О КОНЕЧНЫХ ПОВОРОТАХ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ

Авторы
Файлы

Цуркина Е.К. Статья в формате PDF 590 KB

Очевидно, твердое тело с неподвижной точкой может совершать только угловые перемещения. Эти перемещения называются поворотами. Основное свойство конечных поворотов твердого тела является их некоммутативность [1]. Рассмотрим это на простом примере. Пусть имеем твердое тело в форме прямоугольного параллелепипеда. Повернем параллелепипед сначала относительно оси x на 90 градусов, а затем относительно оси z на 90 градусов.

Эти повороты показаны на рис. 1. Далее изменим порядок поворотов и повернем параллелепипед сначала на 90° вокруг оси z а затем на 90° вокруг оси x (рис. 2).

Рис. 1. Расчётная схема №1

Рис. 2. Расчётная схема №2

Сравнение рис. 1 и 2 показывает, что конечное положение тела после двух поворотов зависит от их последовательности. Это и есть некоммутативность конечных поворотов. Из этого следует фундаментальное утверждение: конечные повороты твердого тела не обладают ни свойствами чисел, ни свойствами векторов.

Из теоремы Даламбера-Эйлера следует, что конечный поворот твердого тела с неподвижной точкой определяется четырьмя параметрами - углом конечного поворота и тремя направляющими косинусами оси конечного поворота. Угол конечного поворота обозначим через α, косинус угла между осью конечного поворота и осью x через l, косинус угла между осью конечного поворота и осью y через m,косинус угла между осью конечного поворота и осью z через n. Пусть в начальный момент времени подвижная система координат совпадает с неподвижной. После конечного поворота между подвижными и неподвижными осями образуются некоторые углы, косинусы которых представим в виде таблицы

Таблица 1

	x	h	z
x	a₁₁	a₁₂	a₁₃
y	a₂₁	a₂₂	a₂₃
z	a₃₁	a₃₂	a₃₃

Если таблица направляющих косинусов известна, то угол конечного поворота определяется по формуле

а направляющие косинусы оси конечного поворота определяются по формулам

Игрушка под названием «Кубик Рубика» известна всем. Конструкция кубика и правила, по которым производятся повороты, тесно связаны с теорией конечных поворотов твердого тела. На рис 3. для наглядности раскрашены только два кубика, и задача состоит в переводе кубика из положения 1 в положение 2. Необходимо определить, какие повороты необходимо произвести и найти угол конечного поворота и ориентацию оси конечного поворота.

Рис. 3. Исходное положение кубика Рубика

Нетрудно сообразить, что для перевода среднего кубика 1 в положение 2 необходимо 2 поворота. Первый поворот вокруг вертикальной оси на 90° и второйповорот вокруг горизонтальной оси на 90°. Эти повороты показаны на рис. 4.

То же самое перемещение можно осуществить с помощью одного поворота. Выбираем систему координат xyz следующим образом (рис. 5). Каждая ось направлена по внешней нормали к соответствующей грани кубика. Ось z по нормали к передней грани, ось y по нормали к нижней грани, а направление оси x выбираем так, чтобы система осей xyz оказалась правой. После поворота ориентация каждой грани меняется и система xyz переходит в систему x₁y₁z₁.

Рис. 4. Совмещение кубиков за 2 поворота

Рис. 5. Совмещение кубиков за 1 поворот

Составляем таблицу направляющих косинусов.

Таблица 2

	x₁	y₁	z₁
x	a₁₁ = 0	a₁₂ = 0	a₁₃ = 1
y	a₂₁ = -1	a₂₂ = 0	a₂₃ = 0
z	a₃₁ = 0	a₃₂ = -1	a₃₃ = 0

Угол конечного поворота определяем по формуле

Подставляя сюда элементы таблицы направляющих косинусов, получаем α = 120°, после чего находим направляющие косинусы оси конечного поворота. После вычислений имеем

Из геометрии известно, что такие направляющие косинусы имеет прямая, проходящая через диагональ куба. Ось конечного поворота показана на рис. 6.

Рис. 6. Ось конечного поворота

Список литературы

1. Тарасов В.К. Курс теоретической механики для математиков. - ТулГУ, 2008. - 300 с.

ОТДАЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ЗАКРЫТОГО КОМПРЕССИОННОГО МЕТОДА ЛЕЧЕНИЯ ПЯТОЧНОЙ ШПОРЫ

Статья в формате PDF 127 KB...

