ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

1

• Авторы
• Файлы

Вертинская Н. Д. Статья в формате PDF 429 KB Геометрическое моделирование, являясь одним из направлений математического моде-лирования, все шире используется для решения сложных задач конструирования различных объектов и процессов.

Начертательная геометрия решает прямые и обратные задачи, которые заключаются в следующем: по данной поверхности на носителе (кривой (прямой), поверхности (плоскости)) с помощью аппарата проецирования получить модели; по данной модели и аппарату проецирования сконструировать поверхность. При решении прямой задачи данная поверхность расслаивается в пучке плоскостей с собственной или несобственной осью.

Геометрическое моделирование решая обратную задачу - по данной моделям конструирует поверхности. В этом случае в качестве моделей выступают табличные данные, устанавливающие на осях системы координат определенные соотношения. При этом необходимо, чтобы в одном направлении, например, оси ординат, сохранялось взаимно однозначное соответствие, необходимое требование для конструирования единственной поверхности.

В общем виде задачу геометрического моделирования многофакторных зависимостей представляется в следующем виде: в результате экспериментальных исследований или статистических данных имеем дискретные значения параметров, зависящих от n-1 зависимых или независимых друг от друга аргументов (компонентов) c₁, c₂, ... , c _n-1

Необходимо смоделировать зависимость и получить ее уравнение

F (t, c₁, c₂,..., c _n-1) = 0       (1)

Геометрическая интерпретация поставленной задачи заключается в следующем:

в n мерном прострaнcтве имеем набор фиксированных  точек, на которые необходимо натянуть гиперповерхность и получит ее

уравнение. Эта моделируемая гиперповерхность должна пересекать, например, вертикальную ось данной системы координат, в одной точке, для обеспечения однозначного соответствия между значением функции и значениями аргументов c₁, c₂, ... , c _n-1. Поэтому зависимость должна моделировать моноидальную гиперповерхность с вершиной в несобственной точке, например вертикальной оси оt [1].

Моделируемая гиперповерхность несет дискретный каркас одномерных образующих

t = f(c_1i)

где i=1,2...n-1 (см. рис. 3), двумерных образующих (2-поверхностей) и другого параметра c_2j.

t = φ (c _1i, c _2j)

где i=1,2....n-1;  j=1,2...n-1,трехмерных образующих (3-поверхностей) параметров c_1i ,  c_2 j , c_3k 

t= ψ (c_1i , c_2j , c_3k )

где i=1,2...n-1;j=1,2...n-1;k=1,2....n-1 и т.д., параметроносители 2–, 3 – поверхностей и т. д.

В литературе рассматриваются случаи конструирования поверхностей в пучке с собственной и несобственной осью, но не рассматривается вопрос моделирования и конструирования поверхностей расслаивающихся в связке плоскостей. Такой подход позволяет моделировать технологические процессы с реагирующими между собой компонентами, т. к. образованные в результате реакций новые компоненты описываются параметроносителями 2– , 3– и т. д. поверхностей. Трудности заключаются в получении уравнений процессов, где компоненты нереагируют между собой. В настоящей статье рассматривается вопрос конструирования поверхностей расслаивающихся в связке ортогональных плоскостей, для чего доказана теорема (синтетический способ вывода уравнения поверхности):

Сумма трех уравнений ортогональных сечений,  инцидентных точке данной поверхности,  дает уравнение этой поверхности.

Для доказательства возьмем, например, уравнение поверхности второго порядка в виде

Ax² +By² +Cz² +2Lx+K=0,     (2)

где плоскости уОz z и xOz совпадают с двумя сопряженными диаметральными плоскостями.

Возьмем точку N(a,b,c) ∈ (2) и через нее проведем связку ортогональных плоскостей

Известно, что связка плоскостей ортогональна, когда выполняется условие

Поэтому в качестве плоскостей (3), (4) и (5) в нашем случае можно взять плоскости

x = a, (7)

y = b, (8)

z = c. (9)

Cечения связкой плоскостей  N(a,b,c) поверхности (2) будут иметь следующий вид

Aa² +By² +Cz² +2La+K=0 (10)

Ax² +Bb² +Cz² +2Lx+K=0 (11)

Ax² +By² +Cc² +Lx+K=0 (12)

Cкладывая уравнения сечений(10)-(12) поверхности получим выражение

2(Ax² +Bb²+Cz²+2Lx+K)+(Ax² +By² Cc² +La+K)=0 (13)

в котором вторая скобка равна нулю, так как точка N(a,b,c) принадлежит конструируемой поверхности (2), что и требовалось доказать.

