О КОНЕЧНЫХ ПОВОРОТАХ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ
Очевидно, твердое тело с неподвижной точкой может совершать только угловые перемещения. Эти перемещения называются поворотами. Основное свойство конечных поворотов твердого тела является их некоммутативность [1]. Рассмотрим это на простом примере. Пусть имеем твердое тело в форме прямоугольного параллелепипеда. Повернем параллелепипед сначала относительно оси x на 90 градусов, а затем относительно оси z на 90 градусов.
Эти повороты показаны на рис. 1. Далее изменим порядок поворотов и повернем параллелепипед сначала на 90° вокруг оси z а затем на 90° вокруг оси x (рис. 2).
Рис. 1. Расчётная схема №1
Рис. 2. Расчётная схема №2
Сравнение рис. 1 и 2 показывает, что конечное положение тела после двух поворотов зависит от их последовательности. Это и есть некоммутативность конечных поворотов. Из этого следует фундаментальное утверждение: конечные повороты твердого тела не обладают ни свойствами чисел, ни свойствами векторов.
Из теоремы Даламбера-Эйлера следует, что конечный поворот твердого тела с неподвижной точкой определяется четырьмя параметрами - углом конечного поворота и тремя направляющими косинусами оси конечного поворота. Угол конечного поворота обозначим через α, косинус угла между осью конечного поворота и осью x через l, косинус угла между осью конечного поворота и осью y через m,косинус угла между осью конечного поворота и осью z через n. Пусть в начальный момент времени подвижная система координат совпадает с неподвижной. После конечного поворота между подвижными и неподвижными осями образуются некоторые углы, косинусы которых представим в виде таблицы
Таблица 1
|
|
x |
h |
z |
|
x |
a11 |
a12 |
a13 |
|
y |
a21 |
a22 |
a23 |
|
z |
a31 |
a32 |
a33 |
Если таблица направляющих косинусов известна, то угол конечного поворота определяется по формуле
а направляющие косинусы оси конечного поворота определяются по формулам
Игрушка под названием «Кубик Рубика» известна всем. Конструкция кубика и правила, по которым производятся повороты, тесно связаны с теорией конечных поворотов твердого тела. На рис 3. для наглядности раскрашены только два кубика, и задача состоит в переводе кубика из положения 1 в положение 2. Необходимо определить, какие повороты необходимо произвести и найти угол конечного поворота и ориентацию оси конечного поворота.
Рис. 3. Исходное положение кубика Рубика
Нетрудно сообразить, что для перевода среднего кубика 1 в положение 2 необходимо 2 поворота. Первый поворот вокруг вертикальной оси на 90° и второйповорот вокруг горизонтальной оси на 90°. Эти повороты показаны на рис. 4.
То же самое перемещение можно осуществить с помощью одного поворота. Выбираем систему координат xyz следующим образом (рис. 5). Каждая ось направлена по внешней нормали к соответствующей грани кубика. Ось z по нормали к передней грани, ось y по нормали к нижней грани, а направление оси x выбираем так, чтобы система осей xyz оказалась правой. После поворота ориентация каждой грани меняется и система xyz переходит в систему x1y1z1.
Рис. 4. Совмещение кубиков за 2 поворота
Рис. 5. Совмещение кубиков за 1 поворот
Составляем таблицу направляющих косинусов.
Таблица 2
|
x1 |
y1 |
z1 |
|
|
x |
a11 = 0 |
a12 = 0 |
a13 = 1 |
|
y |
a21 = -1 |
a22 = 0 |
a23 = 0 |
|
z |
a31 = 0 |
a32 = -1 |
a33 = 0 |
Угол конечного поворота определяем по формуле
Подставляя сюда элементы таблицы направляющих косинусов, получаем α = 120°, после чего находим направляющие косинусы оси конечного поворота. После вычислений имеем
Из геометрии известно, что такие направляющие косинусы имеет прямая, проходящая через диагональ куба. Ось конечного поворота показана на рис. 6.
Рис. 6. Ось конечного поворота
Список литературы
1. Тарасов В.К. Курс теоретической механики для математиков. - ТулГУ, 2008. - 300 с.
Статья в формате PDF
250 KB...
15 01 2025 22:56:52
Статья в формате PDF
141 KB...
14 01 2025 0:30:12
Статья в формате PDF
237 KB...
13 01 2025 7:57:23
Статья в формате PDF
139 KB...
12 01 2025 15:28:19
Статья в формате PDF
116 KB...
11 01 2025 13:29:28
Статья в формате PDF
255 KB...
10 01 2025 21:11:12
Статья в формате PDF
107 KB...
09 01 2025 9:51:56
Статья в формате PDF
133 KB...
08 01 2025 4:51:26
Статья в формате PDF
280 KB...
07 01 2025 2:31:47
Статья в формате PDF
143 KB...
06 01 2025 11:17:48
Установлен факт защитного влияния нового бионического режима импульсно-гипоксических адаптаций на восстановительные процессы коры мозга после удаления внутричерепных опухолей у нейрохирургических больных. Механизмом протекции мозга от рецидива злокачественных опухолей может быть согласование ритмов энергопродукции и энергопотрeбления в процессе формирования адаптации.
...
