О КОНЕЧНЫХ ПОВОРОТАХ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ

Авторы
Файлы

Цуркина Е.К. Статья в формате PDF 590 KB

Очевидно, твердое тело с неподвижной точкой может совершать только угловые перемещения. Эти перемещения называются поворотами. Основное свойство конечных поворотов твердого тела является их некоммутативность [1]. Рассмотрим это на простом примере. Пусть имеем твердое тело в форме прямоугольного параллелепипеда. Повернем параллелепипед сначала относительно оси x на 90 градусов, а затем относительно оси z на 90 градусов.

Эти повороты показаны на рис. 1. Далее изменим порядок поворотов и повернем параллелепипед сначала на 90° вокруг оси z а затем на 90° вокруг оси x (рис. 2).

Рис. 1. Расчётная схема №1

Рис. 2. Расчётная схема №2

Сравнение рис. 1 и 2 показывает, что конечное положение тела после двух поворотов зависит от их последовательности. Это и есть некоммутативность конечных поворотов. Из этого следует фундаментальное утверждение: конечные повороты твердого тела не обладают ни свойствами чисел, ни свойствами векторов.

Из теоремы Даламбера-Эйлера следует, что конечный поворот твердого тела с неподвижной точкой определяется четырьмя параметрами - углом конечного поворота и тремя направляющими косинусами оси конечного поворота. Угол конечного поворота обозначим через α, косинус угла между осью конечного поворота и осью x через l, косинус угла между осью конечного поворота и осью y через m,косинус угла между осью конечного поворота и осью z через n. Пусть в начальный момент времени подвижная система координат совпадает с неподвижной. После конечного поворота между подвижными и неподвижными осями образуются некоторые углы, косинусы которых представим в виде таблицы

Таблица 1

	x	h	z
x	a₁₁	a₁₂	a₁₃
y	a₂₁	a₂₂	a₂₃
z	a₃₁	a₃₂	a₃₃

Если таблица направляющих косинусов известна, то угол конечного поворота определяется по формуле

а направляющие косинусы оси конечного поворота определяются по формулам

Игрушка под названием «Кубик Рубика» известна всем. Конструкция кубика и правила, по которым производятся повороты, тесно связаны с теорией конечных поворотов твердого тела. На рис 3. для наглядности раскрашены только два кубика, и задача состоит в переводе кубика из положения 1 в положение 2. Необходимо определить, какие повороты необходимо произвести и найти угол конечного поворота и ориентацию оси конечного поворота.

Рис. 3. Исходное положение кубика Рубика

Нетрудно сообразить, что для перевода среднего кубика 1 в положение 2 необходимо 2 поворота. Первый поворот вокруг вертикальной оси на 90° и второйповорот вокруг горизонтальной оси на 90°. Эти повороты показаны на рис. 4.

То же самое перемещение можно осуществить с помощью одного поворота. Выбираем систему координат xyz следующим образом (рис. 5). Каждая ось направлена по внешней нормали к соответствующей грани кубика. Ось z по нормали к передней грани, ось y по нормали к нижней грани, а направление оси x выбираем так, чтобы система осей xyz оказалась правой. После поворота ориентация каждой грани меняется и система xyz переходит в систему x₁y₁z₁.

Рис. 4. Совмещение кубиков за 2 поворота

Рис. 5. Совмещение кубиков за 1 поворот

Составляем таблицу направляющих косинусов.

Таблица 2

	x₁	y₁	z₁
x	a₁₁ = 0	a₁₂ = 0	a₁₃ = 1
y	a₂₁ = -1	a₂₂ = 0	a₂₃ = 0
z	a₃₁ = 0	a₃₂ = -1	a₃₃ = 0

Угол конечного поворота определяем по формуле

Подставляя сюда элементы таблицы направляющих косинусов, получаем α = 120°, после чего находим направляющие косинусы оси конечного поворота. После вычислений имеем

Из геометрии известно, что такие направляющие косинусы имеет прямая, проходящая через диагональ куба. Ось конечного поворота показана на рис. 6.

Рис. 6. Ось конечного поворота

Список литературы

1. Тарасов В.К. Курс теоретической механики для математиков. - ТулГУ, 2008. - 300 с.

НАРУШЕНИЯ ЗДОРОВЬЯ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ДИОКСИНАМИ

Статья в формате PDF 111 KB...

29 03 2026 17:59:33

Диагностика и перспективы лечения гепатита "С" в г. Смоленске

Статья в формате PDF 106 KB...

28 03 2026 23:23:16

ПРИМЕНЕНИЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ РАЗВИВАЮЩЕЙ ТЕХНОЛОГИИ «ИНТЕЛЛЕКТ» НА УРОКАХ РУССКОГО ЯЗЫКА

Статья в формате PDF 167 KB...

27 03 2026 15:39:17

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ВНУТРИАРТЕРИАЛЬНОЙ ИНФУЗИОННОЙ ТЕРАПИИ ПРИ ИШЕМИЧЕСКИХ ОПТИЧЕСКИХ НЕЙРОПАТИЯХ

Статья в формате PDF 119 KB...

26 03 2026 3:30:40

УПРАВЛЕНИЕ КАЧЕСТВОМ. КУРС В СХЕМАХ (учебное пособие)

Статья в формате PDF 114 KB...

