1959. 700

---