ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФУНКЦИИ СОСТОЯНИЯ

Авторы
Файлы

Пономарёв Ю.И. Зеленский А.В. Статья в формате PDF 317 KB

В работе Пономарёва [1] был предложен метод получения основного уравнения механики с помощью введения в ней функции состояния .Такой подход позволяет в отличии от использования традиционного принципа наименьшего действия проще получить уравнение Лагранжа.

Введём в рассмотрение функцию состояния П которая описывает состояние исследукмой частицы и зависит от qi, qi(t), t где qi(t) это обобщённая координата с индексом i, а qi отличается от qi(t) только тем что qi это функция только от начального вркмени

dП = ∑(∂П∕∂qi)dqi + ∑(∂П∕∂qi)(dqi/dt)dt + (∂П∕∂t)dt.

Введём следующие обозначения: рi = ∂П∕∂qi,

W = -∂П∕∂t, L = ∑(∂П/∂qi)(dqi/dt)dt + (∂П/∂t)dt,

Из этого следует:

L = р₁(dq₁/dt) + р₂(dq₂/dt) + ... + р_m(dq_m/dt) - W, (1)

где W -это полная энергия, р1, р2, ..., рm - обобщённые импульсы.

Обозначим через ∑ суммирование всех элементов с индексом i. Так например в книге Г. Голдстейна «Классическая механика» пишется :

H(p,q,t) = ∑(dq_i/dt)р_i - L(q,dq∕dt, t)

где H - это функция Гамильтона.

Рассмотрим случай когда H = W. Поэтому:

L = ∑(dq_i/dt)р_i -
- ((1/2)∑(dqi/dt)рi + F) = (1/2)∑(dq_i/dt)р_i - F. (2)

В книге Г. Голдстейна «Классическая механика» пишется что эта формула выполняется когда система консервативна ,а кинетическая энергия является однородной квадратичной функцией от обобщённых скоростей. Где F - это потенциальная энергия а ∑ - это суммирование всех элементов с индексом i.

С учётом того что в большинстве случаев обобщённый импульс зависит не более чем от производной первого порядка от соответствующей обобщённой координаты то согласно формуле 2 мы получаем:

∂L/∂(dq_i/dt) = р_i.

Дифференциал dП будет полным дифференциалом если смешанные частные производные от П по её аргументам не будут зависеть от порядка дифференцирования.

Например

δр₁/δt = ∂L/∂q₁.

Так как мы имеем дело с полной функциaнaльной производной то с учётом формулы ∂L/∂(dq1/dt) = р1 получаем уравнение Лагранжа :

d(∂L/∂(dq₁/∂t))/dt = ∂L/∂q₁.

Список литературы

Пономарёв Ю.И. Функция состояния в классической механике и теории поля // Успехи современного естествознания. - 2008.
Голдстейн Г. Классическая механика: монография. - М.: Наука, 1975.

К ВОПРОСУ ОБУЧЕНИЯ БАНКОВСКОГО ПЕРСОНАЛА

Статья в формате PDF 121 KB...

28 05 2026 17:38:45

К ВОПРОСУ О ЛЕЧЕНИИ ХРОНИЧЕСКОЙ СЕНСОНЕВРАЛЬНОЙ ТУГОУХОСТИ

Статья в формате PDF 112 KB...

27 05 2026 14:49:46

АНТИТРОМБОТИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ СОСУДИСТОЙ СТЕНКИ У БОЛЬНЫХ АРТЕРИАЛЬНОЙ ГИПЕРТОНИЕЙ С МЕТАБОЛИЧЕСКИМ СИНДРОМОМ

Статья в формате PDF 127 KB...

26 05 2026 6:33:20

В.А. СУХОМЛИНСКИЙ ОБ ОБЩЕСТВЕННОМ ВОСПИТАНИИ ПОДРОСТКОВ И СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ВОСПИТАНИЯ НАЦИОНАЛЬНО-ОСОЗНАННЫХ ГРАЖДАН

Статья в формате PDF 245 KB...

25 05 2026 0:31:56

НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ПОДГОТОВКИ ПЕРЕВОДЧИКОВ В СФЕРЕ ПРОФИССИОНАЛЬНОЙ КОММУНИКАЦИИ

Статья в формате PDF 101 KB...

24 05 2026 15:59:58

СРАВНИТЕЛЬНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ГЕМАТОЛОГИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛЕСНОЙ МЫШИ (APODEMUS) С УЧЕТОМ ВЫСОТНО-ПОЯСНОЙ СТРУКТУРЫ ГОРНЫХ ЭКОСИСТЕМ

Статья в формате PDF 311 KB...

