КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Рассматриваются крутильные колебания двух стержней, подвешенных на вертикальных нитях в горизонтальной плоскости. При закручивании стержней они поднимаются, но скорость поднятия будет величиной второго порядка малости, поэтому при определении кинетической энергии были введены некоторые упрощения. Задача решена с помощью уравнений Лагранжа. Получены формулы для определения частот главных колебаний [1].
Горизонтальный однородный стержень AB массой «M», подвешен на двух вертикальных нитях длины l, второй стержень CD одинаковой массы «M» подвешен к AB на двух равных нитях длиной l′ (см. рисунок).
Положение стержня AB относительно оси определяется углом θ1, а положение стержня CD относительно AB углом θ2, тогда положение стержня CD относительно оси x определяется суммой θ1 + θ2.
При закручивании стержней оба они поднимаются, но поскольку перемещения центров масс стержней вдоль оси Z несоизмеримо меньше их горизонтальных перемещений, то квадраты скоростей, входящие в формулу кинетической энергии, будут величинами второго порядка малости, поэтому кинетическая энергия системы определяется формулой
(1)
здесь iz - радиус инерции стержня относительно оси z, проходящей через центр масс стержней (см. рисунок).
Расчётная схема
Потенциальная энергия системы будет иметь вид:
П = -Mg(Z1 + Z2) + C; (2)
здесь Z1 и Z2 - координаты центров тяжести стержней, а константа C определяется из начальных условий.
При θ1 = θ2 = θ в положении равновесия: Z1 = l1, Z2 = l + l′, П = 0, тогда из формулы (2)
0 = -Mg(l + l + l′) + C или C = Mg(l + l + l′),
и формула (2) принимает вид:
П = Mg[(l - Z1) +( l + l′ - Z2)].
Обозначая через φ1 и φ2 углы, составляемые нитями подвески стержней с осью Z1, получим
Z1 = cosφ1; Z2 = lcosφ1 + l′ cosφ2.
Разлагая cosj в ряд
1 - cosφ ≈ φ2/2
получи]м формулу потенциальной энергии
Выразим углы φ1 и φ2 через θ1 и θ2, считая малые перемещения концов стержней за дуги окружностей
aθ1 = lφ1; aθ2 = l′φ2;
или
(3)
Уравнение Лагранжа для обобщённых координат q1 = θ1 и q2 = θ2 для формул (1) и (3) будут:
(4)
Полагая
θ1 = Acos(λt + ε) и θ2 = Bcos(λt + ε)
получаем уравнения:
Тогда хаpaктеристическое уравнение имеет вид:
или
откуда и найдутся частоты λ1 и λ2 главных колебаний.
Список литературы
1. Розе Н.В. Аналитическая механика. - Л.: 1938 -203 с.
Статья в формате PDF
126 KB...
08 05 2026 2:56:34
Статья в формате PDF
107 KB...
07 05 2026 14:16:45
Статья в формате PDF
99 KB...
05 05 2026 10:49:19
Статья в формате PDF
253 KB...
04 05 2026 5:26:27
Статья в формате PDF
89 KB...
03 05 2026 8:57:22
Статья в формате PDF
117 KB...
02 05 2026 19:22:33
Статья в формате PDF
241 KB...
01 05 2026 20:53:54
С целью изучения экологических и этнических особенностей адаптационно-компенсаторных механизмов у детей различных популяционных групп были обследованы 208 школьников 7-15 лет, проживающие в г. Красноярске и в Эвенкии. Проведена комплексная клинико-инструментальная оценка вегетативного статуса по показателям кардиоинтервалографии с клиноортостатической пробой.
Показано, что в популяции жителей Эвенкии этническая принадлежность (дети эвенков) является одним из факторов, формирующих вегетативный гомеостаз. Они отличаются от детей пришлого населения Эвенкии по напряжению вегетативных механизмов регуляции. Полученные результаты необходимы для разработки региональных критериев здоровья, проведения коррекционных и профилактических мероприятий на донозологическом этапе.
...
29 04 2026 6:35:39
Статья в формате PDF
132 KB...
28 04 2026 2:23:32
Статья в формате PDF
108 KB...
27 04 2026 14:39:25
Статья в формате PDF
90 KB...
25 04 2026 14:56:16
Статья в формате PDF
149 KB...
24 04 2026 3:48:13
Представлено обоснование и техника закрытой медиастинотомии со стороны правой плевральной полости и её дренирования через передний мини-доступ в V межреберье активным трубчатым дренажом с боковыми отверстиями у больных с флегмоной заднего средостения, возникшей вследствие перфорации стенки грудного отдела пищевода, отличающаяся простотой исполнения, малой травматичностью и высокой дренажной эффективностью.
...
23 04 2026 18:24:45
Статья в формате PDF
101 KB...
22 04 2026 3:15:56
Статья в формате PDF
194 KB...
21 04 2026 2:15:25
Статья в формате PDF
110 KB...
20 04 2026 9:57:17
Статья в формате PDF
215 KB...
19 04 2026 10:55:56
Статья в формате PDF 300 KB...
18 04 2026 19:16:20
Статья в формате PDF
251 KB...
17 04 2026 9:31:18
На основании диагностических признаков приводятся доказательства, указывающие на то, что Chytridiomycosis существует в популяциях Rana arvalis на Среднем Урале. Показана методика обнаружения заболевания по аномалиям ротового аппарата личинок и отслеживания динамики частоты встречаемости его в популяции. В экстремальных условиях инфекция поражает ослабленных и ведет к их выбpaковке, что приводит к ускорению адаптации популяции в целом в быстро изменяемой среде.
...
15 04 2026 17:18:47
Статья в формате PDF
95 KB...
14 04 2026 22:46:21
Статья в формате PDF
98 KB...
13 04 2026 20:19:37
Статья в формате PDF
141 KB...
12 04 2026 10:43:46
Статья в формате PDF
181 KB...
11 04 2026 20:20:13
Статья в формате PDF
124 KB...
10 04 2026 23:56:48
Статья в формате PDF
138 KB...
09 04 2026 9:28:47
Статья в формате PDF
286 KB...
08 04 2026 12:46:53
Статья в формате PDF
138 KB...
07 04 2026 19:10:22
Статья в формате PDF
172 KB...
06 04 2026 9:20:37
Статья в формате PDF
415 KB...
05 04 2026 7:23:13
Статья в формате PDF
112 KB...
04 04 2026 12:30:33
В статье рассмотрено техническое решение инженерной экологии, которое может быть использовано при мониторинге качества проб речной воды тестированием роста корней определенных видов тестовых растений.
...
03 04 2026 18:47:34
Статья в формате PDF
245 KB...
02 04 2026 20:42:56
Статья в формате PDF
490 KB...
01 04 2026 15:43:44
Статья в формате PDF
105 KB...
31 03 2026 3:40:12
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
