О КОНЕЧНЫХ ПОВОРОТАХ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ > Полезные советы
Тысяча полезных мелочей    

О КОНЕЧНЫХ ПОВОРОТАХ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ

О КОНЕЧНЫХ ПОВОРОТАХ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ

Цуркина Е.К. Статья в формате PDF 590 KB

Очевидно, твердое тело с неподвижной точкой может совершать только угловые перемещения. Эти перемещения называются поворотами. Основное свойство конечных поворотов твердого тела является их некоммутативность [1]. Рассмотрим это на простом примере. Пусть имеем твердое тело в форме прямоугольного параллелепипеда. Повернем параллелепипед сначала относительно оси x на 90 градусов, а затем относительно оси z на 90 градусов.

Эти повороты показаны на рис. 1. Далее изменим порядок поворотов и повернем параллелепипед сначала на 90° вокруг оси z а затем на 90° вокруг оси x (рис. 2).

Рис. 1. Расчётная схема №1

Рис. 2. Расчётная схема №2

Сравнение рис. 1 и 2 показывает, что конечное положение тела после двух поворотов зависит от их последовательности. Это и есть некоммутативность конечных поворотов. Из этого следует фундаментальное утверждение: конечные повороты твердого тела не обладают ни свойствами чисел, ни свойствами векторов.

Из теоремы Даламбера-Эйлера следует, что конечный поворот твердого тела с неподвижной точкой определяется четырьмя параметрами - углом конечного поворота и тремя направляющими косинусами оси конечного поворота. Угол конечного поворота обозначим через α, косинус угла между осью конечного поворота и осью x через l, косинус угла между осью конечного поворота и осью y через m,косинус угла между осью конечного поворота и осью z через n. Пусть в начальный момент времени подвижная система координат совпадает с неподвижной. После конечного поворота между подвижными и неподвижными осями образуются некоторые углы, косинусы которых представим в виде таблицы

Таблица 1  

 

x

h

z

x

a11

a12

a13

y

a21

a22

a23

z

a31

a32

a33

Если таблица направляющих косинусов известна, то угол конечного поворота определяется по формуле

а направляющие косинусы оси конечного поворота определяются по формулам

Игрушка под названием «Кубик Рубика» известна всем. Конструкция кубика и правила, по которым производятся повороты, тесно связаны с теорией конечных поворотов твердого тела. На рис 3. для наглядности раскрашены только два кубика, и задача состоит в переводе кубика из положения 1 в положение 2. Необходимо определить, какие повороты необходимо произвести и найти угол конечного поворота и ориентацию оси конечного поворота.

 

Рис. 3. Исходное положение кубика Рубика

Нетрудно сообразить, что для перевода среднего кубика 1 в положение 2 необходимо 2 поворота. Первый поворот вокруг вертикальной оси на 90° и второйповорот вокруг горизонтальной оси на 90°. Эти повороты показаны на рис. 4.

То же самое перемещение можно осуществить с помощью одного поворота. Выбираем систему координат xyz следующим образом (рис. 5). Каждая ось направлена по внешней нормали к соответствующей грани кубика. Ось z по нормали к передней грани, ось y по нормали к нижней грани, а направление оси x выбираем так, чтобы система осей xyz оказалась правой. После поворота ориентация каждой грани меняется и система xyz переходит в систему x1y1z1.

Рис. 4. Совмещение кубиков за 2 поворота

Рис. 5. Совмещение кубиков за 1 поворот

Составляем таблицу направляющих косинусов.

Таблица 2

 

x1

y1

z1

x

a11 = 0

a12 = 0

a13 = 1

y

a21 = -1

a22 = 0

a23 = 0

z

a31 = 0

a32 = -1

a33 = 0

Угол конечного поворота определяем по формуле

Подставляя сюда элементы таблицы направляющих косинусов, получаем α = 120°, после чего находим направляющие косинусы оси конечного поворота. После вычислений имеем

Из геометрии известно, что такие направляющие косинусы имеет прямая, проходящая через диагональ куба. Ось конечного поворота показана на рис. 6.

