ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (учебно-методическое пособие)

Авторы
Файлы

Чикунова О.И. Статья в формате PDF 141 KB

Трудности при изучении темы «Тригонометрические уравнения» в школьном курсе математики возникают из-за несоответствия между большим объемом материала и небольшим количеством часов на его изучение. Устранение этого несоответствия возможно за счет тщательного отбора содержания, отыскания средств оптимизации и разработки эффективных методик и технологий его изучения.

Настоящее учебно-методическое пособие позволяет овладеть решением тригонометрических уравнений в рамках модульной технологии обучения. Пособие включает 9 модулей, каждый из которых посвящен отдельному типу тригонометрических уравнений или методу их решения, в совокупности реализующих авторскую логику организации материала темы. В модулях реализована линейная модульная программа, позволяющая синтезировать индивидуальные траектории изучения соответствующего фрагмента содержания с учетом дифференцированного подхода.

Каждый модуль содержит указания, краткую теорию, образцы решения задач, упражнения для самостоятельного решения (всего 324), распределенные в 4 равноценных варианта. Первый вариант - основные задания, второй - корректирующие. Варианты 3 и 4 содержат дополнительные задания, которые могут использоваться по усмотрению учителя, например, в качестве домашних заданий, для промежуточного контроля или для повторения.

Все представленные в пособии задания сопоставлены с определенным количеством баллов, имеющих многофункциональное назначение: позволяют учащимся и учителю определить относительный уровень сложности соответствующего задания, спланировать работу в модуле на одном из трех уровней (в зависимости от количества набранных баллов), позволяют реализовать рейтинговое оценивание учебных достижений с заполнением оценочной таблицы.

Пособие дополняет школьные учебники, в частности, акцентирует внимание на обучении методу или приему решения, затрагивает вопросы о применении нестандартных приемов решения тригонометрических уравнений (например, функционального и координатно-графического) и об отборе корней тригонометрических уравнений.

Функциональный прием решения основан на применении свойств ограниченности, монотонности, четности, непрерывности и неотрицательности тригонометрических функций, например, для решения уравнений вида ; , где и ; , где и ; ; ; , где и .

Координатно-графический прием решения состоит в понимании тригонометрических функций как координат (точек окружности или точек прямой y=1, x=1), замене их на соответствующие переменные x или y и переходе от тригонометрического уравнения к системе двух рациональных уравнений с двумя переменными, которая легко решается графически, ответ записывается путем считывания углов, соответствующих точкам единичной окружности, минуя процесс обратного перехода к тригонометрическим уравнениям. Приведенный в пособии комплекс задач на отработку этого нестандартного приема позволяет сформировать прочный навык решения сложных тригонометрических уравнений, вплоть до устного решения.

При отборе корней тригонометрических уравнений предусмотрены следующие виды действий над корнями: объединение различных серий корней тригонометрического уравнения в одну; нахождение корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям (выбор всех корней из заданного промежутка, выбор корней, обладающих определенным свойством, отыскание корней с учетом ОДЗ уравнения, нахождение корней, удовлетворяющих неравенству); нахождение общих решений в записи различных серий корней тригонометрических уравнений. В учебно-методическом пособии представлены комплексы задач, допускающих в своем решении применение различных способов отбора: геометрических (с помощью координатной прямой и окружности), алгебраических (подстановка одной серии в другую в случае включения, перебором значений целочисленной переменной, с помощью решения целочисленного уравнения с использованием теории остатков, с помощью решения целочисленного уравнения подбором и др.).

Интерфейс пособия предполагает использование системы коммуникативных знаков для удобства ориентирования во фрагментах содержания различного дидактического назначения (учебный элемент, теория, образец решения задачи, задания для самостоятельного решения с последующей оценкой и определением уровня, количество баллов для работы на одном из трех уровней, тренировочные упражнения, дополнительные задания).

Пособие адресуется учащимся старших классов, абитуриентам, студентам, учителям математики.

Объём пособия составляет 8 п.л.

