КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Рассматриваются крутильные колебания двух стержней, подвешенных на вертикальных нитях в горизонтальной плоскости. При закручивании стержней они поднимаются, но скорость поднятия будет величиной второго порядка малости, поэтому при определении кинетической энергии были введены некоторые упрощения. Задача решена с помощью уравнений Лагранжа. Получены формулы для определения частот главных колебаний [1].
Горизонтальный однородный стержень AB массой «M», подвешен на двух вертикальных нитях длины l, второй стержень CD одинаковой массы «M» подвешен к AB на двух равных нитях длиной l′ (см. рисунок).
Положение стержня AB относительно оси определяется углом θ1, а положение стержня CD относительно AB углом θ2, тогда положение стержня CD относительно оси x определяется суммой θ1 + θ2.
При закручивании стержней оба они поднимаются, но поскольку перемещения центров масс стержней вдоль оси Z несоизмеримо меньше их горизонтальных перемещений, то квадраты скоростей, входящие в формулу кинетической энергии, будут величинами второго порядка малости, поэтому кинетическая энергия системы определяется формулой
(1)
здесь iz - радиус инерции стержня относительно оси z, проходящей через центр масс стержней (см. рисунок).
Расчётная схема
Потенциальная энергия системы будет иметь вид:
П = -Mg(Z1 + Z2) + C; (2)
здесь Z1 и Z2 - координаты центров тяжести стержней, а константа C определяется из начальных условий.
При θ1 = θ2 = θ в положении равновесия: Z1 = l1, Z2 = l + l′, П = 0, тогда из формулы (2)
0 = -Mg(l + l + l′) + C или C = Mg(l + l + l′),
и формула (2) принимает вид:
П = Mg[(l - Z1) +( l + l′ - Z2)].
Обозначая через φ1 и φ2 углы, составляемые нитями подвески стержней с осью Z1, получим
Z1 = cosφ1; Z2 = lcosφ1 + l′ cosφ2.
Разлагая cosj в ряд
1 - cosφ ≈ φ2/2
получи]м формулу потенциальной энергии
Выразим углы φ1 и φ2 через θ1 и θ2, считая малые перемещения концов стержней за дуги окружностей
aθ1 = lφ1; aθ2 = l′φ2;
или
(3)
Уравнение Лагранжа для обобщённых координат q1 = θ1 и q2 = θ2 для формул (1) и (3) будут:
(4)
Полагая
θ1 = Acos(λt + ε) и θ2 = Bcos(λt + ε)
получаем уравнения:
Тогда хаpaктеристическое уравнение имеет вид:
или
откуда и найдутся частоты λ1 и λ2 главных колебаний.
Список литературы
1. Розе Н.В. Аналитическая механика. - Л.: 1938 -203 с.
Статья в формате PDF
206 KB...
17 06 2026 11:27:38
Статья в формате PDF
95 KB...
15 06 2026 21:31:28
Статья в формате PDF 119 KB...
14 06 2026 14:42:11
Статья в формате PDF
137 KB...
13 06 2026 11:28:20
Статья в формате PDF
430 KB...
12 06 2026 1:16:48
Статья в формате PDF
297 KB...
11 06 2026 13:41:51
Статья в формате PDF
113 KB...
10 06 2026 16:45:55
Статья в формате PDF
112 KB...
09 06 2026 11:30:25
Статья в формате PDF
112 KB...
06 06 2026 8:44:35
Статья в формате PDF
311 KB...
05 06 2026 7:44:27
Статья в формате PDF
133 KB...
03 06 2026 7:21:38
Статья в формате PDF
111 KB...
02 06 2026 20:24:12
Статья в формате PDF
266 KB...
01 06 2026 11:37:42
Статья в формате PDF
90 KB...
30 05 2026 3:50:11
Статья в формате PDF
121 KB...
29 05 2026 15:12:20
Статья в формате PDF
119 KB...
28 05 2026 18:34:29
Статья в формате PDF
307 KB...
27 05 2026 18:34:51
Статья в формате PDF
416 KB...
26 05 2026 3:37:19
Статья в формате PDF
111 KB...
25 05 2026 5:13:14
Статья в формате PDF
251 KB...
24 05 2026 18:26:27
Статья в формате PDF
115 KB...
23 05 2026 18:44:39
Статья в формате PDF
181 KB...
22 05 2026 7:27:12
Статья в формате PDF
84 KB...
21 05 2026 5:47:40
Статья в формате PDF
138 KB...
20 05 2026 11:22:53
Статья в формате PDF
203 KB...
19 05 2026 13:20:21
Статья в формате PDF
220 KB...
18 05 2026 8:10:19
Статья в формате PDF
109 KB...
16 05 2026 6:25:33
Статья в формате PDF
241 KB...
15 05 2026 20:41:40
Статья в формате PDF
122 KB...
14 05 2026 1:29:10
Статья в формате PDF
447 KB...
13 05 2026 5:39:55
Статья в формате PDF
139 KB...
11 05 2026 3:25:25
Статья в формате PDF
82 KB...
09 05 2026 15:36:26
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
