ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПОДВИЖНОЙ ЦЕНТРОИДЫ В УСЛОВИЯХ ЗАДАЧИ П.В. МАКОВЕЦКОГО

Авторы
Файлы

Соколов Г.М. Васеева А.Э. Егорова Н.А. Статья в формате PDF 673 KB

В книге П.В. Маковецкого «Смотри в корень» сформулирована задача о качении без скольжения тела правильной геометрической формы при заданной прямолинейной траектории его фиксированной точки. Её решение оказалось непосильным для автора. Приводится решение этой задачи на основе теории плоского движения твердого тела.

Задано уравнение контура тела (подвижной центроиды) v_p = v_p(u_p) в системе координат uO′v, жестко скрепленной с телом, и уравнение траектории точки A(u_A, v_A)y_A = y_A(x_A) в неподвижной системе xOy (рис. 1). Требуется определить неподвижную центроиду.

Рис. 1

Угол ξ поворота подвижной системы uO′v относительно неподвижной xOy

Это выражение является разрешающим, с помощью которого устанавливается связь между положениями точки А и мгновенного центра вращения точки Р. Используем выражение радиуса кривизны траектории точки А

где r_A - мгновенный радиус точки А. Диаметр круга Лагира (S_p - длина дуги центроид), угол между мгновенным радиусом точки А и общей нормалью к центроидам

С учетом того, что

имеем

Признаком экстремума неподвижной центроиды является равенство нулю первой производной . Признаком точки перегиба является равенство нулю второй производной . Координаты произвольной точки тела определяютcя по формулам

Рассмотрены случаи, когда точка А движется по прямой y_A = const (ρ_A = ∞) и контур тела ограничен прямыми .

Пример 1. Качение правильного треугольника при (рис. 2). Известна сторона треугольника a = 3 см. При наличии симметрии достаточно построить один из «ухабов» (они повторяются). Из рисунка видно, что имеет место подрезание.

Пример 2. Качение четырехугольника произвольной формы при y_A = 5,3 см (рис. 3). Заданы размеры: U₁ = 55,26°; U₂ = 24,44°; U₃ = 58,18°; U₄ = 35,73°; BC = 6,45 см; CD = 5 см; DE = 4 см; BE = 6 см. Подрезание также имеется. Ясно, что оно имеет место при условии, когда внутренний угол при вершине контура (в общем случае, угол между сопряженными в ней касательными) не превышает 90°.

Отметим следующее.

1. Получено общее решение задачи П.В. Маковецкого о качении без скольжения тел произвольной формы при движении фиксированной точки по заданной траектории.

2. Подтверждено отмеченное автором наличие подрезания, возникающего из-за геометрической несовместимости габаритной полосы движения тела и неподвижной центроиды, установлено условие его появления.

3. В решении задачи, возможно, кроется разгадка строительства египетских пирамид, когда тяжелые плиты вручную поднимались по «подкатным» путям, обеспечивающим траектории центров тяжести плит с небольшими углами наклона к горизонтали.

4. Выполненное решение может быть положено в основу проектирования зубчатых передач, в которых отсутствует трение скольжения, приводящее к преждевременному износу существующих пар с эвольвентным зацеплением.

Рис. 2

Рис. 3

СПОСОБ ОЧИСТКИ ВЫДЕЛЕНИЯ ФУРАНОВЫХ НЕНАСЫЩЕННЫХ КАРБОНИЛЬНЫХ СОЕДИНЕНИЙ ИЗ РЕАКЦИОННОЙ СМЕСИ

Статья в формате PDF 85 KB...

10 08 2026 12:22:28

УТИЛИЗАЦИЯ РТУТЬСОДЕРЖАЩИХ ОТХОДОВ

В работе рассматривается процесс утилизации ртутьсодержащих соединений с использованием в качестве активного соединения кремния, что экономически более выгодно, чем использование порошкообразного титана. Рассматривается возможность миграции ртути в условиях возрастающей техногенной деятельности человечества. ...

09 08 2026 3:13:23

МОДЕЛЬ ГИБКОЙ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ЛИНИИ И ЕЁ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ

Статья в формате PDF 112 KB...

08 08 2026 19:19:21

ОСОБЕННОСТИ КОМБИНИРОВАННЫХ ВМЕШАТЕЛЬСТВ ПО ПОВОДУ МЕСТНОРАСПРОСТРАНЕННОГО РАКА ОБОДОЧНОЙ И ПРЯМОЙ КИШКИ

Статья в формате PDF 193 KB...

07 08 2026 0:37:39

ПОИСК И ИЗУЧЕНИЕ ФАКТОРОВ, ВЫЗЫВАЮЩИХ ПРОРАСТАНИЕ БАЗИДИОСПОР

Статья в формате PDF 93 KB...

