СОСТАВЛЕНИЕ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА I РОДА

Авторы
Файлы

Ульченков М.А. Статья в формате PDF 834 KB

Движение голономной системы, состоящей из n точек с a связями вида описывается системой уравнений

(1)

из которых определяются ускорения , реакции связей и множители Лагранжа la при заданных mv и . Уравнения (1) называются уравнениями Лагранжа первого рода [1].

Пример 1.

Материальная точка движется под действием силы тяжести по гладкой горизонтальной плоскости (рис. 1).

Рис. 1. Материальная точка движется по идеально гладкой горизонтальной плоскости под действием силы тяжести

Система имеет две степени свободы. Активная сила, действующая на точку, сила тяжести , сила реакции связи . Уравнения Лагранжа I рода в данном случае имеют вид:

, ,

где f = z = 0 - уравнение связи и . Из последнего уравнения следует, что λ = G, , , точка движется по инерции.

Пример 2.

Материальная точка, движется по поверхности сферы под действием силы тяжести. Сфера идеально гладкая, точка сферу не покидает (рис. 2).

Рис. 2. Материальная точка движется под действием силы тяжести по идеально гладкой поверхности сферы

Система имеет две степени свободы. Уравнение связи f = x² + y² + z² - R² = 0. На точку действует активная сила - сила тяжести и сила реакции связи . Уравнения Лагранжа I рода имеют следующий вид:

, , .

К полученным уравнениям присоединим условие, которому удовлетворяют возможные ускорения точки:

В последнее равенство подставим значения и получим:

откуда

и, следовательно

Тогда искомые уравнения имеют вид:

где V² = x²+ y² + z².

Пример 3.

Материальная точка массой m движется по поверхности цилиндра радиуса R, уравнение которого в декартовых координатах x² + y² = R² (рис. 3). Силы, действующие на точку, уравновешены. Определить траекторию точки и реакцию поверхности, если в начальный момент времени точка занимала положение A(R; 0; 0) и имела начальную скорость

Уравнение связи f = x² + y² - R² = 0. Уравнения Лагранжа I рода в данном случае имеют вид:

или ;

или ,

так как F_z = 0, .

Рис. 3. Материальная точка массой движется
по идеально гладкой поверхности цилиндра

Проинтегрируем третье из равенств: , z = V_0zt. Из первых двух уравнений исключим множитель l, поделив первое равенство на второе:

, или ,

откуда, интегрируя, находим

Перейдем к полярным координатам в плоскости xOy: x = Rcosφ, y = Rsinφ или , ,
тогда

откуда .

Из последнего равенства следует, что φ = ωt и уравнения движения в конечном виде принимают вид:

x = Rcosωt, y = Rsinωt, z = V_0zt.

Последние уравнения определяют винтовую линию. Принимая во внимание и учитывая первое равенство, определяем силы реакции:

Модуль силы реакции -

Направляющие косинусы

а сила реакции направлена перпендикулярно оси Oz.

Список литературы

1. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. - М.: Наука, 1983. - 640 с.

ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ И ОРГАНИЗАЦИЯ ДОСТАВКИ РУДЫ В УСЛОВИЯХ ОАО «АПАТИТ»

Статья в формате PDF 116 KB...

31 08 2026 17:54:35

КИТАЙСКИЙ ЯЗЫК – ЯЗЫК БУДУЩЕГО

Статья в формате PDF 250 KB...

30 08 2026 18:34:19

СОСТОЯНИЕ ЗДОРОВЬЯ ШКОЛЬНИКОВ КАК РЕСУРСНОГО СТУДЕНЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА

Статья в формате PDF 121 KB...

29 08 2026 5:37:23

ОСВЕЩЕНИЕ АВТОДОРОЖНЫХ ТОННЕЛЕЙ (учебное пособие)

Статья в формате PDF 121 KB...

28 08 2026 14:43:43

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ОТВОДА БИОГЕННОГОСЕРОВОДОРОДА ИЗ АНАЭРОБНОГО БИОРЕАКТОРА

Статья в формате PDF 280 KB...

27 08 2026 19:36:50

ПАТОГЕНЕТИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ЦЕРЕБРОВАСКУЛЯРНЫХ РАССТРОЙСТВ У БОЛЬНЫХ АРТЕРИАЛЬНОЙ ГИПЕРТЕНЗИЕЙ

Статья в формате PDF 106 KB...

