КОНКУРЕНЦИЯ В УСЛОВИЯХ ДУОПОЛИИ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Математическому моделированию процессов конкуренции и сотрудничества двух фирм на различных рынках посвящено довольно много научных работ, в основном использующих аппарат теории игр и статистических решений. В качестве примера можно привести работы таких исследователей, как Курно, Стакельберг, Бертран, Нэш, Парето, основные результаты которых приведены в [1-2,5].
В настоящей работе авторами предпринята попытка математического моделирования конкурентной борьбы с точки зрения экономической динамики с привлечением аппарата теории оптимального управления.
Изменение объемов продаж конкурирующих фирм с течением времени может быть описано следующей системой дифференциальных уравнений [4]:
(1)
с начальными условиями . (2)
Здесь и далее использованы следующие обозначения:
q1(t) - объем продаж фирмы I;
q2(t) - объем продаж фирмы II;
N - объем рассматриваемого сегмента рынка сбыта;
a1, b1, a2,b2 -положительные коэффициенты, хаpaктеризующие степень влияния различных факторов на изменения объема продаж первой и второй фирмы соответственно [4].
Замена переменных , , ; , , приводит исходную задачу Коши к безразмерному виду:
(3)
Функция хаpaктеризует степень воздействия внутренней среды первого предприятия на рост объемов продаж по отношению к аналогичной величине конкурента.
Неизбежно возникает вопрос о минимизации управленческого воздействия первого предприятия, необходимые для достижения к известному моменту времени T заранее запланированной рыночной доли , ответ на который может быть, по мнению авторов, получен из решения следующей задачи оптимального управления, которая и является предметом исследования данной работы: найти такое программное управление , которое доставляет минимум целевому функционалу
, (4)
удовлетворяет системе дифференциальных уравнений с граничными условиями (3) и ограничениями на состояние системы и управление:
, , ,
, , где . (5)
Здесь - желаемая рыночная доля первого предприятия в этот же момент времени, а значение выбиралось из следующих соображений: пусть предприятие для достижения поставленной цели располагает ресурсами Q, а величина может тpaктоваться как скорость расходования ресурсов предприятия. Следовательно, . Следует, однако, отметить, что это далеко не единственный способ выбора этой величины.
Алгоритм численного решения задачи (4)-(5) основан на отмеченной рядом исследователей [5] глубокой связью между задачами оптимального управления и математического программирования. С этой точкой зрения задача оптимального управления для непрерывной системы образует бесконечномерную задачу математического программирования в бесконечномерном прострaнcтве. Основным достоинством данного подхода является возможность применения хорошо развитого аппарата численного решения задач математического программирования к теории оптимального управления.
Следуя указанному подходу [5], переформулируем задачу в дискретной форме. Временной интервал разбивается на n равных временных интервалов, целевой функционал (4) заменяется интегральном суммой, а задача Коши (3) -конечно-разностной аппроксимацией, основанной на интерполяционных уравнениях Адамса [5].
В результате получаем задачу нелинейного программирования, в которой целевому функционалу соответствует целевая функция, а уравнение состояния превращается в 2n ограничений в форме равенств.
Ограничения на состояние системы и управления трaнcформируются в ограничения в форме неравенств задачи математического программирования:
(6)
,
,
()
; ; ; ; ;
; . (7)
Здесь:
; ; .
Задача решалась численно с помощью надстройки «Поиск решения» пакета Microsoft Office Excel 2003 по встроенному алгоритму нелинейной оптимизации Generalized Reduced Gradient (GRG2), разработанному Леоном Ласдоном (Leon Lasdon, University of Texas at Austin) и Аланом Уореном (Allan Waren, Cleveland State University).
В результате в каждой точке находились , y1(i), y2(i), а также значения целевого функционала J.
Точность полученного решения оценивалась «апостериори» путем подстановки найденного программного управления u=u(t) в (3) с последующим численным интегрированием системы ОДУ методом Рунге-Кутта четвертого порядка [3].
