КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Авторы
Файлы

Ерёмичева А.Н. Статья в формате PDF 786 KB

Рассматриваются крутильные колебания двух стержней, подвешенных на вертикальных нитях в горизонтальной плоскости. При закручивании стержней они поднимаются, но скорость поднятия будет величиной второго порядка малости, поэтому при определении кинетической энергии были введены некоторые упрощения. Задача решена с помощью уравнений Лагранжа. Получены формулы для определения частот главных колебаний [1].

Горизонтальный однородный стержень AB массой «M», подвешен на двух вертикальных нитях длины l, второй стержень CD одинаковой массы «M» подвешен к AB на двух равных нитях длиной l′ (см. рисунок).

Положение стержня AB относительно оси определяется углом θ1, а положение стержня CD относительно AB углом θ2, тогда положение стержня CD относительно оси x определяется суммой θ1 + θ2.

При закручивании стержней оба они поднимаются, но поскольку перемещения центров масс стержней вдоль оси Z несоизмеримо меньше их горизонтальных перемещений, то квадраты скоростей, входящие в формулу кинетической энергии, будут величинами второго порядка малости, поэтому кинетическая энергия системы определяется формулой

(1)

здесь iz - радиус инерции стержня относительно оси z, проходящей через центр масс стержней (см. рисунок).

Расчётная схема

Потенциальная энергия системы будет иметь вид:

П = -Mg(Z₁ + Z₂) + C; (2)

здесь Z₁ и Z₂ - координаты центров тяжести стержней, а константа C определяется из начальных условий.

При θ₁ = θ₂ = θ в положении равновесия: Z₁ = l₁, Z₂ = l + l′, П = 0, тогда из формулы (2)

0 = -Mg(l + l + l′) + C или C = Mg(l + l + l′),

и формула (2) принимает вид:

П = Mg[(l - Z1) +( l + l′ - Z₂)].

Обозначая через φ1 и φ2 углы, составляемые нитями подвески стержней с осью Z1, получим

Z₁ = cosφ₁; Z₂ = lcosφ₁ + l′ cosφ₂.

Разлагая cosj в ряд

1 - cosφ ≈ φ²/2

получи]м формулу потенциальной энергии

Выразим углы φ1 и φ2 через θ1 и θ2, считая малые перемещения концов стержней за дуги окружностей

aθ1 = lφ1; aθ2 = l′φ2;

или

(3)

Уравнение Лагранжа для обобщённых координат q1 = θ1 и q2 = θ2 для формул (1) и (3) будут:

(4)

Полагая

θ1 = Acos(λt + ε) и θ2 = Bcos(λt + ε)

получаем уравнения:

Тогда хаpaктеристическое уравнение имеет вид:

или

откуда и найдутся частоты λ1 и λ2 главных колебаний.

Список литературы

1. Розе Н.В. Аналитическая механика. - Л.: 1938 -203 с.

СУБЪЕКТИВНЫЕ БАРЬЕРЫ ОБЩЕНИЯ У ПОДРОСТКОВ

Статья в формате PDF 114 KB...

17 08 2026 16:10:12

ЭТИЧЕСКОЕ ВОСПИТАНИЕ КАК ЧАСТЬ ЭКОЛОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Статья в формате PDF 141 KB...

16 08 2026 18:42:26

ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ВНУТРИУТРОБНОЙ ИНФЕКЦИИ НА СТРОЕНИЕ СРЕДЦА И ЛЕГКИХ ПЛОДОВ ЧЕЛОВЕКА

Статья в формате PDF 113 KB...

15 08 2026 22:48:49

ВЛИЯНИЕ НУКЛЕИНАТА НАТРИЯ НА ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И ИММУНОФЕНОТИПИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ МОНОНУКЛЕАРНЫХ ЛЕЙКОЦИТОВ ПЕРИФЕРИЧЕСКОЙ КРОВИ ЗДОРОВЫХ ДОНОРОВ

Статья в формате PDF 92 KB...

14 08 2026 16:45:30

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СУММАРНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ВЗВОДА ДЛЯ МНОГОУДАРНОГО КУЛАЧКОВОГО МЕХАНИЗМА ПРИ НЕКОТОРЫХ УСЛОВИЯХ

Статья в формате PDF 466 KB...

