Решение интегральных уравнений операционным методом

Авторы
Файлы

Трощенко О.Н. Чегурихина Д.Ю. Матвеева Т.А. Статья в формате PDF 395 KB

Для одного и тоже дифференциального уравнения метод решения может существенно зависеть от вида граничных условий. Этого можно избежать, если исходную задачу свести к интегральному уравнению, которое будет эквивалентно дифференциальному уравнению вместе с соответствующими краевыми условиями. Нередко самые разнообразные краевые задачи сводятся к одному и тому же интегральному уравнению.

Мы остановимся на рассмотрении одного типа интегральных уравнений - уравнений Вольтерра первого, второго рода:

где x(τ) - искомая функция.

Одним из методов решения данных интегральных уравнений - это применение преобразования Лапласа:

Сущность операционного исчисления состоит в том, что изучается не сама функция f(t) (оригинал), а ее видоизменение F(p) (изображение).

Рассмотрим применение данного метода к решению следующего интегрального уравнения:

Пусть искомая функция является оригиналом x(t), которая имеет изображение X(p). Тогда данное уравнение можно записать в виде

где - свертка оригиналов.

Применив к уравнению преобразование Лапласа, учитывая теорему о свертки

получаем

или

Из полученного уравнения находим изображение искомой функции (используем метод неопределенных коэффициентов для разложения дроби на сумму простейших дробей):

Применяя таблицу и свойство линейности преобразования Лапласа, для изображения X(p) находим выражение искомой функции

Операционное исчисление - один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев посредством простых правил решать сложные математические задачи. Поэтому операционные методы используются там, где классические методы не эффективны. Они применяются в физике, электротехнике, радиотехнике, механике, теории автоматического регулирования и т.д.

Список литературы

1. Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике // под ред. С.Н. Федина ‒ М.: Айрис-пресс, 2004. - 592 с.

2. Матвеева Т.А. Некоторые методы обращения преобразования Лапласа и их приложения: автореф. дис ... канд. физ-мат. наук. - СПб., 2003. - 16 с.

3. Матвеева Т.А. Специальные главы математики: операционное исчисление: учебное пособие / Т.А. Матвеева, В.Б. Светличная, Д.К. Агишева, С.А. Зотова. - Волгоград, 2010. - 56 с.

ОЦЕНКА ДИНАМИКИ РАЗВИТИЯ КАЧЕСТВА ОБУЧЕНИЯ

Статья в формате PDF 105 KB...

23 03 2026 7:42:59

МИНЕРАЛОГИЯ ШЛАКОВ ПРОИЗВОДСТВА ФЕРРОХРОМА ЧЕЛЯБИНСКОГО ЭЛЕКТРОМЕТАЛЛУРГИЧЕСКОГО КОМБИНАТА

Статья в формате PDF 503 KB...

22 03 2026 8:14:26

О РАЗМЕРАХ ГИДРАТИРОВАННЫХ ИОНОВ (К ПРОБЛЕМЕ ОПРЕСНЕНИЯ МОРСКОЙ ВОДЫ)

Статья в формате PDF 132 KB...

21 03 2026 13:20:51

О НЕОБХОДИМОСТИ И УСЛОВИЯХ ПРИМЕНЕНИЯ НОВЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В УПРАВЛЕНИИ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬЮ ЦЕНТРОВ ГИГИЕНЫ И ЭПИДЕМИОЛОГИИ

Статья в формате PDF 141 KB...

20 03 2026 21:56:24

ЭЛАСТИЧНОСТЬ СПРОСА

Статья в формате PDF 530 KB...

19 03 2026 5:52:21

РОЛЬ ОКИСЛИТЕЛЬНОГО СТРЕССА В ПАТОГЕНЕЗЕ ХРОНИЧЕСКОЙ ОБСТРУКТИВНОЙ БОЛЕЗНИ ЛЕГКИХ

В миниобзоре приведены современные тренды изучения роли окислительного стресса в патогенезе хронической обструктивной болезни легких (ХОБЛ). Показано, что развитие окислительного стресса происходит синхронно с дисбалансом в системе протеазы/антипротеазы и взаимосвязано с нарушением обмена железа. Приведены данные, демонстрирующие нарушение регуляции антиоксидантной защиты при ХОБЛ. Показана взаимосвязь между развитием окислительного стресса и воспалением. Обсуждается гипотеза о взаимосвязи окислительного стресса, хронического воспаления и старения в механизме патогенеза ХОБЛ. ...

