КОНКУРЕНЦИЯ В УСЛОВИЯХ ДУОПОЛИИ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Математическому моделированию процессов конкуренции и сотрудничества двух фирм на различных рынках посвящено довольно много научных работ, в основном использующих аппарат теории игр и статистических решений. В качестве примера можно привести работы таких исследователей, как Курно, Стакельберг, Бертран, Нэш, Парето, основные результаты которых приведены в [1-2,5].
В настоящей работе авторами предпринята попытка математического моделирования конкурентной борьбы с точки зрения экономической динамики с привлечением аппарата теории оптимального управления.
Изменение объемов продаж конкурирующих фирм с течением времени может быть описано следующей системой дифференциальных уравнений [4]:
(1)
с начальными условиями . (2)
Здесь и далее использованы следующие обозначения:
q1(t) - объем продаж фирмы I;
q2(t) - объем продаж фирмы II;
N - объем рассматриваемого сегмента рынка сбыта;
a1, b1, a2,b2 -положительные коэффициенты, хаpaктеризующие степень влияния различных факторов на изменения объема продаж первой и второй фирмы соответственно [4].
Замена переменных , , ; , , приводит исходную задачу Коши к безразмерному виду:
(3)
Функция хаpaктеризует степень воздействия внутренней среды первого предприятия на рост объемов продаж по отношению к аналогичной величине конкурента.
Неизбежно возникает вопрос о минимизации управленческого воздействия первого предприятия, необходимые для достижения к известному моменту времени T заранее запланированной рыночной доли , ответ на который может быть, по мнению авторов, получен из решения следующей задачи оптимального управления, которая и является предметом исследования данной работы: найти такое программное управление , которое доставляет минимум целевому функционалу
, (4)
удовлетворяет системе дифференциальных уравнений с граничными условиями (3) и ограничениями на состояние системы и управление:
, , ,
, , где . (5)
Здесь - желаемая рыночная доля первого предприятия в этот же момент времени, а значение выбиралось из следующих соображений: пусть предприятие для достижения поставленной цели располагает ресурсами Q, а величина может тpaктоваться как скорость расходования ресурсов предприятия. Следовательно, . Следует, однако, отметить, что это далеко не единственный способ выбора этой величины.
Алгоритм численного решения задачи (4)-(5) основан на отмеченной рядом исследователей [5] глубокой связью между задачами оптимального управления и математического программирования. С этой точкой зрения задача оптимального управления для непрерывной системы образует бесконечномерную задачу математического программирования в бесконечномерном прострaнcтве. Основным достоинством данного подхода является возможность применения хорошо развитого аппарата численного решения задач математического программирования к теории оптимального управления.
Следуя указанному подходу [5], переформулируем задачу в дискретной форме. Временной интервал разбивается на n равных временных интервалов, целевой функционал (4) заменяется интегральном суммой, а задача Коши (3) -конечно-разностной аппроксимацией, основанной на интерполяционных уравнениях Адамса [5].
В результате получаем задачу нелинейного программирования, в которой целевому функционалу соответствует целевая функция, а уравнение состояния превращается в 2n ограничений в форме равенств.
Ограничения на состояние системы и управления трaнcформируются в ограничения в форме неравенств задачи математического программирования:
(6)
,
,
()
; ; ; ; ;
; . (7)
Здесь:
; ; .
Задача решалась численно с помощью надстройки «Поиск решения» пакета Microsoft Office Excel 2003 по встроенному алгоритму нелинейной оптимизации Generalized Reduced Gradient (GRG2), разработанному Леоном Ласдоном (Leon Lasdon, University of Texas at Austin) и Аланом Уореном (Allan Waren, Cleveland State University).
В результате в каждой точке находились , y1(i), y2(i), а также значения целевого функционала J.
Точность полученного решения оценивалась «апостериори» путем подстановки найденного программного управления u=u(t) в (3) с последующим численным интегрированием системы ОДУ методом Рунге-Кутта четвертого порядка [3].
Некоторые результаты численных расчетов приведены на рис.1-3. При построении графиков использовались следующие значения параметров модели: ; n=20; ; ; .
Значение T варьировалось в пределах от 2 до 3.