25 03 2026 10:13:51

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЯДРЫШЕК В ЯДРАХ ЛИМФОЦИТОВ ПЕРИФЕРИЧЕСКОЙ КРОВИ У ПРЕДСТАВИТЕЛЕЙ МАЛЫХ ЭТНИЧЕСКИХ ГРУПП КУЗБАССА

Статья в формате PDF 136 KB...

24 03 2026 4:44:21

Влияние энергетического кризиса 1973 года на экономику РФ

Статья в формате PDF 278 KB...

23 03 2026 13:35:32

ГЕНЕРАЦИЯ ДЕНДРИТНЫХ КЛЕТОК ИЗ КЛЕТОКПРЕДШЕСТВЕННИКОВ КОСТНОМОЗГОВОГО ПРОИСХОЖДЕНИЯ

Статья в формате PDF 134 KB...

22 03 2026 8:30:57

ВАЛЕОЛОГИЧЕСКОЕ ОБУЧЕНИЕ СТУДЕНТОВ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА С УЧЕТОМ ЭКОЛОГИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЕЙ РЕГИОНА

Статья в формате PDF 220 KB...

21 03 2026 2:18:24

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СЛОЖНОКООРДИНАЦИОННЫХ ТРЕНИРОВОЧНЫХ УПРАЖНЕНИЙ В ПОДГОТОВКЕ ЮНЫХ ФУТБОЛИСТОВ

Статья в формате PDF 300 KB...

20 03 2026 19:38:54

ОЦЕНКА ФИЗИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ ПОДРОСТКОВ АЛТАЙСКОГО КРАЯ

Статья в формате PDF 131 KB...

19 03 2026 10:34:46

САТУРАТОРЫ ИНЖЕКТОРНОГО ТИПА

Статья в формате PDF 91 KB...

18 03 2026 21:22:31

КОРРЕКЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ГЕСТОЗА С ПОМОЩЬЮ ИНГИБИТОРА АРГИНАЗ L-НОРВАЛИНА И ИНГИБИТОРА ФОСФОДИЭСТЕРАЗЫ 5 ТАДАЛАФИЛА

Статья в формате PDF 320 KB...

17 03 2026 2:21:11

СРАВНИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ ЧЕРЕЗ ПРИЗМУ ГЕНДЕРНЫХ РАЗЛИЧИЙ

Сравнительные конструкции рассматриваются с позиции гендерного аспекта. Представлены результаты направленного ассоциативного эксперимента, который позволил выявить различия в женском и мужском конструировании, употрeблении и восприятии сравнительных конструкций. ...

16 03 2026 12:21:25

АКТИВНОСТЬ КИШЕЧНЫХ ФЕРМЕНТОВ В ФАЗУ РЕМИССИИ ЯЗВЕННОЙ БОЛЕЗНИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ВИДА ПРОВЕДЕННОЙ ТЕРАПИИ, ДЛИТЕЛЬНОСТИ ЗАБОЛЕВАНИЯ, ОСОБЕННОСТЕЙ КЛИНИЧЕСКОЙ КАРТИНЫ И ПОЛА ПАЦИЕНТОВ

Статья в формате PDF 119 KB...

15 03 2026 23:54:11

Клинико-иммуноморфологическое исследование эпителиоцитов десны у больных с хроническим катаральным гингивитом

Статья в формате PDF 105 KB...

14 03 2026 2:28:10

ВНЕСЕНИЕ СО2 ЭКСТРАКТА РОЗМАРИНА В ХЛЕБ

Статья в формате PDF 253 KB...

13 03 2026 8:35:28

Я И МОЁ ЗДОРОВЬЕ

В статье излагается позиция автора о необходимости максимально ответственно относиться к своему здоровью, исходя из объективных предпосылок нашего времени. ...

12 03 2026 6:29:20

ГЕРМАНСКИЕ ФАШИСТЫ В УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЯХ ИРАНА

Статья в формате PDF 106 KB...

11 03 2026 8:29:34

НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ИНТЕГРАЦИИ СИСТЕМЫ ВЫСШЕЙ МЕДИЦИНСКОЙ ШКОЛЫ 

Статья в формате PDF 303 KB...

10 03 2026 15:19:43

Об устойчивости одного класса стохастических систем

Статья в формате PDF 108 KB...

09 03 2026 14:18:43

ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ МАГНИТНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ НА ТРИБОТЕХНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СТАЛИ

Статья в формате PDF 254 KB...

08 03 2026 15:32:57

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫЕ ПРОЕКТЫ КАК ФАКТОР ФОРМИРОВАНИЯ ТВОРЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ

Школьная научно-исследовательская деятельность – это сочетание приемов и методов, направленных на решение актуальных проблем, которые служат активизации познавательной деятельности учащихся. Научно-исследовательская работа учащихся – это пpaктическая работа поискового хаpaктера, которая способствует расширению знаний учащихся, развитию их пpaктических умений. В процессе создания естественнонаучных проектов у школьников возрастает познавательный интерес к общим законам природы, стремление к приобретению обширных знаний, обогащается умственная деятельность учащихся, развивается умение мыслить творчески. ...