КОЛЕБАНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ
Колебания среды, возникающие в твердом теле при высоких температурах, оказывают значительное влияние на образование в нем структурных дефектов. Изучение хаpaктера распространения колебаний в упруго-пластической среде является актуальной задачей физики конденсированного состояния. Взаимосвязь колебаний плотности структурных дефектов и смещений среды можно описать с помощью калибровочной теории дефектов [1].
Целью работы является определение частот колебаний упруго-пластической среды с дефектами структуры.
Из полевых уравнений теории [1] следуют уравнения непрерывности и равновесия в обобщенной форме:
, (1)
где , , ; греческие индексы принимают значения 0, 1, 2, 3, а латинские - 1, 2, 3; - коэффициенты упругой жесткости кристалла; ρ = const - плотность материала; c - скорость света; - тензор деформаций кристалла; αij - тензор теплового расширения кристалла, α0a=0; T - температура.
uαβ = (∂βuα + ∂αuβ + θαβ + θβα)/2, (2)
где - вектор смещений; θαβ - компоненты объектов аффинной связности, обусловленные трaнcляционными дефектам, например, краевыми дислокациями.
Основные уравнения имеют более простой вид в случае изотропной среды. Коэффициенты упругой жесткости вычисляются по формуле:
cijkl = λ∙δijδkl+μ∙δilδjk+ν∙δikδlj. (3)
Подставив (2) и (3) в (1), получим уравнение динамики среды с дефектами:
, (4)
где , , , по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Правая часть уравнения (4) содержит вынуждающие силы.
Направим ось Ox по направлению распространения волны, тогда вектор смещений ui(x,t) можно разложить на продольную и поперечные составляющие вида A0exp{i(ω∙t+k∙x)}.
Величины p, si, fi зададим в виде гармонических колебаний с амплитудами A1, A2, A3 соответственно, сдвинутых по фазе на величину φ относительно смещений. Подставим ui(x,t), p(x,t), si(x,t) и fi(x,t) в (4). Для продольных колебаний получим уравнение:
-(λ+2μ)k2+ρω2 = (- i∙λkτ1 - μτ2 + iρcωτ3)eiφ, (5)
для поперечных колебаний:
- μk2+ρω2 = (- i∙λkτ1 - μτ2 + iρcωτ3)eiφ, (6)
где , m = 1, 2, 3.
Решив уравнения (5), (6) относительно ω, получим два корня:
, n = 0,1, (7)
где для продольных колебаний:
,
для поперечных колебаний:
,
.
Мнимая часть выражения (7) определяет коэффициент нарастания (затухания) колебаний. Волновые решения с Imwn ≠ 0 физически не реализуются в твердом теле.
Найдем частоты волн колебаний, распространяющихся в среде с дефектами. Положим мнимую часть ωn равной нулю и определим значение разности фаз φ. Для упрощения расчетов выберем τ2 = τ3 = 0, тогда получим два значения φ0 = π/2, φ1 = - π/2, при которых
для поперечных колебаний
ωn = ( |(-1)n k∙μ + τ1∙λ|∙k / ρ )1/2, n = 0,1; (8)
для продольных колебаний
ωn = ( |(-1)n k∙(λ+2μ) + τ1∙λ|∙k / ρ )1/2, n = 0,1 (9)
Частоты (8) и (9) соответствуют физически возможным решениям уравнения (4) для незатухающих волн деформации. При τ1 = 0 выражения (8), (9) переходят в известные выражения для волн в упругой среде без дефектов. Структурные дефекты влияют на частоту распространяющихся волн. Зависимость ωn от отношения амплитуд τ для продольных колебаний показана на рис. 1. Для частоты поперечных колебаний график имеет аналогичный вид. В расчетах использованы значения λ = -5,09∙1011 Н/м2 и μ= 5,31∙1011 Н/м2, ρ = 2,3 ∙ 103 кг/м3, k = 1 м-1.
Рисунок 1. Зависимость частоты продольных волн в упруго-пластической среде от отношения амплитуд τ: 1 - ω0(τ); 2 - ω1(τ)
Функция ω0(τ) монотонно возрастает при τ>0. Функция ω1(τ) имеет минимум, в котором частота достигает значения ωmin = 0, что соответствует стоячим волнам. Длина стоячих волн зависит от значения τ.
Таким образом, получены следующие типы решений: 1 - непрерывно возрастающие (убывающие) по амплитуде волны, реально не наблюдаемые; 2 - незатухающие волны деформации, в дисперсионные соотношения которых входят упругие постоянные среды, плотность среды, отношение амплитуд колебаний вынуждающей силы и смещений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Bogatov N.M. Gauge field theory of dislocations formation by thermal stresses // Phys. Stat. Sol. (b). 2001. V. 228. №3 P.651- 661.
Статья в формате PDF
105 KB...
02 05 2026 2:31:58
Статья в формате PDF
264 KB...
01 05 2026 19:50:56
В работе впервые приведены сведения об особенностях аудиогенной чувствительности и поведения в «открытом поле» двух групп крыс, гомозиготных по локусу TAG 1A DRD2.
