СОСТАВЛЕНИЕ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА I РОДА

Авторы
Файлы

Ульченков М.А. Статья в формате PDF 834 KB

Движение голономной системы, состоящей из n точек с a связями вида описывается системой уравнений

(1)

из которых определяются ускорения , реакции связей и множители Лагранжа la при заданных mv и . Уравнения (1) называются уравнениями Лагранжа первого рода [1].

Пример 1.

Материальная точка движется под действием силы тяжести по гладкой горизонтальной плоскости (рис. 1).

Рис. 1. Материальная точка движется по идеально гладкой горизонтальной плоскости под действием силы тяжести

Система имеет две степени свободы. Активная сила, действующая на точку, сила тяжести , сила реакции связи . Уравнения Лагранжа I рода в данном случае имеют вид:

, ,

где f = z = 0 - уравнение связи и . Из последнего уравнения следует, что λ = G, , , точка движется по инерции.

Пример 2.

Материальная точка, движется по поверхности сферы под действием силы тяжести. Сфера идеально гладкая, точка сферу не покидает (рис. 2).

Рис. 2. Материальная точка движется под действием силы тяжести по идеально гладкой поверхности сферы

Система имеет две степени свободы. Уравнение связи f = x² + y² + z² - R² = 0. На точку действует активная сила - сила тяжести и сила реакции связи . Уравнения Лагранжа I рода имеют следующий вид:

, , .

К полученным уравнениям присоединим условие, которому удовлетворяют возможные ускорения точки:

В последнее равенство подставим значения и получим:

откуда

и, следовательно

Тогда искомые уравнения имеют вид:

где V² = x²+ y² + z².

Пример 3.

Материальная точка массой m движется по поверхности цилиндра радиуса R, уравнение которого в декартовых координатах x² + y² = R² (рис. 3). Силы, действующие на точку, уравновешены. Определить траекторию точки и реакцию поверхности, если в начальный момент времени точка занимала положение A(R; 0; 0) и имела начальную скорость

Уравнение связи f = x² + y² - R² = 0. Уравнения Лагранжа I рода в данном случае имеют вид:

или ;

или ,

так как F_z = 0, .

Рис. 3. Материальная точка массой движется
по идеально гладкой поверхности цилиндра

Проинтегрируем третье из равенств: , z = V_0zt. Из первых двух уравнений исключим множитель l, поделив первое равенство на второе:

, или ,

откуда, интегрируя, находим

Перейдем к полярным координатам в плоскости xOy: x = Rcosφ, y = Rsinφ или , ,
тогда

откуда .

Из последнего равенства следует, что φ = ωt и уравнения движения в конечном виде принимают вид:

x = Rcosωt, y = Rsinωt, z = V_0zt.

Последние уравнения определяют винтовую линию. Принимая во внимание и учитывая первое равенство, определяем силы реакции:

Модуль силы реакции -

Направляющие косинусы

а сила реакции направлена перпендикулярно оси Oz.

Список литературы

1. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. - М.: Наука, 1983. - 640 с.

ТЕХНОЛОГИИ БИЗНЕСА ПРИ ОЦЕНКЕ ХОЗЯЙСТВЕННЫХ СВЯЗЕЙ

Статья в формате PDF 256 KB...

19 04 2024 13:31:45

ДЕТСКОЕ ПИТАНИЕ НА ОСНОВЕ КОБЫЛЬЕГО МОЛОКА

Статья в формате PDF 257 KB...

18 04 2024 21:22:56

ДИАГНОСТИКА ПИЩЕВОЙ АЛЛЕРГИИ

Статья в формате PDF 245 KB...

17 04 2024 2:38:21

ИТОГИ региональной научно-пpaктической конференции РАЕ, г. Иркутск

Статья в формате PDF 259 KB...

16 04 2024 13:58:36

СHEMILUMINESCENT ***YSIS OF BLOOD IN THE MONITORING OF COMMON MAGNETIC FIELD THERAPY

Статья в формате PDF 119 KB...

15 04 2024 7:39:22

ДЕЗОРГАНИЗАЦИЯ НЕРВНОЙ ТКАНИ В ЗОНЕ ПЕРИФОКАЛЬНОГО ОТЕКА ПРИ КОНТУЗИОННОЙ ТРАВМЕ ГОЛОВНОГО МОЗГА

Статья в формате PDF 113 KB...

14 04 2024 1:14:50

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ СУХОГО БЕЛКОВОГО ПОЛУФАБРИКАТА НА КАЧЕСТВО КРЕКЕРА

Статья в формате PDF 129 KB...

13 04 2024 12:39:20

СТРУКТУРА И ЧАСТОТА ВСТРЕЧАЕМОСТИ МАРКЕРОВ СОЕДИНИТЕЛЬНОТКАННОЙ ДИСПЛАЗИИ СЕРДЦА У БОЛЬНЫХ ИШЕМИЧЕСКОЙ БОЛЕЗНЬЮ СЕРДЦА

Статья в формате PDF 113 KB...

