К АНАЛИЗУ ПРОБЛЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ

Авторы
Файлы

Крупенин В.Л. Статья в формате PDF 104 KB

1. Нелинейные волновые процессы моделируются при помощи нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных. Если ограничится нелинейными аналогами волнового уравнения, то упомянутая модель может быть представлена в виде

u_tt - с²u_xx=h(u,u_t,u_x,t,x), (1)

h - нелинейная функция, структура которой определяется геометрическими и (или) физическими особенностями задачи. Раскладывая функцию h в ряд, в разных приближениях можно получать модели нелинейных волновых процессов. Нелинейные волновые эффекты весьма многочисленны и многообразны. В частности показывается, что при рассмотрении простейших нелинейных волновых моделей проявляются такие весьма хаpaктерные и важные явления как «деформирование» и «опрокидывание» профилей волн.

2. Рассмотрим примеры анализа нелинейных волн в так называемых виброударных системах с распределенными ударными элементами. Обозначим: u(x,t) - искомый прогиб. Пусть расстояние между струной и ограничителем равно Δ; 0<Δ<1. Имеем для определенности:

u(x,t)≤Δ<1, x [-½,½], t≥0. (2)

При реализации в первом соотношении строгого неравенства задача линейна и, ограничиваясь консервативным случаем имеем u≡u_tt-u_xx=0. Пусть: u(±½,t)=0, u(x,0)= u₀(x) ≤0, u_t(x,0)= 0.Гладкость функции u₀(x) такова, что (хотя бы в обобщенном смысле) обеспечивается существование и единственность решение задачи Коши в соответствующей линейной системе. При реализации контакта ограничитель действует на струну «от себя» поэтому при u>0:

u≤0 (3)

Условие аналогичное (3) эквивалентно дозвуковому распространению взаимодействий.Потребуем: suppu⊂ {(x,t); u(x,t)=Δ, где символ «supp» обозначает носитель обобщенной функции. Считая, что при взаимодействии энергия не теряется, постулируем здесь выполнение, имеющего место в соответствующей линейной системе соотношения, выражающего закон сохранения энергии, т.е. в смысле обобщенных функций ∂ ⁄∂t(|u_t|+|u_x|)=∂ ⁄∂x(2u_tu_x).Это соотношение постулируется и выражает, в частности, гиротезу удара:

u_t(x, t-0)=-u_t(x, t+0), (x,t) ∈ suppu, u(x,t)=Δ. (4)

Данные определяют гипотезу удара взаимодействия струны об ограничителем без учета потерь энергии. Данную задачу можно символически записать в виде нелинейного уравнения Клейна - Гордона u+Ф(u)=0, где обобщенная функция Ф(u) определяется указанными соотношениями.

Постановка задачи о поляризованных колебаниях струны, находящейся, например, в трубе, вполне аналогична. Вместо неравенства (2) имеем двойное неравенство u^≤_≥0.

3. Постановка задачи о взаимодействии струны с точечным ограничителем принципиально отличается от предыдущих, так как при достижении точечного ограничителя, струна некоторое время покоится на нем и мы имеем в определенном смысле аналог гипотезы об абсолютно неупругом ударе. При этом гипотеза взаимодействия подразумевает, что потери энергии отсутствуют. Обсуждение моделей диссипации энергии в системах с распределенными ударными элементами не проводится.

Пусть в плоскости колебаний струны зафиксирован точечный ограничитель и пусть точка фиксации есть (0,∆). Таким образом здесь u(0,t)≥∆. Записывая уравнение движения снова в виде нелинейного уравнения Клейна-Гордона, заметим, что при возникновении контакта струны с ограничителем, как отмечалось, ее серединная точка будет некоторое время покоится. Если t_k -начало k-го взаимодействия, а θ_k - его окончание: u(0,t)=∆, t∈[t_k,θ_k], то Ф(u)=-ΣR_k(t)δ(x)[η(t-t_k)-η(θ-θ_k)], где к -индексы по которым проводится суммирование,δ(x) и η(t) - δ-функция Диpaка и единичная функция Хевисайда;R_k(t)= u_x(-0,t) - u_x(+0,t) ≥0, t∈ [t_k,θ_k] - сила реакции ограничителя. При реализации строгого неравенства) контакт отсутствует. Действие точечного ограничителя равносильно систематическому дополнительному защемлению (в данном случае - середины) струны.

