КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Рассматриваются крутильные колебания двух стержней, подвешенных на вертикальных нитях в горизонтальной плоскости. При закручивании стержней они поднимаются, но скорость поднятия будет величиной второго порядка малости, поэтому при определении кинетической энергии были введены некоторые упрощения. Задача решена с помощью уравнений Лагранжа. Получены формулы для определения частот главных колебаний [1].
Горизонтальный однородный стержень AB массой «M», подвешен на двух вертикальных нитях длины l, второй стержень CD одинаковой массы «M» подвешен к AB на двух равных нитях длиной l′ (см. рисунок).
Положение стержня AB относительно оси определяется углом θ1, а положение стержня CD относительно AB углом θ2, тогда положение стержня CD относительно оси x определяется суммой θ1 + θ2.
При закручивании стержней оба они поднимаются, но поскольку перемещения центров масс стержней вдоль оси Z несоизмеримо меньше их горизонтальных перемещений, то квадраты скоростей, входящие в формулу кинетической энергии, будут величинами второго порядка малости, поэтому кинетическая энергия системы определяется формулой
(1)
здесь iz - радиус инерции стержня относительно оси z, проходящей через центр масс стержней (см. рисунок).
Расчётная схема
Потенциальная энергия системы будет иметь вид:
П = -Mg(Z1 + Z2) + C; (2)
здесь Z1 и Z2 - координаты центров тяжести стержней, а константа C определяется из начальных условий.
При θ1 = θ2 = θ в положении равновесия: Z1 = l1, Z2 = l + l′, П = 0, тогда из формулы (2)
0 = -Mg(l + l + l′) + C или C = Mg(l + l + l′),
и формула (2) принимает вид:
П = Mg[(l - Z1) +( l + l′ - Z2)].
Обозначая через φ1 и φ2 углы, составляемые нитями подвески стержней с осью Z1, получим
Z1 = cosφ1; Z2 = lcosφ1 + l′ cosφ2.
Разлагая cosj в ряд
1 - cosφ ≈ φ2/2
получи]м формулу потенциальной энергии
Выразим углы φ1 и φ2 через θ1 и θ2, считая малые перемещения концов стержней за дуги окружностей
aθ1 = lφ1; aθ2 = l′φ2;
или
(3)
Уравнение Лагранжа для обобщённых координат q1 = θ1 и q2 = θ2 для формул (1) и (3) будут:
(4)
Полагая
θ1 = Acos(λt + ε) и θ2 = Bcos(λt + ε)
получаем уравнения:
Тогда хаpaктеристическое уравнение имеет вид:
или
откуда и найдутся частоты λ1 и λ2 главных колебаний.
Список литературы
1. Розе Н.В. Аналитическая механика. - Л.: 1938 -203 с.
Важность разработки и внедрения системы менеджмента качества в вузе отражена и закреплена в ряде приказов Федерального агентства по образованию и обусловлена предстоящим вступлением страны в ВТО и присоединение к Болонскому процессу. В статье описываются алгоритм, этапы деятельности, результаты разработки и внедрения СМК в Кузбасском государственном техническом университете.
...
17 06 2026 22:45:44
Статья в формате PDF
226 KB...
16 06 2026 15:56:14
Статья в формате PDF
313 KB...
15 06 2026 20:24:25
В данной работе авторами выдвигается и обосновывается тезис о том, что торгово-коммерческая деятельность является определяющим фактором в системе рыночных отношений.
...
14 06 2026 7:23:54
В статье рассматриваются понятия «самоопределение», «самореализация», «профессиональное становление личности». Актуализируется проблема становления профессионала, проблема личностного и социального развития будущего специалиста как субъекта социального действия и основные факторы, влияющие на выбор профессии.
...
13 06 2026 21:32:37
Статья в формате PDF
294 KB...
12 06 2026 16:17:20
Статья в формате PDF
196 KB...
11 06 2026 13:55:31
Статья в формате PDF
264 KB...
10 06 2026 20:51:18
Статья в формате PDF
166 KB...
09 06 2026 11:51:13
Статья в формате PDF
257 KB...
08 06 2026 9:43:38
Статья в формате PDF
118 KB...
07 06 2026 6:31:32
Статья в формате PDF
111 KB...
06 06 2026 4:31:14
Статья в формате PDF
113 KB...
05 06 2026 10:17:56
Статья в формате PDF
120 KB...
04 06 2026 1:57:42
Статья в формате PDF
120 KB...
03 06 2026 17:28:44
Статья в формате PDF
125 KB...
02 06 2026 22:35:27
Статья в формате PDF
101 KB...
01 06 2026 12:11:24
Статья в формате PDF
131 KB...
31 05 2026 8:26:17
Статья в формате PDF
260 KB...
30 05 2026 18:35:18
29 05 2026 5:21:21
Статья в формате PDF
263 KB...
28 05 2026 2:28:21
Статья в формате PDF
122 KB...
27 05 2026 4:43:22
26 05 2026 18:28:35
Статья в формате PDF
311 KB...
25 05 2026 3:36:58
Статья в формате PDF
110 KB...
24 05 2026 3:14:27
Статья в формате PDF
576 KB...
23 05 2026 2:20:38
Статья в формате PDF
314 KB...
22 05 2026 6:36:42
Статья в формате PDF
127 KB...
21 05 2026 4:41:47
Статья в формате PDF
101 KB...
20 05 2026 13:27:43
Статья в формате PDF
257 KB...
19 05 2026 23:31:58
Статья в формате PDF
104 KB...
18 05 2026 9:26:36
Статья в формате PDF
359 KB...
16 05 2026 20:41:52
Статья в формате PDF
128 KB...
15 05 2026 3:50:20
Статья в формате PDF
119 KB...
14 05 2026 21:46:33
Статья в формате PDF
205 KB...
13 05 2026 17:47:12
Статья в формате PDF
119 KB...
12 05 2026 21:44:35
Статья в формате PDF
251 KB...
11 05 2026 19:47:18
Статья в формате PDF
113 KB...
10 05 2026 10:43:13
Статья в формате PDF
250 KB...
09 05 2026 20:54:51
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::