Анализ рис. 1 позволяет сделать вывод об адекватности построенной математической модели и достаточной точности аппроксимации исходной задачи оптимального управления (3)-(5) задачей нелинейного программирования (6)-(7).
Об этом свидетельствует тот факт, что непрерывные кривые, построенные по результатам численного интегрирования задачи Коши (3) пpaктически совпадают с точками, соответствующими решению конечно-разностной задаче нелинейного программирования.
Рис. 2 указывает на то, что во всех случаях поведение оптимального программного управления обнаруживает следующую хаpaктерную особенность: до определенного момента времени , после чего резко падает до нуля. По результатам численных экспериментов .
Рис.1. Оптимальная динамика объема продаж фирмы I и фирмы II для T=3. Сплошные линии соответствуют результатам контрольного интегрирования методом Рунге-Кутта.
Рис.2. Зависимость оптимального управления от времени для случаев T=2,0 (кривая 1), T=2,5 (кривая 2), T=3,0 (кривая 3). Выделенные ресурсы Q=10,0.
Рис.3. Зависимость оптимального значения целевого функционала J от ресурсов Q для T=2.
Это позволяет сделать пpaктически важный вывод о том, что оптимальная стратегия предприятия по достижению желаемой рыночной доли в условиях дуополии заключается в приложении максимальных усилий именно на начальном участке, после чего, начиная с момента времени , можно значительно уменьшить интенсивность расхода ресурсов.
Зависимость оптимального значения целевого функционала J, от выделенных ресурсов Q представлена на рис. 3. Убывающий хаpaктер этой зависимости объясняется тем, что с увеличением Q возрастает , а значит, и интенсивность использования ресурсов на начальном, «стартовом» участке траектории динамической системы. А поскольку именно этот участок является наиболее важным с точки зрения достижения желаемого результата, в конечном итоге это приводит к интегральному эффекту экономии ресурсов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
- Бережной Л.И. Теория оптимального управления экономическими системами: Учебное пособие. - СПб.: ИВЭСЭП, Знание,2002. 64 с.
- Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: Учеб. для вузов. 2-е изд./ Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко.-М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2001. 488 с.
- Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск: МП «Раско», 1991. 272 с. ил.
- Просвиров А.Э. Копылов А.В., Динамическая модель конкуренции двух фирм на однородном рынке // Успехи современного естествознания, №8, 2003. стр. 29-33.
- Табак Д., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование, перев. с англ. М., Наука, 1975. 280 с.
В статье рассмотрена категория «инновация», как экономическое явление, что позволило дополнить отраженные в научной литературе критерии классификации инноваций. Определено, что важнейшей формой оказания государственной поддержки инноваций является повышение эффективности государственных расходов.
...
23 03 2026 10:49:48
Статья в формате PDF
156 KB...
22 03 2026 0:14:14
Статья в формате PDF
151 KB...
21 03 2026 12:36:57
Статья в формате PDF
111 KB...
20 03 2026 8:18:31
В статье рассмотрено техническое решение инженерной экологии, которое может быть использовано при мониторинге качества проб речной воды тестированием роста корней определенных видов тестовых растений.
...
19 03 2026 1:54:53
Статья в формате PDF
130 KB...
18 03 2026 1:25:47
Статья в формате PDF
196 KB...
17 03 2026 15:20:30
Статья в формате PDF
126 KB...
16 03 2026 10:55:13
Статья в формате PDF
324 KB...
15 03 2026 5:31:34
Статья в формате PDF
112 KB...
13 03 2026 18:38:42
Статья в формате PDF
111 KB...
11 03 2026 8:55:37
Изменяющиеся условия жизни приводят к изменению поведения и психологии наиболее уязвимых групп населения, к которым относятся пожилые и старые люди. Наиболее значимыми считаются адаптивные защитные реакции, такие как озабоченность, тревожность, депрессия. Работа поддержана и финансируется Министерством образования и науки.
...