18 03 2026 6:57:35

СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ В УСЛОВИЯХ РЕГИОНАЛЬНОЙ КАДРОВОЙ ПОЛИТИКИ

Статья в формате PDF 133 KB...

17 03 2026 3:50:55

ИННОВАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА ПРЕДПРИЯТИЯХ И ИХ ИНВЕСТИЦИОННАЯ АКТИВНОСТЬ

Статья в формате PDF 255 KB...

16 03 2026 7:37:12

МОРФОГЕНЕЗ НАДКОСТНИЦЫ ДИСТРАКЦИОННОГО РЕГЕНЕРАТА

Статья в формате PDF 100 KB...

15 03 2026 9:20:58

НАУЧНОЕ ОБОСНОВАНИЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ САПРОПЕЛЯ (ОЗЕРНОГО ИЛА), ЦЕОЛИТА В СКОТОВОДСТВЕ КРАЙНЕГО СЕВЕРА

Статья в формате PDF 115 KB...

14 03 2026 10:42:46

РЕЦИДИВИРУЮЩАЯ ФОРМА ГЕРПЕСВИРУСНОЙ ИНФЕКЦИИ ПРИ БАКТЕРИАЛЬНОЙ ПНЕВМОНИИ У ПОЖИЛЫХ

Статья в формате PDF 242 KB...

13 03 2026 15:52:53

ИММУНОМОДУЛИРУЮЩЕЕ ВЛИЯНИЕ ЛАЗЕРОТЕРАПИИ НА ТЕЧЕНИЕ РЕВМАТОИДНОГО АРТРИТА

Статья в формате PDF 113 KB...

12 03 2026 2:55:42

ВЛИЯНИЕ АКТИВНОГО СЛОЯ НА ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ЗЕРНА В СПИРАЛЬНО-ВИНТОВОМ ТРАНСПОРТЕРЕ

Статья в формате PDF 97 KB...

11 03 2026 19:21:24

РЕГИОНАЛЬНАЯ ТЕКТОНИКА И ГЛАВНЫЕ НЕФТЕГАЗОНОСНЫЕ БАССЕЙНЫ КИТАЯ

Статья в формате PDF 1797 KB...

10 03 2026 0:54:10

ПРИНЦИП РЕАЛИЗАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНЫХ ЦЕЛЕЙ РАЗРАБОТКИ МЕТОДИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ПОДГОТОВКИ К ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Статья в формате PDF 144 KB...

09 03 2026 21:30:30

Изменение активности кислой и щелочной фосфатаз лейкоцитов у больных пиодермиями

Статья в формате PDF 106 KB...

08 03 2026 5:58:25

ЭКОЛОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ СТУДЕНТОВ В ПРОЦЕССЕ ИЗУЧЕНИЯ БИОЛОГИИ С ОСНОВАМИ ЭКОЛОГИИ

Статья в формате PDF 118 KB...

07 03 2026 8:58:29

БИОЛОГИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В СОВРЕМЕННОЙ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНОЙ КАРТИНЕ МИРА (Часть II)

Изложены ключевые положения главных системных концепций современного естествознания — системологии (общей теория систем) и синергетики (теории самоорганизующихся систем). Рассмотрены основные свойства системных объектов: дискретность, элемент, связи, структура, паттерн, организация, целостность, интеграция, иерархия, управление, самоорганизация. Охаpaктеризованы особенности биологических систем: обмен веществ, итеративность, дискретность (прострaнcтвенная и временная), избыток структурных элементов и связей между ними, наследственность и изменчивость, способность к самоорганизации и саморазвитию, раздражимость и возбудимость, способность к адаптации, самовоспроизведение (размножение). ...