ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ

Авторы
Файлы

Романовский Р.К. Воробьева Е.В. Макарова И.Д. Статья в формате PDF 121 KB

В работах [1-4] изучалось асимптотическое поведение решений задачи Коши для линейных гиперболических систем с одной прострaнcтвенной переменной - устойчивость, дихотомия, экспоненциальная расщепляемость - на основе построенного в [1,5] аппарата матриц Римана первого и второго рода, представляющих собой соответственно сингулярную и регулярную компоненты фундаментальной матрицы гиперболической системы. В [6] предложен подход к анализу устойчивости решений задачи Коши, основанный на приведении гиперболической системы к обыкновенному дифференциальному уравнению с ограниченным операторным коэффициентом в гильбертовом прострaнcтве и последующем применении метода функционалов Ляпунова. В данной работе рассматривается смешанная задача для почти линейной гиперболической системы с одной прострaнcтвенной переменной, встречающаяся в задачах акустики, теории упругости, химической кинетики [7-11]. Ранее в работе [10] исследовалась устойчивость стационарных решений этой задачи первым методом Ляпунова, установлен спектральный признак экспоненциальной устойчивости в норме. Ниже предложен вариант метода функционалов Ляпунова для этой задачи, установлен признак экспоненциальной устойчивости в норме в терминах матричных неравенств.

Рассматривается краевая задача для гиперболической системы с кратными хаpaктеристиками

(1)

Здесь П-полуполоса

;

- единичная матрица порядка , - строка размера N_k; - постоянные матрицы соответствующих размеров. Матрицы A, B и векторы - гладкие в своих областях определения, равномерно по при . Здесь и далее - евклидова норма в , знак * означает трaнcпонирование. Предполагаются выполненными условия согласования нулевого и первого порядков:

(2)

где При указанных условиях имеет место локальная однозначная разрешимость краевой задачи (1) в классе гладких функций [7]. Далее будем дополнительно предполагать: существует такое r > 0 что при условии имеет место однозначная гладкая разрешимость во всей полуполосе . Можно считать . В силу оценки (2) начальной функции отвечает решение .

Обозначим через H множество гладких функций , удовлетворяющих условиям (2) с заменой h_k на h, Значения решения краевой задачи (1) при каждом t - элементы H. Будем говорить, что решение задачи (1) экспоненциально устойчиво в L₂-норме, если существуют такие числа что для решений задачи (1), удовлетворяющих условию , верна оценка

Зафиксируем гладкую [0,1] на матрицу где блоки G_k имеют такие же размеры, как соответствующие блоки матрицы A, и удовлетворяют условиям

Представим матрицы A,G в виде где имеют порядок и построим матрицы

ТЕОРЕМА. Для экспоненциальной устойчивости в L₂-норме решения u=0 краевой задачи (1) достаточно существование матрицы G с указанными свойствами такой, что выполняются неравенства

ЛИТЕРАТУРА

РомановскийР.К. О матрицах Римана первого и второго рода //Докл. АН СССР. 1982. Т.267,№ 3. C.577-580.
РомановскийР.К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными // Мат. сб. 1987. Т.133, № 3. С.341-355.
РомановскийР.К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами // Применение методов функционального анализа в задачах математической физики. Киев: ИМ АН УССР, 1987. С.47-52.
РомановскийР.К. Усреднение гиперболических уравнений//Докл. АН СССР. 1989. Т.306, № 2. C.286-289.
РомановскийР.К. О матрицах Римана первого и второго рода //Мат. сб. 1985. Т.127, № 4. С.494-501.
ВоробьеваЕ.В., РомановскийР.К. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболической системы с двумя независимыми переменными // Сиб. мат. журн. 1998. Т.39, № 6. С.1290-1292.
АболиняВ.Э., МышкисА.Д. Смешанная задача для почти линейной гиперболи-ческой системы на плоскости //Мат. сб. 1960. Т.50, №4. С.423-442.
ЗеленякТ.И. О стационарных решениях смешанных задач, возникающих при изучении некоторых химических процессов //Дифференц. уравнения. 1966. Т.2, №2. С.205-213.
ГодуновС.К. Уравнения математической физики //М.: Наука. 1979.
ЕлтышеваН.А. О качественных свойствах решений некоторых гиперболи-ческих систем на плоскости // Мат. сб. 1988. Т.135, №2. С.186-209.
АкрамовТ.А.Качественный и численный анализ модели реактора с противотоком компонентов // Математическое моделирование каталитических реакторов. Новосибирск: Наука, 1989. С.195-214.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТАЛЛОПОЛИМЕРНЫЕ КОНСТРУКЦИИ В ГИДРОАВИАЦИИ

Статья в формате PDF 253 KB...

12 06 2026 6:20:19

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПО ВРЕМЕНИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Статья в формате PDF 120 KB...

11 06 2026 3:39:23

РОЛЬ ПЕДАГОГОВ В ФОРМИРОВАНИИ КОРРЕКТНОГО ПОВЕДЕНИЯ ДЕТЕЙ В КОНФЛИКТНЫХ СИТУАЦИЯХ

Статья в формате PDF 157 KB...

10 06 2026 12:33:25

К ВОПРОСУ О ПОВЫШЕНИИ КАЧЕСТВА ОБРАЗОВАНИЯ ЗА СЧЕТ ПРИМЕНЕНИЯ АКТИВНЫХ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ

Статья в формате PDF 103 KB...

09 06 2026 22:17:46

МЕДИКО-СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ОТРАВЛЕНИЙ АММИАКОМ

Статья в формате PDF 270 KB...

