О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ > Полезные советы
Тысяча полезных мелочей    

О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ

О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ

Тактаров Н.Г. В статье описаны связи между общественными науками и математикой. Приведены рекомендации о преподавании математики для студентов-гуманитариев. Библиогр. 4 назв. Статья в формате PDF 116 KB

Преподавая многие годы различные разделы математики студентам разных специальностей: от математиков и "технарей" до гуманитариев; автор попытался в методической статье (новой для него области) высказать свои соображения по этой теме, испытав на себе весь смысл слов Сальери: "Труден первый шаг" - в трагедии  А.С. Пушкина "Моцарт и Сальери".

Не забывая известного афоризма Козьмы Пруткова: "Плюнь тому в глаза, кто скажет, что можно объять необъятное!"; мы ставили перед собой скромную цель: лишь частично раскрыть необозримую тему, обозначенную в заголовке. Тем более, что вопросы преподавания (и не только математики) уже с давних пор привлекают к себе пристальное внимание. Об этом говорил еще смотритель училищ Лука Лукич Хлопов в "Ревизоре" Н.В. Гоголя: "Не приведи Бог служить по ученой части! Всего боишься: всякий мешается, всякому хочется показать, что он тоже умный человек". Это высказывание не только не потеряло своего значения в наши дни, но стало еще более актуальным. В самом деле, количество диссертаций по методике преподавания математики сейчас растет лавинообразно и по порядку величины приближается к их количеству по всем остальным наукам, вместе взятым. Объяснения этому очень простое: если чего-то можно достичь более легким путем, то обычно этот путь и выбирают.

В этой связи трудно удержаться от того, чтобы не привести довольно длинную цитату из книги Маколея "История Англии": "Тогдашние финансисты, кажется, ожидали, что монета нового чекана, очень хорошая, скоро вытеснит из обращения монету старого чекана, сильно попорченную. Но каждый неглупый человек должен был бы сообразить, что если казна  принимает равноценными полновесную монету и легкую, то полновесная не вытеснит легкую из обращения, а сама будет вытеснена ею...". Как известно, в Англии XVII в. этот вопрос был решен очень простым способом: хождение ущербных монет было попросту запрещено. Не обсуждая совершенно безнадежный вопрос о полном запрете методических диссертаций ("Если звезды зажигают ..."), заметим лишь, что если не ограничить количество защит этих диссертаций и не поднять уровень требований к ним, в результате "научное поле" будет чрезмерно засорено методическими диссертациями, а все остальные вытеснятся из "научного обращения".

Отметим сразу, что мы придерживаемся точки зрения, что методика преподавания - это больше искусство, чем наука. Действительно, нельзя дать точных и однозначных советов как излагать тот или иной материал. А тем более невозможно логически обосновать эти указания и рекомендации. И вообще, в методике сколько людей, столько и мнений. Методический прием идеальный в одних условиях может оказаться совершенно непригодным в других. Методике нельзя научить, но можно научиться, постепенно приобретая личный опыт преподавания.  Уместны лишь рекомендации и советы самого общего хаpaктера, а до деталей надо дойти самому. Здесь очень кстати слова Сократа, правда, сказанные им в несколько другой связи. Человеку, который спросил его, советует ли он ему жениться, Сократ ответил: "Делай, что хочешь, - все равно раскаешься".

Как и всякое другое искусство, например актерское, методика не располагает к строгому однозначному изложению, поскольку имеет дело с весьма неопределенными понятиями. Поэтому и наша статья является не наукообразным изложением утверждений и фактов, а скорее беседой о связях метаматематики с гуманитарным образованием.

Известный  отечественный физик академик Я.Б. Зельдович заметил: "Пресловутое противопоставление лириков и физиков (а заодно и математиков) придумано поэтом Б. Слуцким, т.е. "лириком". В математике, как  и других естественных науках, больше поэзии, чем думают профессионалы - лирики".

Как известно из истории науки, гуманитарии внесли немалый вклад в создание современного точного естествознания и математики. Приведем  лишь несколько примеров.

