КОНКУРЕНЦИЯ В УСЛОВИЯХ ДУОПОЛИИ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ > Полезные советы
Тысяча полезных мелочей    

КОНКУРЕНЦИЯ В УСЛОВИЯХ ДУОПОЛИИ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

КОНКУРЕНЦИЯ В УСЛОВИЯХ ДУОПОЛИИ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Просвиров А.Э. Музюкова Е.В. Рассмотрена экономико-математическая модель конкуренции двух фирм на однородном рынке сбыта с точки зрения теории оптимального управления. Приводится формулировка соответствующей задачи отыскания программного управления, минимизирующего суммарные издержи предприятия, необходимые для достижения заданной рыночной доли на дуополистическом рынке. Дана экономическая интерпретация полученных результатов. Статья в формате PDF 128 KB

Математическому моделированию процессов конкуренции и сотрудничества двух фирм на различных рынках посвящено довольно много научных работ, в основном использующих аппарат теории игр и статистических решений. В качестве примера можно привести работы таких исследователей, как Курно, Стакельберг, Бертран, Нэш, Парето, основные результаты которых приведены в [1-2,5].

В настоящей работе авторами предпринята попытка математического моделирования конкурентной борьбы с точки зрения экономической динамики с привлечением аппарата теории оптимального управления.

Изменение объемов продаж конкурирующих фирм с течением времени может быть описано следующей системой дифференциальных уравнений [4]:

                   (1)

с начальными условиями . (2)

Здесь и далее использованы следующие обозначения:

q1(t) - объем продаж фирмы I;

q2(t) - объем продаж фирмы II;

N - объем рассматриваемого сегмента рынка сбыта;

a1, b1, a2,b2 -положительные коэффициенты, хаpaктеризующие степень влияния различных факторов на изменения объема продаж первой и второй фирмы соответственно [4].

Замена переменных , , ; , ,  приводит исходную задачу Коши к безразмерному виду:


                 (3)

Функция  хаpaктеризует степень воздействия внутренней среды первого предприятия на рост объемов продаж по отношению к аналогичной величине конкурента.

Неизбежно возникает вопрос о минимизации управленческого воздействия  первого предприятия, необходимые для достижения к известному моменту времени T заранее запланированной рыночной доли , ответ на который может быть, по мнению авторов, получен из решения следующей задачи оптимального управления, которая и является предметом исследования данной работы: найти такое программное управление , которое доставляет минимум целевому функционалу

,                    (4)

удовлетворяет системе дифференциальных уравнений с граничными условиями (3) и ограничениями на состояние системы и управление:

, , ,

, , где .           (5)

Здесь - желаемая рыночная доля первого предприятия в этот же момент времени, а значение выбиралось из следующих соображений: пусть предприятие для достижения поставленной цели располагает ресурсами Q, а величина  может тpaктоваться как скорость расходования ресурсов предприятия. Следовательно, . Следует, однако, отметить, что это далеко не единственный способ выбора этой величины.

Алгоритм численного решения задачи (4)-(5) основан на отмеченной рядом исследователей [5] глубокой связью между задачами оптимального управления и математического программирования. С этой точкой зрения задача оптимального управления для непрерывной системы образует бесконечномерную задачу математического программирования в бесконечномерном прострaнcтве. Основным достоинством данного подхода является возможность применения хорошо развитого аппарата численного решения задач математического программирования к теории оптимального управления.

Следуя указанному подходу [5], переформулируем задачу в дискретной форме. Временной интервал   разбивается на n равных временных интервалов, целевой функционал (4) заменяется интегральном суммой, а задача Коши (3) -конечно-разностной аппроксимацией, основанной на интерполяционных уравнениях Адамса [5]. 

В результате получаем задачу нелинейного программирования, в которой целевому функционалу соответствует целевая функция, а уравнение состояния превращается в 2n ограничений в форме равенств.

Ограничения на состояние системы и управления трaнcформируются в ограничения в форме неравенств задачи математического программирования:

                               (6)

,

 ,

()

; ; ; ; ;

; .                (7)

Здесь:

; ; .

