ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (учебно-методическое пособие)
Трудности при изучении темы «Тригонометрические уравнения» в школьном курсе математики возникают из-за несоответствия между большим объемом материала и небольшим количеством часов на его изучение. Устранение этого несоответствия возможно за счет тщательного отбора содержания, отыскания средств оптимизации и разработки эффективных методик и технологий его изучения.
Настоящее учебно-методическое пособие позволяет овладеть решением тригонометрических уравнений в рамках модульной технологии обучения. Пособие включает 9 модулей, каждый из которых посвящен отдельному типу тригонометрических уравнений или методу их решения, в совокупности реализующих авторскую логику организации материала темы. В модулях реализована линейная модульная программа, позволяющая синтезировать индивидуальные траектории изучения соответствующего фрагмента содержания с учетом дифференцированного подхода.
Каждый модуль содержит указания, краткую теорию, образцы решения задач, упражнения для самостоятельного решения (всего 324), распределенные в 4 равноценных варианта. Первый вариант - основные задания, второй - корректирующие. Варианты 3 и 4 содержат дополнительные задания, которые могут использоваться по усмотрению учителя, например, в качестве домашних заданий, для промежуточного контроля или для повторения.
Все представленные в пособии задания сопоставлены с определенным количеством баллов, имеющих многофункциональное назначение: позволяют учащимся и учителю определить относительный уровень сложности соответствующего задания, спланировать работу в модуле на одном из трех уровней (в зависимости от количества набранных баллов), позволяют реализовать рейтинговое оценивание учебных достижений с заполнением оценочной таблицы.
Пособие дополняет школьные учебники, в частности, акцентирует внимание на обучении методу или приему решения, затрагивает вопросы о применении нестандартных приемов решения тригонометрических уравнений (например, функционального и координатно-графического) и об отборе корней тригонометрических уравнений.
Функциональный прием решения основан на применении свойств ограниченности, монотонности, четности, непрерывности и неотрицательности тригонометрических функций, например, для решения уравнений вида ; , где и ; , где и ; ; ; , где и .
Координатно-графический прием решения состоит в понимании тригонометрических функций как координат (точек окружности или точек прямой y=1, x=1), замене их на соответствующие переменные x или y и переходе от тригонометрического уравнения к системе двух рациональных уравнений с двумя переменными, которая легко решается графически, ответ записывается путем считывания углов, соответствующих точкам единичной окружности, минуя процесс обратного перехода к тригонометрическим уравнениям. Приведенный в пособии комплекс задач на отработку этого нестандартного приема позволяет сформировать прочный навык решения сложных тригонометрических уравнений, вплоть до устного решения.
При отборе корней тригонометрических уравнений предусмотрены следующие виды действий над корнями: объединение различных серий корней тригонометрического уравнения в одну; нахождение корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям (выбор всех корней из заданного промежутка, выбор корней, обладающих определенным свойством, отыскание корней с учетом ОДЗ уравнения, нахождение корней, удовлетворяющих неравенству); нахождение общих решений в записи различных серий корней тригонометрических уравнений. В учебно-методическом пособии представлены комплексы задач, допускающих в своем решении применение различных способов отбора: геометрических (с помощью координатной прямой и окружности), алгебраических (подстановка одной серии в другую в случае включения, перебором значений целочисленной переменной, с помощью решения целочисленного уравнения с использованием теории остатков, с помощью решения целочисленного уравнения подбором и др.).
Интерфейс пособия предполагает использование системы коммуникативных знаков для удобства ориентирования во фрагментах содержания различного дидактического назначения (учебный элемент, теория, образец решения задачи, задания для самостоятельного решения с последующей оценкой и определением уровня, количество баллов для работы на одном из трех уровней, тренировочные упражнения, дополнительные задания).
Пособие адресуется учащимся старших классов, абитуриентам, студентам, учителям математики.
Объём пособия составляет 8 п.л.
Учебно-методическое пособие внедрено в пpaктику обучения учащихся сотен школ страны.
Статья в формате PDF
321 KB...
24 05 2026 9:20:11
Статья в формате PDF
250 KB...
23 05 2026 22:48:54
Статья в формате PDF
133 KB...
22 05 2026 4:28:34
Статья в формате PDF
131 KB...
21 05 2026 2:39:45
Статья в формате PDF
251 KB...
20 05 2026 14:52:15
Статья в формате PDF
119 KB...
19 05 2026 17:28:21
Уровень кардиодеструктивных заболеваний в циркумполярном регионе имеет тенденцию к устойчивому росту. На основании результатов эпидемиологических исследований и количественной оценки факторов риска развития патологии разработана региональная модель оценки кардиоваскулярного риска для населения Ямало-Ненецкого автономного округа, учитывающая факторы питания. При составлении модели использован метод расчета весовых показателей. Шкала включает показатели распространенности классических кардиоваскулярных факторов риска, а также показатели дополнительных алиментарных рисков: артериальная гипертония, избыточная масса тела и ожирение, уровень холестерина в крови, уровень потрeбления белка и пищевого натрия. Использование модели позволяет более эффективно решать вопросы прогноза, индивидуализировать программу профилактики.
