О КОНЕЧНЫХ ПОВОРОТАХ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ

Авторы
Файлы

Цуркина Е.К. Статья в формате PDF 590 KB

Очевидно, твердое тело с неподвижной точкой может совершать только угловые перемещения. Эти перемещения называются поворотами. Основное свойство конечных поворотов твердого тела является их некоммутативность [1]. Рассмотрим это на простом примере. Пусть имеем твердое тело в форме прямоугольного параллелепипеда. Повернем параллелепипед сначала относительно оси x на 90 градусов, а затем относительно оси z на 90 градусов.

Эти повороты показаны на рис. 1. Далее изменим порядок поворотов и повернем параллелепипед сначала на 90° вокруг оси z а затем на 90° вокруг оси x (рис. 2).

Рис. 1. Расчётная схема №1

Рис. 2. Расчётная схема №2

Сравнение рис. 1 и 2 показывает, что конечное положение тела после двух поворотов зависит от их последовательности. Это и есть некоммутативность конечных поворотов. Из этого следует фундаментальное утверждение: конечные повороты твердого тела не обладают ни свойствами чисел, ни свойствами векторов.

Из теоремы Даламбера-Эйлера следует, что конечный поворот твердого тела с неподвижной точкой определяется четырьмя параметрами - углом конечного поворота и тремя направляющими косинусами оси конечного поворота. Угол конечного поворота обозначим через α, косинус угла между осью конечного поворота и осью x через l, косинус угла между осью конечного поворота и осью y через m,косинус угла между осью конечного поворота и осью z через n. Пусть в начальный момент времени подвижная система координат совпадает с неподвижной. После конечного поворота между подвижными и неподвижными осями образуются некоторые углы, косинусы которых представим в виде таблицы

Таблица 1

	x	h	z
x	a₁₁	a₁₂	a₁₃
y	a₂₁	a₂₂	a₂₃
z	a₃₁	a₃₂	a₃₃

Если таблица направляющих косинусов известна, то угол конечного поворота определяется по формуле

а направляющие косинусы оси конечного поворота определяются по формулам

Игрушка под названием «Кубик Рубика» известна всем. Конструкция кубика и правила, по которым производятся повороты, тесно связаны с теорией конечных поворотов твердого тела. На рис 3. для наглядности раскрашены только два кубика, и задача состоит в переводе кубика из положения 1 в положение 2. Необходимо определить, какие повороты необходимо произвести и найти угол конечного поворота и ориентацию оси конечного поворота.

Рис. 3. Исходное положение кубика Рубика

Нетрудно сообразить, что для перевода среднего кубика 1 в положение 2 необходимо 2 поворота. Первый поворот вокруг вертикальной оси на 90° и второйповорот вокруг горизонтальной оси на 90°. Эти повороты показаны на рис. 4.

То же самое перемещение можно осуществить с помощью одного поворота. Выбираем систему координат xyz следующим образом (рис. 5). Каждая ось направлена по внешней нормали к соответствующей грани кубика. Ось z по нормали к передней грани, ось y по нормали к нижней грани, а направление оси x выбираем так, чтобы система осей xyz оказалась правой. После поворота ориентация каждой грани меняется и система xyz переходит в систему x₁y₁z₁.

Рис. 4. Совмещение кубиков за 2 поворота

Рис. 5. Совмещение кубиков за 1 поворот

Составляем таблицу направляющих косинусов.

Таблица 2

	x₁	y₁	z₁
x	a₁₁ = 0	a₁₂ = 0	a₁₃ = 1
y	a₂₁ = -1	a₂₂ = 0	a₂₃ = 0
z	a₃₁ = 0	a₃₂ = -1	a₃₃ = 0

Угол конечного поворота определяем по формуле

Подставляя сюда элементы таблицы направляющих косинусов, получаем α = 120°, после чего находим направляющие косинусы оси конечного поворота. После вычислений имеем

Из геометрии известно, что такие направляющие косинусы имеет прямая, проходящая через диагональ куба. Ось конечного поворота показана на рис. 6.

Рис. 6. Ось конечного поворота

Список литературы

1. Тарасов В.К. Курс теоретической механики для математиков. - ТулГУ, 2008. - 300 с.

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ КОМБИНИРОВАННОЙ ТЕРАПИИ БОЛЬНЫХ ЯЗВЕННОЙ БОЛЕЗНЬЮ ПРИ ПОМОЩИ БИОУПРАВЛЯЕМОЙ ЦВЕТОСТИМУЛЯЦИИ БЕЛЫМ СВЕТОМ И МИЛЛИМЕТРОВЫМИ ВОЛНАМИ

Статья в формате PDF 109 KB...

17 06 2026 21:45:59

ИЗМЕНЕНИЯ В СИСТЕМЕ ЦИТОКИНОВ У ПАЦИЕНТОВ С ТЯЖЕЛОЙ СТЕПЕНЬЮ АТЕРОСКЛЕРОТИЧЕСКОГО ПОРАЖЕНИЯ КОРОНАРНОГО РУСЛА ПЕРЕД ПРОВЕДЕНИЕМ ОПЕРАЦИИ АОРТОКОРОНАРНОГО ШУНТИРОВАНИЯ

Статья в формате PDF 129 KB...