Задача решалась численно с помощью надстройки «Поиск решения» пакета Microsoft Office Excel 2003 по встроенному алгоритму нелинейной оптимизации Generalized Reduced Gradient (GRG2), разработанному Леоном Ласдоном (Leon Lasdon, University of Texas at Austin) и Аланом Уореном (Allan Waren, Cleveland State University).

В результате в каждой точке находились , y1(i), y2(i), а также значения целевого функционала J.

Точность полученного решения оценивалась «апостериори» путем подстановки найденного программного управления u=u(t)  в (3) с последующим численным интегрированием системы ОДУ методом Рунге-Кутта четвертого порядка [3].

Некоторые результаты численных расчетов приведены на рис.1-3. При построении графиков использовались следующие значения параметров модели: ; n=20; ; ; .

Значение T варьировалось в пределах от 2 до 3.

Анализ рис. 1 позволяет сделать вывод об адекватности построенной математической модели и достаточной точности аппроксимации исходной задачи оптимального управления (3)-(5) задачей нелинейного программирования (6)-(7).

Об этом свидетельствует тот факт, что непрерывные кривые, построенные по результатам численного интегрирования задачи Коши (3) пpaктически совпадают с точками, соответствующими решению конечно-разностной задаче нелинейного программирования.

Рис. 2 указывает на то, что во всех случаях поведение оптимального программного управления  обнаруживает следующую хаpaктерную особенность: до определенного момента времени   , после чего резко падает до нуля. По результатам численных экспериментов .

Рис.1. Оптимальная динамика объема продаж фирмы I и фирмы II  для T=3. Сплошные линии соответствуют результатам контрольного интегрирования методом Рунге-Кутта.

Рис.2. Зависимость оптимального управления  от времени для случаев T=2,0 (кривая 1), T=2,5 (кривая 2), T=3,0 (кривая 3). Выделенные ресурсы Q=10,0.

Рис.3. Зависимость оптимального значения целевого функционала J от ресурсов Q для  T=2.

Это позволяет сделать пpaктически важный вывод о том, что оптимальная стратегия предприятия по достижению желаемой рыночной доли в условиях дуополии заключается в приложении максимальных усилий именно на начальном участке, после чего, начиная с момента времени  , можно значительно уменьшить интенсивность расхода ресурсов.

Зависимость оптимального значения целевого функционала J, от выделенных ресурсов Q представлена на рис. 3. Убывающий хаpaктер этой зависимости объясняется тем, что с увеличением Q возрастает , а значит, и интенсивность использования ресурсов на начальном, «стартовом» участке траектории динамической системы. А поскольку именно этот участок является наиболее важным с точки зрения достижения желаемого результата,  в конечном итоге это приводит к интегральному эффекту экономии ресурсов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Бережной Л.И. Теория оптимального управления экономическими системами: Учебное пособие. - СПб.: ИВЭСЭП, Знание,2002. 64 с.
  2. Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: Учеб. для вузов. 2-е изд./ Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко.-М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2001. 488 с.
  3. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск: МП «Раско», 1991. 272 с. ил.
  4. Просвиров А.Э. Копылов А.В., Динамическая модель конкуренции двух фирм на однородном рынке // Успехи современного естествознания, №8, 2003. стр. 29-33.
  5. Табак Д., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование, перев. с англ. М., Наука, 1975. 280 с.


ПРОБЛЕМЫ АДАПТАЦИИ И КРИТЕРИИ ЗДОРОВЬЯ

ПРОБЛЕМЫ АДАПТАЦИИ И КРИТЕРИИ ЗДОРОВЬЯ Статья в формате PDF 89 KB...

26 11 2022 17:27:33

Захарченко Владимир Дмитриевич

Захарченко Владимир Дмитриевич Статья в формате PDF 107 KB...

22 11 2022 19:12:43

НАЗАД – В БУДУЩЕЕ!

НАЗАД – В БУДУЩЕЕ! Статья в формате PDF 245 KB...