26 08 2026 22:42:19

ЗАКОНОМЕРНОСТИ ЖИВОГО КАК ИТОГ ЦИКЛИЧНОСТИ ПЛАНЕТЫ ЗЕМЛЯ В СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ МИРА

Статья в формате PDF 106 KB...

25 08 2026 6:31:21

ДИАГНОСТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРЕКИСНОГО ОКИСЛЕНИЯ БЕЛКОВ, ЛИПИДОВ И АНТИОКСИДАНТНОЙ ЗАЩИТЫ ОРГАНИЗМА ПРИ БРОНХИАЛЬНОЙ АСТМЕ В ДИНАМИКЕ

Статья в формате PDF 233 KB...

24 08 2026 16:58:58

Новая технология получения стеновой керамики из техногенных масс

Статья в формате PDF 104 KB...

23 08 2026 18:52:52

СТАЦИОНАРНОЕ И РОЛЛЕРНО-СУСПЕНЗИОННОЕ КУЛЬТИВИРОВАНИЕ МЕЖВИДОВОЙ ГИБРИДНОЙ КУЛЬТУРЫ КЛЕТОК СВИНЬЯ Х ЛОШАДЬ (А4ХL)

Статья в формате PDF 111 KB...

22 08 2026 1:16:35

ВЛИЯНИЕ МИЛЛИМЕТРОВОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ НИЗКОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ НА РЕЗИСТЕНТНОСТЬ МЕМБРАН СПЕРМАТОЗОИДОВ

Статья в формате PDF 112 KB...

21 08 2026 6:54:42

НЕМЕДИКАМЕНТОЗНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ СИСТЕМЫ ПРОФИЛАКТИКИ ДЕЗАДАПТАЦИИ И ДЕВИАНТНОГО ПОВЕДЕНИЯ СРЕДИ СТУДЕНЧЕСКОЙ МОЛОДЁЖИ

Статья в формате PDF 104 KB...

20 08 2026 2:40:39

ОПЫТ ПРИМЕНЕНИЯ ФИТОПРЕПАРАТА В ЛЕЧЕНИИ ОСТРЫХ ВОСПАЛИТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ В МЯГКИХ ТКАНЯХ МОЛОЧНЫХ ЖЕЛЕЗ

Статья в формате PDF 125 KB...

19 08 2026 4:43:40

ЛИЧНОСТНО – ОРИЕНТИРОВАННОЕ ОБУЧЕНИЕ – РАЗВИВАЮЩИЙ ПОТЕНЦИАЛ ЕСТЕСТВЕННО – НАУЧНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Личностно – ориентированная технология ставит в центр образовательной системы личность, которая стремится к максимальной реализации своих возможностей. Основными понятиями в личностно – ориентированном учении является обучение и развитие ученика в процессе педагогики сотрудничества. ...

18 08 2026 15:27:37

СТАБИЛЬНЫЕ КОНФОРМЕРЫ ОКСОНИЕВЫХ ИОНОВ ЦИС-2,4-ДИМЕТИЛ-1,3-ДИОКСАНА

Статья в формате PDF 124 KB...

17 08 2026 10:35:35

ЭКОЛОГИЧЕСКАЯ МОРФОЛОГИЯ КЛЕТОК ПЕРИФЕРИЧЕСКОЙ КРОВИ В НОРМЕ И ПАТОЛОГИИ

Статья в формате PDF 120 KB...

16 08 2026 17:26:46

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ХОЛИНО- И АДРЕНОРЕЦЕПТОРНЫХ СТРУКТУР В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ЧАСТИ СИНУСНО-ПРЕДСЕРДНОГО УЗЛА СЕРДЦА КРЫС

Статья в формате PDF 145 KB...

15 08 2026 23:54:18

Хаpaктеристика морфологических изменений витреотинальной зоны при диабете

Статья в формате PDF 110 KB...

14 08 2026 8:27:18

Изменение активности катепсина Д в тканях сеголеток карпа под влиянием солей тяжелых металлов

Cтатья посвящена исследованию влияния хлорида кадмия (0,25 мг/л) и ацетата свинца (0,5 мг/л) на активность катепсина Д в тканях сеголеток карпа. Результаты наших исследований свидетельствуют о наличии тканеспецифичности в изменении активности катепсина Д в ответ на действие ионов тяжелых металлов.Предлагается использовать показатели протеолитических ферментов в тканях рыб в качестве чувствительного теста на загрязнение водной среды ионами тяжелых металлов. ...