О КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ С ГЛАДКОЙ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИЕЙ

Авторы
Файлы

Митрохин С.И. Статья в формате PDF 1463 KB

Рассмотрим следующую краевую задачу:

(1)

с граничными условиями

(2)

где потенциал q(x) - суммируемая функция, удовлетворяющая условию

(3)

В уравнении (1) число λ - спектральный параметр, функция ρ(x) называется весовой функцией, функция q(x) называется потенциалом, число n - порядок дифференциального оператора (1)-(2), n = 2, 3, 4, ...

Мы будем предполагать, что весовая функция ρ(x) является достаточно гладкой: .

Автором разработан метод нахождения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач типа (1)-(2) при условии выполнения (3). Для случая n = 2, ρ(x) = 1 другой метод был продемонстрирован в фундаментальной работе [1].

Кроме дифференциального уравнения (1), рассмотрим также вспомогательное дифференциальное уравнение

(4)

Для изучения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач, связанных с дифференциальным уравнением (1), необходимо знать асимптотику решений дифференциальных уравнений (1) и (4).

Пусть - некоторая фиксированная ветвь корня, выбранная условием .
Пусть ω_k - корни n-й степени из единицы, то есть n = 2, 3, 4, ...; k = 1, 2, ..., n - 1, n. Эти числа удовлетворяют следующим свойствам: m = 1, 2, 3, ..., n - 1.

Теорема 1. Решение дифференциального уравнения (1) является решением следующего интегрального уравнения Вольтерра:

(5)

где y_k(x, s) (k = 1, 2, ..., n) - фундаментальная система решений вспомогательного дифференциального уравнения (4), Δ₀(s) - определитель Вронского этих решений:

при этом несложно доказать, что Δ₀(s) не зависит от x, C_k(k = 1,2,...,n) - произвольные постоянные.

Из формулы (5) методом последовательных приближений Пикара можно вывести асимптотику решений дифференциального уравнения (1). Для дифференциального оператора второго порядка это было сделано автором в работе [2].

При этом из теоремы 1 видно, что для нахождения асимптотики решений дифференциального уравнения (1) необходимо знать асимптотику решений { y_k (x,s) , k = 1,2,..,n } вспомогательного дифференциального уравнения (4) при больших значениях спектрального параметра λ (то есть асимптотику при |s| → + ∞ ).

Теорема 2. Общее решение вспомогательного дифференциального уравнения (4) имеет следующий вид:

(6)

где C_k (k = 1,2,..,n) - произвольные постоянные, y_k(x, s) - линейно независимые решения дифференциального уравнения (4), причём при |s| → + ∞ ). справедливы следующие асимптотические разложения:

k = 1,2, .., n (7)

Идею разложения вида (7) мы нашли в монографии М.В. Федорюка [3].

Введём следующие обозначения:

(8)

Через «+...» в формулах (7) и (8) обозначены следующие выражения:

Условие позволяет асимптотические разложения вида (7) дифференцировать почлeнно n раз (n = 2, 3, ...). При этом мы получим:

(9)

При этом в формуле (10) Ψ_m-8 (x) - некоторая функция, причём если у сомножителя (aω_ks)^m-p (p = 1, 2, 3, ...) степень m - p становится меньше нуля, то это слагаемое обнуляется.

Приведём ещё пару формул для Ф_pn (x,s) в равенстве (9):

При этом на коэффициенты B_pn,m, D_pn,m, E _pn,m, (p = 1, 2, 3, ...) из формул (10)-(12) нами впервые получены реккурентные соотношения, из которых методом математической индукции можно вывести формулы для этих коэффициентов в явном виде и тем самым получить асимптотические формулы для решений вспомогательного дифференциального уравнения (4) (и дифференциального уравнения (1) тоже), а также асимптотические формулы для собственных значений краевой задачи (1)-(2).
Например:

Если мы подставим формулы (9)-(13) при n = 2 (или при n = 3) в дифференциальное уравнение (1) (при n = 2, или при n = 3), приведём подобные слагаемые и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях s (этот метод называется методом последовательных приближений Хорна), то найдём в явном виде коэффициенты A_1k2 (x), A_2k2 (x), .. (или A_1k3 (x), A_2k3 (x),.. ). Это не было сделано ни в монографии [3], ни в других работах.

Впервые это было сделано автором в §3 главы 5 монографии [4].

Приведём явные формулы, полученные нами.

Введём необходимые нам обозначения:

Из формул (9)-(13) получаем:

(15)

(17)

Список литературы

Винокуров В.А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Известия РАН. Серия: матем. - 2000. - Т. 64, №4. - С. 47-108.
Митрохин С.И. О спектральных свойствах дифференциального оператора с суммируемым потенциалом и гладкой весовой функцией. - Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. - 2008. - №8/1(67). - С. 172-187.
Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1983. - 352 с.
Митрохин С.И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. - М.: ИНТУИТ, 2009. - 364 с.

РАЗРАБОТКА МЕМБРАННОГО АППАРАТА С ПЛОСКИМИ ФИЛЬТРУЮЩИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

Статья в формате PDF 383 KB...

08 09 2026 16:36:24

ОБЩИЕ ОСНОВЫ ИНТЕГРАЦИИ В ЭВОЛЮЦИИ БИОСФЕРЫ И НООСФЕРЫ

Статья в формате PDF 253 KB...