05 01 2025 16:10:32
Статья в формате PDF
104 KB...
04 01 2025 0:33:34
Статья в формате PDF
263 KB...
03 01 2025 1:49:33
В данной работе предложен принципиально новый подход нахождения справедливой цены опциона европейского типа при условии дискретности хеджирования на эффективном рынке базового актива. Развитый подход позволяет определить стоимость опциона для достаточно широкого класса распределений цены базового актива, не ограничиваясь гипотезой о том, что распределение цен базового актива подчиняется логнормальному закону. Анализ полученных результатов позволил утверждать, что существуют такие состояния рынка, при которых осуществить хеджирование не предоставляется возможным. Данный эффект не находится в противоречии с теорией Блэка-Шоулза, т.к. конфигурация областей «нехеджируемости» вырождается в пустое множество при достаточно большом количестве актов хеджирования и достаточно малом промежутке времени между актами хеджирования
...
02 01 2025 2:57:34
Статья в формате PDF
126 KB...
01 01 2025 16:12:43
Статья в формате PDF
106 KB...
31 12 2024 16:49:50
Статья в формате PDF
132 KB...
30 12 2024 20:55:54
К концу ХХ века накопилось огромное количество фактов и доказательств научной несостоятельности постулатов теории относительности (ТО), положенных в основу физических представлений о структуре микро- и макромира. ТО оторвала науку от изучения природных взаимосвязей, подменив их уравнениями с некими значками без чёткого понимания их сущности: масса, заряд, магнетизм и т.д. Игнорирование законов Природы привело человечество к цивилизационному кризису – нарушено равновесие биосферы. Причина глобальных изменений состоит в том, что антропогенное производство энергии в десятки раз превышает допустимый по законам межсистемного обмена порог. Продолжение технократического развития – тупик, катастрофа. Необходимо новое естествопонимание на основе аксиомы: «Мир построен системно». Структура материального мира определяется взаимодействием непрерывной не материальной вихреобразной среды и дискретных образований материи – элементарных частиц, из которых закономерно и системно построено всё от атомов до звёзд и галактик.
...
29 12 2024 16:27:35
Статья в формате PDF
113 KB...
28 12 2024 22:59:56
Статья в формате PDF
272 KB...
27 12 2024 10:51:35
Статья в формате PDF
113 KB...
26 12 2024 8:21:27
Статья в формате PDF
115 KB...
25 12 2024 17:40:55
Статья в формате PDF
316 KB...
24 12 2024 10:52:24
На основе собственных фактических данных, полученных в процессе длительных наблюдений (1982-2000 гг.) за качественным состоянием каспийских осетровых, выявлена прострaнcтвенно-временная динамика патоморфологических и функциональных нарушений во внутренних органах рыб. С позиций современной патологии, регенерации экологическая и физиологическая пластичность современных каспийских осетровых рассматривается в связи с адаптивной модификацией и нормой реакции.
Обсуждаются вопросы дальнейшего изучения механизма регенерации в связи с известной гипотезой о существовании креаторной системы, выполняющей в организме регуляцию функциональной зависимости между клетками и органами.
...
23 12 2024 3:28:12
Статья в формате PDF
125 KB...
22 12 2024 23:52:28
Статья в формате PDF
85 KB...
21 12 2024 0:45:13
Статья в формате PDF
117 KB...
20 12 2024 13:46:56
Статья в формате PDF
114 KB...
19 12 2024 4:43:34
Статья в формате PDF
111 KB...
18 12 2024 8:19:54
Статья в формате PDF
110 KB...
17 12 2024 23:34:58
Статья в формате PDF
100 KB...
16 12 2024 18:26:43
Статья в формате PDF
101 KB...
15 12 2024 20:56:21
В работе рассматривается влияние краткосрочной изоляции в течение пяти суток на поведение крыс в открытом поле. Показано, что у крыс, находящихся в изоляции, уменьшается время выхода из центра, снижается сумма дефекаций и уринаций. Показатели ориентировочно-исследовательской реакции при повторном тестировании изменялись одинаково у изолированных и групповых крыс.
...
14 12 2024 16:23:58
Исследованы показатели окислительно-антиоксидантной системы (содержание малоновогодиальдегида, каталазная и общая антиоксидантная активности) мышечной ткани русского осетра и карпа при свинцовой интоксикации. В мышцах молоди осетра обнаружена активация перекисного окисления липидов и снижение общей антиоксидантной активности. В отличие от осетра у молоди карпаактивация перекисного окисления липидов сопровождается компенсаторным повышением общей антиоксидантной активности и поддержанием достаточно высокого уровня активности каталазы. Повышение активности каталазы осетра при значительной активации ПОЛ может быть связано с выходом фермента из клеточных органелл, вследствие лабилизации клеточных мембран. Полученные данные свидетельствуют о большей толерантности карпа к свинцовой интоксикации, по сравнению с контролем.
...
13 12 2024 4:21:42
Статья в формате PDF
100 KB...
12 12 2024 7:52:15
Статья в формате PDF
310 KB...
11 12 2024 1:13:45
Статья в формате PDF
141 KB...
10 12 2024 21:28:45
Статья в формате PDF
142 KB...
09 12 2024 4:17:52
Статья в формате PDF
135 KB...
08 12 2024 15:36:37
Статья в формате PDF
107 KB...
07 12 2024 21:59:28
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
