СОСТАВЛЕНИЕ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА I РОДА
Движение голономной системы, состоящей из n точек с a связями вида описывается системой уравнений
(1)
из которых определяются ускорения , реакции связей и множители Лагранжа la при заданных mv и . Уравнения (1) называются уравнениями Лагранжа первого рода [1].
Пример 1.
Материальная точка движется под действием силы тяжести по гладкой горизонтальной плоскости (рис. 1).
Рис. 1. Материальная точка движется по идеально гладкой горизонтальной плоскости под действием силы тяжести
Система имеет две степени свободы. Активная сила, действующая на точку, сила тяжести , сила реакции связи . Уравнения Лагранжа I рода в данном случае имеют вид:
, ,
где f = z = 0 - уравнение связи и . Из последнего уравнения следует, что λ = G, , , точка движется по инерции.
Пример 2.
Материальная точка, движется по поверхности сферы под действием силы тяжести. Сфера идеально гладкая, точка сферу не покидает (рис. 2).
Рис. 2. Материальная точка движется под действием силы тяжести по идеально гладкой поверхности сферы
Система имеет две степени свободы. Уравнение связи f = x2 + y2 + z2 - R2 = 0. На точку действует активная сила - сила тяжести и сила реакции связи . Уравнения Лагранжа I рода имеют следующий вид:
, , .
К полученным уравнениям присоединим условие, которому удовлетворяют возможные ускорения точки:
В последнее равенство подставим значения и получим:
откуда
и, следовательно
.
Тогда искомые уравнения имеют вид:
где V2 = x2 + y2 + z2.
Пример 3.
Материальная точка массой m движется по поверхности цилиндра радиуса R, уравнение которого в декартовых координатах x2 + y2 = R2 (рис. 3). Силы, действующие на точку, уравновешены. Определить траекторию точки и реакцию поверхности, если в начальный момент времени точка занимала положение A(R; 0; 0) и имела начальную скорость
.
Уравнение связи f = x2 + y2 - R2 = 0. Уравнения Лагранжа I рода в данном случае имеют вид:
или ;
или ;
или ,
так как Fz = 0, .
Рис. 3. Материальная точка массой движется
по идеально гладкой поверхности цилиндра
Проинтегрируем третье из равенств: , z = V0zt. Из первых двух уравнений исключим множитель l, поделив первое равенство на второе:
, или ,
откуда, интегрируя, находим
.
Перейдем к полярным координатам в плоскости xOy: x = Rcosφ, y = Rsinφ или , ,
тогда
,
откуда .
Из последнего равенства следует, что φ = ωt и уравнения движения в конечном виде принимают вид:
x = Rcosωt, y = Rsinωt, z = V0zt.
Последние уравнения определяют винтовую линию. Принимая во внимание и учитывая первое равенство, определяем силы реакции:
Модуль силы реакции -
.
Направляющие косинусы
,
,
а сила реакции направлена перпендикулярно оси Oz.
Список литературы
1. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. - М.: Наука, 1983. - 640 с.
В статье представлены различные классификации систем антиоксидантной защиты клеток, в частности, проанализирована возможность 5 уровней защиты клеток от свободнорадикального окисления в интерпретации разных авторов. Дана классификация антиоксидантов с точки зрения их химической природы, молекулярной массы, гидрофильности и гидрофобности, особенностей молекулярно - клеточных механизмов инактивации свободных радикалов.
...
02 07 2026 0:22:45
Статья в формате PDF
117 KB...
01 07 2026 16:31:19
Статья в формате PDF
311 KB...
30 06 2026 9:50:41
Статья в формате PDF
115 KB...
28 06 2026 18:23:15
Статья в формате PDF
207 KB...
27 06 2026 15:51:10
Статья в формате PDF
115 KB...
26 06 2026 5:39:52
Статья в формате PDF
276 KB...
23 06 2026 23:15:20
С целью повышения качества диагностики дифтерийной инфекции проведено клинико-лабораторное обследование 125 больных с различными формами дифтерии, включающее комплексное исследование показателей гликопротеидов и изоферментного спектра аминотрaнcфераз. Установлено, что в развитии патологического процесса при дифтерийной инфекции значительную роль играют нарушения метаболизма соединительной ткани, а изоферментный спектр аминотрaнcфераз хаpaктеризуется выраженным дисбалансом с преимущественным увеличением митохондриальных изоферментов. Степень выявленных изменений четко коррелируют с тяжестью болезни, а патологические сдвиги при токсических формах заболевания сохраняются после окончания острой фазы заболевания в периоде осложнений дифтерии.
...
21 06 2026 20:51:23
В данной статье говориться о морфологических изменениях в стенках крупных артерии мышечного типа и слизистой оболочки желудка крыс в ходе эксперимента, вызванные двигательной активностю и ее ограничением. Основные изменения наблюдались в стенках слизистой оболочки желудка и ее артериях.
...
20 06 2026 10:34:30
Статья в формате PDF
276 KB...
18 06 2026 8:18:26
Статья в формате PDF
489 KB...
17 06 2026 1:58:51
Статья в формате PDF
118 KB...
16 06 2026 20:31:24
Статья в формате PDF
124 KB...
15 06 2026 14:32:37
Статья в формате PDF
102 KB...
14 06 2026 15:24:26
Статья в формате PDF
100 KB...
13 06 2026 8:51:28
Наиболее универсальное объяснение причин внешней торговли дано Э. Хекшером и Б. Олином: страна предлагает на международные рынки те блага, создание которых требует относительно изобильного для данной страны фактора производства. Развивая их идею, можно предположить, что это только начальный этап – этап формирования за счет экспортных доходов запасов фактора «капитал», стратегического в условиях НТП. В настоящее время участие в международной торговле уже используется отдельными странами как наиболее эффективный способ реализации собственных долгосрочных интересов. Мы остановились на примере Китая.
...
12 06 2026 3:56:36
Статья в формате PDF
92 KB...
11 06 2026 18:49:27
Статья в формате PDF
124 KB...
08 06 2026 5:16:46
В настоящей статье представлена многокритериальная математическая модель организации личностно-ориентированного обучения учащихся. Построена экстремальная модель на языке теории гиперграфов.
...
07 06 2026 10:48:19
Статья в формате PDF
306 KB...
06 06 2026 0:20:30
Статья в формате PDF
250 KB...
05 06 2026 22:38:12
Статья в формате PDF
97 KB...
04 06 2026 17:37:41
Статья в формате PDF
150 KB...
01 06 2026 11:51:55
Статья в формате PDF
135 KB...
31 05 2026 19:45:25
Статья в формате PDF
126 KB...
30 05 2026 20:23:40
Статья в формате PDF
308 KB...
29 05 2026 11:21:25
Статья в формате PDF
123 KB...
27 05 2026 16:31:48
Статья в формате PDF
101 KB...
26 05 2026 2:30:52
Статья в формате PDF
120 KB...
25 05 2026 11:17:39
Статья в формате PDF
133 KB...
24 05 2026 0:57:59
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
