О КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ С ГЛАДКОЙ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИЕЙ

Авторы
Файлы

Митрохин С.И. Статья в формате PDF 1463 KB

Рассмотрим следующую краевую задачу:

(1)

с граничными условиями

(2)

где потенциал q(x) - суммируемая функция, удовлетворяющая условию

(3)

В уравнении (1) число λ - спектральный параметр, функция ρ(x) называется весовой функцией, функция q(x) называется потенциалом, число n - порядок дифференциального оператора (1)-(2), n = 2, 3, 4, ...

Мы будем предполагать, что весовая функция ρ(x) является достаточно гладкой: .

Автором разработан метод нахождения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач типа (1)-(2) при условии выполнения (3). Для случая n = 2, ρ(x) = 1 другой метод был продемонстрирован в фундаментальной работе [1].

Кроме дифференциального уравнения (1), рассмотрим также вспомогательное дифференциальное уравнение

(4)

Для изучения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач, связанных с дифференциальным уравнением (1), необходимо знать асимптотику решений дифференциальных уравнений (1) и (4).

Пусть - некоторая фиксированная ветвь корня, выбранная условием .
Пусть ω_k - корни n-й степени из единицы, то есть n = 2, 3, 4, ...; k = 1, 2, ..., n - 1, n. Эти числа удовлетворяют следующим свойствам: m = 1, 2, 3, ..., n - 1.

Теорема 1. Решение дифференциального уравнения (1) является решением следующего интегрального уравнения Вольтерра:

(5)

где y_k(x, s) (k = 1, 2, ..., n) - фундаментальная система решений вспомогательного дифференциального уравнения (4), Δ₀(s) - определитель Вронского этих решений:

при этом несложно доказать, что Δ₀(s) не зависит от x, C_k(k = 1,2,...,n) - произвольные постоянные.

Из формулы (5) методом последовательных приближений Пикара можно вывести асимптотику решений дифференциального уравнения (1). Для дифференциального оператора второго порядка это было сделано автором в работе [2].

При этом из теоремы 1 видно, что для нахождения асимптотики решений дифференциального уравнения (1) необходимо знать асимптотику решений { y_k (x,s) , k = 1,2,..,n } вспомогательного дифференциального уравнения (4) при больших значениях спектрального параметра λ (то есть асимптотику при |s| → + ∞ ).

Теорема 2. Общее решение вспомогательного дифференциального уравнения (4) имеет следующий вид:

(6)

где C_k (k = 1,2,..,n) - произвольные постоянные, y_k(x, s) - линейно независимые решения дифференциального уравнения (4), причём при |s| → + ∞ ). справедливы следующие асимптотические разложения:

k = 1,2, .., n (7)

Идею разложения вида (7) мы нашли в монографии М.В. Федорюка [3].

Введём следующие обозначения:

(8)

Через «+...» в формулах (7) и (8) обозначены следующие выражения:

Условие позволяет асимптотические разложения вида (7) дифференцировать почлeнно n раз (n = 2, 3, ...). При этом мы получим:

(9)

При этом в формуле (10) Ψ_m-8 (x) - некоторая функция, причём если у сомножителя (aω_ks)^m-p (p = 1, 2, 3, ...) степень m - p становится меньше нуля, то это слагаемое обнуляется.

Приведём ещё пару формул для Ф_pn (x,s) в равенстве (9):

При этом на коэффициенты B_pn,m, D_pn,m, E _pn,m, (p = 1, 2, 3, ...) из формул (10)-(12) нами впервые получены реккурентные соотношения, из которых методом математической индукции можно вывести формулы для этих коэффициентов в явном виде и тем самым получить асимптотические формулы для решений вспомогательного дифференциального уравнения (4) (и дифференциального уравнения (1) тоже), а также асимптотические формулы для собственных значений краевой задачи (1)-(2).
Например:

Если мы подставим формулы (9)-(13) при n = 2 (или при n = 3) в дифференциальное уравнение (1) (при n = 2, или при n = 3), приведём подобные слагаемые и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях s (этот метод называется методом последовательных приближений Хорна), то найдём в явном виде коэффициенты A_1k2 (x), A_2k2 (x), .. (или A_1k3 (x), A_2k3 (x),.. ). Это не было сделано ни в монографии [3], ни в других работах.

Впервые это было сделано автором в §3 главы 5 монографии [4].

Приведём явные формулы, полученные нами.

Введём необходимые нам обозначения:

Из формул (9)-(13) получаем:

(15)

(17)

Список литературы

Винокуров В.А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Известия РАН. Серия: матем. - 2000. - Т. 64, №4. - С. 47-108.
Митрохин С.И. О спектральных свойствах дифференциального оператора с суммируемым потенциалом и гладкой весовой функцией. - Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. - 2008. - №8/1(67). - С. 172-187.
Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1983. - 352 с.
Митрохин С.И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. - М.: ИНТУИТ, 2009. - 364 с.

