СОСТАВЛЕНИЕ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА I РОДА

Авторы
Файлы

Ульченков М.А. Статья в формате PDF 834 KB

Движение голономной системы, состоящей из n точек с a связями вида описывается системой уравнений

(1)

из которых определяются ускорения , реакции связей и множители Лагранжа la при заданных mv и . Уравнения (1) называются уравнениями Лагранжа первого рода [1].

Пример 1.

Материальная точка движется под действием силы тяжести по гладкой горизонтальной плоскости (рис. 1).

Рис. 1. Материальная точка движется по идеально гладкой горизонтальной плоскости под действием силы тяжести

Система имеет две степени свободы. Активная сила, действующая на точку, сила тяжести , сила реакции связи . Уравнения Лагранжа I рода в данном случае имеют вид:

, ,

где f = z = 0 - уравнение связи и . Из последнего уравнения следует, что λ = G, , , точка движется по инерции.

Пример 2.

Материальная точка, движется по поверхности сферы под действием силы тяжести. Сфера идеально гладкая, точка сферу не покидает (рис. 2).

Рис. 2. Материальная точка движется под действием силы тяжести по идеально гладкой поверхности сферы

Система имеет две степени свободы. Уравнение связи f = x² + y² + z² - R² = 0. На точку действует активная сила - сила тяжести и сила реакции связи . Уравнения Лагранжа I рода имеют следующий вид:

, , .

К полученным уравнениям присоединим условие, которому удовлетворяют возможные ускорения точки:

В последнее равенство подставим значения и получим:

откуда

и, следовательно

Тогда искомые уравнения имеют вид:

где V² = x²+ y² + z².

Пример 3.

Материальная точка массой m движется по поверхности цилиндра радиуса R, уравнение которого в декартовых координатах x² + y² = R² (рис. 3). Силы, действующие на точку, уравновешены. Определить траекторию точки и реакцию поверхности, если в начальный момент времени точка занимала положение A(R; 0; 0) и имела начальную скорость

Уравнение связи f = x² + y² - R² = 0. Уравнения Лагранжа I рода в данном случае имеют вид:

или ;

или ,

так как F_z = 0, .

Рис. 3. Материальная точка массой движется
по идеально гладкой поверхности цилиндра

Проинтегрируем третье из равенств: , z = V_0zt. Из первых двух уравнений исключим множитель l, поделив первое равенство на второе:

, или ,

откуда, интегрируя, находим

Перейдем к полярным координатам в плоскости xOy: x = Rcosφ, y = Rsinφ или , ,
тогда

откуда .

Из последнего равенства следует, что φ = ωt и уравнения движения в конечном виде принимают вид:

x = Rcosωt, y = Rsinωt, z = V_0zt.

Последние уравнения определяют винтовую линию. Принимая во внимание и учитывая первое равенство, определяем силы реакции:

Модуль силы реакции -

Направляющие косинусы

а сила реакции направлена перпендикулярно оси Oz.

Список литературы

1. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. - М.: Наука, 1983. - 640 с.

ОСОБЕННОСТИ СТРОЕНИЯ ЗАДНЕГО ОТДЕЛА АРТЕРИАЛЬНОГО АНАСТОМОЗА ОСНОВАНИЯ ГОЛОВНОГО МОЗГА В ПЛОДНОМ ПЕРИОДЕ ПРЕНАТАЛЬНОГО ОНТОГЕНЕЗА ЧЕЛОВЕКА

Статья в формате PDF 121 KB...

23 03 2026 17:34:36

РОЛЬ И МЕСТО ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ В ЖИЗНИ БУДУЩИХ ИНЖЕНЕРОВ

Статья в формате PDF 250 KB...

22 03 2026 8:27:21

РЕЗУЛЬТАТЫ ПРОСПЕКТИВНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ У БОЛЬНЫХ, ОПЕРИРОВАННЫХ ПО ПОВОДУ УЗЛОВОГО КОЛЛОИДНОГО ЗОБА

Статья в формате PDF 110 KB...

21 03 2026 6:51:56

АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО СПОСОБА ОРГАНИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЯ АВТОТРАНСПОРТНЫХ СРЕДСТВ НА ПЕРЕКРЕСТКЕ

Статья в формате PDF 97 KB...

20 03 2026 2:51:10

БЛОКАДА МОДУЛИРУЮЩИХ ЭФФЕКТОВ ЭМИ КВЧ НА БИОЛОГИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ ПРИ ЭКРАНИРОВАНИИ ИХ ШУНГИТОМ

Статья в формате PDF 276 KB...

19 03 2026 4:44:34

АНАЛИЗ РАЗВИТИЯ САНАТОРНО-КУРОРТНОГО КОМПЛЕКСА ГОРОДА СОЧИ

Статья в формате PDF 139 KB...

18 03 2026 23:38:29

Проблема состояния здоровья детей в современной школе

Статья в формате PDF 104 KB...

17 03 2026 4:38:44

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННО-КОММУНИКАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ НА УРОКАХ ИСТОРИИ (НА ПРИМЕРЕ ИСТОРИИ ДАГЕСТАНА)

Статья в формате PDF 244 KB...

16 03 2026 2:32:57

БИОТЕХНИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПОЙМЕННОГО ЛУГА

Статья в формате PDF 275 KB...

15 03 2026 10:44:24

РАЗРАБОТКА ИМИТАЦИОННОЙ МОДЕЛИ РАБОТЫ ТРАНСПОРТНОЙ СИСТЕМЫ

Статья в формате PDF 565 KB...

14 03 2026 13:44:36

Английский язык в начальной школе

Статья в формате PDF 380 KB...

13 03 2026 17:44:40

ZOSTERA MARINA КАК БИОНДИКАТОР МОРСКОЙ СРЕДЫ

Статья в формате PDF 99 KB...

12 03 2026 18:39:28

СКРИНИНГОВЫЕ ОБСЛЕДОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ ЭКСПРЕСС-ДИАГНОСТИКИ НАРУШЕНИЙ ФУНКЦИИ ЩИТОВИДНОЙ ЖЕЛЕЗЫ

В работе приводятся данные скрининговых обследований состояния щитовидной железы студентов в возрасте от 16 до 18 лет. При проведении исследований использовались методы экспресс-диагностики, разработанные авторами статьи и на которые получены патенты РФ. На первом этапе обследований проводились прямые измерения длительности коленного рефлекса с помощью электронного рефлексометра; на втором этапе проводилось количественное определение степени увлажненности кожных покровов на приборе с датчиком влажности. Обследования проводились на группе из 246 человек. После статистической обработки данных измерений была проведена их рандомизация с использованием критериев, установленных в ходе клинических испытаний разработанных приборов. Полученные данные представлены в виде гистограмм. В результате проведенных исследований установлен контингент студентов, у которых по полученным данным можно предполагать наличие гипофункции щитовидной железы. Доля таких лиц из числа обследованных составляет порядка 18 %. У незначительной части обследованных были установлены признаки гипертиреоза. Их доля не превышает 5 %. Сравнение данных, полученных двумя разными методами на каждом обследуемом, показал их полную корреляцию в 95 % случаев. Студенты с выявленными отклонениями от нормы были направлены в клинические лаборатории для определения в их крови уровня тиреотропного гормона гипофиза с последующей консультацией эндокринолога. ...