КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Рассматриваются крутильные колебания двух стержней, подвешенных на вертикальных нитях в горизонтальной плоскости. При закручивании стержней они поднимаются, но скорость поднятия будет величиной второго порядка малости, поэтому при определении кинетической энергии были введены некоторые упрощения. Задача решена с помощью уравнений Лагранжа. Получены формулы для определения частот главных колебаний [1].
Горизонтальный однородный стержень AB массой «M», подвешен на двух вертикальных нитях длины l, второй стержень CD одинаковой массы «M» подвешен к AB на двух равных нитях длиной l′ (см. рисунок).
Положение стержня AB относительно оси определяется углом θ1, а положение стержня CD относительно AB углом θ2, тогда положение стержня CD относительно оси x определяется суммой θ1 + θ2.
При закручивании стержней оба они поднимаются, но поскольку перемещения центров масс стержней вдоль оси Z несоизмеримо меньше их горизонтальных перемещений, то квадраты скоростей, входящие в формулу кинетической энергии, будут величинами второго порядка малости, поэтому кинетическая энергия системы определяется формулой
(1)
здесь iz - радиус инерции стержня относительно оси z, проходящей через центр масс стержней (см. рисунок).
Расчётная схема
Потенциальная энергия системы будет иметь вид:
П = -Mg(Z1 + Z2) + C; (2)
здесь Z1 и Z2 - координаты центров тяжести стержней, а константа C определяется из начальных условий.
При θ1 = θ2 = θ в положении равновесия: Z1 = l1, Z2 = l + l′, П = 0, тогда из формулы (2)
0 = -Mg(l + l + l′) + C или C = Mg(l + l + l′),
и формула (2) принимает вид:
П = Mg[(l - Z1) +( l + l′ - Z2)].
Обозначая через φ1 и φ2 углы, составляемые нитями подвески стержней с осью Z1, получим
Z1 = cosφ1; Z2 = lcosφ1 + l′ cosφ2.
Разлагая cosj в ряд
1 - cosφ ≈ φ2/2
получи]м формулу потенциальной энергии
Выразим углы φ1 и φ2 через θ1 и θ2, считая малые перемещения концов стержней за дуги окружностей
aθ1 = lφ1; aθ2 = l′φ2;
или
(3)
Уравнение Лагранжа для обобщённых координат q1 = θ1 и q2 = θ2 для формул (1) и (3) будут:
(4)
Полагая
θ1 = Acos(λt + ε) и θ2 = Bcos(λt + ε)
получаем уравнения:
Тогда хаpaктеристическое уравнение имеет вид:
или
откуда и найдутся частоты λ1 и λ2 главных колебаний.
Список литературы
1. Розе Н.В. Аналитическая механика. - Л.: 1938 -203 с.
Статья в формате PDF
141 KB...
25 03 2026 7:47:18
Регенеративная медицина использует различный клеточный материал для замещения клеток поврежденных тканей при различных поражениях, в том числе ожогах. В статье приведены разные технологии лечения, с использованием пуповинной крови и синтомициновой эмульсии. Термический ожог - чаще встречающееся и серьезное воздействие на покровную систему. Исходя из актуальности проблемы, разработали экспериментальную модель нанесения ожогов и накожной аппликации биологически активных веществ.
...
24 03 2026 2:58:21
Статья в формате PDF
250 KB...
23 03 2026 12:42:30
Статья в формате PDF
113 KB...
22 03 2026 6:48:35
Статья в формате PDF
181 KB...
21 03 2026 6:55:25
Статья в формате PDF
111 KB...
20 03 2026 15:46:57
Статья в формате PDF
133 KB...
19 03 2026 13:58:51
Статья в формате PDF
473 KB...
18 03 2026 0:52:59
В работе представлены результаты исследования влияния высокоинтенсивных физических факторов электрического поля коронного разряда с напряженностью 1-6 кВ/см, создаваемого установкой «Экран», на жизнеспособность семян ячменя сорта «Абава», с целью повышения качества семенного материала.
Определено, что наиболее эффективными воздействиями ЭПКР для повышения качества семенного материала без отлежки зерна перед посевом являются режимы с напряженностью 1 кВ/см и 2 кВ/см. Показано, что наиболее ярко выраженный бактерицидный эффект получен при воздействии на семена электрическим полем коронного разряда с напряженностью 6 кВ/см и 4 кВ/см. Эти режимы наряду с угнетением очаговой плесени тормозят всхожесть, прорастание и снижают жизнеспособность семян. Однако, данные режимы могут оказаться перспективными для обеззараживающей обработки фуражного зерна.
