О КОНЕЧНЫХ ПОВОРОТАХ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ
Очевидно, твердое тело с неподвижной точкой может совершать только угловые перемещения. Эти перемещения называются поворотами. Основное свойство конечных поворотов твердого тела является их некоммутативность [1]. Рассмотрим это на простом примере. Пусть имеем твердое тело в форме прямоугольного параллелепипеда. Повернем параллелепипед сначала относительно оси x на 90 градусов, а затем относительно оси z на 90 градусов.
Эти повороты показаны на рис. 1. Далее изменим порядок поворотов и повернем параллелепипед сначала на 90° вокруг оси z а затем на 90° вокруг оси x (рис. 2).
Рис. 1. Расчётная схема №1
Рис. 2. Расчётная схема №2
Сравнение рис. 1 и 2 показывает, что конечное положение тела после двух поворотов зависит от их последовательности. Это и есть некоммутативность конечных поворотов. Из этого следует фундаментальное утверждение: конечные повороты твердого тела не обладают ни свойствами чисел, ни свойствами векторов.
Из теоремы Даламбера-Эйлера следует, что конечный поворот твердого тела с неподвижной точкой определяется четырьмя параметрами - углом конечного поворота и тремя направляющими косинусами оси конечного поворота. Угол конечного поворота обозначим через α, косинус угла между осью конечного поворота и осью x через l, косинус угла между осью конечного поворота и осью y через m,косинус угла между осью конечного поворота и осью z через n. Пусть в начальный момент времени подвижная система координат совпадает с неподвижной. После конечного поворота между подвижными и неподвижными осями образуются некоторые углы, косинусы которых представим в виде таблицы
Таблица 1
|
|
x |
h |
z |
|
x |
a11 |
a12 |
a13 |
|
y |
a21 |
a22 |
a23 |
|
z |
a31 |
a32 |
a33 |
Если таблица направляющих косинусов известна, то угол конечного поворота определяется по формуле
а направляющие косинусы оси конечного поворота определяются по формулам
Игрушка под названием «Кубик Рубика» известна всем. Конструкция кубика и правила, по которым производятся повороты, тесно связаны с теорией конечных поворотов твердого тела. На рис 3. для наглядности раскрашены только два кубика, и задача состоит в переводе кубика из положения 1 в положение 2. Необходимо определить, какие повороты необходимо произвести и найти угол конечного поворота и ориентацию оси конечного поворота.
Рис. 3. Исходное положение кубика Рубика
Нетрудно сообразить, что для перевода среднего кубика 1 в положение 2 необходимо 2 поворота. Первый поворот вокруг вертикальной оси на 90° и второйповорот вокруг горизонтальной оси на 90°. Эти повороты показаны на рис. 4.
То же самое перемещение можно осуществить с помощью одного поворота. Выбираем систему координат xyz следующим образом (рис. 5). Каждая ось направлена по внешней нормали к соответствующей грани кубика. Ось z по нормали к передней грани, ось y по нормали к нижней грани, а направление оси x выбираем так, чтобы система осей xyz оказалась правой. После поворота ориентация каждой грани меняется и система xyz переходит в систему x1y1z1.
Рис. 4. Совмещение кубиков за 2 поворота
Рис. 5. Совмещение кубиков за 1 поворот
Составляем таблицу направляющих косинусов.
Таблица 2
|
x1 |
y1 |
z1 |
|
|
x |
a11 = 0 |
a12 = 0 |
a13 = 1 |
|
y |
a21 = -1 |
a22 = 0 |
a23 = 0 |
|
z |
a31 = 0 |
a32 = -1 |
a33 = 0 |
Угол конечного поворота определяем по формуле
Подставляя сюда элементы таблицы направляющих косинусов, получаем α = 120°, после чего находим направляющие косинусы оси конечного поворота. После вычислений имеем
Из геометрии известно, что такие направляющие косинусы имеет прямая, проходящая через диагональ куба. Ось конечного поворота показана на рис. 6.
Рис. 6. Ось конечного поворота
Список литературы
1. Тарасов В.К. Курс теоретической механики для математиков. - ТулГУ, 2008. - 300 с.
В работе дан теоретический анализ понятия «личности», способы её формирования в результате пpaктической деятельности человека. Показано, что речь – необходимое условие социального, культурного воспроизводства личности, формирования его специфических социальных способностей.
...
07 11 2026 6:25:49
Статья в формате PDF
314 KB...
06 11 2026 20:49:15
Статья в формате PDF
110 KB...
05 11 2026 20:51:58
Статья в формате PDF
106 KB...
04 11 2026 14:47:33
Статья в формате PDF
250 KB...
03 11 2026 18:59:11
Статья в формате PDF
269 KB...
02 11 2026 10:52:24
Статья в формате PDF
106 KB...
31 10 2026 23:31:48
В статье осуществлен краткий анализ основных философских подходов к феномену человеческой индивидуальности буддизмом, даосизмом, конфуцианством. Определены «пропорции» между лично-индивидуальным и социально-необходимым как составляющей проблемы человека. Также предложен авторский подход по коррекции распространенного мнения об отсутствии проблематики индивидуальности в рамках древневосточного социума.