Рис. 6. Ось конечного поворота

Список литературы

1. Тарасов В.К. Курс теоретической механики для математиков. - ТулГУ, 2008. - 300 с.



Никитюк Надежда Федоровна

Никитюк Надежда Федоровна Статья в формате PDF 68 KB...

15 06 2026 1:35:39

ВЛИЯНИЕ ЛЕСНЫХ ПОЖАРОВ НА ЭКОЛОГИЧЕСКУЮ СИТУАЦИЮ

ВЛИЯНИЕ ЛЕСНЫХ ПОЖАРОВ НА ЭКОЛОГИЧЕСКУЮ СИТУАЦИЮ Статья в формате PDF 254 KB...

14 06 2026 12:15:14

КАЧЕЛИ ЛЕДНИКОВЫХ ПЕРИОДОВ

КАЧЕЛИ ЛЕДНИКОВЫХ ПЕРИОДОВ Поскольку средняя температура Земли очень медленно уменьшается из-за удаления от Солнца вследствие расширения Вселенной, то достаточно резкие изменения температуры в пределах нескольких градусов могут происходить только в результате прострaнcтвенных и временных колебаний на самой планете. Такие колебания происходят чередованием ледниковых периодов на северных побережьях Атлантического и Тихого океанов. Анализ длительности ледниковых периодов и межледниковий Атлантического побережья позволяет утверждать, что такие качели действительно существуют, и в настоящее время происходит смена Тихоокеанского оледенения Атлантическим. Данная гипотеза позволит объяснить гибель динозавров, эволюцию лошади, расселение человека и прогнозировать глобальные изменения климата. ...

12 06 2026 21:19:32

Структура собеседования

Структура собеседования Статья в формате PDF 254 KB...

11 06 2026 2:44:16

НАШ ОПЫТ ЛЕЧЕНИЯ ПОЛИПОЗНЫХ РИНОСИНУСИТОВ

Статья в формате PDF 309 KB...

02 06 2026 0:43:32

ИСПЫТАНИЕ РАСТУЩЕГО ДЕРЕВА

ИСПЫТАНИЕ РАСТУЩЕГО ДЕРЕВА По результатам измерений ширины годичных слоев на рабочей части керна и определения радиального роста дерева, и последующей идентификации по ним статистической закономерности, выполняют прогнозирование на ретроспективу на число лет с начала рабочей зоны керна до момента начала жизни измеряемого учетного дерева. ...

29 05 2026 0:49:48

СЕЛЕКЦИЯ И ГЕНЕТИКА PINUS SYLVESTRIS L. В ОСТРОВНЫХ БОРАХ

СЕЛЕКЦИЯ И ГЕНЕТИКА PINUS SYLVESTRIS L. В ОСТРОВНЫХ БОРАХ Статья в формате PDF 111 KB...

22 05 2026 23:12:58

МЯСОРАСТИТЕЛЬНЫЕ КОНСЕРВЫ «КАША С БАРАНИНОЙ»

МЯСОРАСТИТЕЛЬНЫЕ КОНСЕРВЫ «КАША С БАРАНИНОЙ» Статья в формате PDF 253 KB...

17 05 2026 16:56:58

ДАШКЕВИЧ ЮРИЙ МИХАЙЛОВИЧ

ДАШКЕВИЧ ЮРИЙ МИХАЙЛОВИЧ Статья в формате PDF 64 KB...

16 05 2026 21:26:53

Деринат-отечественный природный иммуномодулятор

Деринат-отечественный природный иммуномодулятор Статья в формате PDF 109 KB...

15 05 2026 3:58:31

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ВИДА 0/0

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ВИДА 0/0 Статья в формате PDF 459 KB...

12 05 2026 11:46:40

Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::