ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ

Авторы
Файлы

Романовский Р.К. Воробьева Е.В. Макарова И.Д. Статья в формате PDF 121 KB

В работах [1-4] изучалось асимптотическое поведение решений задачи Коши для линейных гиперболических систем с одной прострaнcтвенной переменной - устойчивость, дихотомия, экспоненциальная расщепляемость - на основе построенного в [1,5] аппарата матриц Римана первого и второго рода, представляющих собой соответственно сингулярную и регулярную компоненты фундаментальной матрицы гиперболической системы. В [6] предложен подход к анализу устойчивости решений задачи Коши, основанный на приведении гиперболической системы к обыкновенному дифференциальному уравнению с ограниченным операторным коэффициентом в гильбертовом прострaнcтве и последующем применении метода функционалов Ляпунова. В данной работе рассматривается смешанная задача для почти линейной гиперболической системы с одной прострaнcтвенной переменной, встречающаяся в задачах акустики, теории упругости, химической кинетики [7-11]. Ранее в работе [10] исследовалась устойчивость стационарных решений этой задачи первым методом Ляпунова, установлен спектральный признак экспоненциальной устойчивости в норме. Ниже предложен вариант метода функционалов Ляпунова для этой задачи, установлен признак экспоненциальной устойчивости в норме в терминах матричных неравенств.

Рассматривается краевая задача для гиперболической системы с кратными хаpaктеристиками

(1)

Здесь П-полуполоса

;

- единичная матрица порядка , - строка размера N_k; - постоянные матрицы соответствующих размеров. Матрицы A, B и векторы - гладкие в своих областях определения, равномерно по при . Здесь и далее - евклидова норма в , знак * означает трaнcпонирование. Предполагаются выполненными условия согласования нулевого и первого порядков:

(2)

где При указанных условиях имеет место локальная однозначная разрешимость краевой задачи (1) в классе гладких функций [7]. Далее будем дополнительно предполагать: существует такое r > 0 что при условии имеет место однозначная гладкая разрешимость во всей полуполосе . Можно считать . В силу оценки (2) начальной функции отвечает решение .

Обозначим через H множество гладких функций , удовлетворяющих условиям (2) с заменой h_k на h, Значения решения краевой задачи (1) при каждом t - элементы H. Будем говорить, что решение задачи (1) экспоненциально устойчиво в L₂-норме, если существуют такие числа что для решений задачи (1), удовлетворяющих условию , верна оценка

Зафиксируем гладкую [0,1] на матрицу где блоки G_k имеют такие же размеры, как соответствующие блоки матрицы A, и удовлетворяют условиям

Представим матрицы A,G в виде где имеют порядок и построим матрицы

ТЕОРЕМА. Для экспоненциальной устойчивости в L₂-норме решения u=0 краевой задачи (1) достаточно существование матрицы G с указанными свойствами такой, что выполняются неравенства

ЛИТЕРАТУРА

РомановскийР.К. О матрицах Римана первого и второго рода //Докл. АН СССР. 1982. Т.267,№ 3. C.577-580.
РомановскийР.К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными // Мат. сб. 1987. Т.133, № 3. С.341-355.
РомановскийР.К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами // Применение методов функционального анализа в задачах математической физики. Киев: ИМ АН УССР, 1987. С.47-52.
РомановскийР.К. Усреднение гиперболических уравнений//Докл. АН СССР. 1989. Т.306, № 2. C.286-289.
РомановскийР.К. О матрицах Римана первого и второго рода //Мат. сб. 1985. Т.127, № 4. С.494-501.
ВоробьеваЕ.В., РомановскийР.К. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболической системы с двумя независимыми переменными // Сиб. мат. журн. 1998. Т.39, № 6. С.1290-1292.
АболиняВ.Э., МышкисА.Д. Смешанная задача для почти линейной гиперболи-ческой системы на плоскости //Мат. сб. 1960. Т.50, №4. С.423-442.
ЗеленякТ.И. О стационарных решениях смешанных задач, возникающих при изучении некоторых химических процессов //Дифференц. уравнения. 1966. Т.2, №2. С.205-213.
ГодуновС.К. Уравнения математической физики //М.: Наука. 1979.
ЕлтышеваН.А. О качественных свойствах решений некоторых гиперболи-ческих систем на плоскости // Мат. сб. 1988. Т.135, №2. С.186-209.
АкрамовТ.А.Качественный и численный анализ модели реактора с противотоком компонентов // Математическое моделирование каталитических реакторов. Новосибирск: Наука, 1989. С.195-214.

ВОЗМОЖНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ПСИХОЛОГИЧЕСКОЙ АДАПТАЦИИ ЛИЦ ПОЖИЛОГО ВОЗРАСТА

Изменяющиеся условия жизни приводят к изменению поведения и психологии наиболее уязвимых групп населения, к которым относятся пожилые и старые люди. Наиболее значимыми считаются адаптивные защитные реакции, такие как озабоченность, тревожность, депрессия. Работа поддержана и финансируется Министерством образования и науки. ...

23 03 2026 19:48:47

ПОСТАНОВКА ЛАБОРАТОРНОГО ПРАКТИКУМА ПО БЕЗОПАСНОСТИ ОПЕРАЦИОННЫХ СИСТЕМ И СЕТЕЙ

Статья в формате PDF 140 KB...

22 03 2026 13:45:46

ПОЛИМОРФИЗМ ГЕНА CYP1A2 У ТЕЛЕУТОВ КЕМЕРОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Статья в формате PDF 117 KB...

21 03 2026 9:52:56

ОСНОВЫ ЭКОМОНИТОРИНГА НЕФТЕДОБЫВАЮЩЕЙ ОТРАСЛИ ЗАПАДНОЙ СИБИРИ

Статья в формате PDF 206 KB...

20 03 2026 1:20:29

МЕТОДЫ ПРЕДОТВРАЩЕНИЯ ТЕХНОГЕННОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ НА ОКРУЖАЮЩУЮ СРЕДУ ПРОЦЕССА СТРОИТЕЛЬСТВА И ЭКСПЛУАТАЦИИ НЕФТЕГАЗОДОБЫВАЮЩИХ СКВАЖИН

Статья в формате PDF 99 KB...

19 03 2026 1:57:32

К ВОПРОСУ О ГЕНДЕРНОЙ СТЕРЕОТИПИЗАЦИИ В ТЕКСТАХ НЕМЕЦКОЙ ПРЕССЫ

Статья в формате PDF 108 KB...

18 03 2026 15:49:37

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ДИСРЕГУЛЯЦИЯ БРЮШИНЫ ПРИ ОПЕРАЦИОННОЙ ТРАВМЕ

Статья в формате PDF 275 KB...

17 03 2026 1:56:49

ФАГОЦИТАРНАЯ АКТИВНОСТЬ НЕЙТРОФИЛОВ И ИНДЕКС ЗАВЕРШЕННОСТИ ФАГОЦИТОЗА В КРОВИ БОЛЬНЫХ БОЛЕЗНЬЮ РЕЙТЕРА

Статья в формате PDF 113 KB...

16 03 2026 16:54:57

К ВОПРОСУ О ПСИХИЧЕСКОМ ЗДОРОВЬЕ

Статья в формате PDF 101 KB...

15 03 2026 20:29:57

ДИНАМИКА ИЗМЕНЕНИЙ МОРФОЛОГИИ СЕРОГО И БЕЛОГО ВЕЩЕСТВА СПИННОГО МОЗГА ПРИ КОНТУЗИОННОМ ПОВРЕЖДЕНИЙ СРЕДНЕЙ ТЯЖЕСТИ У КРЫСЫ

Статья в формате PDF 303 KB...

14 03 2026 14:57:54

НЕФТЕЕМКОСТЬ СОРБЕНТА ИЗ УГЛИСТОЙ МАССЫ ОТ СОДЕРЖАНИЯ В НЕФТЕШЛАМЕ ВОДЫ И НЕФТИ

Приведен способ очистки водной поверхности от нефтяных загрязнений, который может быть использован для очистки водных объектов от пленки аварийно-разлитой и другой плавающей нефти. Разработаны математические модели процесса сорбции древесных отходов в программной среде Curve Expert 1.3. ...