СОСТАВЛЕНИЕ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА I РОДА

Авторы
Файлы

Ульченков М.А. Статья в формате PDF 834 KB

Движение голономной системы, состоящей из n точек с a связями вида описывается системой уравнений

(1)

из которых определяются ускорения , реакции связей и множители Лагранжа la при заданных mv и . Уравнения (1) называются уравнениями Лагранжа первого рода [1].

Пример 1.

Материальная точка движется под действием силы тяжести по гладкой горизонтальной плоскости (рис. 1).

Рис. 1. Материальная точка движется по идеально гладкой горизонтальной плоскости под действием силы тяжести

Система имеет две степени свободы. Активная сила, действующая на точку, сила тяжести , сила реакции связи . Уравнения Лагранжа I рода в данном случае имеют вид:

, ,

где f = z = 0 - уравнение связи и . Из последнего уравнения следует, что λ = G, , , точка движется по инерции.

Пример 2.

Материальная точка, движется по поверхности сферы под действием силы тяжести. Сфера идеально гладкая, точка сферу не покидает (рис. 2).

Рис. 2. Материальная точка движется под действием силы тяжести по идеально гладкой поверхности сферы

Система имеет две степени свободы. Уравнение связи f = x² + y² + z² - R² = 0. На точку действует активная сила - сила тяжести и сила реакции связи . Уравнения Лагранжа I рода имеют следующий вид:

, , .

К полученным уравнениям присоединим условие, которому удовлетворяют возможные ускорения точки:

В последнее равенство подставим значения и получим:

откуда

и, следовательно

Тогда искомые уравнения имеют вид:

где V² = x²+ y² + z².

Пример 3.

Материальная точка массой m движется по поверхности цилиндра радиуса R, уравнение которого в декартовых координатах x² + y² = R² (рис. 3). Силы, действующие на точку, уравновешены. Определить траекторию точки и реакцию поверхности, если в начальный момент времени точка занимала положение A(R; 0; 0) и имела начальную скорость

Уравнение связи f = x² + y² - R² = 0. Уравнения Лагранжа I рода в данном случае имеют вид:

или ;

или ,

так как F_z = 0, .

Рис. 3. Материальная точка массой движется
по идеально гладкой поверхности цилиндра

Проинтегрируем третье из равенств: , z = V_0zt. Из первых двух уравнений исключим множитель l, поделив первое равенство на второе:

, или ,

откуда, интегрируя, находим

Перейдем к полярным координатам в плоскости xOy: x = Rcosφ, y = Rsinφ или , ,
тогда

откуда .

Из последнего равенства следует, что φ = ωt и уравнения движения в конечном виде принимают вид:

x = Rcosωt, y = Rsinωt, z = V_0zt.

Последние уравнения определяют винтовую линию. Принимая во внимание и учитывая первое равенство, определяем силы реакции:

Модуль силы реакции -

Направляющие косинусы

а сила реакции направлена перпендикулярно оси Oz.

Список литературы

1. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. - М.: Наука, 1983. - 640 с.

ПРОЯВЛЕНИЕ ЗРИТЕЛЬНО-МОТОРНОЙ АСИММЕТРИИ У ДЕТЕЙ ДОШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА

Статья в формате PDF 124 KB...

10 10 2026 18:17:14

ПРОБЛЕМЫ ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

Статья в формате PDF 117 KB...

09 10 2026 8:46:55

Исследование изменения диаметра условной втулки-подшипника

Статья в формате PDF 392 KB...

08 10 2026 5:26:48

Морфология эндотелиоцитов сосудов микроциркуляторного русла кожи экспериментальных животных при воздействии рентгеновского излучения

Статья в формате PDF 102 KB...

07 10 2026 12:31:47

Исследование влияния лизиноприла на липидный спектр крови и перекисное окисление липидов больных артериальной гипертонией с метаболическим синдромом

Статья в формате PDF 116 KB...

06 10 2026 13:26:35

КИНОСЕМАНТИКА ИЛИ МОНТАЖНАЯ СХЕМА «ВПЕЧАТЛЕНИЙ»

Статья в формате PDF 109 KB...

05 10 2026 22:38:59

ОБЩИЙ КЛИНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРОВИ КАК МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОСТСТРЕССОРНОЙ РЕАБИЛИТАЦИИ

В предложенной работе экспериментально доказано, что при хроническом стрессе, при нарушенном равновесии симпатического и парасимпатического отделов нервной системы, количество клеток периферической крови, изменяясь, не выходит за пределы нормы. Вегетативный баланс хаpaктеризуется средним арифметическим границ нормальных показателей. Общий клинический анализ крови является показателем функционального состояния и может быть предложен как метод, определяющий эффективность проводимого лечения в постстрессорной реабилитации. ...

04 10 2026 14:42:36

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КОНТИНУАЛЬНЫХ РАЗВИВАЮЩИХСЯ СИСТЕМ

Статья в формате PDF 1728 KB...

03 10 2026 17:51:40

БОШЕНЯТОВ БОРИС ВЛАДИМИРОВИЧ

Статья в формате PDF 114 KB...

02 10 2026 5:59:22

ИЗУЧЕНИЕ ТЕРМОДИНАМИКИ ПРОЦЕССА СОРБЦИИ ФЕНОЛА НА ГРЯЗЯХ АСТРАХАНСКОЙ ОБЛАСТИ

Статья в формате PDF 111 KB...

01 10 2026 1:35:10

К ВОПРОСУ О ТОЧНОСТИ ПОЛОЖЕНИЙ ДВУХКРИВОШИПНОГО ЧЕТЫРЕХЗВЕННИКА

Статья в формате PDF 498 KB...

30 09 2026 11:45:47

НОВАЯ ТЕОРИЯ ФАЗОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СЕРДЦА

Сердце – один из самых загадочных органов. Вскрытие грудной полости и рассечение перикарда нарушает целостность сердечной системы, и способность его работать даже в этих условиях приводит к недооценке перикардиальной полости, как важной функциональной пятой камеры сердца. Представленная схема фаз деятельности пятикамерного сердца будет способствовать развитию теории и пpaктики оздоровления человека, спортивной тренировки и лечения болезней сердца. ...