ПРОБЛЕМА ОЦЕНКИ ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ОСТАТОЧНОГО РЕСУРСА ОБОРУДОВАНИЯ НЕФТЕПЕРЕРАБОТКИ

Статья в формате PDF 117 KB...

10 05 2026 15:19:40

ДВУХУРОВНЕВАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЦИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ ХИМИИ В ЛИЦЕЕ РОСТОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО СТРОИТЕЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА

Статья в формате PDF 101 KB...

09 05 2026 2:59:13

СРАВНИТЕЛЬНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ФАРМАКОЛОГИЧЕСКОЙ ИММУНОКОРРЕКЦИИ ПЕНТАГЛОБИНОМ И ЛИКОПИДОМ У НЕДОНОШЕННЫХ ДЕТЕЙ ПРИ БАКТЕРИАЛЬНОЙ ПАТОЛОГИИ В НЕОНАТАЛЬНОМ ПЕРИОДЕ

Статья в формате PDF 141 KB...

08 05 2026 20:19:10

ИЗМЕНЧИВОСТЬ ОРИЕНТАЦИИ НОЖЕК ПОЗВОНКОВ НА РАЗНЫХ УРОВНЯХ ПОЗВОНОЧНОГО СТОЛБА В СВЯЗИ С ПОЛОМ И ВОЗРАСТОМ

Статья в формате PDF 106 KB...

07 05 2026 17:49:31

ПРАВОСЛАВИЕ И РАСКОЛ (ПО ПРОИЗВЕДЕНИЯМ ВЛАДИМИРА ЛИЧУТИНА «РАСКОЛ» И «СКИТАЛЬЦЫ»)

В работе рассматривается русский религиозный раскол, отраженный в творчестве Владимира Личутина, исследуются причины, истоки и последствия этой трагедии, разьявшей общество на две непримиримые стороны в XVII веке, который, по мнению автора, продолжается и поныне. Показано развитие национального самосознания нации, на которое влияют этнические приоритеты. Они обусловлены коллективной идентичностью на базе общности «крови и почвы», его едином историческом прошлом, территории, религиозными воззрениями этнос. Повествователь является посредником между изображенным и читателем, нередко выступая в роли свидетеля и истолкователя показанных лиц и событий. Ключевые слова: раскол, православие, Никон, царь Алексей Михайлович, Беловодье ...

06 05 2026 12:34:38

ХАРАКТЕРИСТИКА ВОЗРАСТНЫХ ИЗМЕНЕНИЙ СОДЕРЖАНИЯ ОБЩИХ ЛИПИДОВ И ХОЛЕСТЕРИНА В ПЛАЗМЕ КРОВИ У ИНТАКТНЫХ ЖИВОТНЫХ И ПОСЛЕ ВВЕДЕНИЯ ВИТАМИНА Е

Статья в формате PDF 111 KB...

05 05 2026 22:43:35

ВАРИАЦИОННО-ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОЙ САМОРГАНИЗАЦИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Статья в формате PDF 102 KB...

04 05 2026 5:21:35

УЧАСТИЕ ИНСУЛИНА В РЕГУЛЯЦИИ ЭЛЕКТРОЛИТОВЫДЕЛИТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ПОЧЕК

Статья в формате PDF 74 KB...

03 05 2026 23:21:39

ВЛИЯНИЕ АКТИВНЫХ ФОРМ КИСЛОРОДА НА ГИБЕЛЬ КЛЕТОК МЕРИСТЕМЫ ALLIUM FISTULOSUM

Статья в формате PDF 123 KB...

02 05 2026 23:27:38

ФЕРМЕНТНЫЕ ПРЕПАРАТЫ ИЗ ВНУТРЕННОСТЕЙ ПРУДОВЫХ РЫБ

Статья в формате PDF 259 KB...

01 05 2026 2:59:38

АНАЛИЗ ПОТРЕБНОСТИ НАСЕЛЕНИЯ В УСЛУГАХ ТРАДИЦИОННОЙ МЕДИЦИНЫ

Достоверными методами исследования потребности населения в традиционной медицине являются: опрос в «фокус-группе», анкетирование и интервьюирование. Выяснились: высокая готовность населения потрeбллять методы традиционной медицины; врачи готовы применять в своей пpaктике методы традиционной медицины в симбиозе с официальной; врачи нуждаются в дополнительном образовании в области традиционной медицины, на что следует обратить внимание органам здравоохранения. ...

30 04 2026 7:23:58

К изучению почвенных водорослей охраняемых территорий Северо-Западного Кавказа

Статья в формате PDF 114 KB...

29 04 2026 4:55:45

В ГОД КРОЛИКА – О КРОЛИКЕ!

Статья в формате PDF 244 KB...

