КОЛЕБАНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ
Колебания среды, возникающие в твердом теле при высоких температурах, оказывают значительное влияние на образование в нем структурных дефектов. Изучение хаpaктера распространения колебаний в упруго-пластической среде является актуальной задачей физики конденсированного состояния. Взаимосвязь колебаний плотности структурных дефектов и смещений среды можно описать с помощью калибровочной теории дефектов [1].
Целью работы является определение частот колебаний упруго-пластической среды с дефектами структуры.
Из полевых уравнений теории [1] следуют уравнения непрерывности и равновесия в обобщенной форме:
, (1)
где , , ; греческие индексы принимают значения 0, 1, 2, 3, а латинские - 1, 2, 3; - коэффициенты упругой жесткости кристалла; ρ = const - плотность материала; c - скорость света; - тензор деформаций кристалла; αij - тензор теплового расширения кристалла, α0a=0; T - температура.
uαβ = (∂βuα + ∂αuβ + θαβ + θβα)/2, (2)
где - вектор смещений; θαβ - компоненты объектов аффинной связности, обусловленные трaнcляционными дефектам, например, краевыми дислокациями.
Основные уравнения имеют более простой вид в случае изотропной среды. Коэффициенты упругой жесткости вычисляются по формуле:
cijkl = λ∙δijδkl+μ∙δilδjk+ν∙δikδlj. (3)
Подставив (2) и (3) в (1), получим уравнение динамики среды с дефектами:
, (4)
где , , , по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Правая часть уравнения (4) содержит вынуждающие силы.
Направим ось Ox по направлению распространения волны, тогда вектор смещений ui(x,t) можно разложить на продольную и поперечные составляющие вида A0exp{i(ω∙t+k∙x)}.
Величины p, si, fi зададим в виде гармонических колебаний с амплитудами A1, A2, A3 соответственно, сдвинутых по фазе на величину φ относительно смещений. Подставим ui(x,t), p(x,t), si(x,t) и fi(x,t) в (4). Для продольных колебаний получим уравнение:
-(λ+2μ)k2+ρω2 = (- i∙λkτ1 - μτ2 + iρcωτ3)eiφ, (5)
для поперечных колебаний:
- μk2+ρω2 = (- i∙λkτ1 - μτ2 + iρcωτ3)eiφ, (6)
где , m = 1, 2, 3.
Решив уравнения (5), (6) относительно ω, получим два корня:
, n = 0,1, (7)
где для продольных колебаний:
,
для поперечных колебаний:
,
.
Мнимая часть выражения (7) определяет коэффициент нарастания (затухания) колебаний. Волновые решения с Imwn ≠ 0 физически не реализуются в твердом теле.
Найдем частоты волн колебаний, распространяющихся в среде с дефектами. Положим мнимую часть ωn равной нулю и определим значение разности фаз φ. Для упрощения расчетов выберем τ2 = τ3 = 0, тогда получим два значения φ0 = π/2, φ1 = - π/2, при которых
для поперечных колебаний
ωn = ( |(-1)n k∙μ + τ1∙λ|∙k / ρ )1/2, n = 0,1; (8)
для продольных колебаний
ωn = ( |(-1)n k∙(λ+2μ) + τ1∙λ|∙k / ρ )1/2, n = 0,1 (9)
Частоты (8) и (9) соответствуют физически возможным решениям уравнения (4) для незатухающих волн деформации. При τ1 = 0 выражения (8), (9) переходят в известные выражения для волн в упругой среде без дефектов. Структурные дефекты влияют на частоту распространяющихся волн. Зависимость ωn от отношения амплитуд τ для продольных колебаний показана на рис. 1. Для частоты поперечных колебаний график имеет аналогичный вид. В расчетах использованы значения λ = -5,09∙1011 Н/м2 и μ= 5,31∙1011 Н/м2, ρ = 2,3 ∙ 103 кг/м3, k = 1 м-1.
