О КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ С ГЛАДКОЙ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИЕЙ

Авторы
Файлы

Митрохин С.И. Статья в формате PDF 1463 KB

Рассмотрим следующую краевую задачу:

(1)

с граничными условиями

(2)

где потенциал q(x) - суммируемая функция, удовлетворяющая условию

(3)

В уравнении (1) число λ - спектральный параметр, функция ρ(x) называется весовой функцией, функция q(x) называется потенциалом, число n - порядок дифференциального оператора (1)-(2), n = 2, 3, 4, ...

Мы будем предполагать, что весовая функция ρ(x) является достаточно гладкой: .

Автором разработан метод нахождения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач типа (1)-(2) при условии выполнения (3). Для случая n = 2, ρ(x) = 1 другой метод был продемонстрирован в фундаментальной работе [1].

Кроме дифференциального уравнения (1), рассмотрим также вспомогательное дифференциальное уравнение

(4)

Для изучения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач, связанных с дифференциальным уравнением (1), необходимо знать асимптотику решений дифференциальных уравнений (1) и (4).

Пусть - некоторая фиксированная ветвь корня, выбранная условием .
Пусть ω_k - корни n-й степени из единицы, то есть n = 2, 3, 4, ...; k = 1, 2, ..., n - 1, n. Эти числа удовлетворяют следующим свойствам: m = 1, 2, 3, ..., n - 1.

Теорема 1. Решение дифференциального уравнения (1) является решением следующего интегрального уравнения Вольтерра:

(5)

где y_k(x, s) (k = 1, 2, ..., n) - фундаментальная система решений вспомогательного дифференциального уравнения (4), Δ₀(s) - определитель Вронского этих решений:

при этом несложно доказать, что Δ₀(s) не зависит от x, C_k(k = 1,2,...,n) - произвольные постоянные.

Из формулы (5) методом последовательных приближений Пикара можно вывести асимптотику решений дифференциального уравнения (1). Для дифференциального оператора второго порядка это было сделано автором в работе [2].

При этом из теоремы 1 видно, что для нахождения асимптотики решений дифференциального уравнения (1) необходимо знать асимптотику решений { y_k (x,s) , k = 1,2,..,n } вспомогательного дифференциального уравнения (4) при больших значениях спектрального параметра λ (то есть асимптотику при |s| → + ∞ ).

Теорема 2. Общее решение вспомогательного дифференциального уравнения (4) имеет следующий вид:

(6)

где C_k (k = 1,2,..,n) - произвольные постоянные, y_k(x, s) - линейно независимые решения дифференциального уравнения (4), причём при |s| → + ∞ ). справедливы следующие асимптотические разложения:

k = 1,2, .., n (7)

Идею разложения вида (7) мы нашли в монографии М.В. Федорюка [3].

Введём следующие обозначения:

(8)

Через «+...» в формулах (7) и (8) обозначены следующие выражения:

Условие позволяет асимптотические разложения вида (7) дифференцировать почлeнно n раз (n = 2, 3, ...). При этом мы получим:

(9)

При этом в формуле (10) Ψ_m-8 (x) - некоторая функция, причём если у сомножителя (aω_ks)^m-p (p = 1, 2, 3, ...) степень m - p становится меньше нуля, то это слагаемое обнуляется.

Приведём ещё пару формул для Ф_pn (x,s) в равенстве (9):

При этом на коэффициенты B_pn,m, D_pn,m, E _pn,m, (p = 1, 2, 3, ...) из формул (10)-(12) нами впервые получены реккурентные соотношения, из которых методом математической индукции можно вывести формулы для этих коэффициентов в явном виде и тем самым получить асимптотические формулы для решений вспомогательного дифференциального уравнения (4) (и дифференциального уравнения (1) тоже), а также асимптотические формулы для собственных значений краевой задачи (1)-(2).
Например:

Если мы подставим формулы (9)-(13) при n = 2 (или при n = 3) в дифференциальное уравнение (1) (при n = 2, или при n = 3), приведём подобные слагаемые и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях s (этот метод называется методом последовательных приближений Хорна), то найдём в явном виде коэффициенты A_1k2 (x), A_2k2 (x), .. (или A_1k3 (x), A_2k3 (x),.. ). Это не было сделано ни в монографии [3], ни в других работах.

Впервые это было сделано автором в §3 главы 5 монографии [4].

Приведём явные формулы, полученные нами.

Введём необходимые нам обозначения:

Из формул (9)-(13) получаем:

(15)

(17)

Список литературы

Винокуров В.А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Известия РАН. Серия: матем. - 2000. - Т. 64, №4. - С. 47-108.
Митрохин С.И. О спектральных свойствах дифференциального оператора с суммируемым потенциалом и гладкой весовой функцией. - Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. - 2008. - №8/1(67). - С. 172-187.
Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1983. - 352 с.
Митрохин С.И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. - М.: ИНТУИТ, 2009. - 364 с.

ПОДЖЕЛУДОЧНАЯ ЖЕЛЕЗА У БЕЛОЙ КРЫСЫ

Статья в формате PDF 297 KB...