Выявлено, что наиболее эффективным режимом электрического поля коронного разряда для повышения качества семенного материала с отлежкой зерна перед посевом является режим с напряженностью 2 кВ/см, поскольку данное воздействие оказывает наиболее ярко выраженный бактерицидный эффект наряду со стимуляцией всхожести, прорастания и повышением жизнеспособности семян.
...
17 03 2026 4:38:40
Статья в формате PDF
268 KB...
16 03 2026 3:11:29
Статья в формате PDF
123 KB...
15 03 2026 1:28:37
Статья в формате PDF
102 KB...
13 03 2026 10:35:37
Статья в формате PDF
105 KB...
11 03 2026 12:35:27
На биопсийном материале пяти первородящих женщин в возрасте от 20 до 38 лет с физиологической родовой деятельностью проводили количественное светооптическое изучение строения миометрия матки. Оценили тканевой состав, клеточный состав и число гладкомышечных клеток в поле зрения микроскопа. Показали, что основными компонентами миометрия были гладкомышечные волокна, элементы соединительной ткани и микрососудистого русла. Гладкомышечные клетки демонстрировали разное сродство к толуидиновому синему и были условно разделены на светлые, темные и промежуточные клетки. Выявлена внутригрупповая вариация всех оцененных количественных параметров. Полученные данные могут быть базовыми при оценке тех же параметров у рожениц с патологической родовой деятельностью.
...
09 03 2026 18:53:39
На основании анализа прострaнcтвенного размещения редких и уникальных для Кемеровской области растительных сообществ рассматривается возможность оптимизации пpaктического сохранения регионального биоразнообразия. В качестве возможного механизма охраны предлагается вариант локального изменения размеров водоохранных зон путем делегирования органам местного самоуправления права принятия оперативных решений при определении их границ.
...
08 03 2026 5:12:21
Статья в формате PDF
120 KB...
07 03 2026 10:42:49
Статья в формате PDF
256 KB...
06 03 2026 20:54:17
Цитомедины – это биологически активные соединения, продуцируемые органами и тканями, способные влиять на течение физиологических и биохимических процессов в организме для поддержания гомеостаза. Экспериментально выявлено, что пептиды (цитомедины), выделенные из тканей печени и сердца животных, влияют на адгезивные свойства клеток крови – увеличивают количество лейкоцитарно-эритроцитарных (ЛЭА), тромбоцитарнo-эритроцитарных (ТЭА) и лимфоцитарно-тромбоцитарных (ЛТА) агрегатов. Феномен лимфоцитарно-тромбоцитарной адгезии является ярким примером тесной взаимосвязи иммунитета и гемостаза, являющихся составными частями единой интегральной клеточно-гумopaльной системы защиты организма.
...
05 03 2026 0:58:27
Статья в формате PDF
146 KB...
03 03 2026 11:25:25
Статья в формате PDF
102 KB...
02 03 2026 9:37:59
Статья в формате PDF
89 KB...
01 03 2026 20:15:49
Статья в формате PDF
140 KB...
28 02 2026 14:55:22
Статья в формате PDF
286 KB...
27 02 2026 3:57:28
Статья в формате PDF
322 KB...
26 02 2026 22:33:11
Артериальная гипертония является одним из главных факторов риска атеросклероза и ишемической болезни сердца (ИБС). Путем сплошного скрининга двух сельских районов проведен анализ распределения показателей артериального давления (АД) в популяции. Исследован хаpaктер питания как фактор риска развития атеросклероза. Был проведен поиск генетических маркеров указанных заболеваний. Показано, что факторами пониженного риска ИБС является носительство аллелей гена АроВ30 и АроВ34, а носительство аллеля е4 АроЕ, аллеля Д и генотипа ДД - факторы повышенного риска данной патологии.
...
25 02 2026 3:52:17
Статья в формате PDF
115 KB...
24 02 2026 21:39:17
Статья в формате PDF
107 KB...
23 02 2026 22:20:59
Статья в формате PDF
103 KB...
21 02 2026 14:18:35
Приводятся результаты исследования восстановления пашен, заброшенных при развитии негативных криогенных процессов и явлений и деформации поверхности. Этот опыт восстановления может использоваться и на долинных сельскохозяйственных угодьях, где распространены близкозалегающие подземные льды, вызывающие деформацию поверхности при мелиоративных воздействиях.
...
20 02 2026 10:23:54
Статья в формате PDF
252 KB...
19 02 2026 22:22:43
Статья в формате PDF
113 KB...
18 02 2026 9:43:35
Статья в формате PDF
121 KB...
16 02 2026 9:46:58
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