Рисунок 1. Зависимость частоты продольных волн в упруго-пластической среде от отношения амплитуд τ: 1 - ω0(τ); 2 - ω1(τ)
Функция ω0(τ) монотонно возрастает при τ>0. Функция ω1(τ) имеет минимум, в котором частота достигает значения ωmin = 0, что соответствует стоячим волнам. Длина стоячих волн зависит от значения τ.
Таким образом, получены следующие типы решений: 1 - непрерывно возрастающие (убывающие) по амплитуде волны, реально не наблюдаемые; 2 - незатухающие волны деформации, в дисперсионные соотношения которых входят упругие постоянные среды, плотность среды, отношение амплитуд колебаний вынуждающей силы и смещений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Bogatov N.M. Gauge field theory of dislocations formation by thermal stresses // Phys. Stat. Sol. (b). 2001. V. 228. №3 P.651- 661.
Статья в формате PDF
101 KB...
08 08 2026 18:10:23
Для исследования вариаций параметров живых существ, обитающих в биосфере в разных широтных регионах, в частности экваториальных, построена модель экваториального электроджета, основанная на численном решении дифференциальных уравнений второй степени для потенциала, вызванного прострaнcтвенным зарядом.
...
07 08 2026 0:24:41
Статья в формате PDF
98 KB...
06 08 2026 14:19:23
Статья в формате PDF
110 KB...
05 08 2026 9:18:50
Статья в формате PDF
120 KB...
02 08 2026 20:31:27
Статья в формате PDF
338 KB...
01 08 2026 23:55:37
Статья в формате PDF
212 KB...
31 07 2026 7:30:12
Статья в формате PDF
110 KB...
30 07 2026 9:30:47
Статья в формате PDF 101 KB...
29 07 2026 11:15:53
Статья в формате PDF
114 KB...
28 07 2026 0:27:27
Статья в формате PDF
240 KB...
27 07 2026 4:38:42
Статья в формате PDF
116 KB...
26 07 2026 20:38:27
Статья в формате PDF
262 KB...
25 07 2026 5:52:20
Исследована активность каталазы в митохондриях, супернатанте сердца и печени свиней пород крупной белой, кемеровской и ландрас. В эксперименте установлено, что по активности каталазы в митохондриях лучшими являются свиньи кемеровской породы.
...
24 07 2026 5:48:54
Статья в формате PDF
116 KB...
23 07 2026 8:23:58
Статья в формате PDF
302 KB...
20 07 2026 12:50:35
Статья в формате PDF
107 KB...
19 07 2026 8:12:56
Статья в формате PDF
166 KB...
18 07 2026 17:16:30
Статья в формате PDF
91 KB...
17 07 2026 4:18:39
Статья в формате PDF
107 KB...
15 07 2026 3:58:42
Статья в формате PDF
138 KB...
14 07 2026 8:31:28
Статья в формате PDF
105 KB...
11 07 2026 21:56:30
Статья в формате PDF
312 KB...
10 07 2026 8:25:22
Статья в формате PDF
121 KB...
09 07 2026 8:14:28
Статья в формате PDF
134 KB...
08 07 2026 20:39:29
Статья в формате PDF
101 KB...
07 07 2026 11:51:56
Статья в формате PDF
256 KB...
06 07 2026 6:49:18
Статья в формате PDF
231 KB...
05 07 2026 5:34:50
Статья в формате PDF
119 KB...
04 07 2026 14:42:34
Статья в формате PDF
329 KB...
03 07 2026 14:26:34
Статья в формате PDF
273 KB...
02 07 2026 5:46:50
Статья в формате PDF
128 KB...
01 07 2026 12:49:12
Рассмотрен процесс выделения бутадиен-стирольного каучука из латекса СКС-30 АРК с использованием в качестве наполнителя льняного и вискозного волокна. Установлено влияние содержания льняного и вискозного волокна различной длины, при различных расходах коагулирующего агента, на полноту выделения каучука из латекса. Определено оптимальное содержание волокна и его длина.
...
30 06 2026 1:46:13
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