Подробное изложение данных проблем дано в [1]. (Поддержка РФФИ 05-08-50183).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

Крупенин В.Л. К описанию динамических эффектов, сопровождающих колебания струн вблизи однотавровых ограничителей // ДАН. 2003. № 388 (3). С.31- 38.

ФАКТОРЫ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРОВЕНЬ ОТВЕТСТВЕННОСТИ БУДУЩИХ ИНЖЕНЕРОВ ЗА СОБСТВЕННОЕ ЗДОРОВЬЕ

Статья в формате PDF 361 KB...

30 08 2026 7:50:15

ВЛИЯНИЕ ГИДРОЭЛЕКТРОСТАНЦИЙ НА ОКРУЖАЮЩУЮ СРЕДУ

Статья в формате PDF 267 KB...

29 08 2026 19:23:36

ВЛИЯНИЕ ОРИЕНТАЦИОННОЙ ВЫТЯЖКИ И ТЕРМООБРАБОТКИ НА ПРОЧНОСТЬ, РЕЛАКСАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА И РАДИАЦИОННУЮ СТОЙКОСТЬ ПОЛИИМИДНЫХ ПЛЕНОК

Статья в формате PDF 129 KB...

28 08 2026 9:29:46

ОЦЕНКА КАЧЕСТВА АТМОСФЕРНОГО ВОЗДУХА г. АЛМАТЫ МАТЕМАТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ

Статья в формате PDF 316 KB...

27 08 2026 4:45:38

Технолого-экологическая оценка выемки междупластья по бестрaнcпортной технологии на Кангаласском угольном разрезе

Изложены результаты технолого-экологической оценки выемки междупластья по бестрaнcпортной технологии на Кангаласском угольном разрезе. ...

26 08 2026 13:48:40

УСЛОВИЯ, НАЛАГАЕМЫЕ НА ИМПУЛЬСНЫЙ МОМЕНТ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЕ ЗАДАННЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ НЕРАВНОМЕРНОСТИ ДВИЖЕНИЯ

Статья в формате PDF 493 KB...

25 08 2026 19:51:47

МЕЖВИДОВАЯ ГИБРИДНАЯ КУЛЬТУРА ПО-ТК-ХЛК (ПОЧКА ОВЦЫ Х ЛИМФОЦИТЫ КРОЛИКА)

Статья в формате PDF 99 KB...

24 08 2026 23:45:14

ОБРАЗЫ КУЛЬТУРНЫХ ЛАНДШАФТОВ В ТУРИЗМЕ

Статья в формате PDF 109 KB...

23 08 2026 4:16:41

ТЕОРИЯ СТРУКТУРНЫХ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ LiCO2

Статья в формате PDF 97 KB...

22 08 2026 18:38:49

КОНКУРЕНТОСПОСОБНОСТЬ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ: КЛЮЧЕВЫЕ ФАКТОРЫ УСПЕХА

Статья в формате PDF 111 KB...

21 08 2026 23:46:38

СИСТЕМА БИОИНДИКАЦИИ НИКОЛАЕВА С.Г. ДЛЯ ОЦЕНКИ НЕГАТИВНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ ДОРОГИ И МОСТОВОГО ПЕРЕХОДА НА ВОДНЫЕ ОБЪЕКТЫ

Статья в формате PDF 253 KB...

20 08 2026 3:29:55

РОЛЬ СЛУЧАЙНОСТИ В ПРОЦЕССЕ УСВОЕНИЯ ЗНАНИЙ УЧАЩИМИСЯ

Статья в формате PDF 252 KB...

