О КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ С ГЛАДКОЙ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИЕЙ

Авторы
Файлы

Митрохин С.И. Статья в формате PDF 1463 KB

Рассмотрим следующую краевую задачу:

(1)

с граничными условиями

(2)

где потенциал q(x) - суммируемая функция, удовлетворяющая условию

(3)

В уравнении (1) число λ - спектральный параметр, функция ρ(x) называется весовой функцией, функция q(x) называется потенциалом, число n - порядок дифференциального оператора (1)-(2), n = 2, 3, 4, ...

Мы будем предполагать, что весовая функция ρ(x) является достаточно гладкой: .

Автором разработан метод нахождения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач типа (1)-(2) при условии выполнения (3). Для случая n = 2, ρ(x) = 1 другой метод был продемонстрирован в фундаментальной работе [1].

Кроме дифференциального уравнения (1), рассмотрим также вспомогательное дифференциальное уравнение

(4)

Для изучения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач, связанных с дифференциальным уравнением (1), необходимо знать асимптотику решений дифференциальных уравнений (1) и (4).

Пусть - некоторая фиксированная ветвь корня, выбранная условием .
Пусть ω_k - корни n-й степени из единицы, то есть n = 2, 3, 4, ...; k = 1, 2, ..., n - 1, n. Эти числа удовлетворяют следующим свойствам: m = 1, 2, 3, ..., n - 1.

Теорема 1. Решение дифференциального уравнения (1) является решением следующего интегрального уравнения Вольтерра:

(5)

где y_k(x, s) (k = 1, 2, ..., n) - фундаментальная система решений вспомогательного дифференциального уравнения (4), Δ₀(s) - определитель Вронского этих решений:

при этом несложно доказать, что Δ₀(s) не зависит от x, C_k(k = 1,2,...,n) - произвольные постоянные.

Из формулы (5) методом последовательных приближений Пикара можно вывести асимптотику решений дифференциального уравнения (1). Для дифференциального оператора второго порядка это было сделано автором в работе [2].

При этом из теоремы 1 видно, что для нахождения асимптотики решений дифференциального уравнения (1) необходимо знать асимптотику решений { y_k (x,s) , k = 1,2,..,n } вспомогательного дифференциального уравнения (4) при больших значениях спектрального параметра λ (то есть асимптотику при |s| → + ∞ ).

Теорема 2. Общее решение вспомогательного дифференциального уравнения (4) имеет следующий вид:

(6)

где C_k (k = 1,2,..,n) - произвольные постоянные, y_k(x, s) - линейно независимые решения дифференциального уравнения (4), причём при |s| → + ∞ ). справедливы следующие асимптотические разложения:

k = 1,2, .., n (7)

Идею разложения вида (7) мы нашли в монографии М.В. Федорюка [3].

Введём следующие обозначения:

(8)

Через «+...» в формулах (7) и (8) обозначены следующие выражения:

Условие позволяет асимптотические разложения вида (7) дифференцировать почлeнно n раз (n = 2, 3, ...). При этом мы получим:

(9)

При этом в формуле (10) Ψ_m-8 (x) - некоторая функция, причём если у сомножителя (aω_ks)^m-p (p = 1, 2, 3, ...) степень m - p становится меньше нуля, то это слагаемое обнуляется.

Приведём ещё пару формул для Ф_pn (x,s) в равенстве (9):

При этом на коэффициенты B_pn,m, D_pn,m, E _pn,m, (p = 1, 2, 3, ...) из формул (10)-(12) нами впервые получены реккурентные соотношения, из которых методом математической индукции можно вывести формулы для этих коэффициентов в явном виде и тем самым получить асимптотические формулы для решений вспомогательного дифференциального уравнения (4) (и дифференциального уравнения (1) тоже), а также асимптотические формулы для собственных значений краевой задачи (1)-(2).
Например:

Если мы подставим формулы (9)-(13) при n = 2 (или при n = 3) в дифференциальное уравнение (1) (при n = 2, или при n = 3), приведём подобные слагаемые и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях s (этот метод называется методом последовательных приближений Хорна), то найдём в явном виде коэффициенты A_1k2 (x), A_2k2 (x), .. (или A_1k3 (x), A_2k3 (x),.. ). Это не было сделано ни в монографии [3], ни в других работах.

Впервые это было сделано автором в §3 главы 5 монографии [4].

Приведём явные формулы, полученные нами.

Введём необходимые нам обозначения:

Из формул (9)-(13) получаем:

(15)

(17)

Список литературы

Винокуров В.А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Известия РАН. Серия: матем. - 2000. - Т. 64, №4. - С. 47-108.
Митрохин С.И. О спектральных свойствах дифференциального оператора с суммируемым потенциалом и гладкой весовой функцией. - Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. - 2008. - №8/1(67). - С. 172-187.
Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1983. - 352 с.
Митрохин С.И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. - М.: ИНТУИТ, 2009. - 364 с.

