О КОНЕЧНЫХ ПОВОРОТАХ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ
Очевидно, твердое тело с неподвижной точкой может совершать только угловые перемещения. Эти перемещения называются поворотами. Основное свойство конечных поворотов твердого тела является их некоммутативность [1]. Рассмотрим это на простом примере. Пусть имеем твердое тело в форме прямоугольного параллелепипеда. Повернем параллелепипед сначала относительно оси x на 90 градусов, а затем относительно оси z на 90 градусов.
Эти повороты показаны на рис. 1. Далее изменим порядок поворотов и повернем параллелепипед сначала на 90° вокруг оси z а затем на 90° вокруг оси x (рис. 2).
Рис. 1. Расчётная схема №1
Рис. 2. Расчётная схема №2
Сравнение рис. 1 и 2 показывает, что конечное положение тела после двух поворотов зависит от их последовательности. Это и есть некоммутативность конечных поворотов. Из этого следует фундаментальное утверждение: конечные повороты твердого тела не обладают ни свойствами чисел, ни свойствами векторов.
Из теоремы Даламбера-Эйлера следует, что конечный поворот твердого тела с неподвижной точкой определяется четырьмя параметрами - углом конечного поворота и тремя направляющими косинусами оси конечного поворота. Угол конечного поворота обозначим через α, косинус угла между осью конечного поворота и осью x через l, косинус угла между осью конечного поворота и осью y через m,косинус угла между осью конечного поворота и осью z через n. Пусть в начальный момент времени подвижная система координат совпадает с неподвижной. После конечного поворота между подвижными и неподвижными осями образуются некоторые углы, косинусы которых представим в виде таблицы
Таблица 1
|
|
x |
h |
z |
|
x |
a11 |
a12 |
a13 |
|
y |
a21 |
a22 |
a23 |
|
z |
a31 |
a32 |
a33 |
Если таблица направляющих косинусов известна, то угол конечного поворота определяется по формуле
а направляющие косинусы оси конечного поворота определяются по формулам
Игрушка под названием «Кубик Рубика» известна всем. Конструкция кубика и правила, по которым производятся повороты, тесно связаны с теорией конечных поворотов твердого тела. На рис 3. для наглядности раскрашены только два кубика, и задача состоит в переводе кубика из положения 1 в положение 2. Необходимо определить, какие повороты необходимо произвести и найти угол конечного поворота и ориентацию оси конечного поворота.
Рис. 3. Исходное положение кубика Рубика
Нетрудно сообразить, что для перевода среднего кубика 1 в положение 2 необходимо 2 поворота. Первый поворот вокруг вертикальной оси на 90° и второйповорот вокруг горизонтальной оси на 90°. Эти повороты показаны на рис. 4.
То же самое перемещение можно осуществить с помощью одного поворота. Выбираем систему координат xyz следующим образом (рис. 5). Каждая ось направлена по внешней нормали к соответствующей грани кубика. Ось z по нормали к передней грани, ось y по нормали к нижней грани, а направление оси x выбираем так, чтобы система осей xyz оказалась правой. После поворота ориентация каждой грани меняется и система xyz переходит в систему x1y1z1.
Рис. 4. Совмещение кубиков за 2 поворота
Рис. 5. Совмещение кубиков за 1 поворот
Составляем таблицу направляющих косинусов.
Таблица 2
|
x1 |
y1 |
z1 |
|
|
x |
a11 = 0 |
a12 = 0 |
a13 = 1 |
|
y |
a21 = -1 |
a22 = 0 |
a23 = 0 |
|
z |
a31 = 0 |
a32 = -1 |
a33 = 0 |
Угол конечного поворота определяем по формуле
Подставляя сюда элементы таблицы направляющих косинусов, получаем α = 120°, после чего находим направляющие косинусы оси конечного поворота. После вычислений имеем
Из геометрии известно, что такие направляющие косинусы имеет прямая, проходящая через диагональ куба. Ось конечного поворота показана на рис. 6.
Рис. 6. Ось конечного поворота
Список литературы
1. Тарасов В.К. Курс теоретической механики для математиков. - ТулГУ, 2008. - 300 с.
