КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Авторы
Файлы

Ерёмичева А.Н. Статья в формате PDF 786 KB

Рассматриваются крутильные колебания двух стержней, подвешенных на вертикальных нитях в горизонтальной плоскости. При закручивании стержней они поднимаются, но скорость поднятия будет величиной второго порядка малости, поэтому при определении кинетической энергии были введены некоторые упрощения. Задача решена с помощью уравнений Лагранжа. Получены формулы для определения частот главных колебаний [1].

Горизонтальный однородный стержень AB массой «M», подвешен на двух вертикальных нитях длины l, второй стержень CD одинаковой массы «M» подвешен к AB на двух равных нитях длиной l′ (см. рисунок).

Положение стержня AB относительно оси определяется углом θ1, а положение стержня CD относительно AB углом θ2, тогда положение стержня CD относительно оси x определяется суммой θ1 + θ2.

При закручивании стержней оба они поднимаются, но поскольку перемещения центров масс стержней вдоль оси Z несоизмеримо меньше их горизонтальных перемещений, то квадраты скоростей, входящие в формулу кинетической энергии, будут величинами второго порядка малости, поэтому кинетическая энергия системы определяется формулой

(1)

здесь iz - радиус инерции стержня относительно оси z, проходящей через центр масс стержней (см. рисунок).

Расчётная схема

Потенциальная энергия системы будет иметь вид:

П = -Mg(Z₁ + Z₂) + C; (2)

здесь Z₁ и Z₂ - координаты центров тяжести стержней, а константа C определяется из начальных условий.

При θ₁ = θ₂ = θ в положении равновесия: Z₁ = l₁, Z₂ = l + l′, П = 0, тогда из формулы (2)

0 = -Mg(l + l + l′) + C или C = Mg(l + l + l′),

и формула (2) принимает вид:

П = Mg[(l - Z1) +( l + l′ - Z₂)].

Обозначая через φ1 и φ2 углы, составляемые нитями подвески стержней с осью Z1, получим

Z₁ = cosφ₁; Z₂ = lcosφ₁ + l′ cosφ₂.

Разлагая cosj в ряд

1 - cosφ ≈ φ²/2

получи]м формулу потенциальной энергии

Выразим углы φ1 и φ2 через θ1 и θ2, считая малые перемещения концов стержней за дуги окружностей

aθ1 = lφ1; aθ2 = l′φ2;

или

(3)

Уравнение Лагранжа для обобщённых координат q1 = θ1 и q2 = θ2 для формул (1) и (3) будут:

(4)

Полагая

θ1 = Acos(λt + ε) и θ2 = Bcos(λt + ε)

получаем уравнения:

Тогда хаpaктеристическое уравнение имеет вид:

или

откуда и найдутся частоты λ1 и λ2 главных колебаний.

Список литературы

1. Розе Н.В. Аналитическая механика. - Л.: 1938 -203 с.

РАЗРАБОТКА СИСТЕМЫ МЕНЕДЖМЕНТА КАЧЕСТВА В КузГТУ

Важность разработки и внедрения системы менеджмента качества в вузе отражена и закреплена в ряде приказов Федерального агентства по образованию и обусловлена предстоящим вступлением страны в ВТО и присоединение к Болонскому процессу. В статье описываются алгоритм, этапы деятельности, результаты разработки и внедрения СМК в Кузбасском государственном техническом университете. ...

17 06 2026 22:45:44

ОРГАНИЗАЦИОННО-ЭКОНОМИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ПРЕДПРИЯТИЙ В ОСОБЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗОНАХ

Статья в формате PDF 226 KB...

16 06 2026 15:56:14

Высотное строительство в России – проблемы, задачи и способы их решения

Статья в формате PDF 313 KB...

15 06 2026 20:24:25

МЕСТО ТОРГОВОЙ СФЕРЫ ЭКОНОМИКИ В СИСТЕМЕ РЫНОЧНОГО ХОЗЯЙСТВОВАНИЯ

В данной работе авторами выдвигается и обосновывается тезис о том, что торгово-коммерческая деятельность является определяющим фактором в системе рыночных отношений. ...

14 06 2026 7:23:54

ФАКТОРЫ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО САМООПРЕДЕЛЕНИЯ ЛИЧНОСТИ В СОВРЕМЕННЫХ УСЛОВИЯХ

В статье рассматриваются понятия «самоопределение», «самореализация», «профессиональное становление личности». Актуализируется проблема становления профессионала, проблема личностного и социального развития будущего специалиста как субъекта социального действия и основные факторы, влияющие на выбор профессии. ...