Тысяча полезных мелочей    

КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Ерёмичева А.Н. Статья в формате PDF 786 KB

Рассматриваются крутильные колебания двух стержней, подвешенных на вертикальных нитях в горизонтальной плоскости. При закручивании стержней они поднимаются, но скорость поднятия будет величиной второго порядка малости, поэтому при определении кинетической энергии были введены некоторые упрощения. Задача решена с помощью уравнений Лагранжа. Получены формулы для определения частот главных колебаний [1].

Горизонтальный однородный стержень AB массой «M», подвешен на двух вертикальных нитях длины l, второй стержень CD одинаковой массы «M» подвешен к AB на двух равных нитях длиной l′ (см. рисунок).

Положение стержня AB относительно оси определяется углом θ1, а положение стержня CD относительно AB углом θ2, тогда положение стержня CD относительно оси x определяется суммой θ1 + θ2.

При закручивании стержней оба они поднимаются, но поскольку перемещения центров масс стержней вдоль оси Z несоизмеримо меньше их горизонтальных перемещений, то квадраты скоростей, входящие в формулу кинетической энергии, будут величинами второго порядка малости, поэтому кинетическая энергия системы определяется формулой

 (1)

здесь iz - радиус инерции стержня относительно оси z, проходящей через центр масс стержней (см. рисунок).

 

Расчётная схема

Потенциальная энергия системы будет иметь вид:

 П = -Mg(Z1 + Z2) + C; (2)

здесь Z1 и Z2 - координаты центров тяжести стержней, а константа C определяется из начальных условий.

При θ1 = θ2 = θ в положении равновесия: Z1 = l1, Z2 = l + l′, П = 0, тогда из формулы (2)

 0 = -Mg(l + l + l′) + C или C = Mg(l + l + l′),

и формула (2) принимает вид:

 П = Mg[(l - Z1) +( l + l′ - Z2)].

Обозначая через φ1 и φ2 углы, составляемые нитями подвески стержней с осью Z1, получим

 Z1 = cosφ1; Z2 = lcosφ1 + l′ cosφ2.

Разлагая cosj в ряд

1 - cosφ ≈ φ2/2

получи]м формулу потенциальной энергии

Выразим углы φ1 и φ2 через θ1 и θ2, считая малые перемещения концов стержней за дуги окружностей

aθ1 = lφ1; aθ2 = l′φ2;

или 

(3)

Уравнение Лагранжа для обобщённых координат q1 = θ1 и q2 = θ2 для формул (1) и (3) будут:

 (4)

Полагая

 θ1 = Acos(λt + ε) и θ2 = Bcos(λt + ε)

получаем уравнения:

Тогда хаpaктеристическое уравнение имеет вид:

или

откуда и найдутся частоты λ1 и λ2 главных колебаний.

Список литературы

1. Розе Н.В. Аналитическая механика. - Л.: 1938 -203 с.



КОНТРОЛЬ ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ ФУТБОЛИСТОВ

КОНТРОЛЬ ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ ФУТБОЛИСТОВ Статья в формате PDF 300 KB...

21 07 2026 3:48:14

СТАНОВЛЕНИЕ РЕПРОДУКТИВНОЙ СИСТЕМЫ НОВОРОЖДЕННЫХ

СТАНОВЛЕНИЕ РЕПРОДУКТИВНОЙ СИСТЕМЫ НОВОРОЖДЕННЫХ Статья в формате PDF 145 KB...

19 07 2026 4:18:13

К КИНЕТИКЕ ПРОЦЕССОВ РОСТА, РАЗМНОЖЕНИЯ И ГИБЕЛИ МИКРООРГАНИЗМОВ

К КИНЕТИКЕ ПРОЦЕССОВ РОСТА, РАЗМНОЖЕНИЯ И ГИБЕЛИ МИКРООРГАНИЗМОВ Рассмотрен вариант синхронного деления клеток. Предложены кинетические уравнения, описывающие рост, размножение и гибель микроорганизмов с учетом как естественной cмepтности, так и внутривидовой борьбы. Рассматривается квазистационарный метод решения уравнения для определения плотности функции распределения микроорганизмов по возрастам. Предложен явный вид коэффициента диффузии в прострaнcтве масс. Получено аналитическое решение в квазистационарном приближении для плотности функции распределения микроорганизмов по возрастам для случая, когда рост клетки пропорционален ее массе (объему). ...

14 07 2026 0:12:56

К ВОПРОСУ СОСТОЯНИЯ ПСИХИЧЕСКОГО ЗДОРОВЬЯ УЧИТЕЛЯ

К ВОПРОСУ СОСТОЯНИЯ ПСИХИЧЕСКОГО ЗДОРОВЬЯ УЧИТЕЛЯ Статья в формате PDF 101 KB...

13 07 2026 4:24:36

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ОБЩЕСТВА И ПРИРОДЫ

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ОБЩЕСТВА И ПРИРОДЫ Статья в формате PDF 89 KB...

