О КОНЕЧНЫХ ПОВОРОТАХ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ

Авторы
Файлы

Цуркина Е.К. Статья в формате PDF 590 KB

Очевидно, твердое тело с неподвижной точкой может совершать только угловые перемещения. Эти перемещения называются поворотами. Основное свойство конечных поворотов твердого тела является их некоммутативность [1]. Рассмотрим это на простом примере. Пусть имеем твердое тело в форме прямоугольного параллелепипеда. Повернем параллелепипед сначала относительно оси x на 90 градусов, а затем относительно оси z на 90 градусов.

Эти повороты показаны на рис. 1. Далее изменим порядок поворотов и повернем параллелепипед сначала на 90° вокруг оси z а затем на 90° вокруг оси x (рис. 2).

Рис. 1. Расчётная схема №1

Рис. 2. Расчётная схема №2

Сравнение рис. 1 и 2 показывает, что конечное положение тела после двух поворотов зависит от их последовательности. Это и есть некоммутативность конечных поворотов. Из этого следует фундаментальное утверждение: конечные повороты твердого тела не обладают ни свойствами чисел, ни свойствами векторов.

Из теоремы Даламбера-Эйлера следует, что конечный поворот твердого тела с неподвижной точкой определяется четырьмя параметрами - углом конечного поворота и тремя направляющими косинусами оси конечного поворота. Угол конечного поворота обозначим через α, косинус угла между осью конечного поворота и осью x через l, косинус угла между осью конечного поворота и осью y через m,косинус угла между осью конечного поворота и осью z через n. Пусть в начальный момент времени подвижная система координат совпадает с неподвижной. После конечного поворота между подвижными и неподвижными осями образуются некоторые углы, косинусы которых представим в виде таблицы

Таблица 1

	x	h	z
x	a₁₁	a₁₂	a₁₃
y	a₂₁	a₂₂	a₂₃
z	a₃₁	a₃₂	a₃₃

Если таблица направляющих косинусов известна, то угол конечного поворота определяется по формуле

а направляющие косинусы оси конечного поворота определяются по формулам

Игрушка под названием «Кубик Рубика» известна всем. Конструкция кубика и правила, по которым производятся повороты, тесно связаны с теорией конечных поворотов твердого тела. На рис 3. для наглядности раскрашены только два кубика, и задача состоит в переводе кубика из положения 1 в положение 2. Необходимо определить, какие повороты необходимо произвести и найти угол конечного поворота и ориентацию оси конечного поворота.

Рис. 3. Исходное положение кубика Рубика

Нетрудно сообразить, что для перевода среднего кубика 1 в положение 2 необходимо 2 поворота. Первый поворот вокруг вертикальной оси на 90° и второйповорот вокруг горизонтальной оси на 90°. Эти повороты показаны на рис. 4.

То же самое перемещение можно осуществить с помощью одного поворота. Выбираем систему координат xyz следующим образом (рис. 5). Каждая ось направлена по внешней нормали к соответствующей грани кубика. Ось z по нормали к передней грани, ось y по нормали к нижней грани, а направление оси x выбираем так, чтобы система осей xyz оказалась правой. После поворота ориентация каждой грани меняется и система xyz переходит в систему x₁y₁z₁.

Рис. 4. Совмещение кубиков за 2 поворота

Рис. 5. Совмещение кубиков за 1 поворот

Составляем таблицу направляющих косинусов.

Таблица 2

	x₁	y₁	z₁
x	a₁₁ = 0	a₁₂ = 0	a₁₃ = 1
y	a₂₁ = -1	a₂₂ = 0	a₂₃ = 0
z	a₃₁ = 0	a₃₂ = -1	a₃₃ = 0

Угол конечного поворота определяем по формуле

Подставляя сюда элементы таблицы направляющих косинусов, получаем α = 120°, после чего находим направляющие косинусы оси конечного поворота. После вычислений имеем

Из геометрии известно, что такие направляющие косинусы имеет прямая, проходящая через диагональ куба. Ось конечного поворота показана на рис. 6.

Рис. 6. Ось конечного поворота

Список литературы

1. Тарасов В.К. Курс теоретической механики для математиков. - ТулГУ, 2008. - 300 с.

СПОСОБ ДЫМОГЕНЕРАЦИИ В СРЕДЕ ИНЕРТНОГО ГАЗА С ИНДУКТИВНЫМ ПОДВОДОМ ЭНЕРГИИ

Статья в формате PDF 474 KB...