Учебно-методическое пособие внедрено в пpaктику обучения учащихся сотен школ страны.

РОЛЬ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ТЕХНОЛОГИЙ В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ

Статья в формате PDF 358 KB...

02 11 2026 18:16:15

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ ЗДАНИЯХ

Статья в формате PDF 253 KB...

01 11 2026 22:48:34

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ВАРИАБЕЛЬНОСТИ РИТМА СЕРДЦА ДЛЯ ОЦЕНКИ ВЕГЕТАТИВНОГО ГОМЕОСТАЗА У ЛИЦ С ВЕРТЕБРАЛЬНО-БАЗИЛЯРНОЙ НЕДОСТАТОЧНОСТЬЮ МОЗГОВОГО КРОВООБРАЩЕНИЯ В УСЛОВИЯХ СЕВЕРА

Статья в формате PDF 174 KB...

31 10 2026 19:46:55

ВЛИЯНИЕ РЕЦЕПТОРНОГО СТАТУСА И АМПЛИФИКАЦИИ HER2/neu НА ПРОГНОЗ У БОЛЬНЫХ ПЕРВИЧНО-ОПЕРАБЕЛЬНЫМ РАКОМ МОЛОЧНОЙ ЖЕЛЕЗЫ

Статья в формате PDF 114 KB...

30 10 2026 0:28:18

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССАМИ ЭМИССИИ ПАРНИКОВЫХ ГАЗОВ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ В РЕГИОНЕ (НА ПРИМЕРЕ КЕМЕРОВСКОЙ ОБЛАСТИ)

Статья в формате PDF 225 KB...

29 10 2026 3:48:52

НОВООБРАЗОВАНИЯ ТОЛСТОЙ КИШКИ

Статья в формате PDF 105 KB...

28 10 2026 12:41:25

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ИЗУЧЕНИЯ СОВРЕМЕННОГО РАЗВИТИЯ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ НАРОДОВ СЕВЕРНОГО КАВКАЗА

Статья в формате PDF 98 KB...

27 10 2026 14:15:32

Г.А. НАСЕР О ПРИЧИНАХ И ПРЕДПОСЫЛКАХ РЕВОЛЮЦИИ

Статья в формате PDF 112 KB...

26 10 2026 8:22:37

ИЗМЕНЕНИЕ ОРГАНИЗАЦИОННО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ МЕХАНИЗМОВ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ СОЦИАЛЬНОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ НАСЕЛЕНИЯ

Статья в формате PDF 148 KB...

25 10 2026 1:42:28

ЭПИДЕМИОЛОГИЯ ПОЛЛИНОЗОВ У ШКОЛЬНИКОВ РЕСПУБЛИКИ САХА (ЯКУТИЯ)

Статья в формате PDF 102 KB...

24 10 2026 6:57:53

ВЛИЯНИЕ ЛАЗЕРНОЙ ФОТОМОДИФИКАЦИИ КРОВИ (ЛФМК) НА ПЕРЕКИСНОЕ ОКИСЛЕНИЕ ЛИПИДОВ, СРЕДНИЕ МОЛЕКУЛЫ И ЦЕРУЛОПЛАЗМИН ПЛАЗМЫ У БОЛЬНЫХ ХРОНИЧЕСКИМ ГЕПАТИТОМ

Статья в формате PDF 85 KB...

23 10 2026 10:51:44

ТЕХНОЛОГИЯ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Статья в формате PDF 108 KB...

22 10 2026 8:20:29

НАПРАВЛЕНИЕ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В РЕГИОНЕ

Статья в формате PDF 99 KB...

21 10 2026 6:55:41

ИЗМЕНЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ РЕЗИСТЕНТНОСТИ ЭРИТРОЦИТОВ ЖИВОТНЫХ ПОД ВЛИЯНИЕМ РИТМИЧЕСКОЙ ГИПОКСИИ

Статья в формате PDF 120 KB...

