FROM G. GALILEI´S PARADOX UP TO THE ALTERNATE ***YSIS

Having unclosed paradox that of natural numbers are as much how many their quadrates, G. Galilei bequeathed to be cautious in the handling with infinite amounts: " ...there isn´t the place for a property of an equality, and also greater and smaller value there, where the matter goes about infinity, and are applied only to finite amounts" [1, p. 140-146]. An explanation of this paradox can be obtained with some conditions, which have allowed to divide all injective mappings φ: N→N on four classes: 1) finitely surjective, 2) potentially surjective, 3) potentially antisurjective and 4) are as trivial antisurjective mappings. The following statements are proved, in particular:
Theorem 1. The injections of 3-rd and 4-th classes are not bijections.
Theorem 2. If a mapping φ: N→N is bijection, then the following limit equality is fulfilled: lim (φ(n):n)=1.
Theorem 3. There isn´t a bijection between of natural numbers set N and its proper subset А⊂N.
Theorem 3 can be proved also by means of the mathematical induction method or with the helping of the following statement.
Theorem 4. Let A and B be proper subsets of set N of natural numbers and there is an injection , then this mapping φ can be prolonged up to bijection .
The concept of numerical sequence convergence is generalized as follows:
Definition 1. A numerical sequence (а) will be termed as a properly convergent sequence, if
. (1)
This concept gives the substantiation to existence of infinite hyper-real numbers. In particular, the sequence of the partial sums of a harmonic series satisfies to a condition of Definition 1. It is easy to proof following statement by means (1):
Theorem 5. A set of Cauchy´s sequences includes a subset of unlimited those.
Corollary of Theorem 5. The real numbers set R isn´t a complete space if it doesn´t include a subset of infinite hyper-real numbers.
A completeness axiom will be entered: every properly convergent sequence converges
Theorem 6.
Theorem 4.
The defined more exactly concept of numerical series has allowed to prove and to show on examples both a necessary criterion of the numerical series convergence on the extended numerical direct is also sufficient, and the convergence of an alternating numerical series in R does not depend on a permutation of this series addends [2]. For example, let (А)==А=ln2. The series (В) was obtained [3, p. 316-319] from the series (А) by following "procedure": after everyone p of sequential positive addends of the series (А) was put q of the sequential negative addends of this series. The sequence ( ) of partial sums of series (В) converges to number =ln(2 ). It is shown in the report the sequence ( ) of series (В) residuals converges to number =ln( ). Therefore, A= + .
Reference
- Galilei G.. Selected Works: In 2 t. -Moscow: "Science", 1964. Т. 1.-571 p. (In Russian)
- Sukhotin A.M. Alternative ***ysis principles: Study.-Tomsk: TPU Press, 2002.-43 p.
- Fikhtengolts G. M. Course differential and integral calculus: In 3 t., 3-rd edit.- Moscow: "Science", 1967.-Т. 2.-664 p. (In Russian)
Статья в формате PDF
300 KB...
09 03 2026 6:23:21
Статья в формате PDF
124 KB...
08 03 2026 2:44:34
Статья в формате PDF
104 KB...
07 03 2026 19:57:56
Статья в формате PDF
264 KB...
05 03 2026 20:28:50
04 03 2026 4:46:26
Статья в формате PDF
120 KB...
03 03 2026 19:14:42
В данном исследовании приведены морфологические изменения в слизистой оболочке желудка при воздействии гипокинезии. Структурные изменение былы выявлены в слизистой оболочке.
...
02 03 2026 0:40:52
Статья в формате PDF
204 KB...
28 02 2026 7:58:26
27 02 2026 12:27:57
Статья в формате PDF
131 KB...
26 02 2026 12:21:15
Статья в формате PDF
104 KB...
25 02 2026 17:14:18
Статья в формате PDF
312 KB...
24 02 2026 22:59:49
Статья в формате PDF
220 KB...
23 02 2026 9:53:49
Статья в формате PDF
119 KB...
22 02 2026 11:55:22
Статья в формате PDF
138 KB...
21 02 2026 10:14:12
Статья в формате PDF
256 KB...
20 02 2026 18:10:15
Статья в формате PDF
264 KB...
19 02 2026 6:50:45
Статья в формате PDF
127 KB...
18 02 2026 11:32:37
Построена октетная электродинамика. Обсуждена возможность объединения механики и электродинамики. Выявлена дальнодействующая структуризация октетного прострaнcтва. Исследуются свойства интервала.
...
17 02 2026 20:34:53
Статья в формате PDF
269 KB...
16 02 2026 7:17:50
Статья в формате PDF
121 KB...
15 02 2026 8:21:42
С целью повышения качества диагностики дифтерийной инфекции проведено клинико-лабораторное обследование 125 больных с различными формами дифтерии, включающее комплексное исследование показателей гликопротеидов и изоферментного спектра аминотрaнcфераз. Установлено, что в развитии патологического процесса при дифтерийной инфекции значительную роль играют нарушения метаболизма соединительной ткани, а изоферментный спектр аминотрaнcфераз хаpaктеризуется выраженным дисбалансом с преимущественным увеличением митохондриальных изоферментов. Степень выявленных изменений четко коррелируют с тяжестью болезни, а патологические сдвиги при токсических формах заболевания сохраняются после окончания острой фазы заболевания в периоде осложнений дифтерии.
...
14 02 2026 2:39:23
Статья в формате PDF
268 KB...
13 02 2026 7:46:57
12 02 2026 17:14:11
Статья в формате PDF
113 KB...
11 02 2026 21:59:23
Статья в формате PDF
251 KB...
10 02 2026 19:52:17
Статья в формате PDF
116 KB...
08 02 2026 2:56:10
Статья в формате PDF
119 KB...
07 02 2026 7:51:32
Статья в формате PDF
269 KB...
06 02 2026 5:53:22
Статья в формате PDF
138 KB...
05 02 2026 21:53:31
Статья в формате PDF
119 KB...
04 02 2026 12:21:10
Статья в формате PDF
106 KB...
03 02 2026 19:45:49
Статья в формате PDF
401 KB...
02 02 2026 23:13:21
Статья в формате PDF
121 KB...
01 02 2026 16:22:43
В данной работе авторами выдвигается и обосновывается тезис о том, что торгово-коммерческая деятельность является определяющим фактором в системе рыночных отношений.
...
31 01 2026 21:44:32
Статья в формате PDF
390 KB...
30 01 2026 4:27:58
Статья в формате PDF
267 KB...
29 01 2026 16:38:22
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::