СОСТАВЛЕНИЕ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА I РОДА
Движение голономной системы, состоящей из n точек с a связями вида описывается системой уравнений
(1)
из которых определяются ускорения , реакции связей и множители Лагранжа la при заданных mv и . Уравнения (1) называются уравнениями Лагранжа первого рода [1].
Пример 1.
Материальная точка движется под действием силы тяжести по гладкой горизонтальной плоскости (рис. 1).
Рис. 1. Материальная точка движется по идеально гладкой горизонтальной плоскости под действием силы тяжести
Система имеет две степени свободы. Активная сила, действующая на точку, сила тяжести , сила реакции связи . Уравнения Лагранжа I рода в данном случае имеют вид:
, ,
где f = z = 0 - уравнение связи и . Из последнего уравнения следует, что λ = G, , , точка движется по инерции.
Пример 2.
Материальная точка, движется по поверхности сферы под действием силы тяжести. Сфера идеально гладкая, точка сферу не покидает (рис. 2).
Рис. 2. Материальная точка движется под действием силы тяжести по идеально гладкой поверхности сферы
Система имеет две степени свободы. Уравнение связи f = x2 + y2 + z2 - R2 = 0. На точку действует активная сила - сила тяжести и сила реакции связи . Уравнения Лагранжа I рода имеют следующий вид:
, , .
К полученным уравнениям присоединим условие, которому удовлетворяют возможные ускорения точки:
В последнее равенство подставим значения и получим:
откуда
и, следовательно
.
Тогда искомые уравнения имеют вид:
где V2 = x2 + y2 + z2.
Пример 3.
Материальная точка массой m движется по поверхности цилиндра радиуса R, уравнение которого в декартовых координатах x2 + y2 = R2 (рис. 3). Силы, действующие на точку, уравновешены. Определить траекторию точки и реакцию поверхности, если в начальный момент времени точка занимала положение A(R; 0; 0) и имела начальную скорость
.
Уравнение связи f = x2 + y2 - R2 = 0. Уравнения Лагранжа I рода в данном случае имеют вид:
или ;
или ;
или ,
так как Fz = 0, .
Рис. 3. Материальная точка массой движется
по идеально гладкой поверхности цилиндра
Проинтегрируем третье из равенств: , z = V0zt. Из первых двух уравнений исключим множитель l, поделив первое равенство на второе:
, или ,
откуда, интегрируя, находим
.
Перейдем к полярным координатам в плоскости xOy: x = Rcosφ, y = Rsinφ или , ,
тогда
,
откуда .
Из последнего равенства следует, что φ = ωt и уравнения движения в конечном виде принимают вид:
x = Rcosωt, y = Rsinωt, z = V0zt.
Последние уравнения определяют винтовую линию. Принимая во внимание и учитывая первое равенство, определяем силы реакции:
Модуль силы реакции -
.
Направляющие косинусы
,
,
а сила реакции направлена перпендикулярно оси Oz.
Список литературы
1. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. - М.: Наука, 1983. - 640 с.
Статья в формате PDF
90 KB...
12 04 2026 5:53:42
Статья в формате PDF
90 KB...
11 04 2026 10:43:48
Статья в формате PDF
140 KB...
10 04 2026 16:14:37
Изложенные в статье результаты свидетельствуют о тождестве динамики формирования алкогольной зависимости у неэпилептической линии крыс (Вистар) и крыс с абсансной эпилепсией (WAG/Rij).
...
09 04 2026 18:45:16
Статья в формате PDF
95 KB...
08 04 2026 11:35:49
Статья в формате PDF
114 KB...
07 04 2026 22:50:21
Статья в формате PDF
98 KB...
06 04 2026 12:42:33
Статья в формате PDF
89 KB...
05 04 2026 9:26:33
Статья в формате PDF
111 KB...
04 04 2026 11:22:58
Статья в формате PDF
103 KB...
03 04 2026 19:53:23
Статья в формате PDF
126 KB...
02 04 2026 13:40:29
Статья в формате PDF
114 KB...
01 04 2026 9:44:16
Статья в формате PDF
137 KB...
31 03 2026 22:44:10
Статья в формате PDF
121 KB...
29 03 2026 14:51:22
Статья в формате PDF
112 KB...
28 03 2026 22:55:38
Статья в формате PDF
110 KB...
26 03 2026 11:16:40
Статья в формате PDF
258 KB...
25 03 2026 20:12:27
Анализ данных литературы свидетельствует о том, что инициирующими патогенетическими факторами развития гестоза являются недостаточность инвазии трофобласта в стенку матки и неполноценность плацентации, то есть ограничение ее поверхностной плацентарной площадкой. Последнее обусловлено генетически детерминированными факторами, в частности, аномалиями структуры интегринов, приводящими к нарушению инвазии трофобласта в децидуальную оболочку матки, в том числе в маточно-плацентарные артерии. При этом в сосудах плаценты и субплацентарной зоны сохраняются мышечные элементы, реагирующие развитием спазма и ишемии на действие вазопрессорных нервных и гумopaльных влияний.
...
24 03 2026 17:16:39
Статья в формате PDF
111 KB...
23 03 2026 14:22:56
Статья в формате PDF
322 KB...
22 03 2026 10:25:19
Статья в формате PDF
114 KB...
21 03 2026 14:23:29
Статья в формате PDF
109 KB...
20 03 2026 9:18:18
Представлены результаты исследования зерновых сушилок в условиях нормального функционирования, а также оценки их динамических хаpaктеристик в виде передаточных функций. Приведены оценки неравномерности поля температуры и влагосодержания зерна, на основании чего делается вывод о необходимости стабилизации количества тепловой энергии подаваемой в сушильную камеру.
...
18 03 2026 16:34:12
Статья в формате PDF
206 KB...
17 03 2026 22:31:32
Статья в формате PDF
89 KB...
16 03 2026 10:17:15
Проблема формирования здоровья детей в дошкольных образовательных учреждениях (ДОУ) остаётся актуальной до сих пор. На основе применения низкоинтенсивного лазерного излучения ( НИЛИ) были разработаны способы низкоинтенсивной лазерной реабилитации (НИЛР). В результате НИЛР детей достигались снижение показателей респираторной заболеваемости, экстренной медицинской помощи, госпитализации, временной утраты трудоспособности родителей. Рост среднего показателя здоровья и показателя динамичности здоровья отражали повышение уровня здоровья детей. НИЛР доступна, эффективна и безопасна.
...
14 03 2026 19:55:53
Статья в формате PDF
128 KB...
12 03 2026 5:51:24
Статья в формате PDF
261 KB...
11 03 2026 17:59:31
Статья в формате PDF
112 KB...
10 03 2026 13:55:42
Статья в формате PDF
100 KB...
08 03 2026 10:40:47
Статья в формате PDF
128 KB...
06 03 2026 22:48:20
Статья в формате PDF
544 KB...
04 03 2026 6:28:21
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
