Решение интегральных уравнений операционным методом > Полезные советы
Тысяча полезных мелочей    

Решение интегральных уравнений операционным методом

Решение интегральных уравнений операционным методом

Трощенко О.Н. Чегурихина Д.Ю. Матвеева Т.А. Статья в формате PDF 395 KB

Для одного и тоже дифференциального уравнения метод решения может существенно зависеть от вида граничных условий. Этого можно избежать, если исходную задачу свести к интегральному уравнению, которое будет эквивалентно дифференциальному уравнению вместе с соответствующими краевыми условиями. Нередко самые разнообразные краевые задачи сводятся к одному и тому же интегральному уравнению.

Мы остановимся на рассмотрении одного типа интегральных уравнений - уравнений Вольтерра первого, второго рода:

и

где x(τ) - искомая функция.

Одним из методов решения данных интегральных уравнений - это применение преобразования Лапласа:

Сущность операционного исчисления состоит в том, что изучается не сама функция f(t) (оригинал), а ее видоизменение F(p) (изображение).

Рассмотрим применение данного метода к решению следующего интегрального уравнения:

Пусть искомая функция является оригиналом x(t), которая имеет изображение X(p). Тогда данное уравнение можно записать в виде

 

где - свертка оригиналов.

Применив к уравнению преобразование Лапласа, учитывая теорему о свертки

получаем

или

Из полученного уравнения находим изображение искомой функции (используем метод неопределенных коэффициентов для разложения дроби на сумму простейших дробей):

Применяя таблицу и свойство линейности преобразования Лапласа, для изображения X(p) находим выражение искомой функции

Операционное исчисление - один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев посредством простых правил решать сложные математические задачи. Поэтому операционные методы используются там, где классические методы не эффективны. Они применяются в физике, электротехнике, радиотехнике, механике, теории автоматического регулирования и т.д.

Список литературы

1. Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике // под ред. С.Н. Федина ‒ М.: Айрис-пресс, 2004. - 592 с.

2. Матвеева Т.А. Некоторые методы обращения преобразования Лапласа и их приложения: автореф. дис ... канд. физ-мат. наук. - СПб., 2003. - 16 с.

3. Матвеева Т.А. Специальные главы математики: операционное исчисление: учебное пособие / Т.А. Матвеева, В.Б. Светличная, Д.К. Агишева, С.А. Зотова. - Волгоград, 2010. - 56 с.



БАКТЕРИАЛЬНАЯ КОЛОНИЗАЦИЯИНДОМЕТАЦИН-ИНДУЦИРОВАННЫХ ЯЗВ ТОНКОГО КИШЕЧНИКА КРЫСЫ

БАКТЕРИАЛЬНАЯ КОЛОНИЗАЦИЯИНДОМЕТАЦИН-ИНДУЦИРОВАННЫХ ЯЗВ ТОНКОГО КИШЕЧНИКА КРЫСЫ На поверхности инометацин-индуцированной язвы тонкого кишечника через 24 часа после его однократного введения формируется бактериальный биофильм. ...

22 05 2026 22:28:17

Урок – это творчество учителя и учащихся

Урок – это творчество учителя и учащихся Статья в формате PDF 250 KB...

18 05 2026 13:36:20

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭКОСИСТЕМ СЕВЕРА ПРИ НЕДРОПОЛЬЗОВАНИИ

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭКОСИСТЕМ СЕВЕРА ПРИ НЕДРОПОЛЬЗОВАНИИ На основе анализа природных условий залегания месторождений полезных ископаемых Якутии обоснованы основные группы геоэкологических факторов, влияющие на динамику и степень преобразования экосистем при недропользовании. Формы, масштабы воздействия на природную среду зависят от стадии развития горных работ, вовлеченности отдельных участков месторождения в разработку. ...

12 05 2026 8:41:12

ДИДАКТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ОРГАНИЗАЦИИ ПРОДУКТИВНОЙ УМСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ШКОЛЬНИКОВ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ ЗНАНИЙ

ДИДАКТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ОРГАНИЗАЦИИ ПРОДУКТИВНОЙ УМСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ШКОЛЬНИКОВ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ ЗНАНИЙ Рассматривается проблема организации продуктивной умственной деятельности учащихся общеобразовательных учреждений в системе дидактических принципов современной педагогики. Анализ принципов показывает, что отечественная дидактика в большой мере сохраняет черты традиционной модели обучения и недостаточно учитывает психологическую природу мышления и закономерности продуктивной умственной деятельности при разработке принципов обучения. Выделены основополагающие принципы организации продуктивной умственной деятельности на основе закономерностей развития знания и процесса познания, психологических закономерностей мышления. ...

11 05 2026 10:54:29

ДИНАМИКА ПАРАМЕТРОВ НАДПОЧЕЧНИКОВ ЧЕЛОВЕКА ПРИ СТАРЕНИИ ПО ДАННЫМ РЕНТГЕН КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ

ДИНАМИКА ПАРАМЕТРОВ НАДПОЧЕЧНИКОВ ЧЕЛОВЕКА ПРИ СТАРЕНИИ ПО ДАННЫМ РЕНТГЕН КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ Методом рентген-компьютерной томографии изучены надпочечники 248 мужчин и 203 женщин зрелого (41 – 60 лет), пожилого (61 – 75 лет) и старческого возрастов (76 и более лет). Установлено, что как форма, так и динамика инволюции надпочечников человека проявляют изменчивость и пoлoвoй диморфизм. Выявлена преимущественная возрастная элиминация субъектов с L-формами надпочечников. Полученные результаты можно интерпретировать в пользу предположения о значительной стабильности макропараметров и наличии высокой морфофункциональной устойчивости надпочечников. ...

09 05 2026 22:52:18

О НЕКОТОРЫХ ВИДАХ РОДА CTENOCEPHALIDES (PULICIDAE, INSECTA)

О НЕКОТОРЫХ ВИДАХ РОДА CTENOCEPHALIDES (PULICIDAE, INSECTA) Уточнено систематическое положение отдельных подвидов и видов рода Ctenocephalides и их распространение по зоогеографическим областям. ...

06 05 2026 19:26:54

НОВЫЕ ВИДЫ ОВСЯНОГО ПЕЧЕНЬЯ

НОВЫЕ ВИДЫ ОВСЯНОГО ПЕЧЕНЬЯ Статья в формате PDF 522 KB...

04 05 2026 1:25:56

Внутривидовое разнообразие Yersinia pestis

Внутривидовое разнообразие Yersinia pestis Статья в формате PDF 131 KB...

02 05 2026 1:25:31

ФИНАНСОВАЯ ПОДДЕРЖКА ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ НАУКИ

ФИНАНСОВАЯ ПОДДЕРЖКА ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ НАУКИ Статья в формате PDF 143 KB...

29 04 2026 1:57:22

ПЛАН НАУЧНЫХ КОНФЕРЕНЦИЙ РАЕ

ПЛАН НАУЧНЫХ КОНФЕРЕНЦИЙ РАЕ Статья в формате PDF 119 KB...

27 04 2026 13:58:46

Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::