...
30 10 2026 15:29:19
Статья в формате PDF
179 KB...
29 10 2026 10:58:57
Статья в формате PDF
202 KB...
28 10 2026 7:17:26
Статья в формате PDF
101 KB...
27 10 2026 1:14:16
Статья в формате PDF
111 KB...
26 10 2026 5:13:59
Статья в формате PDF
111 KB...
24 10 2026 13:25:29
Предложена нестационарная математическая модель рассеяния примеси в трехслойной атмосфере (приземный, пограничный слои, слой свободной атмосферы). Приведены результаты исследования этой модели аналитическими методами в случае рассеяния легкой, сохраняющейся примеси при постоянной скорости ветра.
...
22 10 2026 13:38:17
Статья в формате PDF
313 KB...
21 10 2026 10:54:54
В статье рассмотрена категория «инновация», как экономическое явление, что позволило дополнить отраженные в научной литературе критерии классификации инноваций. Определено, что важнейшей формой оказания государственной поддержки инноваций является повышение эффективности государственных расходов.
...
20 10 2026 15:48:58
Статья в формате PDF
122 KB...
19 10 2026 16:16:35
В этой статье рассматриваются вопросы применения инновационных технологии формирования навыков здорового образа жизни учащихся сельских школ во внеурочное время.
...
18 10 2026 12:30:52
Приводятся результаты исследований по способу биологической рекультивации земель, нарушенных при добыче алмaзoв в условиях Крайнего Севера. При недостатке потенциально плодородного слоя на отвалах Айхальского ГОКа (горно-обогатительного комбината) АК «АЛРОСА» (ЗАО) рассматривался вопрос использования промышленных отходов осадков КОС (канализационных очистных сооружений) в качестве основы техногенного грунта. Предварительные результаты опыта по использованию осадков КОС показали достаточно высокую перспективность способа, показавшего более 30 % проективного покрытия травостоя.
...
17 10 2026 9:52:41
Приведены новые положения теории зацепления, отражающие специфику цилиндрической винтовой пары «инструмент-деталь»
...
16 10 2026 20:26:39
Поскольку средняя температура Земли очень медленно уменьшается из-за удаления от Солнца вследствие расширения Вселенной, то достаточно резкие изменения температуры в пределах нескольких градусов могут происходить только в результате прострaнcтвенных и временных колебаний на самой планете. Такие колебания происходят чередованием ледниковых периодов на северных побережьях Атлантического и Тихого океанов. Анализ длительности ледниковых периодов и межледниковий Атлантического побережья позволяет утверждать, что такие качели действительно существуют, и в настоящее время происходит смена Тихоокеанского оледенения Атлантическим. Данная гипотеза позволит объяснить гибель динозавров, эволюцию лошади, расселение человека и прогнозировать глобальные изменения климата.
...
15 10 2026 1:53:45
Статья в формате PDF
112 KB...
14 10 2026 13:36:35
Статья в формате PDF
125 KB...
13 10 2026 8:48:53
Статья в формате PDF
116 KB...
11 10 2026 13:25:34
Статья в формате PDF
92 KB...
09 10 2026 2:24:30
Статья в формате PDF
127 KB...
08 10 2026 6:46:22
Статья в формате PDF
108 KB...
07 10 2026 5:53:54
Статья в формате PDF
110 KB...
06 10 2026 13:46:41
Статья в формате PDF
126 KB...
05 10 2026 0:25:21
Статья в формате PDF
334 KB...
04 10 2026 13:43:56
Статья в формате PDF
309 KB...
03 10 2026 7:53:45
Статья в формате PDF
240 KB...
02 10 2026 11:47:54
Для уникального Кумирского скандий-уран-редкоземельного месторождения впервые описаны субвулканические образования, сформировавшиеся в антидромной последовательности от гранитов до долеритов. Более ранние гранит-порфиры и аляскит-порфиры слагают Кумирский шток, в контакте с которым образовались сложнее по составу метасоматиты от фельдшпатоидов до пропилитов. Гранитоиды формировались в процессе частичного плавления мантийного субстрата(кварцевые эклогиты) и относятся к А-типу (анорогенных гранитоидов), а дайки долеритов обнаруживают в своём образовании мантийно-коровое взаимодействие: смешение мантийной базальтовой магмы и корового материала.
...
30 09 2026 15:46:53
Статья в формате PDF
114 KB...
29 09 2026 5:25:34
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