16 06 2026 5:41:36

Никитюк Надежда Федоровна

Статья в формате PDF 68 KB...

15 06 2026 1:35:39

ВЛИЯНИЕ ЛЕСНЫХ ПОЖАРОВ НА ЭКОЛОГИЧЕСКУЮ СИТУАЦИЮ

Статья в формате PDF 254 KB...

14 06 2026 12:15:14

ОЦЕНКА МОРФОФУНКЦИОНАЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ СОВРЕМЕННЫХ КАСПИЙСКИХ ОСЕТРОВЫХ

Статья в формате PDF 121 KB...

13 06 2026 11:49:38

КАЧЕЛИ ЛЕДНИКОВЫХ ПЕРИОДОВ

Поскольку средняя температура Земли очень медленно уменьшается из-за удаления от Солнца вследствие расширения Вселенной, то достаточно резкие изменения температуры в пределах нескольких градусов могут происходить только в результате прострaнcтвенных и временных колебаний на самой планете. Такие колебания происходят чередованием ледниковых периодов на северных побережьях Атлантического и Тихого океанов. Анализ длительности ледниковых периодов и межледниковий Атлантического побережья позволяет утверждать, что такие качели действительно существуют, и в настоящее время происходит смена Тихоокеанского оледенения Атлантическим. Данная гипотеза позволит объяснить гибель динозавров, эволюцию лошади, расселение человека и прогнозировать глобальные изменения климата. ...

12 06 2026 21:19:32

Структура собеседования

Статья в формате PDF 254 KB...

11 06 2026 2:44:16

НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ БАЗА В ИНТЕГРИРОВАННОМ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНОМ ИНЖЕНЕРНОМ УЧРЕЖДЕНИИ

Статья в формате PDF 240 KB...

10 06 2026 7:24:12

СЛУЧАИ НЕПОЛНОГО СОГЛАСОВАНИЯ ЧЛЕНОВ ПРЕДЛОЖЕНИЯ В АБАЗИНСКОМ ЯЗЫКЕ

Статья в формате PDF 207 KB...

09 06 2026 4:33:16

ПОКАЗАТЕЛИ ЛАЗЕРНОЙ ДОППЛЕРОВСКОЙ ФЛУОМЕТРИИ ПРИ ХРОНИЧЕСКОМ ГЕНЕРАЛИЗОВАННОМ ПАРОДОНТИТЕ, И ПОСЛЕ ЕГО ЛЕЧЕНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПРЕПАРАТА «ДОКСИЛАН»

Статья в формате PDF 311 KB...

08 06 2026 2:30:17

ПЕРЕКИСНОЕ ОКИСЛЕНИЕ ЛИПИДОВ И ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ ПЕЧЕНИ ПОСЛЕ КАРДИОХИРУРГИЧЕСКИХ ВМЕШАТЕЛЬСТВ

Статья в формате PDF 125 KB...

07 06 2026 6:44:15

ИННОВАЦИОННЫЙ ПОДХОД К СНИЖЕНИЮ ТЕПЛОВОЙ НАГРУЗКИ В ЗОНЕ РЕЗАНИЯ ПРИ ЧИСТОВОМ ТОЧЕНИИ

Статья в формате PDF 361 KB...

06 06 2026 7:22:57

ПРИМЕНЕНИЕ АЛЮМИНИЕВО-ЛИТИЕВЫХ СПЛАВОВ ДЛЯ ОСОБО ОТВЕТСТВЕННЫХ АГРЕГАТОВ ЛА

Статья в формате PDF 303 KB...

05 06 2026 5:10:44

Модульно-рейтинговая технология как средство повышения эффективности обучения физике (монография)

Статья в формате PDF 268 KB...

04 06 2026 8:21:51

ФОРМИРОВАНИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗОВ

Статья в формате PDF 110 KB...

03 06 2026 17:14:49

НАШ ОПЫТ ЛЕЧЕНИЯ ПОЛИПОЗНЫХ РИНОСИНУСИТОВ

Статья в формате PDF 309 KB...

02 06 2026 0:43:32

АНАЛИЗ ОТНОШЕНИЯ ГИНЕКОЛОГИЧЕСКИХ БОЛЬНЫХ К СОСТОЯНИЮ СВОЕГО ЗДОРОВЬЯ

Статья в формате PDF 206 KB...

01 06 2026 17:28:15

КРАТКИЙ СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ (электронное пособие)

Статья в формате PDF 89 KB...

31 05 2026 21:18:43

ДИФФУЗИЯ МОЧЕВИНЫ ЧЕРЕЗ ПОЛУПРОНИЦАЕМУЮ МЕМБРАНУ В РЕЖИМАХ ФРАКЦИОННОГО И ПРОТОЧНОГО ДИАЛИЗА

Статья в формате PDF 86 KB...

30 05 2026 18:14:51

ИСПЫТАНИЕ РАСТУЩЕГО ДЕРЕВА

По результатам измерений ширины годичных слоев на рабочей части керна и определения радиального роста дерева, и последующей идентификации по ним статистической закономерности, выполняют прогнозирование на ретроспективу на число лет с начала рабочей зоны керна до момента начала жизни измеряемого учетного дерева. ...