КОЛЕБАНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ

1

• Авторы
• Файлы

Богатов Н.М. Савченко А.П. Статья в формате PDF 147 KB

Колебания среды, возникающие в твердом теле при высоких температурах, оказывают значительное влияние на образование в нем структурных дефектов. Изучение хаpaктера распространения колебаний в упруго-пластической среде является актуальной задачей физики конденсированного состояния. Взаимосвязь колебаний плотности структурных дефектов и смещений среды можно описать с помощью калибровочной теории дефектов [1].

Целью работы является определение частот колебаний упруго-пластической среды с дефектами структуры.

Из полевых уравнений теории [1] следуют уравнения непрерывности и равновесия в обобщенной форме:

,                                 (1)

где , , ; греческие индексы принимают значения 0, 1, 2, 3, а латинские - 1, 2, 3; - коэффициенты упругой жесткости кристалла; ρ = const - плотность материала; c - скорость света;  - тензор деформаций кристалла; α_ij - тензор теплового расширения кристалла, α_0a=0; T - температура.

u_αβ = (∂_βu_α + ∂_αu_β + θ_αβ + θ_βα)/2,                                (2)

где  - вектор смещений; θ_αβ - компоненты объектов аффинной связности, обусловленные трaнcляционными дефектам, например, краевыми дислокациями.

Основные уравнения имеют более простой вид в случае изотропной среды. Коэффициенты упругой жесткости вычисляются по формуле:

c_ijkl = λ∙δ_ijδ_kl+μ∙δ_ilδ_jk+ν∙δ_ikδ_lj.                                       (3)

Подставив (2) и (3) в (1), получим уравнение динамики среды с дефектами:

,       (4)

где , , , по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Правая часть уравнения (4) содержит вынуждающие силы.

Направим ось Ox по направлению распространения волны, тогда вектор смещений u_i(x,t) можно разложить на продольную и поперечные составляющие вида A₀exp{i(ω∙t+k∙x)}.

Величины p, s_i, f_i зададим в виде гармонических колебаний с амплитудами A₁, A₂, A₃ соответственно, сдвинутых по фазе на величину φ относительно смещений. Подставим u_i(x,t), p(x,t), s_i(x,t) и f_i(x,t) в (4). Для продольных колебаний получим уравнение:

-(λ+2μ)k²+ρω² = (- i∙λkτ₁ - μτ₂ + iρcωτ₃)e^iφ,         (5)

для поперечных колебаний:

- μk²+ρω² = (- i∙λkτ₁ - μτ₂ + iρcωτ₃)e^iφ,  (6)

где , m = 1, 2, 3.

Решив уравнения (5), (6) относительно ω, получим два корня:

, n = 0,1,   (7)

где для продольных колебаний:

,

для поперечных колебаний:

,

.

Мнимая часть выражения (7) определяет коэффициент нарастания (затухания) колебаний. Волновые решения с Imw_n ≠ 0 физически не реализуются в твердом теле.

Найдем частоты волн колебаний, распространяющихся в среде с дефектами. Положим мнимую часть ω_n равной нулю и определим значение разности фаз φ. Для упрощения расчетов выберем τ₂ = τ₃ = 0, тогда получим два значения φ₀ = π/2, φ₁ = - π/2, при которых

для поперечных колебаний

ω_n = ( |(-1)ⁿ k∙μ + τ₁∙λ|∙k / ρ )^1/2, n = 0,1;                (8)

для продольных колебаний

ω_n = ( |(-1)ⁿ k∙(λ+2μ) + τ₁∙λ|∙k / ρ )^1/2, n = 0,1        (9)

Частоты (8) и (9) соответствуют физически возможным решениям уравнения (4) для незатухающих волн деформации. При τ₁ = 0 выражения (8), (9) переходят в известные выражения для волн в упругой среде без дефектов. Структурные дефекты влияют на частоту распространяющихся волн. Зависимость ω_n от отношения амплитуд τ для продольных колебаний показана на рис. 1. Для частоты поперечных колебаний график имеет аналогичный вид. В расчетах использованы значения λ = -5,09∙10¹¹ Н/м² и μ= 5,31∙10¹¹ Н/м², ρ = 2,3 ∙ 10³ кг/м³, k = 1 м^-1.

Рисунок 1. Зависимость частоты продольных волн в упруго-пластической среде от отношения амплитуд τ: 1 - ω₀(τ); 2 - ω₁(τ)

Функция ω₀(τ) монотонно возрастает при τ>0. Функция ω₁(τ) имеет минимум, в котором частота достигает значения ω_min = 0, что соответствует стоячим волнам. Длина стоячих волн зависит от значения τ.

Таким образом, получены следующие типы решений: 1 - непрерывно возрастающие (убывающие) по амплитуде волны, реально не наблюдаемые; 2 - незатухающие волны деформации, в дисперсионные соотношения которых входят упругие постоянные среды, плотность среды, отношение амплитуд колебаний вынуждающей силы и смещений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Bogatov N.M. Gauge field theory of dislocations formation by thermal stresses // Phys. Stat. Sol. (b). 2001. V. 228. №3 P.651- 661.

---