Один из основоположников современной математики Г. Лейбниц по образованию и роду научных занятий был юристом и философом. Известный своими математическими исследованиями П. Ферма также был юристом, причем пpaктикующим. Один из создателей современной квантовой физики Л. де Бройль был филологом по образованию. Подобные примеры можно было бы продолжить ..., однако не могу не упомянуть встречавшихся на моем педагогическом пути студентов-гуманитариев (юристов и т.д.), испытывавших немалые затруднения при сложении простых дробей (на экзамене по высшей математике!). Я упомянул об этом не для уязвления современных гуманитариев, а чтобы отметить важность вопроса о том, кому, как и в каком объеме надо преподавать математику. Иначе преподаватели будут делать вид, что они "преподают" математику, а студенты - что они ее "изучают". Как тут не вспомнить слова В.И. Ленина: "Лучше меньше, да лучше". Что касается вышеупомянутых студентов, то нет сомнения, что они оказались в вузе совершенно случайно.

Очень образно и на первый взгляд парадоксально выразился один из создателей современной физики Дж. В. Гиббс. Присутствуя на одном, слишком затянувшемся заседании, посвященном преподаванию математики и языков, он не выдержал и выступил, немало удивив этим своих коллег, т.к. обычно не отличался особой разговорчивостью. Но их удивление было не долгим - выступление Гиббса состояло всего из трех слов: "Математика - это язык". Действительно, математика является языком точного естествознания, посредством которого создаются математические модели, представляющие собой приближенное описание окружающего нас мир при помощи математической символики.

В настоящее время, особенно в связи с появлением вычислительной техники (компьютеров), отмечается широкое внедрение математических методов также в биологию и социально-экономические науки. Математика как учебный предмет уверенно проникает в гуманитарное образование. Ценность математики заключается в том, что реальное явление заменяется подходящей математической моделью, которая исследуется затем математическими методами, либо при помощи компьютера, что может дать значительную экономию средств.

Не секрет, что подавляющее большинство людей совершенно не понимают математических рассуждений и доказательств. Выдающийся математик А. Пуанкаре заметил по этому поводу: "Что не всякий может понимать математическое рассуждение в тот момент, когда ему его излагают, вот что кажется в высшей степени поразительным". Математическое доказательство - это последовательность умозаключений, расположенных в совершенно определенном порядке. А. Пуанкаре считает, что математик обладает интуицией этого порядка, что позволяет ему окинуть одним взглядом всю цепь рассуждений сразу, и убедиться в том, что ни один элемент цепи не пропущен. Большинство людей не обладают такой способностью. Ничего особенно удивительного в этом нет: ведь не все же, например, умеют сочинять стихи или создавать музыку ... Но несмотря на все это потребность в знании основ высшей математики в наше время все более возрастает. Как же здесь быть? Необходим тщательный отбор материала и его умелая методическая проработка. Надо отчетливо различать математику как науку, и как преподаваемую дисциплину для "пользователей". Так например, мы можем не знать устройство телевизора, но это не мешает нам пользоваться им.  "Ортодоксальные" математики настаивают на обязательном доказательстве всех утверждений. Но такой подход в лучшем случае будет пустой тратой времени (по наблюдениям автора), а в худшем - вызовет чрезмерное отвращение к математике, которая и без того не пользуется особой симпатией у студентов-гуманитариев. Преподавание математики для них должно быть описательным и идти в форме изложения теоретических сведений и примеров. При этом необходимо максимально обращаться к интуиции и наглядности, избегая каких-либо длинных доказательств. Полезными могут быть различные аналогии и сравнения.

Как говорил И. Ньютон, в изучении наук задачи полезнее правил. Это несомненно относится и к построению лекций по математике. Начинать новую тему надо обязательно с простых наглядных примеров, а затем переходить к обобщениям. Математик Д. Гильберт прямо рекомендовал: "Начинай с примеров". Надо по возможности показывать применение математики в будущей специальности студентов, или хотя бы упоминать о возможных областях ее применения. Как говорил известный мыслитель восточного средневековья Саади: "Кто учился наукам и не применяет их, похож на того, кто пахал, но не сеет".

Что касается пpaктических занятий, то их следует начинать с решения и подробного анализа одной или нескольких типовых задач вместе со студентами. Затем занятие должно идти в форме самостоятельной работы студентов, в ходе которой преподаватель при необходимости разъясняет отдельные наиболее трудные места решения и направляет его ход. Достаточно прочные и глубокие знания могут быть получены лишь усилиями своей мысли, а не переписыванием уже решенных задач. Разумеется, что задачи для самостоятельного решения должны быть посильными для студентов. Только в этом случае их решение даст студентам столь необходимую в учебном процессе уверенность в своих силах.

