О КОНЕЧНЫХ ПОВОРОТАХ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ
Очевидно, твердое тело с неподвижной точкой может совершать только угловые перемещения. Эти перемещения называются поворотами. Основное свойство конечных поворотов твердого тела является их некоммутативность [1]. Рассмотрим это на простом примере. Пусть имеем твердое тело в форме прямоугольного параллелепипеда. Повернем параллелепипед сначала относительно оси x на 90 градусов, а затем относительно оси z на 90 градусов.
Эти повороты показаны на рис. 1. Далее изменим порядок поворотов и повернем параллелепипед сначала на 90° вокруг оси z а затем на 90° вокруг оси x (рис. 2).
Рис. 1. Расчётная схема №1
Рис. 2. Расчётная схема №2
Сравнение рис. 1 и 2 показывает, что конечное положение тела после двух поворотов зависит от их последовательности. Это и есть некоммутативность конечных поворотов. Из этого следует фундаментальное утверждение: конечные повороты твердого тела не обладают ни свойствами чисел, ни свойствами векторов.
Из теоремы Даламбера-Эйлера следует, что конечный поворот твердого тела с неподвижной точкой определяется четырьмя параметрами - углом конечного поворота и тремя направляющими косинусами оси конечного поворота. Угол конечного поворота обозначим через α, косинус угла между осью конечного поворота и осью x через l, косинус угла между осью конечного поворота и осью y через m,косинус угла между осью конечного поворота и осью z через n. Пусть в начальный момент времени подвижная система координат совпадает с неподвижной. После конечного поворота между подвижными и неподвижными осями образуются некоторые углы, косинусы которых представим в виде таблицы
Таблица 1
|
|
x |
h |
z |
|
x |
a11 |
a12 |
a13 |
|
y |
a21 |
a22 |
a23 |
|
z |
a31 |
a32 |
a33 |
Если таблица направляющих косинусов известна, то угол конечного поворота определяется по формуле
а направляющие косинусы оси конечного поворота определяются по формулам
Игрушка под названием «Кубик Рубика» известна всем. Конструкция кубика и правила, по которым производятся повороты, тесно связаны с теорией конечных поворотов твердого тела. На рис 3. для наглядности раскрашены только два кубика, и задача состоит в переводе кубика из положения 1 в положение 2. Необходимо определить, какие повороты необходимо произвести и найти угол конечного поворота и ориентацию оси конечного поворота.
Рис. 3. Исходное положение кубика Рубика
Нетрудно сообразить, что для перевода среднего кубика 1 в положение 2 необходимо 2 поворота. Первый поворот вокруг вертикальной оси на 90° и второйповорот вокруг горизонтальной оси на 90°. Эти повороты показаны на рис. 4.
То же самое перемещение можно осуществить с помощью одного поворота. Выбираем систему координат xyz следующим образом (рис. 5). Каждая ось направлена по внешней нормали к соответствующей грани кубика. Ось z по нормали к передней грани, ось y по нормали к нижней грани, а направление оси x выбираем так, чтобы система осей xyz оказалась правой. После поворота ориентация каждой грани меняется и система xyz переходит в систему x1y1z1.
Рис. 4. Совмещение кубиков за 2 поворота
Рис. 5. Совмещение кубиков за 1 поворот
Составляем таблицу направляющих косинусов.
Таблица 2
|
x1 |
y1 |
z1 |
|
|
x |
a11 = 0 |
a12 = 0 |
a13 = 1 |
|
y |
a21 = -1 |
a22 = 0 |
a23 = 0 |
|
z |
a31 = 0 |
a32 = -1 |
a33 = 0 |
Угол конечного поворота определяем по формуле
Подставляя сюда элементы таблицы направляющих косинусов, получаем α = 120°, после чего находим направляющие косинусы оси конечного поворота. После вычислений имеем
Из геометрии известно, что такие направляющие косинусы имеет прямая, проходящая через диагональ куба. Ось конечного поворота показана на рис. 6.
Рис. 6. Ось конечного поворота
Список литературы
1. Тарасов В.К. Курс теоретической механики для математиков. - ТулГУ, 2008. - 300 с.
Статья в формате PDF
99 KB...
17 08 2026 6:19:37
Статья в формате PDF
96 KB...
16 08 2026 22:39:28
Статья в формате PDF
189 KB...
15 08 2026 18:17:22
Статья в формате PDF
283 KB...
14 08 2026 2:53:39
Статья в формате PDF
126 KB...
13 08 2026 18:32:57
Статья в формате PDF
111 KB...
12 08 2026 5:32:16
Статья в формате PDF
101 KB...
11 08 2026 13:58:53
Статья в формате PDF 110 KB...
