КОНКУРЕНЦИЯ В УСЛОВИЯХ ДУОПОЛИИ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Математическому моделированию процессов конкуренции и сотрудничества двух фирм на различных рынках посвящено довольно много научных работ, в основном использующих аппарат теории игр и статистических решений. В качестве примера можно привести работы таких исследователей, как Курно, Стакельберг, Бертран, Нэш, Парето, основные результаты которых приведены в [1-2,5].
В настоящей работе авторами предпринята попытка математического моделирования конкурентной борьбы с точки зрения экономической динамики с привлечением аппарата теории оптимального управления.
Изменение объемов продаж конкурирующих фирм с течением времени может быть описано следующей системой дифференциальных уравнений [4]:
(1)
с начальными условиями . (2)
Здесь и далее использованы следующие обозначения:
q1(t) - объем продаж фирмы I;
q2(t) - объем продаж фирмы II;
N - объем рассматриваемого сегмента рынка сбыта;
a1, b1, a2,b2 -положительные коэффициенты, хаpaктеризующие степень влияния различных факторов на изменения объема продаж первой и второй фирмы соответственно [4].
Замена переменных , , ; , , приводит исходную задачу Коши к безразмерному виду:
(3)
Функция хаpaктеризует степень воздействия внутренней среды первого предприятия на рост объемов продаж по отношению к аналогичной величине конкурента.
Неизбежно возникает вопрос о минимизации управленческого воздействия первого предприятия, необходимые для достижения к известному моменту времени T заранее запланированной рыночной доли , ответ на который может быть, по мнению авторов, получен из решения следующей задачи оптимального управления, которая и является предметом исследования данной работы: найти такое программное управление , которое доставляет минимум целевому функционалу
, (4)
удовлетворяет системе дифференциальных уравнений с граничными условиями (3) и ограничениями на состояние системы и управление:
, , ,
, , где . (5)
Здесь - желаемая рыночная доля первого предприятия в этот же момент времени, а значение выбиралось из следующих соображений: пусть предприятие для достижения поставленной цели располагает ресурсами Q, а величина может тpaктоваться как скорость расходования ресурсов предприятия. Следовательно, . Следует, однако, отметить, что это далеко не единственный способ выбора этой величины.
Алгоритм численного решения задачи (4)-(5) основан на отмеченной рядом исследователей [5] глубокой связью между задачами оптимального управления и математического программирования. С этой точкой зрения задача оптимального управления для непрерывной системы образует бесконечномерную задачу математического программирования в бесконечномерном прострaнcтве. Основным достоинством данного подхода является возможность применения хорошо развитого аппарата численного решения задач математического программирования к теории оптимального управления.
Следуя указанному подходу [5], переформулируем задачу в дискретной форме. Временной интервал разбивается на n равных временных интервалов, целевой функционал (4) заменяется интегральном суммой, а задача Коши (3) -конечно-разностной аппроксимацией, основанной на интерполяционных уравнениях Адамса [5].
В результате получаем задачу нелинейного программирования, в которой целевому функционалу соответствует целевая функция, а уравнение состояния превращается в 2n ограничений в форме равенств.
Ограничения на состояние системы и управления трaнcформируются в ограничения в форме неравенств задачи математического программирования:
(6)
,
,
()
; ; ; ; ;
; . (7)
Здесь:
; ; .
Задача решалась численно с помощью надстройки «Поиск решения» пакета Microsoft Office Excel 2003 по встроенному алгоритму нелинейной оптимизации Generalized Reduced Gradient (GRG2), разработанному Леоном Ласдоном (Leon Lasdon, University of Texas at Austin) и Аланом Уореном (Allan Waren, Cleveland State University).
В результате в каждой точке находились , y1(i), y2(i), а также значения целевого функционала J.
Точность полученного решения оценивалась «апостериори» путем подстановки найденного программного управления u=u(t) в (3) с последующим численным интегрированием системы ОДУ методом Рунге-Кутта четвертого порядка [3].
Некоторые результаты численных расчетов приведены на рис.1-3. При построении графиков использовались следующие значения параметров модели: ; n=20; ; ; .
Значение T варьировалось в пределах от 2 до 3.
Анализ рис. 1 позволяет сделать вывод об адекватности построенной математической модели и достаточной точности аппроксимации исходной задачи оптимального управления (3)-(5) задачей нелинейного программирования (6)-(7).
Об этом свидетельствует тот факт, что непрерывные кривые, построенные по результатам численного интегрирования задачи Коши (3) пpaктически совпадают с точками, соответствующими решению конечно-разностной задаче нелинейного программирования.
Рис. 2 указывает на то, что во всех случаях поведение оптимального программного управления обнаруживает следующую хаpaктерную особенность: до определенного момента времени , после чего резко падает до нуля. По результатам численных экспериментов .
Рис.1. Оптимальная динамика объема продаж фирмы I и фирмы II для T=3. Сплошные линии соответствуют результатам контрольного интегрирования методом Рунге-Кутта.