Отношения между студентами и преподавателем могут быть достаточно близкими и доверительными, но определенная дистанция между ними обязательно должна существовать. Следует по возможности воздерживаться от прямой критики, а тем более грубого осуждения студентов, что зачастую не приводит к желаемому результату, поэтому лучше делать это косвенно или иносказательно. Обладая достаточным для этого умом, они вполне поймут о чем идет речь, и вместе с тем удастся избежать ненужной конфронтации. Кроме того, косвенное воздействие сильнее прямого, поскольку выводы из сказанного студент делает сам. Конечно, мы не рассматриваем здесь "патологического" случая, когда тот или иной студент ведет себя демонстративно вызывающе, несмотря на замечания.  Особые трудности могут встретиться со студентами 1-го  курса, с которыми "надо держать ухо востро", поскольку они еще не забыли школьных привычек и не обрели навыков поведения в вузе.

Математика для неспециалиста уже сама по себе предмет довольно трудный и скучный, поэтому если таким же будет еще и стиль ее преподавания, то на особые успехи не стоит рассчитывать: студенты будут либо разговаривать (в начале лекции), либо дремать (в конце). Чтобы вернуть их в нужное русло, можно, например, напомнить им о предстоящем экзамене, но есть и другие способы. Писатель А. Франс заметил: "Только забавляясь и учатся". Время от времени чтение лекции должно сопровождаться забавным, интересным рассказом, шуткой. Причем, чем дальше их смысл от математики, тем больше эффект. Привлекая внимание уставшего человека, шутка действует по принципу известной из психологии доминанты. Поскольку содержание шутки приятно и интересно для человека (именно такой она и должна быть) она беспрепятственно проникает в сознание, "прихватывая" попутно излагаемый в лекции материал. Разумеется, здесь надо иметь чувство меры, чтобы не превратить лекцию в сплошное развлечение. Конечно, этому искусству научить невозможно. Заметим лишь, что для этого преподаватель должен иметь эрудицию, выходящую достаточно далеко, за пределы математики.

Эффективность лекции проверяется посредством непрерывной обратной связи: время от времени преподаватель задает студентам вопросы, позволяющие выяснить степень понимания материала и при необходимости разъяснить трудные места. Делать это удобнее по ходу лекции, т.к. даже через небольшое время после нее материал забывается, и его надо будет снова восстанавливать в памяти. При наличии достаточного опыта преподаватель может построить лекцию в виде вопросов, на которые он отвечает вместе со студентами. Это позволяет поддерживать активность студентов (хотя и не всех) на протяжении всей лекции.

Экзамены и зачеты следует начинать с простых  вопросов и задач, постепенно повышая уровень их сложности. Это дает возможность студенту успокоиться и освоиться с обстановкой, а преподавателю будет видно на каком уровне сложности надо остановиться и поставить соответствующую оценку. Такой подход позволяет экономить много времени и не затягивать экзамен. Обычно, бывает достаточно нескольких минут (5-10), чтобы выяснить уровень знаний студента, тем более, если экзаменатор сам вел занятия. Не стоит превращать экзамен в олимпиаду по решению "заковыристых" задач, они должны быть типовыми. Экзамен предназначен для проверки знаний, а не сообразительности. Его значение заключается также в том, что он позволяет студенту получить целостное представление об изучаемом предмете и его структуре.

В заключение отметим, что наиболее подходящий, по нашему мнению, для гуманитариев стиль изложения математики принят в книге Я.Б. Зельдовича [1]. Разумеется, что и к этому стилю нельзя относиться догматически.

Список литературы

  1. Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике. - М.: Наука, 1970. - 560 с.
  2. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. - М.: Наука, 1980. - 144 с.
  3. Пуанкаре А. О науке. - М.: Наука, 1983. - 560 с.
  4. Седов Л.И. Размышления о науке и об ученых. - М.: Наука, 1980. - 440 с.


В НАЧАЛЕ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНОГО ПОИСКА

В НАЧАЛЕ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНОГО ПОИСКА Задачу формирования интеллекта учащихся призвана решать современная школа и, в первую очередь, учебные заведения с названиями «лицей» и «гимназия». В представленной работе излагаются сведения об основных этапах по подготовке и проведению школьной научно-пpaктической конференции «В науку первые шаги», которая ежегодно проводится в Лицее № 37 г. Саратова. В рамках конференции каждый учащийся 11 класса защищает выпускную работу по профильному предмету (математике, физике, информатике, химии, биологии и др.). Подготовка к защите выпускной или творческой работы по химии способствует личностно-ориентированному обучению и воспитанию школьников, развитию активности и самостоятельности, учит работать с библиографической и информационно-справочной литературой, пользоваться электронными каталогами через систему Internet, знакомит с историей науки, развивает экспериментальные навыки, обучает целенаправленным наблюдениям. ...

