КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Рассматриваются крутильные колебания двух стержней, подвешенных на вертикальных нитях в горизонтальной плоскости. При закручивании стержней они поднимаются, но скорость поднятия будет величиной второго порядка малости, поэтому при определении кинетической энергии были введены некоторые упрощения. Задача решена с помощью уравнений Лагранжа. Получены формулы для определения частот главных колебаний [1].
Горизонтальный однородный стержень AB массой «M», подвешен на двух вертикальных нитях длины l, второй стержень CD одинаковой массы «M» подвешен к AB на двух равных нитях длиной l′ (см. рисунок).
Положение стержня AB относительно оси определяется углом θ1, а положение стержня CD относительно AB углом θ2, тогда положение стержня CD относительно оси x определяется суммой θ1 + θ2.
При закручивании стержней оба они поднимаются, но поскольку перемещения центров масс стержней вдоль оси Z несоизмеримо меньше их горизонтальных перемещений, то квадраты скоростей, входящие в формулу кинетической энергии, будут величинами второго порядка малости, поэтому кинетическая энергия системы определяется формулой
(1)
здесь iz - радиус инерции стержня относительно оси z, проходящей через центр масс стержней (см. рисунок).
Расчётная схема
Потенциальная энергия системы будет иметь вид:
П = -Mg(Z1 + Z2) + C; (2)
здесь Z1 и Z2 - координаты центров тяжести стержней, а константа C определяется из начальных условий.
При θ1 = θ2 = θ в положении равновесия: Z1 = l1, Z2 = l + l′, П = 0, тогда из формулы (2)
0 = -Mg(l + l + l′) + C или C = Mg(l + l + l′),
и формула (2) принимает вид:
П = Mg[(l - Z1) +( l + l′ - Z2)].
Обозначая через φ1 и φ2 углы, составляемые нитями подвески стержней с осью Z1, получим
Z1 = cosφ1; Z2 = lcosφ1 + l′ cosφ2.
Разлагая cosj в ряд
1 - cosφ ≈ φ2/2
получи]м формулу потенциальной энергии
Выразим углы φ1 и φ2 через θ1 и θ2, считая малые перемещения концов стержней за дуги окружностей
aθ1 = lφ1; aθ2 = l′φ2;
или
(3)
Уравнение Лагранжа для обобщённых координат q1 = θ1 и q2 = θ2 для формул (1) и (3) будут:
(4)
Полагая
θ1 = Acos(λt + ε) и θ2 = Bcos(λt + ε)
получаем уравнения:
Тогда хаpaктеристическое уравнение имеет вид:
или
откуда и найдутся частоты λ1 и λ2 главных колебаний.
Список литературы
1. Розе Н.В. Аналитическая механика. - Л.: 1938 -203 с.
Статья в формате PDF
103 KB...
23 04 2024 14:59:30
Статья в формате PDF
106 KB...
22 04 2024 9:45:19
Статья в формате PDF
104 KB...
21 04 2024 6:27:12
Статья в формате PDF
163 KB...
20 04 2024 10:41:50
Статья в формате PDF
304 KB...
19 04 2024 12:11:46
Статья в формате PDF
254 KB...
17 04 2024 3:36:16
Статья в формате PDF
276 KB...
16 04 2024 8:21:28
Статья в формате PDF
101 KB...
15 04 2024 10:10:56
Статья в формате PDF
133 KB...
14 04 2024 17:14:36
Статья в формате PDF
123 KB...
12 04 2024 19:47:40
Статья в формате PDF
131 KB...
11 04 2024 15:58:24
Статья в формате PDF
110 KB...
10 04 2024 20:36:10
Статья в формате PDF
297 KB...
09 04 2024 14:42:44
Статья в формате PDF
255 KB...
08 04 2024 8:21:34
Статья в формате PDF
203 KB...
07 04 2024 22:41:29
Статья в формате PDF
116 KB...
06 04 2024 10:43:23
Статья в формате PDF
141 KB...
04 04 2024 22:51:48
Статья в формате PDF
91 KB...
03 04 2024 3:56:40
Статья в формате PDF
100 KB...
01 04 2024 0:54:57
Статья в формате PDF
329 KB...
31 03 2024 8:30:49
Статья в формате PDF
108 KB...
30 03 2024 23:31:23
Статья в формате PDF
78 KB...
29 03 2024 8:20:30
Статья в формате PDF
104 KB...
28 03 2024 13:27:58
Статья в формате PDF
603 KB...
27 03 2024 18:32:22
В миниобзоре приведены современные тренды изучения роли окислительного стресса в патогенезе хронической обструктивной болезни легких (ХОБЛ). Показано, что развитие окислительного стресса происходит синхронно с дисбалансом в системе протеазы/антипротеазы и взаимосвязано с нарушением обмена железа. Приведены данные, демонстрирующие нарушение регуляции антиоксидантной защиты при ХОБЛ. Показана взаимосвязь между развитием окислительного стресса и воспалением. Обсуждается гипотеза о взаимосвязи окислительного стресса, хронического воспаления и старения в механизме патогенеза ХОБЛ.
...
26 03 2024 6:54:23
Статья в формате PDF
263 KB...
25 03 2024 1:52:16
Статья в формате PDF
271 KB...
24 03 2024 10:11:48
Статья в формате PDF
123 KB...
23 03 2024 3:32:29
Статья в формате PDF
250 KB...
22 03 2024 23:39:55
Статья в формате PDF
173 KB...
21 03 2024 21:15:32
Статья в формате PDF
123 KB...
20 03 2024 5:39:18
Статья в формате PDF
119 KB...
19 03 2024 18:13:45
Статья в формате PDF
100 KB...
18 03 2024 6:40:44
Статья в формате PDF
109 KB...
17 03 2024 8:34:35
Статья в формате PDF
135 KB...
16 03 2024 2:58:46
Статья в формате PDF
105 KB...
15 03 2024 16:18:45
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
