СОСТАВЛЕНИЕ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА I РОДА
Движение голономной системы, состоящей из n точек с a связями вида описывается системой уравнений
(1)
из которых определяются ускорения , реакции связей и множители Лагранжа la при заданных mv и . Уравнения (1) называются уравнениями Лагранжа первого рода [1].
Пример 1.
Материальная точка движется под действием силы тяжести по гладкой горизонтальной плоскости (рис. 1).
Рис. 1. Материальная точка движется по идеально гладкой горизонтальной плоскости под действием силы тяжести
Система имеет две степени свободы. Активная сила, действующая на точку, сила тяжести , сила реакции связи . Уравнения Лагранжа I рода в данном случае имеют вид:
, ,
где f = z = 0 - уравнение связи и . Из последнего уравнения следует, что λ = G, , , точка движется по инерции.
Пример 2.
Материальная точка, движется по поверхности сферы под действием силы тяжести. Сфера идеально гладкая, точка сферу не покидает (рис. 2).
Рис. 2. Материальная точка движется под действием силы тяжести по идеально гладкой поверхности сферы
Система имеет две степени свободы. Уравнение связи f = x2 + y2 + z2 - R2 = 0. На точку действует активная сила - сила тяжести и сила реакции связи . Уравнения Лагранжа I рода имеют следующий вид:
, , .
К полученным уравнениям присоединим условие, которому удовлетворяют возможные ускорения точки:
В последнее равенство подставим значения и получим:
откуда
и, следовательно
.
Тогда искомые уравнения имеют вид:
где V2 = x2 + y2 + z2.
Пример 3.
Материальная точка массой m движется по поверхности цилиндра радиуса R, уравнение которого в декартовых координатах x2 + y2 = R2 (рис. 3). Силы, действующие на точку, уравновешены. Определить траекторию точки и реакцию поверхности, если в начальный момент времени точка занимала положение A(R; 0; 0) и имела начальную скорость
.
Уравнение связи f = x2 + y2 - R2 = 0. Уравнения Лагранжа I рода в данном случае имеют вид:
или ;
или ;
или ,
так как Fz = 0, .
Рис. 3. Материальная точка массой движется
по идеально гладкой поверхности цилиндра
Проинтегрируем третье из равенств: , z = V0zt. Из первых двух уравнений исключим множитель l, поделив первое равенство на второе:
, или ,
откуда, интегрируя, находим
.
Перейдем к полярным координатам в плоскости xOy: x = Rcosφ, y = Rsinφ или , ,
тогда
,
откуда .
Из последнего равенства следует, что φ = ωt и уравнения движения в конечном виде принимают вид:
x = Rcosωt, y = Rsinωt, z = V0zt.
Последние уравнения определяют винтовую линию. Принимая во внимание и учитывая первое равенство, определяем силы реакции:
Модуль силы реакции -
.
Направляющие косинусы
,
,
а сила реакции направлена перпендикулярно оси Oz.
Список литературы
1. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. - М.: Наука, 1983. - 640 с.
Статья в формате PDF
268 KB...
11 08 2026 1:14:16
Статья в формате PDF
244 KB...
09 08 2026 5:42:42
Статья в формате PDF
242 KB...
08 08 2026 23:12:56
Статья в формате PDF
188 KB...
06 08 2026 5:52:46
Статья в формате PDF
119 KB...
05 08 2026 8:34:35
Статья в формате PDF
119 KB...
04 08 2026 0:43:56
Статья в формате PDF
235 KB...
03 08 2026 23:20:21
Статья в формате PDF
126 KB...
02 08 2026 9:14:41
Статья в формате PDF
104 KB...
31 07 2026 14:15:46
Статья в формате PDF
97 KB...
30 07 2026 17:43:16
Статья в формате PDF
154 KB...
29 07 2026 22:52:12
Статья в формате PDF
321 KB...
28 07 2026 17:33:40
Статья в формате PDF
131 KB...
26 07 2026 7:56:10
Статья в формате PDF
323 KB...
25 07 2026 5:13:31
Статья в формате PDF
145 KB...
24 07 2026 14:36:59
Статья в формате PDF
209 KB...
23 07 2026 21:45:50
Проведено исследование экологических ниш двух видов бурых лягушек при совместном обитании на водоемах. В период скопления на кладках у R. temporaria идет отбор крупных особей, ускоренно развивающихся за счет питания мелкими собратьями. R. arvalis – скоплений не образуют и являются типичными детритофагами. Успех роста и развития первого вида зависит от облигатного каинизма и нeкpoфагии. При отсутствии такой возможности питание схоже с питанием личинок R. arvalis. Выявлены различия в поведении личинок при появлении опасности. Крупные личинки R. temporaria, уходят на глубину, мелкие - мимикрируют под цвет грунта и становятся малоподвижными. Личинки R. arvalis не имеют маскировочной окраски, при возникновении опасности зарываются в грунт или прячутся в укрытиях.
...
22 07 2026 7:32:55
Статья в формате PDF
154 KB...
20 07 2026 17:48:13
Статья в формате PDF
218 KB...
19 07 2026 22:12:54
Статья в формате PDF
345 KB...
18 07 2026 7:19:47
Статья в формате PDF
133 KB...
17 07 2026 23:36:38
Статья в формате PDF
130 KB...
16 07 2026 1:39:18
Статья в формате PDF
140 KB...
15 07 2026 9:51:45
Статья в формате PDF
127 KB...
14 07 2026 12:41:52
Статья в формате PDF
221 KB...
13 07 2026 0:58:58
Статья в формате PDF
122 KB...
12 07 2026 14:53:19
Статья в формате PDF
101 KB...
11 07 2026 18:20:50
Статья в формате PDF
117 KB...
10 07 2026 5:41:52
Статья в формате PDF
107 KB...
08 07 2026 7:37:24
Статья в формате PDF
239 KB...
07 07 2026 19:54:51
Статья в формате PDF
127 KB...
05 07 2026 4:51:54
Статья в формате PDF
121 KB...
04 07 2026 8:43:26
Статья в формате PDF
257 KB...
03 07 2026 20:17:11
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