Некоторые результаты численных расчетов приведены на рис.1-3. При построении графиков использовались следующие значения параметров модели: ; n=20; ; ; .
Значение T варьировалось в пределах от 2 до 3.
Анализ рис. 1 позволяет сделать вывод об адекватности построенной математической модели и достаточной точности аппроксимации исходной задачи оптимального управления (3)-(5) задачей нелинейного программирования (6)-(7).
Об этом свидетельствует тот факт, что непрерывные кривые, построенные по результатам численного интегрирования задачи Коши (3) пpaктически совпадают с точками, соответствующими решению конечно-разностной задаче нелинейного программирования.
Рис. 2 указывает на то, что во всех случаях поведение оптимального программного управления обнаруживает следующую хаpaктерную особенность: до определенного момента времени , после чего резко падает до нуля. По результатам численных экспериментов .
Рис.1. Оптимальная динамика объема продаж фирмы I и фирмы II для T=3. Сплошные линии соответствуют результатам контрольного интегрирования методом Рунге-Кутта.
Рис.2. Зависимость оптимального управления от времени для случаев T=2,0 (кривая 1), T=2,5 (кривая 2), T=3,0 (кривая 3). Выделенные ресурсы Q=10,0.
Рис.3. Зависимость оптимального значения целевого функционала J от ресурсов Q для T=2.
Это позволяет сделать пpaктически важный вывод о том, что оптимальная стратегия предприятия по достижению желаемой рыночной доли в условиях дуополии заключается в приложении максимальных усилий именно на начальном участке, после чего, начиная с момента времени , можно значительно уменьшить интенсивность расхода ресурсов.
Зависимость оптимального значения целевого функционала J, от выделенных ресурсов Q представлена на рис. 3. Убывающий хаpaктер этой зависимости объясняется тем, что с увеличением Q возрастает , а значит, и интенсивность использования ресурсов на начальном, «стартовом» участке траектории динамической системы. А поскольку именно этот участок является наиболее важным с точки зрения достижения желаемого результата, в конечном итоге это приводит к интегральному эффекту экономии ресурсов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
- Бережной Л.И. Теория оптимального управления экономическими системами: Учебное пособие. - СПб.: ИВЭСЭП, Знание,2002. 64 с.
- Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: Учеб. для вузов. 2-е изд./ Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко.-М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2001. 488 с.
- Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск: МП «Раско», 1991. 272 с. ил.
- Просвиров А.Э. Копылов А.В., Динамическая модель конкуренции двух фирм на однородном рынке // Успехи современного естествознания, №8, 2003. стр. 29-33.
- Табак Д., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование, перев. с англ. М., Наука, 1975. 280 с.
Статья в формате PDF
112 KB...
10 02 2025 12:38:53
Статья в формате PDF 112 KB...
09 02 2025 12:40:21
Статья в формате PDF
289 KB...
08 02 2025 17:11:25
Статья в формате PDF
110 KB...
07 02 2025 1:14:44
Статья в формате PDF
220 KB...
06 02 2025 2:39:19
Статья в формате PDF
107 KB...
05 02 2025 17:27:39
Статья в формате PDF 139 KB...
04 02 2025 4:10:26
Статья в формате PDF
227 KB...
03 02 2025 13:18:35
Статья в формате PDF
121 KB...
02 02 2025 14:20:54
В статье рассмотрен прцесс химического никелирования деталей машин и оборудования как эффетивный и экономически выгодный способ получения стойких покрытий. Предлагается внедрить этот процесс в технологию восстановления деталей автотpaкторной техники из алюминиевых сплавов.
...