08 07 2026 6:15:54

Современное образование в контексте информационно-коммуникационных технологий

Статья в формате PDF 279 KB...

07 07 2026 20:20:12

РОЛЬ ИММУНОЛОГИЧЕСКИХ НАРУШЕНИЙ В ПАТОГЕНЕЗЕ ИНФЕКЦИЙ, ПЕРЕДАВАЕМЫХ ПОЛОВЫМ ПУТЕМ

В результате проведенного исследования установлено, что одними из ведущих патогенетических факторов течения пoлoвых инфекций являются нарушения в деятельности иммунной системы. В процессе исследования выявлены изменения в клеточном иммунитете, свидетельствующие о наличии супрессии Т - клеточного звена и наличии диссиммуноглобулинемии. Выявлено, что наиболее выраженные изменения в системе клеточного и гумopaльного иммунитета обнаружены у больных с хроническим течением инфекционного процесса. ...

06 07 2026 6:18:45

МЕДИКО-СОЦИАЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ СОСТОЯНИЯ ЗДОРОВЬЯ ШАХТЕРОВ

Статья в формате PDF 105 KB...

05 07 2026 11:58:41

Человек системообразующий субъект экологической культуры

Статья в формате PDF 115 KB...

04 07 2026 6:59:25

ЭКОЛОГИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПИТЬЕВОЙ ВОДЫ В РАЗЛИЧНЫХ ИСТОЧНИКАХ Г.О. ШУЯ

Статья в формате PDF 300 KB...

03 07 2026 0:36:24

ВОПРОСЫ ЭФФЕКТИВНОЙ ЗАЩИЩЕННОСТИ WEB-САЙТОВ

Статья в формате PDF 266 KB...

02 07 2026 15:48:32

КЛИНИКО-ПРОГНОСТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ БЫСТРОРАСТУЩЕЙ МИОМЫ МАТКИ

Статья в формате PDF 130 KB...

01 07 2026 17:45:52

УПРАВЛЕНИЕ УСТОЙЧИВЫМ РАЗВИТИЕМ КУРОРТНО-РЕКРЕАЦИОННОГО РЕГИОНА (НА ПРИМЕРЕ РЕГИОНА КАВКАЗСКИХ МИНЕРАЛЬНЫХ ВОД.)

Статья в формате PDF 110 KB...

30 06 2026 2:22:31

ТУЧНЫЕ КЛЕТКИ ЭНДОМЕТРИЯ МАТКИ КРЫС В СИСТЕМЕ ЕЕ БИОАМИНОВОГО ОБМЕНА

С помощью микроспектральных флуоресцентно-гистохимических методов в тучных клетках эндометрия тела и шейки матки крыс дифференцированы гистамин, серотонин и катехоламины. Определено содержание указанных моноаминов в различные фазы пoлoвoго цикла. Тучные клетки шейки матки по сравнению с ее телом хаpaктеризуются более высоким уровнем моноаминов. Содержания катехоламинов и серотонина в точках зондирования хаpaктеризуются высокой степенью линейной корреляции во все стадии пoлoвoго цикла. Установлена высокая степень положительного хроносопряжения динамики изменений содержания гистамина в тучных клетках и эпителиоцитах эндометрия. Предполагается, что тучные клетки выступают в качестве регулятора биоаминового обмена в эндометрии в течение пoлoвoго цикла. ...

29 06 2026 1:55:58

МНОГОУРОВНЕВАЯ СИСТЕМА ОБРАЗОВАНИЯ: ОСОБЕННОСТИ И ПЕРСПЕКТИВЫ

Статья в формате PDF 113 KB...

28 06 2026 9:34:21

НООСФЕРНОСТЬ В ПРИРОДЕ И КУЛЬТУРНО-ЦИВИЛИЗАЦИОННОМ ПРОЦЕССЕ

Статья в формате PDF 114 KB...

27 06 2026 22:51:45

МОЛЕКУЛЯРНЫЙ СОСТАВ ВОДЫ

Статья в формате PDF 343 KB...

26 06 2026 7:55:50

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ОБЪЕКТОВ ОБСЛУЖИВАНИЯ НА РЕКОНСТРУИРУЕМОЙ ТЕРРИТОРИИ ЖИЛОЙ ЗАСТРОЙКИ 60-70-Х ГОДОВ

Статья в формате PDF 314 KB...

