О КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ С ГЛАДКОЙ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИЕЙ
Рассмотрим следующую краевую задачу:
(1)
с граничными условиями
(2)
где потенциал q(x) - суммируемая функция, удовлетворяющая условию
(3)
В уравнении (1) число λ - спектральный параметр, функция ρ(x) называется весовой функцией, функция q(x) называется потенциалом, число n - порядок дифференциального оператора (1)-(2), n = 2, 3, 4, ...
Мы будем предполагать, что весовая функция ρ(x) является достаточно гладкой: .
Автором разработан метод нахождения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач типа (1)-(2) при условии выполнения (3). Для случая n = 2, ρ(x) = 1 другой метод был продемонстрирован в фундаментальной работе [1].
Кроме дифференциального уравнения (1), рассмотрим также вспомогательное дифференциальное уравнение
(4)
Для изучения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач, связанных с дифференциальным уравнением (1), необходимо знать асимптотику решений дифференциальных уравнений (1) и (4).
Пусть - некоторая фиксированная ветвь корня, выбранная условием .
Пусть ωk - корни n-й степени из единицы, то есть n = 2, 3, 4, ...; k = 1, 2, ..., n - 1, n. Эти числа удовлетворяют следующим свойствам: m = 1, 2, 3, ..., n - 1.
Теорема 1. Решение дифференциального уравнения (1) является решением следующего интегрального уравнения Вольтерра:
(5)
где yk(x, s) (k = 1, 2, ..., n) - фундаментальная система решений вспомогательного дифференциального уравнения (4), Δ0(s) - определитель Вронского этих решений:
при этом несложно доказать, что Δ0(s) не зависит от x, Ck(k = 1,2,...,n) - произвольные постоянные.
Из формулы (5) методом последовательных приближений Пикара можно вывести асимптотику решений дифференциального уравнения (1). Для дифференциального оператора второго порядка это было сделано автором в работе [2].
При этом из теоремы 1 видно, что для нахождения асимптотики решений дифференциального уравнения (1) необходимо знать асимптотику решений { yk (x,s) , k = 1,2,..,n } вспомогательного дифференциального уравнения (4) при больших значениях спектрального параметра λ (то есть асимптотику при |s| → + ∞ ).
Теорема 2. Общее решение вспомогательного дифференциального уравнения (4) имеет следующий вид:
(6)
где Ck (k = 1,2,..,n) - произвольные постоянные, yk(x, s) - линейно независимые решения дифференциального уравнения (4), причём при |s| → + ∞ ). справедливы следующие асимптотические разложения:
k = 1,2, .., n (7)
Идею разложения вида (7) мы нашли в монографии М.В. Федорюка [3].
Введём следующие обозначения:
(8)
Через «+...» в формулах (7) и (8) обозначены следующие выражения:
Условие позволяет асимптотические разложения вида (7) дифференцировать почлeнно n раз (n = 2, 3, ...). При этом мы получим:
(9)
При этом в формуле (10) Ψm-8 (x) - некоторая функция, причём если у сомножителя (aωks)m-p (p = 1, 2, 3, ...) степень m - p становится меньше нуля, то это слагаемое обнуляется.
Приведём ещё пару формул для Фpn (x,s) в равенстве (9):
При этом на коэффициенты Bpn,m, Dpn,m, E pn,m, (p = 1, 2, 3, ...) из формул (10)-(12) нами впервые получены реккурентные соотношения, из которых методом математической индукции можно вывести формулы для этих коэффициентов в явном виде и тем самым получить асимптотические формулы для решений вспомогательного дифференциального уравнения (4) (и дифференциального уравнения (1) тоже), а также асимптотические формулы для собственных значений краевой задачи (1)-(2).
Например:
Если мы подставим формулы (9)-(13) при n = 2 (или при n = 3) в дифференциальное уравнение (1) (при n = 2, или при n = 3), приведём подобные слагаемые и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях s (этот метод называется методом последовательных приближений Хорна), то найдём в явном виде коэффициенты A1k2 (x), A2k2 (x), .. (или A1k3 (x), A2k3 (x),.. ). Это не было сделано ни в монографии [3], ни в других работах.
Впервые это было сделано автором в §3 главы 5 монографии [4].
Приведём явные формулы, полученные нами.
Введём необходимые нам обозначения:
Из формул (9)-(13) получаем:
(15)
(17)
Список литературы
- Винокуров В.А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Известия РАН. Серия: матем. - 2000. - Т. 64, №4. - С. 47-108.
- Митрохин С.И. О спектральных свойствах дифференциального оператора с суммируемым потенциалом и гладкой весовой функцией. - Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. - 2008. - №8/1(67). - С. 172-187.
- Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1983. - 352 с.
- Митрохин С.И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. - М.: ИНТУИТ, 2009. - 364 с.
Статья в формате PDF
125 KB...
19 04 2026 8:12:35
В результате патогенетического обоснования компьютерной дермографии (КД) изучены возможности использования этого метода при бронхиальной астме (БА) у 176 пациентов в возрасте от 3 до 15 лет. Показаны возможности использования КД для диагностики периода БА, форм тяжести и тяжести приступа заболевания, дифференциальной диагностики интермиттирующей и персистирующей БА, контроля течения и оценки эффективности терапии у детей и подростков.
...