10 08 2026 18:47:49
Статья в формате PDF
218 KB...
09 08 2026 10:56:14
Статья в формате PDF
127 KB...
08 08 2026 3:16:49
Статья в формате PDF
101 KB...
07 08 2026 1:54:42
Статья в формате PDF
272 KB...
06 08 2026 21:53:54
Статья в формате PDF
109 KB...
04 08 2026 16:46:40
Статья в формате PDF
321 KB...
03 08 2026 14:52:47
В статье описана и исследована методами математической статистики хронологическая аномалия космонавтики. Обоснован биномиальный закон распределения числа хронологических совпадений. Показано, что вероятность случайного появления рассматриваемых совпадений весьма мала. Метод исследования, применяемый в работе, преимущественно основан на статистическом анализе хронологии при помощи параметризации дат событий и проверки соответствующего критериального свойства. Используются параметры: условные номера дней с начала летоисчисления N, с начала года n и год Г. Основными информативными параметрами являются интервалы времени между событиями.Обоснован биномиальный закон распределения числа хронологических совпадений. Показано, что вероятность случайного появления рассматриваемых совпадений весьма мала.
...
02 08 2026 13:36:58
Статья в формате PDF
267 KB...
01 08 2026 23:41:49
Статья в формате PDF
102 KB...
31 07 2026 13:51:27
Статья в формате PDF
123 KB...
29 07 2026 11:18:32
Статья в формате PDF
135 KB...
28 07 2026 7:35:58
Статья в формате PDF
207 KB...
27 07 2026 19:52:54
Статья в формате PDF
319 KB...
26 07 2026 7:21:47
Статья в формате PDF
104 KB...
25 07 2026 21:40:57
Статья в формате PDF
267 KB...
23 07 2026 14:38:18
В статье описывается способ диагностики хронической сердечной недостаточности у больных ишемической болезнью сердца с помощью метода дерева классификации, который позволяет с использованием клинических показателей диагностировать функциональный класс со статистической достоверностью.
...
22 07 2026 2:52:34
Проведено ретроспективное изучение историй болезней 71 пациента, оперированных по поводу закрытой травмы селезенки.Из общего количества оперированных пациентов спленэктомия была выполнена 25 пациентам, 26 – спленэктомия была дополнена аутолиентрaнcплантаций путем пересадки кусочков селезенки размером 1,5 см3 в ткань большого сальника, а 20 больным были выполнены органосохраняющие операции с использованием лазерной техники. Изучение исследуемых показателей проводили в момент поступления больных, на первые, третьи, пятые, седьмые и десятые послеоперационные сутки. Группу сравнения составили 46 относительно здоровых добровольцев того же возраста и пола. Лейкоцитарный индекс интоксикации рассчитывали по формуле предложенной В.К. Островским и Ю.М. Свитич. Кроме того определялись лейкоцитарный индекс интоксикации по индексу Я.Я. Кальф-Калифа, а так же индекс резистентности организма и индекс сдвига лейкоцитов крови. В результате проведенного исследования установлено, чтоизменения индексов хаpaктеризующих резистентность организма, у пациентов оперированных на поврежденной селезенке, в ближайшем послеоперационном периоде зависят не от хаpaктера выполненной операции, а от послеоперационных суток. В тоже время в отдаленном послеоперационном природе прослеживается взаимосвязь между хаpaктером выполненной операции и изменениями индексов хаpaктеризующих резистентность организма.
...
20 07 2026 2:48:37
Статья в формате PDF
109 KB...
19 07 2026 22:12:28
В настоящее время основной задачей стоматологии является профилактика кариеса, особенно для возрастной группы 11-16 лет. Ранее была установлена связь между кариесом и аномалиями зубочелюстной деформацией системы.
В 2001-2002 г нами было обследовано 2504 ребенка в возрасте от 11 до 16 лет.
Из них 1016 (40,6%) мальчиков и 1488 (59,4%) девочек.
Из числа выявленных аномалий прикуса чаще наблюдался глубокий прикус, затем дистальный, осложненный открытым прикусом, мезиальный и открытый, остальные виды прикусов встречались крайне редко.
На основе компьютерной обработке полученных данных очевидно, что деформация зубочелюстной системы встречается в возрастных группах со сменным и постоянным прикусом;
- аномалии прикуса составляют 53% от общего количества обследованных детей;
- аномалии положения отдельных зубов составляют 39% от общего количества обследованных детей.
...
18 07 2026 11:47:44
Статья в формате PDF
262 KB...
17 07 2026 15:49:14
Статья в формате PDF
250 KB...
16 07 2026 8:57:53
Статья в формате PDF
273 KB...
15 07 2026 2:38:19
Статья в формате PDF
299 KB...
14 07 2026 23:57:56
Статья в формате PDF
111 KB...
13 07 2026 12:43:16
В данной работе приводятся результаты экологических исследований по состояния северных экосистем, с целью разработки возможных мероприятий по снижению негативных воздействий на окружающую среду при горно-добычных работах открытых карьерным способом. Выявлены закономерности приуроченности накопления тяжелых металлов на определенных типах почв.
...
12 07 2026 11:50:18
Статья в формате PDF
282 KB...
11 07 2026 6:23:58
Статья в формате PDF
127 KB...
10 07 2026 4:32:37
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