09 07 2026 2:36:39

КОМПЛЕКСНЫЙ МОНИТОРИНГ ПОЧВЫ НЕСАНКЦИОНИРОВАННЫХ СВАЛОК ГОРОДА АСТРАХАНИ

Проведен анализ влияния несанкционированных свалок на почву в городе Астpaxaнь. Для анализа использовались физико-химические, микробиологические исследования и фитотестирование. В результате было определено количество в почве свинца, кадмия, меди, никеля, мышьяка, ртути в валовой форме, содержание бактерий группы кишечной палочки, энтерококков, патогенных бактерий, яиц гельминтов. Результаты фитотестирования определялись по всхожести и длине корня кресс-салата в почвенной вытяжке. Проанализированы полученные результаты и установлено влияние несанкционированных свалок на экосистему городской среды. ...

08 07 2026 4:48:26

РЕГУЛИРУЕМЫЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРИВОД ДЛЯ ТРАНСПОРТНОЙ МАШИНЫ

Статья в формате PDF 104 KB...

07 07 2026 20:10:53

ТЕОРИЯ СТРУКТУРНЫХ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ LiCO2

Статья в формате PDF 97 KB...

06 07 2026 20:52:20

УЛЬТРАЗВУКОВАЯ ТОПОГРАФИЧЕСКАЯ КАРТИНА ГЕМОФТАЛЬМА У ПАЦИЕНТОВ С САХАРНЫМ ДИАБЕТОМ

Статья в формате PDF 100 KB...

05 07 2026 1:25:56

Астрагалы Ставрополья как перспективные источники биологически активных соединений

Статья в формате PDF 104 KB...

04 07 2026 2:12:23

ЭТИОЛОГИЯ, ДИАГНОСТИКА И СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛЕЧЕНИЯ ДИФФУЗНОГО ТОКСИЧЕСКОГО ЗОБА

Статья в формате PDF 280 KB...

03 07 2026 5:46:49

Морфо-функциональные особенности лимфоидной ткани тонкой и толстой кишок у взрослого человека

Статья в формате PDF 115 KB...

02 07 2026 4:26:11

Изучение показателя повреждения нейтрофилов у больных псориазом

Статья в формате PDF 115 KB...

01 07 2026 18:32:18

ТАНЦЕВАЛЬНОДВИГАТЕЛЬНАЯ ТЕРАПИЯ

В статье Жаворонковой И.А. и Некрасова А.С. «Танцевально-двигательная терапия» танец рассматривается не только как социокультурное, но и как социально-психологическое и психофизиологическое явление, как форма невер¬бальной коммуникации и самовыражения. Это приводит к возникновению нового психиатрического направления - танцевальной психотерапии, где танец используется как способ лечения. В статье анализируются основные этапы этого направления. ...

30 06 2026 22:36:27

ОККЛЮЗИОННАЯ ПРОБА У БОЛЬНЫХ СТАБИЛЬНОЙ СТЕНОКАРДИЕЙ НАПРЯЖЕНИЯ III ФУНКЦИОНАЛЬНОГО КЛАССА В ПРОЦЕССЕ СТАЦИОНАРНОГО ЛЕЧЕНИЯ ПРИ ЛДФ-ТЕСТИРОВАНИИ

Статья в формате PDF 176 KB...

29 06 2026 3:12:43

МИКРОСТРУКТУРА ТЕХНОГЕННЫХ ГЛИНИСТЫХ ГРУНТОВ, КАК ФАКТОР ТЕХНОГЕННОГО ЛИТОГЕНЕЗА

Статья в формате PDF 131 KB...

28 06 2026 18:24:36

Структурные особенности сумки фабрициуса цыплят кросса "родонит" в эксперименте

Статья в формате PDF 113 KB...

27 06 2026 16:24:19

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЧВЕННЫХ ЭКОСИСТЕМ И ПРОБЛЕМЫ ТОЧНОГО ЗЕМЛЕДЕЛИЯ

Обсуждается проблема описания устойчивости почвенных экосистем в рамках принципа Ле Шателье-Брауна. ...

26 06 2026 18:11:33

ФОРМИРОВАНИЕ ХОЛДИНГОВЫХ СТРУКТУР В САНАТОРНО-КУРОРТНОЙ СФЕРЕ РЕГИОНОВ

Статья в формате PDF 134 KB...

25 06 2026 4:58:34

ПЕРСПЕКТИВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СПЕЦФИЗПРАКТИКУМА ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ У СТУДЕНТОВ СИСТЕМЫ ЗНАНИЙ О ФИЗИЧЕСКИХ ОСНОВАХ ПЕРЕДАЧИ И ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ

Статья в формате PDF 127 KB...

24 06 2026 2:17:59

Пpaктикующий врач и теоретическая медицина в 21 веке

Статья в формате PDF 104 KB...

23 06 2026 13:39:44

КОМБИНИРОВАННОЕ ЛЕЧЕНИЕ БОЛЬНЫХ С ОБЛИТЕРИРУЮЩИМ АТЕРОСКЛЕРОЗОМ СОСУДОВ НИЖНИХ КОНЕЧНОСТЕЙ

Статья в формате PDF 131 KB...

22 06 2026 20:45:29

ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ, МАЛЫХ ЧАСТИЦ И ТОНКИХ ПЛЕНОК

Дан обзор новых методов определения поверхностного натяжения твердых тел, малых частиц и тонких пленок. Методы основаны на универсальной зависимости физической величины от размера малых частиц твердого тела или толщины пленки. ...