18 04 2026 10:20:37
Статья в формате PDF
92 KB...
17 04 2026 3:35:28
Статья в формате PDF
142 KB...
16 04 2026 19:46:34
Статья в формате PDF
256 KB...
15 04 2026 6:55:55
Статья в формате PDF
109 KB...
14 04 2026 14:29:55
Статья в формате PDF
242 KB...
13 04 2026 18:23:29
Статья в формате PDF
390 KB...
12 04 2026 7:59:35
Статья в формате PDF
109 KB...
11 04 2026 12:20:12
Проведено изучение показателей агрегационной активности тромбоцитов у 126 пациентов, находившихся на лечении с диагнозом острый панкреатит. Из общего количества пациентов нетяжелое течение острого панкреатита отмечено у 67 (53,1 %) больных, не тяжелое у 59 (46,8 %) пациентов. Установлено, что не зависимо от тяжести течения, отмечается усиление агрегационной активности тромбоцитов, которые полностью восстанавливаются к пятнадцатым суткам при нетяжелом течение острого панкреатита и частично при тяжелом течении этого заболевания.
...
10 04 2026 17:56:51
Статья в формате PDF
101 KB...
09 04 2026 13:27:53
Статья в формате PDF
240 KB...
08 04 2026 5:20:25
Статья в формате PDF
106 KB...
07 04 2026 21:10:18
Статья в формате PDF
112 KB...
06 04 2026 18:52:45
Статья в формате PDF
104 KB...
05 04 2026 20:54:33
Статья в формате PDF
171 KB...
04 04 2026 4:31:29
Статья в формате PDF
355 KB...
03 04 2026 17:43:48
Статья в формате PDF
145 KB...
02 04 2026 11:20:57
Статья в формате PDF
109 KB...
01 04 2026 3:22:55
Статья в формате PDF
110 KB...
31 03 2026 1:34:50
Статья в формате PDF
133 KB...
30 03 2026 0:17:58
Статья в формате PDF
257 KB...
29 03 2026 5:13:32
Статья в формате PDF
227 KB...
28 03 2026 20:59:27
Статья в формате PDF
412 KB...
26 03 2026 19:28:17
Статья в формате PDF
112 KB...
25 03 2026 1:47:30
Статья в формате PDF
122 KB...
24 03 2026 19:57:23
Статья в формате PDF
238 KB...
23 03 2026 16:24:30
Организация полноценного процесса познания предполагает реализацию развивающего образования и самообразования, непрерывность данного процесса на всех его ступенях. Понятие интегрирует в себе процесс и итог познания сущности предметов, явлений, включает рефлексивные процессы мышления, обеспечивая их необратимость, свернутость, системность. Эмоциональное отношение ребенка к изучаемому материалу создает в мышлении своеобразную доминанту, поддерживающую любознательность и интерес. Основная особенность опытно-экспериментальной деятельности состоит в наличии возможности управлять ходом изучения явления, здесь ребенок проявляет собственную активность и творчество в процессе получения новых знаний. Опытно-экспериментальную деятельность по развитию естественнонаучных понятий необходимо строить в соответствии с четырьмя этапами диалектического познания: основание - ядро - следствие – общие критические истолкования, а также с учетом обобщенного плана проведения опыта: цель - схема - ход - результат. Методика организации опытно-экспериментальной деятельности по развитию естественнонаучных понятий дошкольников и младших школьников раскрыта нами на примере понятия «свет». Развитие естественнонаучных понятий дошкольников и младших школьников эффективно в условиях личностно-ориентированного образования, обращенного к чувствам, индивидуально неповторимому миру человека.
...
21 03 2026 19:53:42
Статья в формате PDF
96 KB...
20 03 2026 10:12:24
Статья в формате PDF
319 KB...
19 03 2026 1:46:11
Статья в формате PDF
120 KB...
18 03 2026 4:16:10
Статья в формате PDF
207 KB...
17 03 2026 1:10:21
Статья в формате PDF
118 KB...
16 03 2026 7:46:27
Статья в формате PDF
133 KB...
14 03 2026 10:19:42
Для определения возможности использования кристаллографического метода в оценке нарушений cпepматогенеза при действии химических факторов были изучены кристаллограммы лизата cпepматозоидов крыс после введения НДМГ в дозах 5, 25, 40 и 70 мг/кг. Экспериментальные исследования проводились на белых крысах-самцах. Анализ тезиограмм показал превалирование нарушений с увеличением введенной дозы НДМГ, начальные нарушения выявляются на ранних сроках, во всех диапазонах доз НДМГ. Максимальные нарушения прослеживаются при острой интоксикации в дозе 70 мг/кг и сроке 24 часа, о чем свидетельствует увеличение центров кристаллизации, формированием грубых монокристаллов и поликристаллов. Изменения кристаллоографической картины в тезиограммах лизата cпepмы крыс свидетельствуют о метаболических изменениях в cпepматозоидах, развивающихся в ответ на действие НДМГ, что позволяет рекомендовать кристаллографические методы для оценки действия репродуктивных токсикантов и они могут служить индикаторами функционального состояния организма.
...
13 03 2026 14:12:39
Статья в формате PDF
115 KB...
12 03 2026 21:37:23
Костная ткань обладает целым рядом уникальных физических свойств. Наиболее ценными с производственной точки зрения, представляются только некоторые из них: жесткость, твердость, упругость, эластичность. Наш научный интерес проявился на два основных свойства: жесткость и эластичность.
...
11 03 2026 10:47:13
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
