FROM G. GALILEI´S PARADOX UP TO THE ALTERNATE ***YSIS

Having unclosed paradox that of natural numbers are as much how many their quadrates, G. Galilei bequeathed to be cautious in the handling with infinite amounts: " ...there isn´t the place for a property of an equality, and also greater and smaller value there, where the matter goes about infinity, and are applied only to finite amounts" [1, p. 140-146]. An explanation of this paradox can be obtained with some conditions, which have allowed to divide all injective mappings φ: N→N on four classes: 1) finitely surjective, 2) potentially surjective, 3) potentially antisurjective and 4) are as trivial antisurjective mappings. The following statements are proved, in particular:
Theorem 1. The injections of 3-rd and 4-th classes are not bijections.
Theorem 2. If a mapping φ: N→N is bijection, then the following limit equality is fulfilled: lim (φ(n):n)=1.
Theorem 3. There isn´t a bijection between of natural numbers set N and its proper subset А⊂N.
Theorem 3 can be proved also by means of the mathematical induction method or with the helping of the following statement.
Theorem 4. Let A and B be proper subsets of set N of natural numbers and there is an injection , then this mapping φ can be prolonged up to bijection .
The concept of numerical sequence convergence is generalized as follows:
Definition 1. A numerical sequence (а) will be termed as a properly convergent sequence, if
. (1)
This concept gives the substantiation to existence of infinite hyper-real numbers. In particular, the sequence of the partial sums of a harmonic series satisfies to a condition of Definition 1. It is easy to proof following statement by means (1):
Theorem 5. A set of Cauchy´s sequences includes a subset of unlimited those.
Corollary of Theorem 5. The real numbers set R isn´t a complete space if it doesn´t include a subset of infinite hyper-real numbers.
A completeness axiom will be entered: every properly convergent sequence converges
Theorem 6.
Theorem 4.
The defined more exactly concept of numerical series has allowed to prove and to show on examples both a necessary criterion of the numerical series convergence on the extended numerical direct is also sufficient, and the convergence of an alternating numerical series in R does not depend on a permutation of this series addends [2]. For example, let (А)==А=ln2. The series (В) was obtained [3, p. 316-319] from the series (А) by following "procedure": after everyone p of sequential positive addends of the series (А) was put q of the sequential negative addends of this series. The sequence ( ) of partial sums of series (В) converges to number =ln(2 ). It is shown in the report the sequence ( ) of series (В) residuals converges to number =ln( ). Therefore, A= + .
Reference
- Galilei G.. Selected Works: In 2 t. -Moscow: "Science", 1964. Т. 1.-571 p. (In Russian)
- Sukhotin A.M. Alternative ***ysis principles: Study.-Tomsk: TPU Press, 2002.-43 p.
- Fikhtengolts G. M. Course differential and integral calculus: In 3 t., 3-rd edit.- Moscow: "Science", 1967.-Т. 2.-664 p. (In Russian)
Статья в формате PDF
100 KB...
16 06 2026 23:54:47
Статья в формате PDF
299 KB...
15 06 2026 23:47:26
Статья в формате PDF
109 KB...
14 06 2026 20:14:11
Статья в формате PDF
114 KB...
13 06 2026 11:48:56
Статья в формате PDF
262 KB...
12 06 2026 23:49:37
Статья в формате PDF
126 KB...
11 06 2026 0:49:13
Статья в формате PDF
338 KB...
10 06 2026 5:11:34
Статья в формате PDF
114 KB...
09 06 2026 10:33:31
Статья в формате PDF
119 KB...
08 06 2026 11:40:10
07 06 2026 23:27:51
Статья в формате PDF
120 KB...
06 06 2026 14:45:43
В статье рассматривается роль педагогических технологий в профессиональной подготовке учителя. Использование педагогических технологий в учебном процессе вуза способствует четкому определению конечной цели, разработке объективных методов контроля, проект учебного процесса, определению структуры и содержанию учебно-познавательной деятельности учащихся.
...
05 06 2026 2:30:28
Статья в формате PDF
249 KB...
04 06 2026 18:57:56
Статья в формате PDF
139 KB...
03 06 2026 1:28:21
Статья в формате PDF
109 KB...
02 06 2026 4:29:40
Статья в формате PDF
124 KB...
01 06 2026 20:50:54
Статья в формате PDF
122 KB...
31 05 2026 6:37:40
30 05 2026 6:28:42
Эмбриональная полукольцевидная форма является исходной в морфогенезе дефинитивной двенадцатиперстной кишки человека. Она преобразуется в кольцевидную у большинства плодов десятой недели, последняя в типичную подковообразную форму — к середине утробной жизни человека.
...
28 05 2026 3:13:22
Статья в формате PDF
121 KB...
27 05 2026 14:47:49
Статья в формате PDF
112 KB...
26 05 2026 23:50:46
Статья в формате PDF
146 KB...
25 05 2026 20:12:34
Статья в формате PDF
144 KB...
23 05 2026 9:25:34
Статья в формате PDF
118 KB...
22 05 2026 7:23:28
Статья в формате PDF
110 KB...
21 05 2026 9:50:33
20 05 2026 7:42:44
Статья в формате PDF
110 KB...
19 05 2026 4:22:39
Статья в формате PDF
139 KB...
18 05 2026 10:47:39
Статья в формате PDF
163 KB...
17 05 2026 2:57:24
Статья в формате PDF
110 KB...
16 05 2026 23:14:40
Статья в формате PDF
220 KB...
15 05 2026 22:37:13
Статья в формате PDF 281 KB...
14 05 2026 12:56:54
Статья в формате PDF
267 KB...
13 05 2026 19:35:49
Целью данной работы был анализ психофизиологических показателей студентов очной формы обучения, разработка мер по оптимизации учебного процесса и по предотвращению развития хронического стресса. Испытуемыми были 62 студента Института декоративно-прикладного искусства (средний возраст 25±3,7 лет) и 24 студента других высших учебных заведений, занимающихся в группе Айкидо (средний возраст 20,5±2,2 лет). Психофизиологическое состояние здоровья студентов расценивается как «функциональное перенапряжение». знание психофизиологических механизмов восприятия улучшает усвоение нового лекционного непрофильного материала. занятия восточными спортивными пpaктиками способствуют нормализации исследуемых функций
...
12 05 2026 7:21:11
Статья в формате PDF
114 KB...
11 05 2026 9:23:17
Статья в формате PDF
118 KB...
10 05 2026 2:53:33
Статья в формате PDF
225 KB...
09 05 2026 7:40:55
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::