17 11 2022 14:42:37

ЭКОЛОГИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ ДРЕВОСТОЯ

ЭКОЛОГИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ ДРЕВОСТОЯ Статья в формате PDF 319 KB...

11 11 2022 10:30:50

СОЦИАЛЬНЫЙ ХАРАКТЕР ВОПРОСОВ ДЕРМАТОВЕНЕРОЛОГИИ

СОЦИАЛЬНЫЙ ХАРАКТЕР ВОПРОСОВ ДЕРМАТОВЕНЕРОЛОГИИ Статья в формате PDF 100 KB...

09 11 2022 23:24:44

КЛИНИКО-БИОХИМИЧЕСКИЕ ПАРАЛЛЕЛИ У БОЛЬНЫХ ДИФТЕРИЕЙ

КЛИНИКО-БИОХИМИЧЕСКИЕ ПАРАЛЛЕЛИ У БОЛЬНЫХ ДИФТЕРИЕЙ С целью повышения качества диагностики дифтерийной инфекции проведено клинико-лабораторное обследование 125 больных с различными формами дифтерии, включающее комплексное исследование показателей гликопротеидов и изоферментного спектра аминотрaнcфераз. Установлено, что в развитии патологического процесса при дифтерийной инфекции значительную роль играют нарушения метаболизма соединительной ткани, а изоферментный спектр аминотрaнcфераз хаpaктеризуется выраженным дисбалансом с преимущественным увеличением митохондриальных изоферментов. Степень выявленных изменений четко коррелируют с тяжестью болезни, а патологические сдвиги при токсических формах заболевания сохраняются после окончания острой фазы заболевания в периоде осложнений дифтерии. ...

02 11 2022 10:47:51

СТРУКТУРНЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ СЛИЗИСТОЙ ОБОЛОЧКИ ЖЕЛУДКА ПРИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ГИПОКИНЕЗИИ

СТРУКТУРНЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ СЛИЗИСТОЙ ОБОЛОЧКИ ЖЕЛУДКА ПРИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ГИПОКИНЕЗИИ В данном исследовании приведены морфологические изменения в слизистой оболочке желудка при воздействии гипокинезии. Структурные изменение былы выявлены в слизистой оболочке. ...

31 10 2022 16:36:46

МЕТОДОЛОГИЯ ФОРМИРОВАНИЯ И РАЗВИТИЯ КЛАСТЕРА ПРОЦЕССОВ КАЧЕСТВА ЖИЗНЕОБЕСПЕЧЕНИЯ: ИННОВАЦИОННЫЙ ПОДХОД РАЗВИТИЯ РЕГИОНОВ

МЕТОДОЛОГИЯ ФОРМИРОВАНИЯ И РАЗВИТИЯ КЛАСТЕРА ПРОЦЕССОВ КАЧЕСТВА ЖИЗНЕОБЕСПЕЧЕНИЯ: ИННОВАЦИОННЫЙ ПОДХОД РАЗВИТИЯ РЕГИОНОВ В статье рассмотрен интенсивный подход к структурированию экономики и обоснованию стратегий региональной экономической политики повышения качества кластера процессов жизнеобеспечения. ...

28 10 2022 4:22:22

РЕКЛАМА КАК ИНСТРУМЕНТ МАНИПУЛЯЦИИ СОЗНАНИЕМ

РЕКЛАМА КАК ИНСТРУМЕНТ МАНИПУЛЯЦИИ СОЗНАНИЕМ Статья в формате PDF 119 KB...

18 10 2022 2:58:47

МЕТАФОРИЧНОСТЬ ОБРАЗОВ В УРАЛЬСКОМ ФОЛЬКЛОРЕ

МЕТАФОРИЧНОСТЬ ОБРАЗОВ В УРАЛЬСКОМ ФОЛЬКЛОРЕ Статья в формате PDF 113 KB...

15 10 2022 21:10:54

К СТРАТЕГИИ ОБРАЗОВАНИЯ XXI ВЕКА

К СТРАТЕГИИ ОБРАЗОВАНИЯ XXI ВЕКА Статья в формате PDF 154 KB...

11 10 2022 13:46:59

Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::