12 04 2024 17:40:30

ИЗМЕНЕНИЕ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ НЕЙТРОФИЛЬНЫХ ФАГОЦИТОВ ПРИ НАРКОЗАВИСИМЫХ ПРОЦЕССАХ

Статья в формате PDF 144 KB...

11 04 2024 21:40:50

ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ЦЕННОСТНЫЕ ОРИЕНТИРЫ СТУДЕНТОВ ИСТОРИКОВ

Статья в формате PDF 153 KB...

10 04 2024 5:23:49

Экобиоморфный состав флоры мелов

Статья в формате PDF 130 KB...

09 04 2024 8:53:22

СПОСОБ ИДЕНТИФИКАЦИИ ИСТОЧНИКОВ НЕСАНКЦИОНИРОВАННЫХ ВЫБРОСОВ КАК ИНСТРУМЕНТ ПОВЫШЕНИЯ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ И ПРОМЫШЛЕННОЙ БЕЗОПАСНОСТИ ОБЪЕКТОВ ОГХК

Статья в формате PDF 114 KB...

08 04 2024 12:25:21

ИЗВЛЕЧЕНИЕ ФЛАВОНОИДОВ ИЗ ПИЖМЫ ОБЫКНОВЕННОЙ

Статья в формате PDF 193 KB...

07 04 2024 14:56:13

Морфология слизистой оболочки полости рта при желудочно-кишечных заболеваниях

Статья в формате PDF 111 KB...

06 04 2024 4:41:23

СТРУКТУРНЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ ПЕЧЕНИ И ЕЕ АРТЕРИЙ ПРИ КОАРКТАЦИИ АОРТЫ В СТАДИИ КОМПЕНСАЦИИ И ДЕКОМПЕНСАЦИИ

Статья в формате PDF 109 KB...

05 04 2024 11:47:51

ИЗМЕНЕНИЕ НЕЙРООКСИГЕНОТОПОГРАФИИ КОРЫ ГОЛОВНОГО МОЗГА ПОД ВЛИЯНИЕМ ПРИРОДНОЙ ИМПУЛЬСНОЙ ГИПОКСИИ

Статья в формате PDF 111 KB...

04 04 2024 1:59:18

ФАКТОР КУЛЬТУРЫ В ПОСТРОЕНИИ ЭКОЛОГИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА

Статья в формате PDF 177 KB...

03 04 2024 4:59:20

РОЛЬ ЗАНЯТИЙ БАСКЕТБОЛОМ В ФОРМИРОВАНИИ ЛИЧНОСТИ

Статья в формате PDF 326 KB...

02 04 2024 2:22:23

ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ И ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ДИСПАНСЕРИЗАЦИИ ПРИ МАСТОПАТИИ

Распространённость мастопатии в популяции может достигать более 70 % и не зависит от этнического фенотипа. 92,5 % пациенток, самостоятельно обратившихся по поводу мастопатии, – это городские жители из социальной категории «служащие» со средним специальным и высшим гуманитарным образованием. Сопутствующие заболевания органов пищеварения и урогeнитaльной системы, а также девиантные психологические черты личности достоверно чаще регистрируются у женщин с мастопатией, чем в контроле. Более 70 % женщин отмечают усиление симптомов мастопатии после обострения соматических заболеваний и нервных стрессов, а более 80 % испытывают психологический дискомфорт от направления в онкодиспансер. Необходимы специализированные маммологические кабинеты при женских консультациях и поликлиниках для квалифицированной диагностики, лечения и психологической коррекции пациенток с доброкачественными заболеваниями молочных желез. ...

01 04 2024 4:32:16

Профилактика экологически зависимых иммунопатологических процессов

Статья в формате PDF 104 KB...

31 03 2024 7:45:36

ТОКСИКОЛОГИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АМФЕТАМИНОВОЙ ЗАВИСИМОСТИ

Статья в формате PDF 263 KB...

30 03 2024 11:42:32

ЭКСПЕДИЦИЯ И.И. МЕЧНИКОВА В АСТРАХАНСКУЮ ГУБЕРНИЮ В 1911 ГОДУ

16 (29) мая 1911 года в Астpaxaнь приехали члeны международной экспедиции под руководством И.И. Мечникова. Экспедиция должна была помочь решить важные проблемы распространения чумы в нашем регионе и создания вакцины против туберкулеза. Детальный анализ публикаций 1911-1912 годов доказывает положительное влияние работы экспедиции И.И. Мечникова на результативность исследований чумы в Киргизских степях. Полевые исследования в Калмыцких степях позволили определить основные направления лабораторного поиска вакцины против туберкулеза. ...