Приведем примеры получения уравнений поверхностей, инцидентных связке плоскостей. Возьмем в трех ортогональных плоскостях связки N(a,b,c) сечения

x = a

y = b

z = c

соответственно уравнения сечений

Складывая их получим уравнение гиперболического параболоида в канонической форме

Если в связке ортогональных плоскостей с вершиной в точке N(a,b,c) сечения

x = a

y = b

z = c

взять сечения в виде

z⁴ =4p(a² +y² ), (18)

z⁴ =4p(x² +b² ), (19)

c⁴ =4p(x² +y² ), (20)

и, сложив их получим уравнение параболоида вращения четвертого порядка,

z⁴ =4p² (x² +y² ), (21)

полученного от вращения параболы

z² =4px (22)

вокруг оси zO.

Диаграмма состояния трехкомпонентной системы изображается некоторой поверхностью в R³ , в уравнении которой три неизвестные служат для задания состава, а четвертая – для задания температуры. На пpaктике принято состав трехкомпонентной системы изображать равносторонним треугольником, который называется концентрационным на его сторонах откладывают значения концентраций солей, температура в этом случае присутствует опосредовано. Точки внутренней области треугольника изображают трехкомпонентную систему с той или иной концентрацией ее компонент, которые не образуют между собой химических соединений, неограниченно взаимно растворимы в жидком состоянии и не способны к полиморфным превращениям. Концентрационный треугольник затрудняет или делает невозможным моделирование состояния n-компонентной системы при n >3.

Рассмотрим некоторые вопросы вывода уравнения поверхности, моделирующей трехкомпонентную систему на конкретных примерах. Для этого в четырехмерном прострaнcтве R⁴ задается некоторая декартовая система координат, на одной из которых откладываем значения температур, а на других осях – концентрации С1 , C2 , C3.  В результате в четырехмерном прострaнcтве получается поверхность, моделирующая систему.

Покажем вывод уравнения поверхности ликвидуса расплава трех солей заданного сечения

[25%Li2SO4 +75%Cs2Cl]←→BaSO4 . (23)

Табл. 1

 

Концентрация компоненты С1	0,00	0,70	2,50	8,20	9,50
Температура плавления Тдан .,оС	541	538	554	740	780

По табличным данным (см. табл. 1) написать уравнение поверхности ликвидуса, вычислить координаты точки эвтектики Е_эвт. (С_1эвт. , С_2эвт. , С _3 эвт. , Т_эвт).

Для решения поставленной задачи введем обозначения:

С1 – концентрация компоненты Li 2 SO4 , %;

С2 – концентрация компоненты СsCl 2 , %;

C3 – концентрация компоненты BaSO4 , %;

Т – температура плавления, ⁰С.

Для вывода уравнения моделируемой поверхности, необходимо пересчитать значения концентраций компонент, чтобы они в смеси удовлетворяли требованию С1 +С2 +С3  = 100% и результаты пересчитанных табличных данных сведем в табл. 2.

 

Температура(Т0С, дан  )	Концентрации компонентов
	C�, %	C�, %	C�, %
541	0,00	25,00	75,000
538	0,695	24,826	74,479
554	2,439	24,390	73,171
740	7,578,	23,105	69,316
780	8,676	22,831	68,493

Для вывода уравнения моделирующей поверхности получаем уравнения сечений:

Сложив уравнения (24)-(26) получим уравнение поверхности ликвидуса

Значит, точка эвтектики смеси солей вычислим из уравнения (27)

 Е _эвт. (0,888;24,778;74,334;537,8).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК:

1. Вертинская Н. Д. Многомерное математическое моделирование многофакторных и многопараметрических процессов в многокомпонентных системах / Н. Д. Вертинская. – Иркутск: Изд- во ИрГТУ, 2001. – 289 с.
2. Вертинская Н. Д. Математическое моделирование нереагирующих между собой веществ. Сб. Инженерная механика. Луцк 2008. Вып. 22, ч. 1. С. 51-56.
3. Вертинская Н. Д. Моделирование и конструирование поверхностей, несущих каркасы кривых высших порядков. Сб. Современные проблемы геометрического моделирования. Харьков. 2007. – С. 243 - 249.
4. Вертинская Н. Д. Обоснование метода конструирования поверхностей связкой ортогональных сечений. // Вестник Иркутского регионального отделения Академии наук высшей школы России. № 1 (4). Иркутск. 2004. – С. 115 – 119.

---