19 08 2026 15:52:15

АНАЛИЗ ОТНОШЕНИЯ ОБЩЕСТВЕННОСТИ ИВАНОВСКОЙ ОБЛАСТИ К ЕДИНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ ПО ГЕОГРАФИИ

Статья в формате PDF 100 KB...

18 08 2026 1:24:19

РАЗВИТИЕ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА КАК УСЛОВИЕ РЕАЛИЗАЦИИ ФГОС

Статья в формате PDF 240 KB...

17 08 2026 15:15:43

Формирование эффективной стратегии образовательного учреждения

Статья в формате PDF 114 KB...

16 08 2026 12:58:48

РАЗВИТИЕ ДОРОЖНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА КАК ОДНО ИЗ УСЛОВИЙ СНИЖЕНИЯ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ В РЕГИОНЕ

Статья в формате PDF 352 KB...

15 08 2026 9:45:29

ОСОБЕННОСТИ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ СИТУАЦИИ МАЛЫХ ПРОМЫШЛЕННЫХ ЦЕНТРОВ СИБИРИ

Статья в формате PDF 108 KB...

14 08 2026 9:17:48

Традиционная культура-основа экологического образования и воспитания

Статья в формате PDF 128 KB...

13 08 2026 20:32:31

ВЛИЯНИЕ ОКСИДА АЗОТА НА ЛИПИДНЫЙ СОСТАВ МЕМБРАН ЭРИТРОЦИТОВ

Статья в формате PDF 130 KB...

12 08 2026 17:41:30

НОВЫЙ СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ АЛЬВЕОЛЯРНО-КАПИЛЛЯРНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ВЕНТИЛЯЦИОННОЙ СЦИНТИГРАФИИ ЛЕГКИХ И ЕЕ ДИАГНОСТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ

Статья в формате PDF 136 KB...

11 08 2026 20:22:20

ПИЩЕВАЯ, ПЫЛЬЦЕВАЯ И ЛЕКАРСТВЕННАЯ АЛЛЕРГИЯ: ВОЗМОЖНЫЕ ПЕРЕКРЕСТНЫЕ АЛЛЕРГИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ

Статья в формате PDF 104 KB...

10 08 2026 13:33:38

РОЛЬ ДЕНДРИТНЫХ КЛЕТОК В СТИМУЛЯЦИИ ПРОТИВОИНФЕКЦИОННОГО ИММУННОГО ОТВЕТА НА МОДЕЛИ KLEBSIELLA PNEUMONIАЕ

Статья в формате PDF 145 KB...

09 08 2026 20:55:12

РОЛЬ РАННЕЙ РЕАБИЛИТАЦИИ В ПРОФИЛАКТИКЕ ЗАБОЛЕВАЕМОСТИ У ДЕТЕЙ

Статья в формате PDF 90 KB...

08 08 2026 4:33:16

МАРГИНАЛЬНОЕ СОЗНАНИЕ И ПОВЕДЕНИЕ КАК АСПЕКТ СОЦИАЛЬНО-ПСИХОЛОГИЧЕСКОЙ ОРГАНИЗАЦИИ МАРГИНАЛЬНОЙ ЛИЧНОСТИ

Статья в формате PDF 129 KB...

07 08 2026 12:51:29

ОСОБЫЕ ТЕРАПЕВТИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ К ГИПЕРТЕНЗИИ ПАЦИЕНТОВ С ИЗБЫТОЧНЫМ ВЕСОМ

Статья в формате PDF 112 KB...

06 08 2026 20:50:36

СПОСОБ ПЛАЗМЕННОЙ СВАРКИ НА ПЕРЕМЕННОМ ТОКЕ

Статья посвящена решению проблемы сварки металлов, имеющих на поверхности тугоплавкие окисные пленки. Были проведены исследования дугового разряда обратной полярности, горящий между соплом плазменной горелки и изделием, возбуждаемый и стабилизируемый с помощью факела плазмы, в ходе экспериментов были получены сваренные образцы из цветных металлов и алюминия. ...