...
30 04 2026 15:43:24
Статья в формате PDF
249 KB...
29 04 2026 13:50:56
Естественное восстановление растительности на нарушенных землях Севера протекает с различной скоростью и зависит от литологического состава грунтов, рельефа, условий увлажнения, специфики нарушений и других факторов. Проведенные исследования, анализ и обобщение опыта восстановления нарушенных территорий Севера свидетельствует о значительной сложности и специфичности рекультивационных работ. К объектам Севера в большинстве случаев не применимы основные положения и приемы в области рекультивации земель, разработанные в целом для России. Разнообразие природных комплексов – от таёжных ландшафтов до лесотундры и арктической тундры, специфика нарушений, обусловленных геологоразведочными, изыскательскими, строительными и добычными работами обусловливает необходимость дифференцированного подхода к каждому объекту рекультивации при решении вопросов восстановления нарушенных земель.
...
28 04 2026 19:14:32
Статья в формате PDF
218 KB...
27 04 2026 2:14:38
Статья в формате PDF
108 KB...
26 04 2026 19:26:56
Статья в формате PDF
255 KB...
25 04 2026 10:12:40
Статья в формате PDF
113 KB...
24 04 2026 5:21:43
Проведено изучение показателей агрегационной активности тромбоцитов у 126 пациентов, находившихся на лечении с диагнозом острый панкреатит. Из общего количества пациентов нетяжелое течение острого панкреатита отмечено у 67 (53,1 %) больных, не тяжелое у 59 (46,8 %) пациентов. Установлено, что не зависимо от тяжести течения, отмечается усиление агрегационной активности тромбоцитов, которые полностью восстанавливаются к пятнадцатым суткам при нетяжелом течение острого панкреатита и частично при тяжелом течении этого заболевания.
...
22 04 2026 11:39:57
Статья в формате PDF
120 KB...
21 04 2026 12:24:19
Статья в формате PDF
119 KB...
20 04 2026 17:58:23
Обзор состояния кормления и причин падежа молодняка лисиц в ООО «Покровское зверохозяйство» Республики Саха (Якутия) в 2010 г.
...
19 04 2026 0:12:26
Статья в формате PDF
108 KB...
18 04 2026 19:10:18
Рассмотрены основные составляющие познавательной системы профессора И.С.Мустафина, которая включает позитивное использование опыта негативных событий, а также применение оригинальных задач-рассказов и поэтического творчества для развития творческих и естественнонаучных способностей.
...
17 04 2026 6:49:51
Статья в формате PDF
128 KB...
16 04 2026 16:21:46
Проведен анализ результатов научных исследований об использований труда заключенных филиалов ГУЛАГа в Казахстане для развития народного хозяйства Центрального Казахстана в 30–40-е годы ХХ века. На основе архивных данных были сделаны выводы о том, что заключенные филиалов ГУЛАГа, несмотря на тяжелое социально-экономическое, политически бесправное положение, испытывая все невзгоды, работали на промышленных предприятиях, сельском хозяйстве, на строительстве железных дорог, в голод и холод создавали экономическую базу для укрепления социалистического строя. Из основной категории заключенных выделялись женщины – жены так называемых «изменников Родины». Условия труда и содержание их в лагерях было намного тяжелее, чем у мужчин. Несмотря на это они занимались физическим трудом наравне со всеми заключенными, выполняли норму выработки, повышали производительность труда, не получая за это никаких ослаблении в труде.
...
15 04 2026 11:11:44
Статья в формате PDF
282 KB...
14 04 2026 7:44:44
Статья в формате PDF
544 KB...
13 04 2026 10:40:54
Статья в формате PDF
113 KB...
12 04 2026 23:47:39
Статья в формате PDF
110 KB...
11 04 2026 11:27:40
Статья в формате PDF
103 KB...
09 04 2026 9:17:48
Статья в формате PDF
275 KB...
08 04 2026 7:20:19
Статья в формате PDF
141 KB...
07 04 2026 23:34:12
Дана хаpaктеристика цитологических особенностей нейронов дорсомедиального ядра миндалевидного комплекса мозга (МК) на стадии диэструс. Полученные результаты сравниваются с ранее полученными на стадиях эструс и метэструс. Они показывают, что функциональное состояние нейроэндокринных нейронов этого ядра МК меняется в зависимости от уровней пoлoвых стероидов.
...
04 04 2026 10:40:32
Статья в формате PDF
131 KB...
03 04 2026 3:13:50
Статья в формате PDF
126 KB...
02 04 2026 17:48:58
Статья в формате PDF
264 KB...
01 04 2026 11:26:47
Статья в формате PDF
253 KB...
31 03 2026 9:32:35
Статья в формате PDF
326 KB...
30 03 2026 7:20:20
Статья в формате PDF
97 KB...
29 03 2026 6:46:26
Статья в формате PDF
104 KB...
26 03 2026 10:42:49
Статья в формате PDF
99 KB...
25 03 2026 7:34:42
Статья в формате PDF
124 KB...
24 03 2026 16:36:34
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