...
18 05 2026 1:52:17
Статья в формате PDF
128 KB...
17 05 2026 14:59:56
Статья в формате PDF
92 KB...
16 05 2026 21:26:58
Статья в формате PDF
274 KB...
15 05 2026 12:15:14
Статья в формате PDF
266 KB...
14 05 2026 20:30:53
Статья в формате PDF
263 KB...
13 05 2026 12:12:59
В статье осуществлен краткий анализ основных философских подходов к феномену человеческой индивидуальности буддизмом, даосизмом, конфуцианством. Определены «пропорции» между лично-индивидуальным и социально-необходимым как составляющей проблемы человека. Также предложен авторский подход по коррекции распространенного мнения об отсутствии проблематики индивидуальности в рамках древневосточного социума.
...
12 05 2026 11:19:30
Статья в формате PDF
293 KB...
11 05 2026 1:53:21
Статья в формате PDF
102 KB...
10 05 2026 7:51:32
Установлены специфические особенности микробного населения почв мерзлотных горно-таежных техногенных ландшафтов Эльконского ураново-рудного района на территории Южной Якутии. Такие как высокая численность эколого-трофических групп микроорганизмов (2,0·103–7,6·107 кл/г), сопоставимая с плотностью микробов в лугово-степных почвах Центральной Якутии и особый хаpaктер распределения их по профилю почв в зависимости от содержания в них урана. В почве радиоактивно-загрязненного разреза с уменьшением содержания урана до 161 мг/кг наблюдается увеличение численности всех исследованных групп микроорганизмов. В остальных образцах данного разреза с увеличением содержания урана в почве наблюдается исчезновение или спад численности микроорганизмов на 1–2 порядка. В отличие от загрязненного разреза в почве нативного ландшафта численность микроорганизмов остается достаточно высокой по всему почвенному профилю.
...
09 05 2026 1:53:53
Статья в формате PDF
255 KB...
08 05 2026 5:18:56
Статья в формате PDF
126 KB...
06 05 2026 7:15:28
Статья в формате PDF
122 KB...
05 05 2026 0:56:52
Статья в формате PDF
124 KB...
04 05 2026 23:28:31
В работе анализируются результаты единого государственного экзамена по физике на примере региональной, а именно, томской выборки по результатам 2003 г. Проведено сравнение единого экзамена по физике и математике, а также вузовского и школьного тура ЕГЭ. Изучается решаемость конкретных заданий частей «А», «В», «С». Результаты исследования должны помочь учителям средних общеобразовательных школ в планировании учебного материала, построении новых методик обучения и, как следствие, в ликвидации пробелов в знаниях учащихся.
...
03 05 2026 19:13:42
Статья в формате PDF
189 KB...
02 05 2026 20:51:39
Статья в формате PDF
274 KB...
01 05 2026 2:35:29
Статья в формате PDF
126 KB...
30 04 2026 9:44:37
Статья в формате PDF
329 KB...
29 04 2026 13:28:13
Статья в формате PDF
447 KB...
28 04 2026 22:37:37
Статья в формате PDF
246 KB...
27 04 2026 18:25:21
Статья в формате PDF
147 KB...
26 04 2026 12:57:41
Статья в формате PDF
118 KB...
25 04 2026 13:18:36
Статья в формате PDF
125 KB...
24 04 2026 22:36:31
Статья в формате PDF
298 KB...
23 04 2026 2:37:35
Статья в формате PDF
122 KB...
22 04 2026 6:39:27
Ранее изучение химии способствует формированию у школьников целостного представления о природе, её материальном единстве, взаимосвязи живого и неживого, взаимообусловленности природных процессов. Приведены результаты 12-летнего эксперимента авторов по преподаванию химии с 7-ого класса, анонсированы программа и учебник «Волшебная химия. 7 класс», который создается в соавторстве с Заслуженным учителем России О.С. Гарбиеляном.
...
21 04 2026 17:38:41
Статья в формате PDF
113 KB...
20 04 2026 11:57:56
Статья в формате PDF
221 KB...
18 04 2026 8:40:33
Риск развития заболевания может оцениваться по показателям на уровне, хаpaктеризующем хронические пороговые эффекты. Исходя из этих данных, в качестве «индикаторных» состояний выделяется пониженное/повышенное содержание йода в организме обследуемого. В качестве «индикаторных» точек в концепции HEADLAMP для подтверждения заболеваний, хаpaктеризующих эффект недостатка йода в организме, могут выступать изменения в щитовидной железе на субклиническом уровне. Указанные параметры можно оценить на уровне лабораторной базы первичной медико-санитарной помощи при обследованиях населения. Цель HEADLAMP в оценке связи состояния здоровья населения с действием факторов окружающем среды значительно упростить и ускорить обоснованность выбора управленческих решений.
...
17 04 2026 13:31:38
Статья в формате PDF
349 KB...
16 04 2026 3:49:35
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