13 08 2026 21:48:33

АНОРОГЕННЫЕ ГРАНИТОИДЫ АБАЙСКОГО МАССИВА ГОРНОГО АЛТАЯ: ПЕТРОЛОГИЯ И ГЕОХИМИЯ

В статье приведены спopные данные предшественников по составу и особенностям становления гранитоидов Абайского массива среднего девона. Новые данные, полученные авторами по петрологии и геохимии, позволяют отнести гранитоиды массива к анорогенному типу (А-тип) с щелочными минералами (рибекитом, астрофиллитом). Формирование массива протекало в три фазы: 1 – гранодиориты; 2 – граниты, умеренно-щелочные рибекитовые граниты; 3 – лейкограниты и лейкогранит-порфиры. Генерация их происходила в постколлизионной обстановке, инициированной плюмтектоникой. В северо-западной части массива в районе пологого погружения кровли, осложнённой куполовидным поднятием, зафиксировано аномальное обогащение флюидной магматогенной фазы летучими компонентами, и особенно фтором, что указывает на возможность обнаружения здесь редкометалльно-редкоземельного оруденения. ...

12 08 2026 8:49:20

ЗАБОЛЕВАЕМОСТЬ РАБОЧИХ БОЛЕЗНЯМИ ОРГАНОВ ПИЩЕВАРЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ЛИТЕЙНОГО ПРОИЗВОДСТВА

Статья в формате PDF 118 KB...

11 08 2026 2:31:37

РАЦИОНАЛЬНОЕ НЕДРОПОЛЬЗОВАНИЕ – ПУТЬ К ПРОЦВЕТАНИЮ

Статья в формате PDF 213 KB...

10 08 2026 6:59:13

ПРОБЛЕМЫ СОЗДАНИЯ МЕТОДИК ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ ДЕТЕЙ С ТРУДНОСТЯМИ В ОБУЧЕНИЯ

Статья в формате PDF 261 KB...

09 08 2026 8:57:29

ПРОТИВОРЕЧИЯ МЕЖДУ ФУНКЦИОНИРОВАНИЕМ И РАЗВИТИЕМ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ КАК ГЕНЕТИЧЕСКАЯ ОСНОВА КРИЗИСОВ

Статья в формате PDF 283 KB...

08 08 2026 22:12:10

СИММЕТРИЯ ПАРАМЕТРА ПОРЯДКА ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА Fd3m → P213 В ШПИНЕЛИ LiZn0,5Mn1,5O4

Статья в формате PDF 298 KB...

07 08 2026 20:34:40

ОСОБЕННОСТИ ИНФОРМАЦИОННОЙ ПОДСИСТЕМЫ ОБУЧЕНИЯ КИТАЙСКОМУ ЯЗЫКУ

Статья в формате PDF 273 KB...

06 08 2026 5:46:19

НАРУШЕНИЕ ЛИПИДНОГО ГОМЕОСТАЗА У БОЛЬНЫХ ХРОНИЧЕСКИМ ПИЕЛОНЕФРИТОМ

Статья в формате PDF 125 KB...

05 08 2026 3:16:25

ГУМИФИКАЦИЯ КОРОЦЕОЛИТОВЫХ КОМПОЗИЦИЙ В ПРОЦЕСС КОМПОСТИРОВАНИЯ

Статья в формате PDF 113 KB...

04 08 2026 14:53:58

ЗАМЕЩЕНИЕ ИМПОРТНЫХ ПОТОКОВ ЩЕЛОЧНОГО БЕНТОНИТА В РОССИИ

Статья в формате PDF 113 KB...

03 08 2026 21:44:32

ОШИБКИ И ОСЛОЖНЕНИЯ ХИРУРГИЧЕСКОГО ЛЕЧЕНИЯ ПРОЛАПСА ТАЗОВЫХ ОРГАНОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИНТЕТИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ

Проведен анализ ошибок и осложнений хирургического лечения пролапса тазовых органовс использованием системы Prolift ™ (Gynecare, Pelvic Floor Repair System, Johnson&Johnson comp., US). Были определены факторы риска и способы уменьшения количества осложнений. Несмотря на высокую эффективность, операция Prolift может сопровождаться тяжелыми осложнениями. Некоторые из них могут представлять серьезную опасность для жизни и здоровья больных. ...