11 07 2026 15:46:37

К ВОПРОСУ О ДОСТУПНОСТИ ЖИЛЬЯ В ГОРОДЕ ВЛАДИВОСТОКЕ

К ВОПРОСУ О ДОСТУПНОСТИ ЖИЛЬЯ В ГОРОДЕ ВЛАДИВОСТОКЕ Статья в формате PDF 100 KB...

09 07 2026 15:50:14

ЯЗЫК ПРОСТРАНСТВА ГОРСКОГО ДОМА: КОМПОЗИЦИЯ И СЕМАНТИКА

ЯЗЫК ПРОСТРАНСТВА ГОРСКОГО ДОМА: КОМПОЗИЦИЯ И СЕМАНТИКА Рассматриваются проблемы синтеза искусств в творчестве дагестанских художников, основные художественные и эстетические черты традиционных форм народного искусства, дающие обширный материал для формирования и развития современной художественной культуры Дагестана. ...

05 07 2026 10:19:38

ПУТИ ОПТИМИЗАЦИИ ХИРУРГИЧЕСКОГО ЛЕЧЕНИЯ ПАЦИЕНТОВ С ДВУХСТОРОННИМИ ПАХОВЫМИ ГРЫЖАМИ

ПУТИ ОПТИМИЗАЦИИ ХИРУРГИЧЕСКОГО ЛЕЧЕНИЯ ПАЦИЕНТОВ С ДВУХСТОРОННИМИ ПАХОВЫМИ ГРЫЖАМИ Вентральная грыжа – одно из наиболее распространенных хирургических заболеваний, которым страдают 5–7% населения земного шара. Довольно значительный сегмент среди грыж живота занимают паховые грыжи двухсторонней локализации, что представляет собой обособленную проблему современной герниологии. По данным отечественных и зарубежных исследователей на долю больных с контралатеральными паховыми грыжами приходится до15% от всех больных грыжей паховой локализацией. ...

03 07 2026 16:21:43

ФИЛОСОФИЯ КУЛЬТУРЫ ОСВАЛЬДА ШПЕНГЛЕРА

ФИЛОСОФИЯ КУЛЬТУРЫ ОСВАЛЬДА ШПЕНГЛЕРА Статья в формате PDF 103 KB...

02 07 2026 9:22:48

СИНГЕМЕРОБИЯ ПАРЦИАЛЬНЫХ ФЛОР РЕГИОНА КАК ПОКАЗАТЕЛЬ АНТРОПОГЕННОЙ ТРАНСФОРМАЦИИ ФИТОСИСТЕМ (НА ПРИМЕРЕ ЯКУТИИ)

СИНГЕМЕРОБИЯ ПАРЦИАЛЬНЫХ ФЛОР РЕГИОНА КАК ПОКАЗАТЕЛЬ АНТРОПОГЕННОЙ ТРАНСФОРМАЦИИ ФИТОСИСТЕМ (НА ПРИМЕРЕ ЯКУТИИ) В работе приведены результаты анализа степеней сингемеробии парциальных флор Якутии в разрезе флористических районов. Отмечается роль географических факторов в формировании групп районов, объединенных по степени сингемеробии флор крупных геоботанических типов. ...

28 06 2026 19:42:10

ПОДСТАНЦИЯ «КАШТАК» (учебный видеофильм)

ПОДСТАНЦИЯ «КАШТАК» (учебный видеофильм) Статья в формате PDF 97 KB...

24 06 2026 15:19:11

Features of definition of tax base till the vat

Features of definition of tax base till the vat Статья в формате PDF 113 KB...

23 06 2026 17:47:11

ИНТЕГРАЦИЯ ФАРМАКОЛОГИЧЕСКИХ ЭФФЕКТОВ ИЗОНИАЗИДА В ХИМИОТЕРАПИИ ТУБЕРКУЛЕЗА ЛЕГКИХ

ИНТЕГРАЦИЯ ФАРМАКОЛОГИЧЕСКИХ ЭФФЕКТОВ ИЗОНИАЗИДА В ХИМИОТЕРАПИИ ТУБЕРКУЛЕЗА ЛЕГКИХ Предложен метод межреберного внутримышечного введения препаратов с непосредственным ультразвуковым «метод глубокого фонофореза», или лазерным воздействием «метод глубокого фотофореза» на место инъекции по рентгенологической проекции воспалительной зоны, и изучены механизмы их лечебного действия у больных деструктивным туберкулезом легких с выраженным пневмофиброзом и патологией органов пищеварения. Создание в очаге туберкулезного поражения повышенной концентрации изониазида повышает эффективность химиотерапии туберкулеза легких в условиях выраженного пневмофиброза изученными методами на 18%. ...

22 06 2026 21:51:45

ОБРАБОТКА ТВЕРДОГО ЖЕЛЕЗА ШЛИФОВАНИЕМ

ОБРАБОТКА ТВЕРДОГО ЖЕЛЕЗА ШЛИФОВАНИЕМ Статья в формате PDF 208 KB...

19 06 2026 0:58:51

Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::