23 05 2026 19:56:19

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА БИОКАТАЛИТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ОБРАБОТКЕ МЯСНОГО СЫРЬЯ С ПОЛУЧЕНИЕМ ПИЩЕВЫХ ПРОДУКТОВ, ИНГРЕДИЕНТОВ, МАТЕРИАЛОВ

Статья в формате PDF 87 KB...

22 05 2026 15:14:41

ЭКОЛОГОСООБРАЗНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ КАК ОСНОВНОЕ УСЛОВИЕ ФОРМИРОВАНИЯ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ СТУДЕНТОВ ВУЗОВ

Статья в формате PDF 260 KB...

21 05 2026 19:27:29

Особенности формирования стенки мезонефрических протоков в предплодном периоде развития человека

Статья в формате PDF 103 KB...

20 05 2026 16:27:51

ПЛАТИНА И ПЛАТИОИДЫ В ОФИОЛИТАХ САЛАИРА, АЛТАЯ И ГОРНОЙ ШОРИИ

Приведены данные по распространению элементов платиновой группы (ЭПГ) в офиолитах Салаира, Алтая и Горной Шории. ЭПГ в наибольших концентрациях отмечены в проявлениях хромитов, образующих подиформные залежи, а также в никелевых проявлениях с обильными сульфидами меди, никеля и кобальта. Минералы ЭПГ представлены изоферроплатиной, иридосмином и рутениридосмином. Реже встречаются самородная платина, рутениевый невъянскит и рутениевый сысерскит. В рудных телах также присутствуют в повышенных концентрациях золото и серебро. Состав минеральных фаз платиноидов указывает на близость к восточно-уральскому геолого-промышленному типу, связанному с изверженными породами габбро-клинопироксенит-перидотитовой формации. ...

19 05 2026 13:41:17

СУБМИКРОСКОПИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ КЛЕТОК МИОМЕТРИЯ ПРИ ФИЗИОЛОГИЧЕСКОЙ БЕРЕМЕННОСТИ И НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ НАРУШЕНИЯХ

Статья в формате PDF 107 KB...

18 05 2026 7:46:42

НОВЫЙ МЕТОД ДОСТУПА В РОТОВУЮ ПОЛОСТЬ ЛАБОРАТОРНЫХ ЖИВОТНЫХ В УСЛОВИЯХ МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Статья в формате PDF 330 KB...

17 05 2026 7:45:54

ДЕРМАЛЬНЫЕ ФИБРОБЛАСТЫ И СТАРЕНИЕ КОЖИ ЧЕЛОВЕКА

Статья в формате PDF 145 KB...

16 05 2026 13:34:50

ИНСУЛИНРЕЗИСТЕНТНОСТЬ ПРИ ОЖИРЕНИИ: ПРИЧИНЫ И МЕХАНИЗМЫ

Статья в формате PDF 99 KB...

15 05 2026 13:48:51

ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ДОРОЖНО-ТРАНСПОРТНЫХ ПРОИСШЕСТВИЙ С ПОСТРАДАВШИМИ В ИВАНОВСКОЙ ОБЛАСТИ В 2004-2011 ГОДАХ

Статья в формате PDF 302 KB...

14 05 2026 13:37:32

ВЛИЯНИЕ КУРСА ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ВОЗДУШНЫХ КРИОГЕННЫХ ТРЕНИРОВОК В РЕЖИМЕ одна ПРОЦЕДУРА В ДЕНЬ НА ПАРАМЕТРЫ СОСТАВА ТЕЛА ЧЕЛОВЕКА

Проведен анализ изменений состава тела вследствие курса экстремальных воздушных криогенных тренировок (ОВКТ) в камере закрытого типа при t = –110 ± 5 °С. Исследован состав тела 35 человек (87 % выборки), до и после курса ОВКТ, состоявшего из 10 сеансов в режиме 1 процеДypa в день. Анализ состава тела проводили на биоимпедансном анализаторе АВС-02 «Медасс». Статистическая обработка проведена с расчетом медианы (Ме), значений исследуемых параметров в первой (Q25 %) и последней (Q75 %) квартилях распределения, сравнением полученных данных с использованием непараметрического критерия Манна Уитни Вилкоксона (U). Выявлено снижение значений Ме для жировой массы и ее возрастание для мышечной и активной клеточной массы, что отражает как правило формирование более высокого уровня здоровья и адаптированности исследуемых к факторам среды. Модуляция состава тела в результате курса ОВКТ зависит от исходного функционального состояния исследуемых, однако направленность изменений данных биометрии остается позитивной. ...