17 06 2026 1:20:52

ДЕПО-МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОТИВОДЕЙСТВИЯ ДЕГЕНЕРАТИВНЫМ ПРОЦЕССАМ В КОНСЕРВАТИВНОМ И ВОССТАНОВИТЕЛЬНОМ ЛЕЧЕНИИ

Депо-моделирование описывает круговые процессы в метаболизме, качели депо-пулов, обратные связи между ними, связь воспаления и энергетики в организме, медленные ритмы в метаболизме. Сравнительное изучение противодействия дегенеративным процессам в консервативном и восстановительном лечении показывает, что формирование медленных ритмов, при которых воспаление и дегенеративные процессы идут по менее повреждающему и более оновляющему ткани сценарию, и с повышением энергоэффективности клеток, более успешно происходит при восстановительном, чем при консервативном лечении. Слабые медленные (недели, сезоны) отрицательные и положительные обратные связи отличают метод восстановительного лечения от сильных и быстрых (часы, сутки, 2 недели) при консервативном. ...

16 06 2026 10:25:23

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРИ КОМПЛЕКСНОМ ОСВОЕНИИ ТЕПЛОВЫХ И ТОПЛИВНЫХ РЕСУРСОВ НЕДР

Статья в формате PDF 122 KB...

15 06 2026 4:17:52

LASER ****L ACUPUNCTURA

Статья в формате PDF 102 KB...

14 06 2026 18:58:34

КВАНТОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Статья в формате PDF 190 KB...

13 06 2026 22:22:10

ЗНАЧЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПРИ ОБУЧЕНИИ ФИЗИКЕ

Статья в формате PDF 312 KB...

12 06 2026 23:10:47

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОТПЕЧАТКОВ ПАЛЬЦЕВ В ЗАДАЧАХ БИОМЕТРИЧЕСКОГО ОГРАНИЧЕНИЯ ДОСТУПА

Статья в формате PDF 347 KB...

11 06 2026 11:43:16

СОСТОЯНИЕ ЦЕНОПОПУЛЯЦИЙ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ ОРХИДНЫХ ЮЖНОГО ПРИУРАЛЬЯ

Статья в формате PDF 118 KB...

10 06 2026 8:10:56

ПЕРСПЕКТИВЫ ЗАМЕЩАЮЩЕЙ ТЕРАПИИ ХРОНИЧЕСКОЙ ПОЧЕЧНОЙ НЕДОСТАТОЧНОСТИ МНОГОЛЕТНИМ ПРОГРАММНЫМ ГЕМОДИАЛИЗОМ

Статья в формате PDF 91 KB...

09 06 2026 13:42:21

ГЛЮТАТИОНОВАЯ СИСТЕМА МОЗГА НОВОРОЖДЕННЫХ КРЫСЯТ, ПРЕНАТАЛЬНО ПОЛУЧАВШИХ АЦЕТАТ СВИНЦА

Статья в формате PDF 100 KB...

08 06 2026 5:42:24

СОЦИАЛЬНО-ДЕМОГРАФИЧЕСКИЙ ПРОФИЛЬ: ФАКТОРЫ И ФОРМЫ ПРОЯВЛЕНИЯ БЕДНОСТИ РОССИЙСКОГО НАСЕЛЕНИЯ

Статья в формате PDF 269 KB...

07 06 2026 7:35:25

УСТОЙЧИВОСТЬ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ТРАНСНАЦИОАНЛЬНЫХ КОРПОРАЦИЙ И ТЕХНОЛОГИИ ЕЕ ПОВЫШЕНИЯ

Статья в формате PDF 132 KB...

06 06 2026 3:30:15

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (учебно-методическое пособие)

Статья в формате PDF 141 KB...

05 06 2026 10:25:38

АККЛИМАТИЗАЦИОННЫЕ ОСОБЕННОСТИ ХРЯКОВ ПОРОДЫ ЛАНДРАС НЕМЕЦКОЙ И ФИНСКОЙ СЕЛЕКЦИИ В УСЛОВИЯХ СРЕДНЕГО ПОВОЛЖЬЯ

Статья в формате PDF 87 KB...

04 06 2026 9:46:45

МЕЖРЕГИОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ НА БАЗЕ УНИВЕРСИТЕТСКИХ КОМПЛЕКСОВ

Статья в формате PDF 109 KB...

03 06 2026 10:56:16

МЕТОДОЛОГИЯ ФОРМИРОВАНИЯ И РАЗВИТИЯ КЛАСТЕРА ПРОЦЕССОВ КАЧЕСТВА ЖИЗНЕОБЕСПЕЧЕНИЯ: ИННОВАЦИОННЫЙ ПОДХОД РАЗВИТИЯ РЕГИОНОВ

В статье рассмотрен интенсивный подход к структурированию экономики и обоснованию стратегий региональной экономической политики повышения качества кластера процессов жизнеобеспечения. ...