01 02 2025 6:48:20
Статья в формате PDF
143 KB...
30 01 2025 3:20:47
Статья в формате PDF
301 KB...
29 01 2025 0:27:18
Статья в формате PDF
128 KB...
28 01 2025 10:56:43
Статья в формате PDF
124 KB...
27 01 2025 12:35:39
Статья в формате PDF
195 KB...
26 01 2025 12:45:22
25 01 2025 16:46:31
Статья в формате PDF
114 KB...
24 01 2025 3:27:17
Статья в формате PDF
277 KB...
23 01 2025 12:15:35
Статья в формате PDF
269 KB...
22 01 2025 5:57:21
«Что такое жизнь?» Этот вопрос занимает человечество с древнейших времён. Многие философы и естествоиспытатели пытались и пытаются разрешить этот вопрос, определить жизнь как явление. Существует множество определений жизни, но, несмотря на это, среди них нет ни одного, который бы наиболее полно отразил основной принцип существования жизни, её сущность.
В предлагаемой вашему вниманию статье сделана ещё одна попытка объяснения феномена жизни. Её основная идея: Жизнь - это самовоспроизводящийся катализатор диссипации энергии. Что касается самовоспроизведения, то здесь всё более или менее понятно, а вот словосочетание «катализатор диссипации» требует некоторых разъяснений. Диссипация - термин, обозначающий рассеяние энергии, т.е. её переход с потенциально более высокого уровня на более низкий - тепловой уровень. В свете рассматриваемого определения жизни подразумевается, что энергия квантов солнечного света, которые могут стрaнcтвовать в космосе «бесконечно», будучи поглощенной растениями поэтапно диссипатируется, в процессах жизнедеятельности и формирования собственных структур последовательными участниками пищевой цепи (растение - травоядное - хищник - падальщики), в тепловое излучение. Таким образом, живое вещество, многократно ускоряя процесс диссипации энергии солнечных квантов в тепловое излучение, играет в нем роль специфического катализатора. Далее рассматривается ряд важных следствий, вытекающих из данного определения.
...
20 01 2025 5:51:25
Статья в формате PDF
127 KB...
18 01 2025 17:41:32
В рамках решения задачи развития интеллектуальных способностей одарённых детей сегодня отчётливо просматриваются факторы риска. Значимыми факторами риска являются неудовлетворение потребностей определённых групп детей в питании, распространение среди подрастающего поколения вредных привычек, стресс, изменяющиеся условия окружающей природной среды.
...
17 01 2025 12:25:25
Работа посвящена физическому моделированию торцевого выпуска руды при системах с обрушением руды и вмещающих пород. Актуальность темы определяется необходимостью повышения эффективности отработки рудных месторождений полезных ископаемых с применением систем с обрушением. Рассматриваемые системы хаpaктеризуются высокими показателями потерь и разубоживания руды. Моделирование выпуска руды позволят решать вопрос оптимизации параметров системы разработки и совершенствования технологических процессов очистной выемки.
...
16 01 2025 23:55:44
Статья в формате PDF
114 KB...
15 01 2025 9:49:43
Статья в формате PDF
299 KB...
13 01 2025 23:45:38
Статья в формате PDF
103 KB...
12 01 2025 14:37:41
Статья в формате PDF
120 KB...
10 01 2025 16:44:30
Статья в формате PDF
269 KB...
09 01 2025 23:49:42
08 01 2025 4:44:40
Статья в формате PDF
124 KB...
07 01 2025 22:30:50
Развитие интеллекта учащихся происходит эффективно, если усвоение знаний, приобретение умений и навыков из цели образования превращается в средство развития способностей. Для этого надо переосмыслить содержание образования, сконструировать и внедрить эффективные педагогические технологии, позволяющие эффективно решить поставленные задачи. "Химия для математиков" – технология интеграции естественно-математических знаний на разных уровнях. Методика проведения интегрированных уроков "химия – информатика" разработана и успешно применяется в физико-техническом лицее № 1 г. Саратова.
...
06 01 2025 14:48:47
Статья в формате PDF
313 KB...
05 01 2025 2:46:30
Статья в формате PDF
102 KB...
04 01 2025 10:37:43
Статья в формате PDF
113 KB...
02 01 2025 5:17:51
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::