ВАРИАНТ УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ПРОЦЕССА ГИДРООЧИСТКИ ДИЗЕЛЬНЫХ ФРАКЦИЙ С ЦЕЛЬЮ ПОЛУЧЕНИЯ ОСНОВ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ МАСЕЛ

Статья в формате PDF 255 KB...

07 11 2026 16:51:55

УТИЛИЗАЦИЯ РТУТЬСОДЕРЖАЩИХ ОТХОДОВ

В работе рассматривается процесс утилизации ртутьсодержащих соединений с использованием в качестве активного соединения кремния, что экономически более выгодно, чем использование порошкообразного титана. Рассматривается возможность миграции ртути в условиях возрастающей техногенной деятельности человечества. ...

06 11 2026 8:21:26

ФОРМА И ТОПОГРАФИЯ ПОДЖЕЛУДОЧНОЙ ЖЕЛЕЗЫ У КРЫСЫ

Поджелудочная железа белой крысы имеет три основные части – головка (дуоденальная часть), тело (пилорическая часть) и хвост (желудочно-селезеночная часть). По сравнению с человеком, она отличается большей рыхлостью, изогнутостью, разветвленностью. Встречаются два крайних варианта формы (в виде молотка или трилистника) и топографии поджелудочной железы у белой крысы. ...

05 11 2026 10:33:17

ПРОФЕССИОГРАММА КАК УСЛОВИЕ ЛИЧНОСТНО-ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО РОСТА СТУДЕНТА-ПЕДАГОГА

Статья в формате PDF 257 KB...

04 11 2026 10:53:47

КРУЖОК «ЮНЫЙ ХУДОЖНИК» КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ ТВОРЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Статья в формате PDF 242 KB...

03 11 2026 9:16:43

ТЕХНОЛОГИЯ РУБЛЕНЫХ ПОЛУФАБРИКАТОВ, ОБОГАЩЕННЫХ ЙОДОМ

Статья в формате PDF 255 KB...

02 11 2026 9:50:35

УПРАВЛЕНИЕ РАЗВИТИЕМ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ В РЕГИОНЕ

Статья в формате PDF 130 KB...

01 11 2026 18:15:41

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ЗАБОЛЕВАЕМОСТИ КЛЕЩЕВЫМ ЭНЦЕФАЛИТОМ

Разработана математическая модель прогнозирования инфекционной заболеваемости на модели природно-очаговой инфекции, возбудителем которой является вирус клещевого энцефалита. Математическая модель представлена в виде аддитивного временного ряда, включающая тренд, случайные компоненты и сезонные составляющие, имеющие разную периодичность: менее года, 3 года и многолетнюю. ...

31 10 2026 4:57:39

ПРИРОДА И ДРЕВНИЕ ЦИВИЛИЗАЦИИ (учебно-методическое пособие)

Статья в формате PDF 108 KB...

30 10 2026 22:17:10

ПАТОЛОГИЧЕСКАЯ АНАТОМИЯ И МОЛЕКУЛЯРНАЯ БИОЛОГИЯ НА РУБЕЖЕ ТЫСЯЧЕЛЕТИЙ

Статья в формате PDF 117 KB...

29 10 2026 10:33:37

ПЕРВИЧНО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ СИНХРОННЫЙ РАК КОЖИ У МУЖЧИН

Представлено описание клинического наблюдения больного 68 лет, с первично-множественным paком кожи, у которого диагностировано 288 опухолевых очагов, 67 из которых пролечено различними методами, такими как кототкодистанционная рентгенотерапия, хирургическое иссечение, криодеструкция. ...

28 10 2026 14:12:43

ГЕНЕТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ САМООПЫЛЕННЫХ ЛИНИЙ КУКУРУЗЫ СЕЛЕКЦИИ КБГУ В ОНТОГЕНЕЗЕ

Статья в формате PDF 124 KB...

27 10 2026 3:45:24

Определение экологической нагрузки на ландшафты города. Родники Ивановской области

Статья в формате PDF 254 KB...

26 10 2026 11:26:49

Оценка состояния здоровья недоношенных детей, перенесших искусственную вентиляцию легких в неонатальном периоде

Статья в формате PDF 101 KB...

25 10 2026 18:52:57

ТОВАРНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КОММЕРЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ (ПРИ ПОДГОТОВКЕ ТОВАРОВЕДОВ-ЭКСПЕРТОВ)

Статья в формате PDF 109 KB...

24 10 2026 15:12:15

ЭВОЛЮЦИЯ: 150 ЛЕТ ПОСЛЕ ДАРВИНА

После выхода в свет первого издания книги Дарвина “Происхождение видов путем естественного отбора” прошло 150 лет, но полной ясности в некоторых вопросах, которые вызвали затруднения еще у Дарвина, по-прежнему нет. В предлагаемой статье рассматривается, каким образом под давлением окружающей среды большая популяция, эволюционирующая градуально, превращается в малую группу, в соответствии с синтетической теорией эволюции. И каким образом «многообещающий уpoд» “сальтационистов”, порождение этой вымирающей популяции, совершив скачок и обзаведясь потомством, закладывает популяцию нового вида. Рассматриваются также природа «пульсаций» в теории ”пунктационного” равновесия и ряд других вопросов. ...