07 09 2026 4:11:13

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭКОЛОГИЧЕСКИ БЕЗОПАСНЫХ БИОПРЕПАРАТОВ В ПИТАНИИ ЦЫПЛЯТ-БРОЙЛЕРОВ

Статья в формате PDF 90 KB...

06 09 2026 9:38:25

СОВРЕМЕННЫЕ АСПЕКТЫ ПАТОГЕНЕЗА ГЕМОРРАГИЧЕСКОЙ ЛИХОРАДКИ С ПОЧЕЧНЫМ СИНДРОМОМ

Статья в формате PDF 122 KB...

05 09 2026 6:23:31

ДИНАМИКА НЕЙРОТРАНСМИТТЕРОВ СЕЛЕЗЕНКИ ПРИ ИГЛОУКАЛЫВАНИИ

Статья в формате PDF 132 KB...

04 09 2026 12:15:32

ТЕХНОЛОГИЯ ИЗГОТОВЛЕНИЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ НА ОСНОВЕ ВТОРИЧНОГО ПВХ

Статья в формате PDF 127 KB...

03 09 2026 11:55:22

ОХРАНА И ЗАЩИТА, ОБУСТРОЙСТВО, ИНДИКАЦИЯ И ТЕСТИРОВАНИЕ ПРИРОДНОЙ СРЕДЫ

Статья в формате PDF 286 KB...

02 09 2026 22:19:19

Седьмой этап обращения куфического дирхема на Волховско-Ильменском денежном рынке (850-е гг.) и кризис поступления восточного монетного серебра (вторая половина 820–850-е гг.)

Статья в формате PDF 253 KB...

01 09 2026 11:36:50

ВОЗМОЖНОСТЬ ФОРМИРОВАНИЯ ОБЩЕУЧЕБНЫХ НАВЫКОВ У ДОШКОЛЬНИКОВ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К ШКОЛЕ С УЧЕТОМ ОСОБЕННОСТЕЙ ИХ ПСИХИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ

Статья в формате PDF 121 KB...

31 08 2026 10:41:54

ЭКОНОМИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОРГАНИЗАЦИИ ВЫСОКОЭФФЕКТИВНОЙ ТРАНСПОРТНОЙ СИСТЕМЫ НА БАЗЕ ЭКРАНОПЛАНОВ НОВОГО ПОКОЛЕНИЯ

Статья в формате PDF 544 KB...

30 08 2026 19:55:10

РАЗВИТИЕ АЛЮМИНИЕВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ В МИРЕ И В РОССИИ

Статья в формате PDF 134 KB...

29 08 2026 0:44:48

ОБНОВЛЕНИЕ СИСТЕМЫ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КАК РЕЗУЛЬТАТ ВВЕДЕНИЯ НОВЫХ ФГОС

Статья в формате PDF 325 KB...

28 08 2026 20:51:46

АГРЕГАЦИОННАЯ СПОСОБНОСТЬ ТРОМБОЦИТОВ У БОЛЬНЫХ С ОСТРЫМ ПАНКРЕАТИТОМ

Проведено изучение показателей агрегационной активности тромбоцитов у 126 пациентов, находившихся на лечении с диагнозом острый панкреатит. Из общего количества пациентов нетяжелое течение острого панкреатита отмечено у 67 (53,1 %) больных, не тяжелое у 59 (46,8 %) пациентов. Установлено, что не зависимо от тяжести течения, отмечается усиление агрегационной активности тромбоцитов, которые полностью восстанавливаются к пятнадцатым суткам при нетяжелом течение острого панкреатита и частично при тяжелом течении этого заболевания. ...

27 08 2026 13:36:30

ОСНОВНЫЕ ИНДИКАТОРЫ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ РЕСПУБЛИКИ АДЫГЕЯ

Статья в формате PDF 120 KB...

26 08 2026 23:30:36

РАСЧЁТ УГЛОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЛУЧИСТОГО ТЕПЛООБМЕНА МЕЖДУ СТЕНКАМИ БЕСКОНЕЧНО ДЛИННОГО КАНАЛА

Статья в формате PDF 90 KB...

25 08 2026 6:58:58

ОСОБЕННОСТИ РОССИЙСКОГО ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА НА СОВРЕМЕННОМ ЭТАПЕ

В современной России, в период значительных для государства и его народа преобразований во всех сферах жизни общества наблюдаются изменения. За последние десять лет реформы породили новые виды деятельности, стили жизни, слои населения. В центре внимания исследований нового российского общества оказалось предпринимательство. Российских предпринимателей беспокоит негативное общественное мнение об их деятельности и отчуждения населения, низкий социальный статус в общественном сознании, периодически возникающие деструктивные конфликты с органами власти, отсутствие российских образцов рыночного поведения (традиций, нравов, обычаев), низкая культура предпринимательства. В итоге, феномен предпринимательства в России отличается своей специфичностью, природа которой лежит в особенностях становления данного класса. Стремясь к стандартам западного, образцового предпринимательства, российский бизнесмен не в силах игнорировать давно сложившиеся патриархальные традиции, арсенал накопившихся социальных ресурсов, амбициозность конкурентов, возможность самореализации и “переустройства мира на свой лад”. ...