Рис.2. Зависимость оптимального управления от времени для случаев T=2,0 (кривая 1), T=2,5 (кривая 2), T=3,0 (кривая 3). Выделенные ресурсы Q=10,0.
Рис.3. Зависимость оптимального значения целевого функционала J от ресурсов Q для T=2.
Это позволяет сделать пpaктически важный вывод о том, что оптимальная стратегия предприятия по достижению желаемой рыночной доли в условиях дуополии заключается в приложении максимальных усилий именно на начальном участке, после чего, начиная с момента времени , можно значительно уменьшить интенсивность расхода ресурсов.
Зависимость оптимального значения целевого функционала J, от выделенных ресурсов Q представлена на рис. 3. Убывающий хаpaктер этой зависимости объясняется тем, что с увеличением Q возрастает , а значит, и интенсивность использования ресурсов на начальном, «стартовом» участке траектории динамической системы. А поскольку именно этот участок является наиболее важным с точки зрения достижения желаемого результата, в конечном итоге это приводит к интегральному эффекту экономии ресурсов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
- Бережной Л.И. Теория оптимального управления экономическими системами: Учебное пособие. - СПб.: ИВЭСЭП, Знание,2002. 64 с.
- Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: Учеб. для вузов. 2-е изд./ Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко.-М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2001. 488 с.
- Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск: МП «Раско», 1991. 272 с. ил.
- Просвиров А.Э. Копылов А.В., Динамическая модель конкуренции двух фирм на однородном рынке // Успехи современного естествознания, №8, 2003. стр. 29-33.
- Табак Д., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование, перев. с англ. М., Наука, 1975. 280 с.
Статья в формате PDF
306 KB...
12 04 2026 19:18:20
Статья в формате PDF
263 KB...
11 04 2026 0:38:33
Формирование липидной структуры эритроцитарных мембран в раннем онтогенезе хаpaктеризуется зависимостью от комплекса экстремальных условий Крайнего Севера, которые оказывает десинхронирующее влияние на становление эритроцитарных мембран новорожденных детей, проявляющееся молекулярной реорганизацией липидов, накоплением лизолецитина в зимний период года, что может способствовать их дестабилизации.
...
09 04 2026 8:14:47
Статья в формате PDF
125 KB...
07 04 2026 17:39:58
Статья в формате PDF
126 KB...
06 04 2026 9:14:29
Статья в формате PDF
150 KB...
04 04 2026 7:23:37
Статья в формате PDF
334 KB...
02 04 2026 15:11:49
Статья в формате PDF
119 KB...
01 04 2026 22:21:34
31 03 2026 11:36:24
Статья в формате PDF
117 KB...
30 03 2026 23:24:36
Статья в формате PDF
125 KB...
29 03 2026 14:12:13
Статья в формате PDF
100 KB...
27 03 2026 23:24:35
Статья в формате PDF 123 KB...
26 03 2026 8:51:17
Статья в формате PDF
140 KB...
24 03 2026 18:23:13
Статья в формате PDF
149 KB...
23 03 2026 14:25:16
Статья в формате PDF
311 KB...
22 03 2026 17:20:39
21 03 2026 20:17:46
Статья в формате PDF
226 KB...
20 03 2026 11:45:11
Статья в формате PDF
104 KB...
18 03 2026 8:25:52
Рассмотрена финансовая поддержка инициативных и издательских проектов в области знания «биология и медицинская наука» Российским Фондом Фундаментальных Исследований. Проанализированы количественные хаpaктеристики и динамика результатов конкурсов проектов по разным аспектам нейрофизиологии.
...
17 03 2026 1:36:46
Статья в формате PDF
295 KB...
16 03 2026 18:53:15
Статья в формате PDF
136 KB...
15 03 2026 13:35:18
В предложенной работе экспериментально доказано, что при хроническом стрессе, при нарушенном равновесии симпатического и парасимпатического отделов нервной системы, количество клеток периферической крови, изменяясь, не выходит за пределы нормы. Вегетативный баланс хаpaктеризуется средним арифметическим границ нормальных показателей. Общий клинический анализ крови является показателем функционального состояния и может быть предложен как метод, определяющий эффективность проводимого лечения в постстрессорной реабилитации.
...
14 03 2026 20:19:52
Статья в формате PDF
119 KB...
13 03 2026 18:17:36
Статья в формате PDF
149 KB...
12 03 2026 12:29:10
Статья в формате PDF
118 KB...
11 03 2026 7:15:16
Статья в формате PDF
111 KB...
10 03 2026 19:27:32
Статья в формате PDF
123 KB...
09 03 2026 16:58:52
Статья в формате PDF
273 KB...
07 03 2026 8:54:50
06 03 2026 15:26:27
Статья в формате PDF
106 KB...
05 03 2026 17:50:36
Статья в формате PDF
267 KB...
04 03 2026 10:52:27
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::