25 06 2026 14:56:34

РОЛЬ АЭРАЦИОННЫХ УСТРОЙСТВ В СИСТЕМЕ БИОЛОГИЧЕСКОЙ ОЧИСТКИ БЫТОВЫХ СТОЧНЫХ ВОД

Статья в формате PDF 138 KB...

24 06 2026 2:25:43

РАССМОТРЕНИЕ ПРОБЛЕМ ТЕХНОЛОГИИ ЭЛЕКТРОННОГО БРОНИРОВАНИЯ

Статья в формате PDF 297 KB...

23 06 2026 11:28:32

Сеянцы древесных и кустарниковых растений, полученные из семян интродуцентов, в разводочном отделении ботанического сада МГТУ

Статья в формате PDF 106 KB...

22 06 2026 12:38:47

ИЗМЕНЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ МЕЖДУ ПОКАЗАТЕЛЯМИ ГЕМОСТАЗА, ЛИПИДНОГО ОБМЕНА И КАРДИОГЕМОДИНАМИКИ У БОЛЬНЫХ ГИПЕРТОНИЧЕСКОЙ БОЛЕЗНЬЮ 3СТАДИИ, СОЧЕТАЮЩЕЙСЯ СО СТЕНОКАРДИЕЙ 2 ФУНКЦИОНАЛЬНОГО КЛАССА, ОСЛОЖНЕННОЙ ПОСТОЯННОЙ ФОРМОЙ ФИБРИЛЛЯЦИИ ПРЕДСЕРД

Статья в формате PDF 112 KB...

21 06 2026 7:48:44

АНАЛИЗ ПРОТОКОЛОВ КВАНТОВОЙ КРИПТОГРАФИИ ВВ84 И В92

Статья в формате PDF 151 KB...

20 06 2026 23:52:36

ОСОБЕННОСТИ ИММУНИТЕТА У ДЕТЕЙ С ЗУБОЧЕЛЮСТНЫМИ АНОМАЛИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ

Исследование позволило выявить несбалансированность иммунной системы на протяжении всего периода активного аппаратурного лечения. Это чётко прослеживается через один и через пять месяцев после фиксации аппарата, а так же в конечном периоде аппаратурного лечения (т.е. через пятнадцать месяцев после фиксации брекетов). Полученные результаты исследования позволяют рекомендовать выделение этих периодов как «критических», требующих проведения иммунокоррегирующей терапии и назначение средств профилактики кариеса зубов. ...

19 06 2026 23:12:14

ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕПАРАТА «НАНОФЛЮОР» ПРИ ЛЕЧЕНИИ КЛИНОВИДНОГО ДЕФЕКТА И СИМПТОМА ГИПЕРЕСТЕЗИИ ЗУБА

Статья в формате PDF 301 KB...

18 06 2026 20:58:24

АНАТОМИЯ УРЕТРОВЕЗИКАЛЬНОГО СЕГМЕНТА И ПРЕДСТАТЕЛЬНОЙ ЖЕЛЕЗЫ У МУЖЧИН, ОТНОСЯЩИХСЯ К РАЗЛИЧНЫМ РАСАМ

Проведено исследование 63 препаратов уретровезикального сегмента и предстательной железы мужчин первого зрелого периода, относящихся к различным расам: европеоидам и монголоидам. Результаты: 1. межмочеточниковая складка Мерсье, расстояние от внутреннего отверстия уретры до устья мочеточника, площадь треугольника Льето достоверно больше у монголоидов при отсутствии достоверной разницы показателей «уретрального» угла треугольника Льето. 2. уретровезикальный угол, длина супрамонтанной части простатического отдела уретры и длина всего простатического отдела уретры у монголоидов достоверно больше. 3. семенной бугорок у представителей монголоидной расы в 85,7% представлял собой утолщение центральной складки простатического отдела уретры, наличие простатической маточки не зарегистрировано ни в одном случае. Семенной бугорок представителей европеоидной расы был более выражен и представлял собой анатомическое образование бόльшими размерами, простатическая маточка зарегистрирована в 60% случаев. 4. общий объем простаты у европеоидов и монголоидов не отличался, однако, центральная ее доля у монголоидов достоверно больше, а переходная достоверно меньше. ...