К АНАЛИЗУ ПРОБЛЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Нелинейные волновые процессы моделируются при помощи нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных. Если ограничится нелинейными аналогами волнового уравнения, то упомянутая модель может быть представлена в виде
utt - с2uxx=h(u,ut,ux,t,x), (1)
h - нелинейная функция, структура которой определяется геометрическими и (или) физическими особенностями задачи. Раскладывая функцию h в ряд, в разных приближениях можно получать модели нелинейных волновых процессов. Нелинейные волновые эффекты весьма многочисленны и многообразны. В частности показывается, что при рассмотрении простейших нелинейных волновых моделей проявляются такие весьма хаpaктерные и важные явления как «деформирование» и «опрокидывание» профилей волн.
2. Рассмотрим примеры анализа нелинейных волн в так называемых виброударных системах с распределенными ударными элементами. Обозначим: u(x,t) - искомый прогиб. Пусть расстояние между струной и ограничителем равно Δ; 0<Δ<1. Имеем для определенности:
u(x,t)≤Δ<1, x [-½,½], t≥0. (2)
При реализации в первом соотношении строгого неравенства задача линейна и, ограничиваясь консервативным случаем имеем u≡utt-uxx=0. Пусть: u(±½,t)=0, u(x,0)= u0(x) ≤0, ut(x,0)= 0.Гладкость функции u0(x) такова, что (хотя бы в обобщенном смысле) обеспечивается существование и единственность решение задачи Коши в соответствующей линейной системе. При реализации контакта ограничитель действует на струну «от себя» поэтому при u>0:
u≤0 (3)
Условие аналогичное (3) эквивалентно дозвуковому распространению взаимодействий.Потребуем: suppu⊂ {(x,t); u(x,t)=Δ, где символ «supp» обозначает носитель обобщенной функции. Считая, что при взаимодействии энергия не теряется, постулируем здесь выполнение, имеющего место в соответствующей линейной системе соотношения, выражающего закон сохранения энергии, т.е. в смысле обобщенных функций ∂ ⁄∂t(|ut|+|ux|)=∂ ⁄∂x(2utux).Это соотношение постулируется и выражает, в частности, гиротезу удара:
ut (x, t-0)=-ut(x, t+0), (x,t) ∈ suppu, u(x,t)=Δ. (4)
Данные определяют гипотезу удара взаимодействия струны об ограничителем без учета потерь энергии. Данную задачу можно символически записать в виде нелинейного уравнения Клейна - Гордона u+Ф(u)=0, где обобщенная функция Ф(u) определяется указанными соотношениями.
Постановка задачи о поляризованных колебаниях струны, находящейся, например, в трубе, вполне аналогична. Вместо неравенства (2) имеем двойное неравенство u≤≥0.
3. Постановка задачи о взаимодействии струны с точечным ограничителем принципиально отличается от предыдущих, так как при достижении точечного ограничителя, струна некоторое время покоится на нем и мы имеем в определенном смысле аналог гипотезы об абсолютно неупругом ударе. При этом гипотеза взаимодействия подразумевает, что потери энергии отсутствуют. Обсуждение моделей диссипации энергии в системах с распределенными ударными элементами не проводится.
Пусть в плоскости колебаний струны зафиксирован точечный ограничитель и пусть точка фиксации есть (0,∆). Таким образом здесь u(0,t)≥∆. Записывая уравнение движения снова в виде нелинейного уравнения Клейна-Гордона, заметим, что при возникновении контакта струны с ограничителем, как отмечалось, ее серединная точка будет некоторое время покоится. Если tk -начало k-го взаимодействия, а θk - его окончание: u(0,t)=∆, t∈[tk,θk], то Ф(u)=-ΣRk(t)δ(x)[η(t-tk)-η(θ-θk)], где к -индексы по которым проводится суммирование,δ(x) и η(t) - δ-функция Диpaка и единичная функция Хевисайда;Rk(t)= ux(-0,t) - ux(+0,t) ≥0, t∈ [tk,θk] - сила реакции ограничителя. При реализации строгого неравенства) контакт отсутствует. Действие точечного ограничителя равносильно систематическому дополнительному защемлению (в данном случае - середины) струны.
Подробное изложение данных проблем дано в [1]. (Поддержка РФФИ 05-08-50183).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
- Крупенин В.Л. К описанию динамических эффектов, сопровождающих колебания струн вблизи однотавровых ограничителей // ДАН. 2003. № 388 (3). С.31- 38.
Статья в формате PDF
137 KB...
30 10 2026 16:27:28
Статья в формате PDF
134 KB...
29 10 2026 1:10:40
Статья в формате PDF
114 KB...
27 10 2026 6:18:56
Статья в формате PDF
97 KB...
26 10 2026 2:39:24
Статья в формате PDF
102 KB...
25 10 2026 1:10:42
Статья в формате PDF
311 KB...
24 10 2026 5:37:12
Статья в формате PDF
259 KB...
23 10 2026 12:58:12
Статья в формате PDF
291 KB...
21 10 2026 16:22:33
Статья в формате PDF
129 KB...
20 10 2026 2:43:30
Статья в формате PDF 114 KB...
19 10 2026 20:43:28
Статья в формате PDF
163 KB...
18 10 2026 2:24:22
Статья в формате PDF
367 KB...
16 10 2026 23:45:22
Статья в формате PDF
185 KB...
14 10 2026 23:33:15
Статья в формате PDF
135 KB...
13 10 2026 10:26:14
Статья в формате PDF
111 KB...
12 10 2026 16:29:32
Статья в формате PDF
104 KB...
11 10 2026 19:19:40
Статья в формате PDF
105 KB...
08 10 2026 20:31:55
Показано, что спецификой подготовки компетентного специалиста-химика является формирование навыков социальной коммуникации. Отмечены основные коммуникативные трудности учащихся. Для их преодоления предложен сценарий семинарского занятия в малой группе на основе «социального посредничества» и разработан химический терминологический словарь. Особенностью словарной статьи является наличие раздела «Применение слова». Учитывая степень формализации химических знаний, выбрано применение по логическим связям.
...
07 10 2026 17:56:35
Статья в формате PDF
101 KB...
06 10 2026 5:14:13
Статья в формате PDF
131 KB...
05 10 2026 3:31:44
Статья в формате PDF
115 KB...
04 10 2026 15:11:56
Статья в формате PDF
112 KB...
30 09 2026 10:47:39
Статья в формате PDF
305 KB...
28 09 2026 8:19:22
Статья в формате PDF
199 KB...
27 09 2026 5:27:23
Статья в формате PDF
104 KB...
25 09 2026 6:17:11
Морфогенез лимфатической системы является результатом взаимодействия сосудов разного типа, растущих неравномерно. Его формы меняются так же, как строение и топография сосудов, их сочетания в связи с органогенезом. Поэтому морфогенез лимфатической системы протекает как процесс рекомбинации артерий и вен, а затем и лимфатических сосудов, служит проявлением самодифференциации сердечно-сосудистой системы, когда ее части вступают в повторное взаимодействие, в т.ч. и после их трaнcформации.
...
24 09 2026 12:11:27
Статья в формате PDF
161 KB...
23 09 2026 20:48:41
Статья в формате PDF
299 KB...
22 09 2026 7:13:15
Статья в формате PDF 110 KB...
21 09 2026 20:44:18
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