08 06 2026 10:41:11

Экология и здоровье

Экология и здоровье Статья в формате PDF 119 KB...

25 05 2026 17:36:25

ТРАНСФОРМАЦИЯ НАСЕЛЕНИЯ ОХОТНИЧЬЕ-ПРОМЫСЛОВЫХ МЛЕКОПИТАЮЩИХ ПРИ ОСВОЕНИИ ЧАЯНДИНСКОГО ЛИЦЕНЗИОННОГО УЧАСТКА (ЗАПАДНАЯ ЯКУТИЯ)

ТРАНСФОРМАЦИЯ НАСЕЛЕНИЯ ОХОТНИЧЬЕ-ПРОМЫСЛОВЫХ МЛЕКОПИТАЮЩИХ ПРИ ОСВОЕНИИ ЧАЯНДИНСКОГО ЛИЦЕНЗИОННОГО УЧАСТКА (ЗАПАДНАЯ ЯКУТИЯ) В сообщении представлены сведения о трaнcформации населения охотничье-промысловых млекопитающих при освоении Чаяндинского лицензионного участка (Западная Якутия). Материалы собраны в 2009–2011 гг. В результате проведенных учетных работ и опросных сведений на территории лицензионного участка выявлено обитание 10 видов охотничье-промысловых млекопитающих из 20 видов, обитающих на территории Западной Якутии. На настоящий момент существенных изменений численности охотничье-промысловых животных на лицензионном участке не происходит. В целом воздействие геологоразведочных работ на нефть и газ носят локальный хаpaктер. ...

23 05 2026 22:33:56

О РЕАЛИЗАЦИИ ИДЕЙ ПЕДАГОГИКИ СОТРУДНИЧЕСТВА

О РЕАЛИЗАЦИИ ИДЕЙ ПЕДАГОГИКИ СОТРУДНИЧЕСТВА Статья в формате PDF 90 KB...

22 05 2026 11:56:46

ПЕРЕКИСНОЕ ОКИСЛЕНИЕ В ЛЕГКИХ, ПЕЧЕНИ И ПОЧКАХ КРЫС ПРИ ХРОНИЧЕСКОЙ ЭКСПОЗИЦИИ ПОЛИМЕТАЛЛИЧЕСКОЙ ПЫЛИ

ПЕРЕКИСНОЕ ОКИСЛЕНИЕ В ЛЕГКИХ, ПЕЧЕНИ И ПОЧКАХ КРЫС ПРИ ХРОНИЧЕСКОЙ ЭКСПОЗИЦИИ ПОЛИМЕТАЛЛИЧЕСКОЙ ПЫЛИ Целью настоящего исследования явилось изучение показателей перекиcного окисления липидов в гомогенатах печени, почек и легких крыс в динамике ингаляционного воздействия полиметаллической пылью, содержащей естественные радионуклиды. Полученные нами данные показали, что при пролонгированном ингаляционном поступлении полиметаллической пыли, содержащей природные радионуклиды, в легких, печени и почках крыс происходит активация процессов ПОЛ. Обращает на себя внимание разные сроки начала аккумуляции катаболитов ПОЛ: в легких – на 7 сутки, в печени и почках – на 30 сутки. Выявление хаpaктера нарушений окислительного метаболизма доказывают необходимость ранней коррекции нарушения окислительного метаболизма при пролонгированной экспозиции полиметаллической пыли, содержащей природные радионуклиды. ...

20 05 2026 15:44:25

Влияние нефтезагрязнения на состояние природного фона почв

Влияние нефтезагрязнения на состояние природного фона почв Для оценки современного состояния природного фона и его изменений под действием техногенных факторов выполнены геохимические исследования почв на различных объектах нефтегазового комплекса Якутии. Показано, что при попадании в почву нефть и нефтепродукты сорбируются почвогрунтами и смешиваются с нативным органическим веществом почв, что приводит к изменению природного фона вплоть до формирования аномальных поверхностных геохимических полей техногенного генезиса. ...

