О КОНЕЧНЫХ ПОВОРОТАХ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ

Очевидно, твердое тело с неподвижной точкой может совершать только угловые перемещения. Эти перемещения называются поворотами. Основное свойство конечных поворотов твердого тела является их некоммутативность [1]. Рассмотрим это на простом примере. Пусть имеем твердое тело в форме прямоугольного параллелепипеда. Повернем параллелепипед сначала относительно оси x на 90 градусов, а затем относительно оси z на 90 градусов.
Эти повороты показаны на рис. 1. Далее изменим порядок поворотов и повернем параллелепипед сначала на 90° вокруг оси z а затем на 90° вокруг оси x (рис. 2).
Рис. 1. Расчётная схема №1
Рис. 2. Расчётная схема №2
Сравнение рис. 1 и 2 показывает, что конечное положение тела после двух поворотов зависит от их последовательности. Это и есть некоммутативность конечных поворотов. Из этого следует фундаментальное утверждение: конечные повороты твердого тела не обладают ни свойствами чисел, ни свойствами векторов.
Из теоремы Даламбера-Эйлера следует, что конечный поворот твердого тела с неподвижной точкой определяется четырьмя параметрами - углом конечного поворота и тремя направляющими косинусами оси конечного поворота. Угол конечного поворота обозначим через α, косинус угла между осью конечного поворота и осью x через l, косинус угла между осью конечного поворота и осью y через m,косинус угла между осью конечного поворота и осью z через n. Пусть в начальный момент времени подвижная система координат совпадает с неподвижной. После конечного поворота между подвижными и неподвижными осями образуются некоторые углы, косинусы которых представим в виде таблицы
Таблица 1
|
|
x |
h |
z |
|
x |
a11 |
a12 |
a13 |
|
y |
a21 |
a22 |
a23 |
|
z |
a31 |
a32 |
a33 |
Если таблица направляющих косинусов известна, то угол конечного поворота определяется по формуле
а направляющие косинусы оси конечного поворота определяются по формулам
Игрушка под названием «Кубик Рубика» известна всем. Конструкция кубика и правила, по которым производятся повороты, тесно связаны с теорией конечных поворотов твердого тела. На рис 3. для наглядности раскрашены только два кубика, и задача состоит в переводе кубика из положения 1 в положение 2. Необходимо определить, какие повороты необходимо произвести и найти угол конечного поворота и ориентацию оси конечного поворота.
Рис. 3. Исходное положение кубика Рубика
Нетрудно сообразить, что для перевода среднего кубика 1 в положение 2 необходимо 2 поворота. Первый поворот вокруг вертикальной оси на 90° и второйповорот вокруг горизонтальной оси на 90°. Эти повороты показаны на рис. 4.
То же самое перемещение можно осуществить с помощью одного поворота. Выбираем систему координат xyz следующим образом (рис. 5). Каждая ось направлена по внешней нормали к соответствующей грани кубика. Ось z по нормали к передней грани, ось y по нормали к нижней грани, а направление оси x выбираем так, чтобы система осей xyz оказалась правой. После поворота ориентация каждой грани меняется и система xyz переходит в систему x1y1z1.
Рис. 4. Совмещение кубиков за 2 поворота
Рис. 5. Совмещение кубиков за 1 поворот
Составляем таблицу направляющих косинусов.
Таблица 2
|
x1 |
y1 |
z1 |
|
|
x |
a11 = 0 |
a12 = 0 |
a13 = 1 |
|
y |
a21 = -1 |
a22 = 0 |
a23 = 0 |
|
z |
a31 = 0 |
a32 = -1 |
a33 = 0 |
Угол конечного поворота определяем по формуле
Подставляя сюда элементы таблицы направляющих косинусов, получаем α = 120°, после чего находим направляющие косинусы оси конечного поворота. После вычислений имеем
Из геометрии известно, что такие направляющие косинусы имеет прямая, проходящая через диагональ куба. Ось конечного поворота показана на рис. 6.
Рис. 6. Ось конечного поворота
Список литературы
1. Тарасов В.К. Курс теоретической механики для математиков. - ТулГУ, 2008. - 300 с.
Статья в формате PDF
474 KB...
17 06 2026 1:20:52
Депо-моделирование описывает круговые процессы в метаболизме, качели депо-пулов, обратные связи между ними, связь воспаления и энергетики в организме, медленные ритмы в метаболизме. Сравнительное изучение противодействия дегенеративным процессам в консервативном и восстановительном лечении показывает, что формирование медленных ритмов, при которых воспаление и дегенеративные процессы идут по менее повреждающему и более оновляющему ткани сценарию, и с повышением энергоэффективности клеток, более успешно происходит при восстановительном, чем при консервативном лечении. Слабые медленные (недели, сезоны) отрицательные и положительные обратные связи отличают метод восстановительного лечения от сильных и быстрых (часы, сутки, 2 недели) при консервативном.
...
16 06 2026 10:25:23
Статья в формате PDF
122 KB...
15 06 2026 4:17:52
Статья в формате PDF
190 KB...
13 06 2026 22:22:10
Статья в формате PDF
347 KB...
11 06 2026 11:43:16
Статья в формате PDF
118 KB...
10 06 2026 8:10:56
09 06 2026 13:42:21
Статья в формате PDF
100 KB...
08 06 2026 5:42:24
Статья в формате PDF
269 KB...
07 06 2026 7:35:25
Статья в формате PDF
132 KB...
06 06 2026 3:30:15
Статья в формате PDF
141 KB...
05 06 2026 10:25:38
04 06 2026 9:46:45
Статья в формате PDF
109 KB...
03 06 2026 10:56:16
В статье рассмотрен интенсивный подход к структурированию экономики и обоснованию стратегий региональной экономической политики повышения качества кластера процессов жизнеобеспечения.
...
02 06 2026 15:14:30
Статья в формате PDF
100 KB...
01 06 2026 20:30:43
Статья в формате PDF
114 KB...
31 05 2026 11:15:51
Статья в формате PDF
127 KB...
29 05 2026 22:55:58
Статья в формате PDF
261 KB...
28 05 2026 16:21:29
Статья в формате PDF
111 KB...
27 05 2026 16:13:21
Статья в формате PDF
117 KB...
26 05 2026 4:56:13
Статья в формате PDF
142 KB...
25 05 2026 13:11:26
Статья в формате PDF
105 KB...
24 05 2026 1:33:59
Статья в формате PDF
220 KB...
23 05 2026 23:54:41
Статья в формате PDF
130 KB...
21 05 2026 23:16:36
Статья в формате PDF
106 KB...
19 05 2026 9:12:46
Статья в формате PDF
109 KB...
17 05 2026 17:42:24
Статья в формате PDF
205 KB...
14 05 2026 21:38:11
Статья в формате PDF
242 KB...
13 05 2026 1:37:31
Статья в формате PDF
116 KB...
12 05 2026 0:37:25
Статья в формате PDF
114 KB...
11 05 2026 11:38:50
Статья в формате PDF
313 KB...
10 05 2026 18:16:55
Статья в формате PDF
122 KB...
09 05 2026 8:15:21
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::