КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Рассматриваются крутильные колебания двух стержней, подвешенных на вертикальных нитях в горизонтальной плоскости. При закручивании стержней они поднимаются, но скорость поднятия будет величиной второго порядка малости, поэтому при определении кинетической энергии были введены некоторые упрощения. Задача решена с помощью уравнений Лагранжа. Получены формулы для определения частот главных колебаний [1].
Горизонтальный однородный стержень AB массой «M», подвешен на двух вертикальных нитях длины l, второй стержень CD одинаковой массы «M» подвешен к AB на двух равных нитях длиной l′ (см. рисунок).
Положение стержня AB относительно оси определяется углом θ1, а положение стержня CD относительно AB углом θ2, тогда положение стержня CD относительно оси x определяется суммой θ1 + θ2.
При закручивании стержней оба они поднимаются, но поскольку перемещения центров масс стержней вдоль оси Z несоизмеримо меньше их горизонтальных перемещений, то квадраты скоростей, входящие в формулу кинетической энергии, будут величинами второго порядка малости, поэтому кинетическая энергия системы определяется формулой
(1)
здесь iz - радиус инерции стержня относительно оси z, проходящей через центр масс стержней (см. рисунок).
Расчётная схема
Потенциальная энергия системы будет иметь вид:
П = -Mg(Z1 + Z2) + C; (2)
здесь Z1 и Z2 - координаты центров тяжести стержней, а константа C определяется из начальных условий.
При θ1 = θ2 = θ в положении равновесия: Z1 = l1, Z2 = l + l′, П = 0, тогда из формулы (2)
0 = -Mg(l + l + l′) + C или C = Mg(l + l + l′),
и формула (2) принимает вид:
П = Mg[(l - Z1) +( l + l′ - Z2)].
Обозначая через φ1 и φ2 углы, составляемые нитями подвески стержней с осью Z1, получим
Z1 = cosφ1; Z2 = lcosφ1 + l′ cosφ2.
Разлагая cosj в ряд
1 - cosφ ≈ φ2/2
получи]м формулу потенциальной энергии
Выразим углы φ1 и φ2 через θ1 и θ2, считая малые перемещения концов стержней за дуги окружностей
aθ1 = lφ1; aθ2 = l′φ2;
или
(3)
Уравнение Лагранжа для обобщённых координат q1 = θ1 и q2 = θ2 для формул (1) и (3) будут:
(4)
Полагая
θ1 = Acos(λt + ε) и θ2 = Bcos(λt + ε)
получаем уравнения:
Тогда хаpaктеристическое уравнение имеет вид:
или
откуда и найдутся частоты λ1 и λ2 главных колебаний.
Список литературы
1. Розе Н.В. Аналитическая механика. - Л.: 1938 -203 с.
Статья в формате PDF
274 KB...
08 07 2026 23:26:37
Статья в формате PDF
111 KB...
07 07 2026 4:34:28
Статья в формате PDF
280 KB...
06 07 2026 13:37:23
Статья в формате PDF
125 KB...
05 07 2026 11:39:19
Статья в формате PDF
121 KB...
04 07 2026 9:52:51
Статья в формате PDF
248 KB...
03 07 2026 9:17:25
Статья в формате PDF
136 KB...
02 07 2026 18:58:53
Статья в формате PDF
104 KB...
01 07 2026 11:17:26
Статья в формате PDF
266 KB...
30 06 2026 19:37:34
Статья в формате PDF
251 KB...
29 06 2026 19:45:12
Статья в формате PDF
119 KB...
27 06 2026 17:46:58
Статья в формате PDF
120 KB...
26 06 2026 5:20:12
Статья в формате PDF
193 KB...
24 06 2026 0:48:17
Статья в формате PDF
98 KB...
23 06 2026 6:20:42
Статья в формате PDF
103 KB...
22 06 2026 3:17:11
Статья в формате PDF
119 KB...
20 06 2026 12:17:30
Статья в формате PDF
238 KB...
18 06 2026 20:52:21
Статья в формате PDF
100 KB...
17 06 2026 7:59:56
Статья в формате PDF
118 KB...
16 06 2026 16:22:44
Статья в формате PDF
102 KB...
15 06 2026 13:32:16
Статья в формате PDF
110 KB...
13 06 2026 13:39:15
Статья в формате PDF
115 KB...
12 06 2026 3:49:33
Статья в формате PDF
102 KB...
11 06 2026 13:53:35
Проведен анализ общепринятых учений и научных теорий, имевших широкую аудиторию в вузах и научно-исследовательских институтах прошлого века. Выявлена недостаточность абстpaктной потенции в мыслительной жизни homo sensus, главная альтернатива которой – эмоциональный мир, чувственность и вера. Свойство верить познающего субъекта не носит хаpaктер религиозности, однако имеет общие с ней основания. Роднит религию и научную веру стремление не понять, а принять смутные представления, сулящие сиюминутную пользу и выгоду, объединяет желание увидеть в таинственном и запредельном нечто к себе доброжелательное, освобождающее от мучительного предназначения думать и, следовательно, уводящее от необходимости работать – работать без самообмана, но эффективно и достойно homo sapiens.
...
07 06 2026 9:45:43
Статья в формате PDF
140 KB...
06 06 2026 18:25:47
Статья в формате PDF
136 KB...
04 06 2026 1:29:51
Статья в формате PDF
115 KB...
03 06 2026 15:27:26
Статья в формате PDF 126 KB...
02 06 2026 1:26:59
Статья в формате PDF
736 KB...
01 06 2026 6:12:42
Статья в формате PDF
106 KB...
31 05 2026 9:30:51
Статья в формате PDF
115 KB...
30 05 2026 4:34:42
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