16 05 2026 5:25:23

АНАЛИЗ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ И ФИНАНСОВО-ХОЗЯЙСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЙ АГРОПРОМЫШЛЕННОГО КОМПЛЕКСА КАБАРДИНО-БАЛКАРСКОЙ РЕСПУБЛИКИ

АНАЛИЗ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ И ФИНАНСОВО-ХОЗЯЙСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЙ АГРОПРОМЫШЛЕННОГО КОМПЛЕКСА КАБАРДИНО-БАЛКАРСКОЙ РЕСПУБЛИКИ Агропромышленный комплекс Кабардино-Балкарской Республики функционирует на основе сложной системы межотраслевых и территориально-производственных связей. Хаpaктерной чертой сельского хозяйства становится все большая интеграция с другими отраслями народного хозяйства, прежде всего с промышленностью. На региональном уровне агропромышленный комплекс решает также вопросы планомерной ликвидации социально-экономических и культурно-бытовых различий между городом и селом. ...

08 05 2026 22:44:12

ИССЛЕДОВАНИЕ ИНФРАКРАСНЫХ СПЕКТРОВ ПОГЛОЩЕНИЯ В ОБРАЗЦЕ ВЫСУШЕННОЙ КАПЛИ МОЧИ

ИССЛЕДОВАНИЕ ИНФРАКРАСНЫХ СПЕКТРОВ ПОГЛОЩЕНИЯ В ОБРАЗЦЕ ВЫСУШЕННОЙ КАПЛИ МОЧИ Представлены результаты исследований инфpaкрасных спектров поглощения в образцах высушенной капли мочи. Применение метода ИК – спектроскопии для исследования образцов мочи в виде высушенной капли позволяет повысить диагностическую значимость молекулярного анализа. Полученные результаты могут быть использованы при разработке новых методов ранней диагностики различных заболеваний. ...

06 05 2026 18:38:31

ЭВОЛЮЦИЯ: 150 ЛЕТ ПОСЛЕ ДАРВИНА

ЭВОЛЮЦИЯ: 150 ЛЕТ ПОСЛЕ ДАРВИНА После выхода в свет первого издания книги Дарвина “Происхождение видов путем естественного отбора” прошло 150 лет, но полной ясности в некоторых вопросах, которые вызвали затруднения еще у Дарвина, по-прежнему нет. В предлагаемой статье рассматривается, каким образом под давлением окружающей среды большая популяция, эволюционирующая градуально, превращается в малую группу, в соответствии с синтетической теорией эволюции. И каким образом «многообещающий уpoд» “сальтационистов”, порождение этой вымирающей популяции, совершив скачок и обзаведясь потомством, закладывает популяцию нового вида. Рассматриваются также природа «пульсаций» в теории ”пунктационного” равновесия и ряд других вопросов. ...

03 05 2026 10:26:45

УНИВЕРСАЛЬНЫЙ БЛОК УПРАВЛЕНИЯ ЭНЕРГОНАГРУЗКАМИ

УНИВЕРСАЛЬНЫЙ БЛОК УПРАВЛЕНИЯ ЭНЕРГОНАГРУЗКАМИ Статья в формате PDF 122 KB...

02 05 2026 19:36:25

Структура собеседования

Структура собеседования Статья в формате PDF 254 KB...

01 05 2026 8:22:23

ОСОБЕННОСТИ РОССИЙСКОГО ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА НА СОВРЕМЕННОМ ЭТАПЕ

ОСОБЕННОСТИ РОССИЙСКОГО ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА НА СОВРЕМЕННОМ ЭТАПЕ В современной России, в период значительных для государства и его народа преобразований во всех сферах жизни общества наблюдаются изменения. За последние десять лет реформы породили новые виды деятельности, стили жизни, слои населения. В центре внимания исследований нового российского общества оказалось предпринимательство. Российских предпринимателей беспокоит негативное общественное мнение об их деятельности и отчуждения населения, низкий социальный статус в общественном сознании, периодически возникающие деструктивные конфликты с органами власти, отсутствие российских образцов рыночного поведения (традиций, нравов, обычаев), низкая культура предпринимательства. В итоге, феномен предпринимательства в России отличается своей специфичностью, природа которой лежит в особенностях становления данного класса. Стремясь к стандартам западного, образцового предпринимательства, российский бизнесмен не в силах игнорировать давно сложившиеся патриархальные традиции, арсенал накопившихся социальных ресурсов, амбициозность конкурентов, возможность самореализации и “переустройства мира на свой лад”. ...

30 04 2026 5:44:47

Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::