20 10 2026 18:10:17

ВЛИЯНИЕ ПРЕДШЕСТВЕННИКОВ И ОСНОВНОЙ ОБРАБОТКИ ПОЧВЫ ПОД ОЗИМУЮ ПШЕНИЦУ НА ОПТИМИЗАЦИЮ АГРОФИТОЦЕНОЗА

Статья в формате PDF 219 KB...

19 10 2026 7:20:35

ПРЕПОДАВАНИЕ ИСТОРИИ РОДНОГО КРАЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ НЕИСТОРИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ (НА ПРИМЕРЕ МОРДОВСКОГО ГОСУНИВЕРСИТЕТА)

Статья в формате PDF 102 KB...

18 10 2026 3:32:43

Способ оценки функциональной активности ТФ-содержащих клеток крови в суспензии с помощью лазерного анализатора микрочастиц "Ласка-био"

Статья в формате PDF 123 KB...

17 10 2026 2:22:52

РАСЧЕТЫ ПОТЕРЬ ПРИРОДНОГО ГАЗА И КОНДЕНСАТА В ГКМ (ГАЗОКОНДЕНСАТНОМ МЕСТОРОЖДЕНИИ)

Статья в формате PDF 244 KB...

16 10 2026 12:49:17

ТИПОЛОГИЯ ЛИЧНОСТНЫХ СВОЙСТВ, ПРОЦЕССЫ КРАТКОВРЕМЕННОЙ ПАМЯТИ ВО ВЗАИМОСВЯЗИ С ПОКАЗАТЕЛЯМИ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НЕРВНОЙ СИСТЕМЫ

Статья в формате PDF 116 KB...

15 10 2026 9:56:23

СОВРЕМЕННЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ВЕЩЕСТВА В ТАБЛЕТОЧНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ

Таблетки должны быть без таких дефектов, как отколотые края, трещины, изменение окраски и загрязнения. В настоящее время в таблеточном производстве применяют следующие вспомогательные вещества: наполнители, связующие, разрыхляющие, и др. Наполнители (Авицел) предназначены для получения таблеток необходимого размера при малом содержании действующего вещества. Связующие (Плаздон, коллидон) добавляются в сухом виде или жидком состоянии в качестве вспомогательных веществ для осуществления грануляции или для сцепления частиц при прямом прессовании. Разрыхляющие (Плаздон XL, коллидон CL) добавляют к таблеткам для улучшения их распадаемости при контактировании со средой ЖКТ. ...

14 10 2026 4:15:54

ПЕРЕВОЗКА ПРОДУКЦИИ ОАО «АМУРМЕТАЛЛ» В СТРАНЫ АЗИАТСКО-ТИХООКЕАНСКОГО РЕГИОНА

Статья в формате PDF 267 KB...

13 10 2026 2:14:50

ВОЗМОЖНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ДИАГНОСТИКИ ДОБРОКАЧЕСТВЕННЫХ И ЗЛОКАЧЕСТВЕННЫХ ОПУХОЛЕЙ ОПОРНО-ДВИГАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДОВ ИНФРАКРАСНОЙ СПЕКТРОСКОПИИ ПЛАЗМЫ КРОВИ

Целью исследования является оценка возможности ранней дифференциальной диагностики доброкачественных и злокачественных опухолей опopно-двигательной системы с помощью инфpaкрасной спектроскопии плазмы крови. При этом бралась венозная кровь из локтевой вены у контрольной группы пациентов с заранее установленным диагнозом существующими методами, после чего выделялась плазма. Исследуемая плазма крови помещалась в жидкостную кювету. Спустя 1,5-2 часа исследуемая кювета помещалась в ИК–Фурье- спектрометр. Снимался спектр пропускания плазма крови. Вычислялся коэффициент пропускания по данным снятых спектров. Затем рассчитывались коэффициенты объемного поглощения. В процессе экспериментов нами был вычислен статистически значимый уровень β = 700 см–1, ниже которого находились значения, соответствующие доброкачественным опухолям, выше- злокачественным опухолям. ...