10 03 2026 8:32:37
Статья в формате PDF
241 KB...
09 03 2026 18:23:44
Статья в формате PDF
102 KB...
08 03 2026 9:21:25
Статья в формате PDF
100 KB...
07 03 2026 13:54:42
Статья в формате PDF
127 KB...
05 03 2026 2:51:47
Статья в формате PDF
119 KB...
04 03 2026 8:39:49
Самоорганизация мерзлотных геохимических ландшафтов определяется явлением криобиогенеза и эффектами, которые он вызывает. Криобиогенез - это единство и взаимосвязь биогенных и криогенных процессов, формирующих мерзлотную экосистему, в которой геохимические процессы и миграция химических процессов тесно взаимосвязаны и взаимообусловлены энергией, веществом и информацией живого вещества и криогенеза. Главным условием возникновения и развития мерзлотных ландшафтов является непрерывный периодический (зима-лето) круговорот вещества во времени - криогенный и биогенный, проявляющийся в единстве, взаимодействии и соответствии друг с другом. Периодичность и взаимодействие этих главных противоположных процессов обеспечивают целостность и устойчивость системы. Периодичность явлений (зима-лето, оледенение - межледниковье) - важный признак мерзлотных ландшафтов. Этот признак обобщающий критерий и мера самоорганизации системы. В мерзлотном ландшафте биологический круговорот выполняет основную организующую роль. Он связывает воедино биогенный и криогенный циклы миграции - потоки вещества и энергии биогенеза и криогенеза, создают новую информационную систему, отличную от исходных составляющих. Криогенез и самоорганизация наиболее ярко проявляются в экосистемах на рудных провинциях, геохимически специализированных породах, нефтегазоносных и угленосных породах. Высокая самоорганизация мерзлотных ландшафтов (экосистем) Северной Азии с высокой биопродуктивностью и биоразнообразием с обилием животных (звери и рыбы) были главным фактором этногенеза.
...
03 03 2026 15:53:23
Статья в формате PDF
255 KB...
02 03 2026 18:30:26
Статья в формате PDF
127 KB...
01 03 2026 4:36:52
Статья в формате PDF
329 KB...
28 02 2026 9:20:21
Статья в формате PDF
98 KB...
26 02 2026 20:39:13
Статья в формате PDF
113 KB...
25 02 2026 3:23:59
Применение хитинсодержащих препаратов оказывает положительное влияние на мясную продуктивность бычков, а превосходство по хаpaктеристикам химического состава и энергетической ценности мякоти имеют бычки, получавшие сукцинат хитозана.
...
24 02 2026 14:33:47
Обследовано 109 детей 8-15 лет с эрозивно-язвенными и неэрозивными формами гастродуоденальной патологии в динамике заболевания. В острой фазе заболевания при деструктивных формах поражения выявлена перестройка терминального русла, замедление кровотока во всех сосудах, сопровождающееся внутрисосудистой агрегацией эритроцитов, изменением их реологических свойств в сочетании с изменениями центральной гемодинамики. Установлена выраженная коррелятивная связь гемореологических нарушений с кислотообразующей и ощелачивающей функциями желудка.
...
23 02 2026 16:35:17
Статья в формате PDF
161 KB...
22 02 2026 13:28:31
Статья в формате PDF
161 KB...
21 02 2026 9:45:21
Статья в формате PDF
118 KB...
20 02 2026 2:56:18
Статья в формате PDF
314 KB...
18 02 2026 8:58:29
Статья в формате PDF
104 KB...
17 02 2026 6:16:11
Статья в формате PDF
263 KB...
16 02 2026 15:23:52
Рассмотрены корреляты как дополнительные параметры описания объектов. Рассмотрены виды коррелят. Раскрывается понятие коррелятивные показатели. Показано, как влияют корреляты на качество анализа и оценки. Для этого использовано понятие информационная модель объекта. Введено понятие коррелятивной информационной модели объекта (КИМО) Введено понятие производного коррелятивного показателя. (ПКП) Показано, что использование коррелятивного показателя позволяет создавать нелинейные экономико-математические модели. Эти нелинейные модели дают более точное описание изменения стоимости комплексов из разных объектов при существенном влиянии коньюнктурных факторов. Раскрыты основы коррелятивного подхода как инструмента описания, анализа и экономической оценки. Приведены примеры использования коррелятивного подхода. Показаны преимущества коррелятивного подхода.
...
15 02 2026 15:48:29
Статья в формате PDF
142 KB...
12 02 2026 15:33:14
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