23 10 2026 3:47:37

ГОЛУБИ КАК БИОИНДИКАТОРЫ ЗАГРЯЗНЕНИЯ РАЙОНОВ Г. АЛМАТЫ

Статья в формате PDF 311 KB...

22 10 2026 19:29:24

НОВАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ КАРДИОВАСКУЛЯРНОГО РИСКА НА ОСНОВЕ ЭПИДЕМИОЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ В ЦИРКУМПОЛЯРНОМ РЕГИОНЕ

Уровень кардиодеструктивных заболеваний в циркумполярном регионе имеет тенденцию к устойчивому росту. На основании результатов эпидемиологических исследований и количественной оценки факторов риска развития патологии разработана региональная модель оценки кардиоваскулярного риска для населения Ямало-Ненецкого автономного округа, учитывающая факторы питания. При составлении модели использован метод расчета весовых показателей. Шкала включает показатели распространенности классических кардиоваскулярных факторов риска, а также показатели дополнительных алиментарных рисков: артериальная гипертония, избыточная масса тела и ожирение, уровень холестерина в крови, уровень потрeбления белка и пищевого натрия. Использование модели позволяет более эффективно решать вопросы прогноза, индивидуализировать программу профилактики. ...

21 10 2026 9:23:38

К ВОПРОСУ О ПОВЫШЕНИИ КАЧЕСТВА ОБРАЗОВАНИЯ В ШКОЛЕ

Статья в формате PDF 205 KB...

20 10 2026 21:46:43

ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ПЕРЕСТРОЙКИ ОРГАНИЗАЦИОННОЙ СТРУКТУРЫ ПРЕДПРИЯТИЯ НА МАРКЕТИНГОВУЮ КОНЦЕПЦИЮ УПРАВЛЕНИЯ

Статья в формате PDF 184 KB...

19 10 2026 8:35:44

Лимфатическая система как функциональная стресс-лимитирующая система организма

Статья в формате PDF 111 KB...

18 10 2026 17:13:55

ПРИЧИНЫ НЕСОСТОЯТЕЛЬНОСТИ РЕФОРМ П.А. СТОЛЫПИНА И С.Ю. ВИТТЕ

Статья в формате PDF 269 KB...

17 10 2026 3:38:10

ЭРИТРОМИЦИН В ДИАГНОСТИКЕ МОТОРНЫХ НАРУШЕНИЙ ТОНКОЙ КИШКИ У ПАЦИЕНТОВ С ХРОНИЧЕСКОЙ ДУОДЕНАЛЬНОЙ НЕПРОХОДИМОСТЬЮ И ГРЫЖЕЙ ПИЩЕВОДНОГО ОТВЕРСТИЯ ДИАФРАГМЫ

Статья в формате PDF 235 KB...

16 10 2026 16:12:57

ЛОГИКА СОХРАНЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БИОСИСТЕМ НА ПЛАНЕТЕ ЗЕМЛЯ

Статья в формате PDF 150 KB...

15 10 2026 1:39:58

ПРОДУКТИВНОСТЬ САХАРНОЙ СВЕКЛЫ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ХИМИЧЕСКИХ СРЕДСТВ ЗАЩИТЫ РАСТЕНИЙ, АНТИДЕПРЕССАНТОВ, СТИМУЛЯТОРОВ РОСТА И БИОПРЕПАРАТОВ

Статья в формате PDF 134 KB...

14 10 2026 0:11:57

О ДЕИФИКАЦИИ ДЕМОНОВ В ТАЙВАНЬСКОЙ ПОПУЛЯРНОЙ РЕЛИГИИ НА ПРИМЕРЕ КУЛЬТА ДЕМОНОВ ЮИНГУН (ДУХОВ, ИСПОЛНЯЮЩИХ ВСЕ ПРОШЕНИЯ)

Статья в формате PDF 153 KB...

13 10 2026 20:12:31

ДЕМЕТАЛЛИЗАЦИЯ ВИНОМАТЕРИАЛОВ ХИТИНСОДЕРЖАЩИМИ СОРБЕНТАМИ

Статья в формате PDF 89 KB...

12 10 2026 15:38:37

ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ЗАКОН Д.И. МЕНДЕЛЕЕВА – НОВАЯ ФОРМУЛИРОВКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ЗАКОНА

В связи с разработкой автором «Колебательной модели нейтрального атома» с включением «мирового эфира», в которой понятия «постоянный положительный заряд атомного ядра» и «кулоновское поле» становятся излишними, встает вопрос о новой формулировке Периодического закона. Такая формулировка предлагается в данной статье, где рассматривается также проблема математического выражения Периодического закона. В статье автор использует собственный вариант «Симметричной квантовой Периодической системы нейтральных атомов (СК-ПСА)», адекватный Колебательной модели. ...