08 06 2026 6:23:57

САЛЬМОНЕЛЛЕЗ

Статья в формате PDF 102 KB...

07 06 2026 2:20:59

УПРАВЛЕНИЕ КАУПЕРОМ ГИПЕРЗВУКОВОЙ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЫ

Статья в формате PDF 261 KB...

06 06 2026 1:21:18

ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫЙ ПОДХОД В ДИАГНОСТИКЕ И ЛЕЧЕНИИ АНАЛЬНЫХ ТРЕЩИН

Статья в формате PDF 120 KB...

05 06 2026 7:16:22

КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКОГО ВОСЬМИЗВЕННОГО МЕХАНИЗМА ШЕСТОГО КЛАССА С ПОСТУПАТЕЛЬНОЙ ПАРОЙ АНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Статья в формате PDF 506 KB...

04 06 2026 14:28:58

МЕТОД ПОДЪЕМА ПЕРЕКРЫТИЙ – ГРАДОСТРОИТЕЛЬНЫЙ АКЦЕНТ ЖИЛЬЮ ЭКОНОМКЛАССА

Статья в формате PDF 349 KB...

03 06 2026 5:40:31

Влияние ингибиторов превращений арахидоновой кислоты на постоянное внутрисосудистое свертывание крови и липопероксидацию

Статья в формате PDF 124 KB...

02 06 2026 8:38:30

К ВОПРОСУ ОБ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ БЕЗОПАСНОСТИ НАНОМАТЕРИАЛОВ, ПРИМЕНЯЕМЫХ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ

Статья в формате PDF 172 KB...

01 06 2026 2:29:32

КАЛЬМАРЫ КАК ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ИНГРЕДИЕНТЫ ПИЩЕВЫХ ПРОДУКТОВ ИЗ ГИДРОБИОНТОВ

Статья в формате PDF 393 KB...

31 05 2026 12:36:26

ОЦЕНКА ДЕГРАНУЛЯЦИОННОЙ АКТИВНОСТИ ЛАБРОЦИТОВ В СМЕШАННЫХ КУЛЬТУРАХ КЛЕТОК ИММУННОЙ СИСТЕМЫ И СОЕДИНИТЕЛЬНОЙ ТКАНИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ПАРАМЕТРОВ КУЛЬТИВИРОВАНИЯ

Статья в формате PDF 114 KB...

30 05 2026 23:16:22

РЕГУЛЯЦИЯ ГОМЕОСТАЗА ПЛОДА ПРИ ФИЗИОЛОГИЧЕСКОЙ БЕРЕМЕННОСТИ

Статья в формате PDF 109 KB...

29 05 2026 18:41:45

ПРОЕКТНЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ: СИСТЕМАТИЗИРОВАННОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОСНОВ

Статья в формате PDF 447 KB...

28 05 2026 18:33:33

АНАЛИЗ И ОЦЕНКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫХ БРИГАД СМП ПРИ ОБСЛУЖИВАНИИ ВЫЗОВОВ К ЛИЦАМ С ПЕРЕДОЗИРОВКОЙ ОПИАТОВ ЗА ПЕРИОД С 2003 ПО 2007 ГОДЫ (НА ПРИМЕРЕ Г. НОВОКУЗНЕЦКА)

Статья в формате PDF 242 KB...

27 05 2026 1:28:34

ВЛИЯНИЕ АТОМНО-СТРУКТУРНЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ НА КОЭРЦИТИВНУЮ СИЛУ ЖЕЛЕЗО-НИКЕЛЕВЫХ ПЛЕНОК

Статья в формате PDF 91 KB...

26 05 2026 4:20:47

ДРОЖЖИВОЗБУДИТЕЛИ ПОРЧИ КОНДИТЕРСКИХ ИЗДЕЛИЙ

Статья в формате PDF 106 KB...

25 05 2026 11:39:27

О НАХОЖДЕНИИ ОБЪЕМОВ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

Статья в формате PDF 271 KB...

24 05 2026 10:45:25

ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ ДУАЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Статья в формате PDF 137 KB...

23 05 2026 9:29:50

ЭКОЛОГО-ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ РЕКРЕАЦИОННЫХ РЕГИОНОВ

Статья в формате PDF 121 KB...

22 05 2026 5:56:58

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ АНИЗОТРОПИЯ СОЛНЕЧНЫХ ВСПЫШЕК КОРОЛЕВСКОЙ ЗОНЕ ПЯТЕН И ВЕКТОРНЫЕ ДИАГРАММЫ ВСПЫШЕК В 11 – ЛЕТНИХ ЦИКЛАХ СОЛНЦА

Статья в формате PDF 312 KB...

21 05 2026 23:24:23

Активность солнца и годичная динамика лесных пожаров на особо охраняемой территории

Рассмотрена концепция зависимости лесов как ядра биосферы Земли от активности Солнца по числу Вольфа. Принята точка на Земле в виде участка лесистой территории национального парка по лесным пожарам за 2002 год. По датам каждого лесного пожара были учтены: время от зимнего солнцестояния с 21 марта, склонение оси Земли к Солнцу, число Вольфа активности Солнца на день возникновения лесного пожара. Среди влияющих факторов первое место заняло время от зимнего солнцестояния. Второе место – склонение Солнца, а на третье – число Вольфа. Среди зависимых факторов первым стало склонение Солнца, вторым – время от 21.03, а третьим активность Солнца. В итоге параметры Земли первичны. Наиболее опасен интервал числа Вольфа 90 ≤ V ≤ 180 и сильный размах колебания во многом зависит от поведения людей. ...