28 04 2026 22:49:29

РЕСУРСОСБЕРЕГАЮЩАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ВОЗДЕЛЫВАНИЯ ОЗИМОЙ ПШЕНИЦЫ СОРТА ДЕЛЬТА ПО ПРЕДШЕСТВЕННИКУ СОЯ В УСЛОВИЯХ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ЗОНЫ КРАСНОДАРСКОГО КРАЯ

Статья в формате PDF 100 KB...

27 04 2026 20:28:12

РЕЗУЛЬТАТЫ МЕТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ ОБРАЗЦОВ, УПРОЧНЕННЫХ СТАТИКО-ИМПУЛЬСНЫМ МЕТОДОМ

Статья в формате PDF 474 KB...

26 04 2026 14:16:55

ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ПРИ ВХОЖДЕНИИ ОТЕЧЕСТВЕННЫХ ВУЗОВ В БОЛОНСКИЙ ПРОЦЕСС

Статья в формате PDF 280 KB...

25 04 2026 4:23:14

РОЛЬ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ В ПОДГОТОВКЕ БИОТЕХНОЛОГОВ ДЛЯ ПИЩЕВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ

Статья в формате PDF 137 KB...

24 04 2026 8:38:55

ВЕГЕТО-СОСУДИСТАЯ ДИСТОНИЯ У ДЕТЕЙ С ЗОБНОЙ БОЛЕЗНЬЮ НА СЕВЕРО-ВОСТОКЕ РОССИИ

Статья в формате PDF 119 KB...

23 04 2026 12:56:53

РОСТ И РАЗВИТИЕ ОРГАНОВ, ЖЕЛЁЗ ВНУТРЕННЕЙ СЕКРЕЦИИ У БЫЧКОВ НА РАДИОАКТИВНО ЗАГРЯЗНЁННОЙ ТЕРРИТОРИИ

Статья в формате PDF 235 KB...

22 04 2026 21:38:23

ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ХИТОЗАНА НА ВЫРАЖЕННОСТЬ АДАПТИВНЫХ ПРОЦЕССОВ В ОРГАНИЗМЕ КОРОВ СИММЕНТАЛЬСКОЙ ПОРОДЫ АВСТРИЙСКОЙ СЕЛЕКЦИИ В НОВЫХ ЭКОЛОГО-ХОЗЯЙСТВЕННЫХ УСЛОВИЯХ ЮЖНОГО УРАЛА

Статья в формате PDF 329 KB...

21 04 2026 19:47:14

ВОЗМОЖНОСТЬ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИММУНОСЕНСОРОВ В УРГЕНТНОЙ МЕДИЦИНЕ

Статья в формате PDF 127 KB...

20 04 2026 17:53:51

ОЦЕНКА КАЧЕСТВЕННОГО СОСТАВА ПОЧВЕННОГО ПОКРОВА КУРОРТНО-РЕКРЕАЦИОННОЙ ЗОНЫ РАСПОЛОЖЕНИЯ САНАТОРИЯ «МЕРКУРИЙ» ПРИ ВЕДЕНИИ ПОЧВЕННОГО ЭКОЛОГИЧЕСКОГО МОНИТОРИНГА

Статья в формате PDF 317 KB...

19 04 2026 12:23:18

РОЛЬ ПАТОФИЗИОЛОГИЧЕСКИХ И СОЦИАЛЬНО-ПСИХОЛОГИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ В РАЗВИТИИ ХРОНИЧЕСКОЙ ГИПОКСИИ ПЛОДА У ПЕРВОБЕРЕМЕННЫХ ЖЕНЩИН Г.КЕМЕРОВА

Статья в формате PDF 119 KB...

18 04 2026 5:46:49

ОРГАНИЗАЦИОННО-ЭКОНОМИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ПРЕДПРИЯТИЙ В ОСОБЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗОНАХ

Статья в формате PDF 226 KB...

17 04 2026 7:19:31

ВЕРХНЕОЛИГОЦЕН-НИЖНЕМИОЦЕНОВЫЙ АЛЛЮВИЙ В ПАЛЕОДОЛИНАХ ЗАПАДНЫХ ПРЕДГОРИЙ АЛТАЯ И ЛАНДШАФТНО-КЛИМАТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ЕГО НАКОПЛЕНИЯ

В западных предгорьях Алтая скважинами вскрыты погребенные долины, выполненные верхнеолигоцен-нижнемиоценовым аллювием. Литологические, минералогические, геохимические особенности этих отложений и спорово-пыльцевые спектры свидетельствуют об их накоплении, и формировании долин в условиях влажного умеренно теплого климата со среднегодовыми положительными температурами не ниже +3 °С и годовым количеством осадков не менее 800 мм. В это время здесь, в ныне самом засушливом районе Алтая со среднегодовым количеством осадков 200 мм, были развиты ландшафты хвойно-широколиственных и листопадных лесов тургайского типа с участием отдельных теплолюбивых субтропических элементов. ...