Статья в формате PDF
133 KB...
18 04 2026 10:44:36
Статья в формате PDF
205 KB...
17 04 2026 20:17:52
Статья в формате PDF
130 KB...
16 04 2026 6:39:39
Статья в формате PDF
115 KB...
15 04 2026 7:34:32
Статья в формате PDF
156 KB...
14 04 2026 10:12:59
Статья в формате PDF
116 KB...
13 04 2026 13:42:47
Статья в формате PDF
100 KB...
12 04 2026 6:57:50
Статья в формате PDF
111 KB...
08 04 2026 21:36:51
Статья в формате PDF
113 KB...
06 04 2026 9:18:57
Статья в формате PDF
117 KB...
05 04 2026 7:21:27
В последние годы для сжигания как традиционных топлив, так и биомасс различного происхождения широко применяются газификационные технологии. Газификация чаще всего производится в кипящем слое при недостатке окислителя. Конструкции установок по газификации различных топлив отличаются, но не принципиально. Также близкими оказываются и параметры генераторного газа. Необходимо развитие установок и технологий по совместной переработке различных топлив.
...
03 04 2026 2:21:16
Статья в формате PDF
119 KB...
02 04 2026 17:52:42
Уникальность того или иного исторического события или явления определяется степенью его «вписанности» в процесс исторического развития. С этой точки зрения история Гражданской войны в России еще долгое время будет предметом жарких споров и многочисленных дискуссий как зарубежных, так и отечественных историков. Ведь, при изучении российской истории в период с 1917 по 1920 гг. сложно использовать как «военные», так и «гражданские» схемы анализа развития основных событий и процессов, они не могут дать исчерпывающего ответа на главный вопрос – почему личная безопасность человека и его выживания были главным мерилом всех ценностей российской государственности в 1917 – 1920 гг. Поэтому поиски ответов на сущностные проблемы понимания феномена Гражданской войны в России лежат в оценочных хаpaктеристиках современников революционных событий начала ХХ в., которые так или иначе связаны с определением государственной самоидентификации.
...
01 04 2026 20:57:42
Статья в формате PDF
112 KB...
31 03 2026 11:42:12
Статья в формате PDF
253 KB...
30 03 2026 4:12:31
Статья в формате PDF
99 KB...
29 03 2026 17:56:36
Статья в формате PDF
263 KB...
28 03 2026 21:52:20
Статья в формате PDF
323 KB...
26 03 2026 12:21:16
Рассматриваются особенности реализации методов развития критического мышления при изучении физики в средней школе.
...
25 03 2026 1:53:21
Статья в формате PDF
112 KB...
24 03 2026 4:39:42
Статья в формате PDF 327 KB...
23 03 2026 10:43:35
Статья в формате PDF
116 KB...
22 03 2026 14:51:32
Статья в формате PDF
124 KB...
21 03 2026 13:32:15
Статья в формате PDF
207 KB...
20 03 2026 13:44:15
Статья в формате PDF
111 KB...
19 03 2026 23:21:35
Рассмотрены проекты, связанные с инновациями. Определены понятия: «проект, содержащий инновацию», «проекты, связанные с инновациями», «проект, вовлекающий инновации». Дана концептуальная схема взаимосвязи проектов, связанных с инновациями. Приведены примеры различных проектов. Показаны различные виды технологических и информационных потоков в комплексе проектов, связанных с инновациями Введено понятие, «среды развития инновации». Рассмотрен пример трaнcпортной инфраструктуры как среды развития инноваций. Определены условия, при которых может возникнуть открытый инновационный проект. Дается схема мониторинга результата инновации. Показано различие между полем отношений и полем взаимодействия среды с результатом инновации. Показано, что комплекс проектов является взаимосвязанным. Поэтому при реализации системы управления инновациями этот комплекс должен быть принят за основу такой системы
...
18 03 2026 6:52:21
Статья в формате PDF
277 KB...
17 03 2026 18:34:51
Статья в формате PDF
99 KB...
15 03 2026 16:30:54
Статья в формате PDF
211 KB...
14 03 2026 18:50:41
Статья в формате PDF
116 KB...
13 03 2026 5:52:28
Статья в формате PDF
252 KB...
12 03 2026 11:25:43
Статья в формате PDF
131 KB...
11 03 2026 15:28:36
Проведен анализ поведения 380-летних изменений солнечной активности, температуры, осадков, солнечной радиации, штормистости и СО2. Обнаружена тенденция совпадения всех процессов на ветви роста 400-летних изменений. Показано, что основным фактором климатических изменений на Земле является солнечная активность. Для дальнейших сценариев существования человечества в обозримой перспективе, уже не так важно, что лежит в основе глобального повышения температуры, CO2, осадков … Теперь важно искать пути, как снизить риски глобальных климатических изменений на природу, биосферу и экономику. Важно также оценить факторы положительные экономического развития мирового сообщества в целом и России, в частности, вызванные этими изменениями. Показано, что своевременное отслеживание и прогнозирование изменения активности Солнца и вызванных ею земных явлений позволяют снижать экономические риски и выpaбатывать оптимальную стратегию для предотвращения природных катастроф.
...
10 03 2026 14:26:42
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