06 08 2026 21:21:15

Роль общественных организаций в интегрированном обучении детей-инвалидов –главном факторе социальной реабилитации в сфере образования

Статья в формате PDF 124 KB...

05 08 2026 9:21:54

ПОИСК ВОЗМОЖНОСТЕЙ ВТОРИЧНОЙ ЗАНЯТОСТИ В СТРУКТУРЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ АКТИВНОСТИ СТУДЕНТОВ

Статья в формате PDF 132 KB...

04 08 2026 4:53:18

КОМПЛЕКС ТЕРМИЧЕСКОГО ОБЕЗВРЕЖИВАНИЯ СОЖ НА ПРИМЕРЕ ОАО «ВЫКСУНСКИЙ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ ЗАВОД» (ВМЗ)

Статья в формате PDF 87 KB...

03 08 2026 11:11:43

ЗАГРЯЗНЕНИЕ АТМОСФЕРЫ

Статья в формате PDF 104 KB...

02 08 2026 2:13:51

ОСОБЕННОСТИ ПРОЯВЛЕНИЙ АГРЕССИИ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ В ПОЛИЭТНИЧЕСКИХ КОЛЛЕКТИВАХ

Статья в формате PDF 111 KB...

01 08 2026 15:57:46

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕНЗОМЕТРИИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ ПРИ ВЫГЛАЖИВАНИИ (НА БАЗЕ ТЕНЗОСТАНЦИИ ТА-5)

Статья в формате PDF 304 KB...

31 07 2026 1:18:44

ВАРИАНТЫ ПОСТАВКИ СПЕЦТЕХНИКИ ДЛЯ МАЛЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ ГОРОДА КОМСОМОЛЬСКА-НА-АМУРЕ

Статья в формате PDF 255 KB...

30 07 2026 4:52:39

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА И МОНИТОРИНГ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ПОТЕНЦИАЛА УЧАЩИХСЯ (методическое пособие)

Статья в формате PDF 140 KB...

29 07 2026 21:48:51

Шестой этап обращения куфического дирхема, финансовый кризис на Днепро-Деснинском и Поокском денежных рынках, проблема исчезновения монет сасанидского типа (825-849 гг.)

Статья в формате PDF 263 KB...

28 07 2026 5:39:38

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАСЧЕТА ВЕЛИЧИН НАГРЕВА ВОЗДУХА В ДВУХРОТОРНОЙ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ КАМЕРЕ

Статья в формате PDF 118 KB...

27 07 2026 10:36:32

Морфо-функциональные особенности лимфоидной ткани тонкой и толстой кишок у взрослого человека

Статья в формате PDF 115 KB...

26 07 2026 13:57:11

АГОНИСТ КАННАБИНОИДНЫХ РЕЦЕПТОРОВ WIN 55,212-2 ПРЕДОТВРАЩАЕТ ЭПИЛЕПТИЧЕСКИЙ СТАТУС И БЛОКИРУЕТ РАЗВИТИЕ СУДОРОЖНОЙ АКТИВНОСТИ

Статья в формате PDF 99 KB...

25 07 2026 23:37:42

РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННОСТЬ И ОСОБЕННОСТИ ИСТОРИЧЕСКОЙ СУДЬБЫ РОССИИ

Статья в формате PDF 111 KB...

24 07 2026 22:42:59

НОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ ЗАГРЯЗНЕНИЯ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ

Статья в формате PDF 230 KB...

23 07 2026 0:54:59

ЧИСЛЕННОЕ ИЗУЧЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ДЕФОРМИРОВАНИЯ КЕРАМИЧЕСКИХ КОМПОЗИТОВ НА СТАДИИ ПРЕДРАЗРУШЕНИЯ

Статья в формате PDF 1227 KB...

22 07 2026 19:53:59

О ВКЛЮЧЕНИИ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ШКОЛЬНОЕ БИОЛОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Статья в формате PDF 127 KB...

21 07 2026 12:18:13

ВЛИЯНИЕ ИНЕРЦИОННОЙ АВТОМАТИЧЕСКОЙ ПЕРЕДАЧИ НА ТЯГОВО-СКОРОСТНЫЕ СВОЙСТВА АВТОМОБИЛЯ

Статья в формате PDF 90 KB...

20 07 2026 22:27:21

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИСТОЧНИКОВ ОБРАЗОВАНИЯ СВОБОДНЫХ РАДИКАЛОВ И АНТИОКСИДАНТНЫХ СИСТЕМ

В статье представлены различные классификации систем антиоксидантной защиты клеток, в частности, проанализирована возможность 5 уровней защиты клеток от свободнорадикального окисления в интерпретации разных авторов. Дана классификация антиоксидантов с точки зрения их химической природы, молекулярной массы, гидрофильности и гидрофобности, особенностей молекулярно - клеточных механизмов инактивации свободных радикалов. ...