О КОНЕЧНЫХ ПОВОРОТАХ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ
Очевидно, твердое тело с неподвижной точкой может совершать только угловые перемещения. Эти перемещения называются поворотами. Основное свойство конечных поворотов твердого тела является их некоммутативность [1]. Рассмотрим это на простом примере. Пусть имеем твердое тело в форме прямоугольного параллелепипеда. Повернем параллелепипед сначала относительно оси x на 90 градусов, а затем относительно оси z на 90 градусов.
Эти повороты показаны на рис. 1. Далее изменим порядок поворотов и повернем параллелепипед сначала на 90° вокруг оси z а затем на 90° вокруг оси x (рис. 2).
Рис. 1. Расчётная схема №1
Рис. 2. Расчётная схема №2
Сравнение рис. 1 и 2 показывает, что конечное положение тела после двух поворотов зависит от их последовательности. Это и есть некоммутативность конечных поворотов. Из этого следует фундаментальное утверждение: конечные повороты твердого тела не обладают ни свойствами чисел, ни свойствами векторов.
Из теоремы Даламбера-Эйлера следует, что конечный поворот твердого тела с неподвижной точкой определяется четырьмя параметрами - углом конечного поворота и тремя направляющими косинусами оси конечного поворота. Угол конечного поворота обозначим через α, косинус угла между осью конечного поворота и осью x через l, косинус угла между осью конечного поворота и осью y через m,косинус угла между осью конечного поворота и осью z через n. Пусть в начальный момент времени подвижная система координат совпадает с неподвижной. После конечного поворота между подвижными и неподвижными осями образуются некоторые углы, косинусы которых представим в виде таблицы
Таблица 1
|
x |
h |
z |
x |
a11 |
a12 |
a13 |
y |
a21 |
a22 |
a23 |
z |
a31 |
a32 |
a33 |
Если таблица направляющих косинусов известна, то угол конечного поворота определяется по формуле
а направляющие косинусы оси конечного поворота определяются по формулам
Игрушка под названием «Кубик Рубика» известна всем. Конструкция кубика и правила, по которым производятся повороты, тесно связаны с теорией конечных поворотов твердого тела. На рис 3. для наглядности раскрашены только два кубика, и задача состоит в переводе кубика из положения 1 в положение 2. Необходимо определить, какие повороты необходимо произвести и найти угол конечного поворота и ориентацию оси конечного поворота.
Рис. 3. Исходное положение кубика Рубика
Нетрудно сообразить, что для перевода среднего кубика 1 в положение 2 необходимо 2 поворота. Первый поворот вокруг вертикальной оси на 90° и второйповорот вокруг горизонтальной оси на 90°. Эти повороты показаны на рис. 4.
То же самое перемещение можно осуществить с помощью одного поворота. Выбираем систему координат xyz следующим образом (рис. 5). Каждая ось направлена по внешней нормали к соответствующей грани кубика. Ось z по нормали к передней грани, ось y по нормали к нижней грани, а направление оси x выбираем так, чтобы система осей xyz оказалась правой. После поворота ориентация каждой грани меняется и система xyz переходит в систему x1y1z1.
Рис. 4. Совмещение кубиков за 2 поворота
Рис. 5. Совмещение кубиков за 1 поворот
Составляем таблицу направляющих косинусов.
Таблица 2
x1 |
y1 |
z1 |
|
x |
a11 = 0 |
a12 = 0 |
a13 = 1 |
y |
a21 = -1 |
a22 = 0 |
a23 = 0 |
z |
a31 = 0 |
a32 = -1 |
a33 = 0 |
Угол конечного поворота определяем по формуле
Подставляя сюда элементы таблицы направляющих косинусов, получаем α = 120°, после чего находим направляющие косинусы оси конечного поворота. После вычислений имеем
Из геометрии известно, что такие направляющие косинусы имеет прямая, проходящая через диагональ куба. Ось конечного поворота показана на рис. 6.
Рис. 6. Ось конечного поворота
Список литературы
1. Тарасов В.К. Курс теоретической механики для математиков. - ТулГУ, 2008. - 300 с.
Статья в формате PDF 190 KB...
01 05 2024 20:42:10
В статье дается анализ состояния проблемы естественнонаучного образования в свете гуманистических подходов к образованию личности и на фоне основных тенденций и противоречий развития образовательных систем России. В центре исследования саморазвивающаяся, самообразующаяся личность. Преподаватель рассматривается как создатель проекта, организатор, помощник, фасилитатор учебной деятельности студента. Естественнонаучная составляющая образования показана как неотъемлемая часть культуры. В качестве альтернативы традиционной (линейной, унифицированной) технологии обучения в высшем учебном заведении предлагается концептуальная авторская модель управления естественнонаучным образованием. ...
30 04 2024 7:19:18
Статья в формате PDF 164 KB...
29 04 2024 1:51:59
Статья в формате PDF 126 KB...
27 04 2024 20:26:34
Статья в формате PDF 255 KB...
26 04 2024 20:33:59
24 04 2024 20:33:57
Статья в формате PDF 114 KB...
23 04 2024 5:27:35
Статья в формате PDF 129 KB...
22 04 2024 23:10:38
Статья в формате PDF 147 KB...
21 04 2024 12:23:25
Статья в формате PDF 131 KB...
20 04 2024 15:10:10
Статья в формате PDF 115 KB...
18 04 2024 4:33:42
Статья в формате PDF 332 KB...
17 04 2024 0:18:25
Статья в формате PDF 119 KB...
16 04 2024 0:36:36
Статья в формате PDF 121 KB...
15 04 2024 6:28:40
Статья в формате PDF 110 KB...
13 04 2024 5:37:22
Статья в формате PDF 114 KB...
12 04 2024 21:29:46
Статья в формате PDF 119 KB...
09 04 2024 17:44:53
08 04 2024 10:32:22
Статья в формате PDF 106 KB...
07 04 2024 0:53:26
Статья в формате PDF 112 KB...
06 04 2024 13:45:17
Статья в формате PDF 253 KB...
04 04 2024 2:35:39
Статья в формате PDF 121 KB...
03 04 2024 7:50:33
Статья в формате PDF 590 KB...
02 04 2024 4:12:15
Статья в формате PDF 119 KB...
01 04 2024 22:38:10
Статья в формате PDF 120 KB...
31 03 2024 18:27:42
Статья в формате PDF 105 KB...
30 03 2024 20:15:34
Статья в формате PDF 121 KB...
29 03 2024 20:27:31
Статья в формате PDF 270 KB...
28 03 2024 12:37:23
Статья в формате PDF 119 KB...
27 03 2024 11:42:20
Статья в формате PDF 115 KB...
25 03 2024 17:42:29
Статья в формате PDF 267 KB...
24 03 2024 12:17:53
23 03 2024 8:11:54
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::