К АНАЛИЗУ ПРОБЛЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ

Авторы
Файлы

Крупенин В.Л. Статья в формате PDF 104 KB

1. Нелинейные волновые процессы моделируются при помощи нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных. Если ограничится нелинейными аналогами волнового уравнения, то упомянутая модель может быть представлена в виде

u_tt - с²u_xx=h(u,u_t,u_x,t,x), (1)

h - нелинейная функция, структура которой определяется геометрическими и (или) физическими особенностями задачи. Раскладывая функцию h в ряд, в разных приближениях можно получать модели нелинейных волновых процессов. Нелинейные волновые эффекты весьма многочисленны и многообразны. В частности показывается, что при рассмотрении простейших нелинейных волновых моделей проявляются такие весьма хаpaктерные и важные явления как «деформирование» и «опрокидывание» профилей волн.

2. Рассмотрим примеры анализа нелинейных волн в так называемых виброударных системах с распределенными ударными элементами. Обозначим: u(x,t) - искомый прогиб. Пусть расстояние между струной и ограничителем равно Δ; 0<Δ<1. Имеем для определенности:

u(x,t)≤Δ<1, x [-½,½], t≥0. (2)

При реализации в первом соотношении строгого неравенства задача линейна и, ограничиваясь консервативным случаем имеем u≡u_tt-u_xx=0. Пусть: u(±½,t)=0, u(x,0)= u₀(x) ≤0, u_t(x,0)= 0.Гладкость функции u₀(x) такова, что (хотя бы в обобщенном смысле) обеспечивается существование и единственность решение задачи Коши в соответствующей линейной системе. При реализации контакта ограничитель действует на струну «от себя» поэтому при u>0:

u≤0 (3)

Условие аналогичное (3) эквивалентно дозвуковому распространению взаимодействий.Потребуем: suppu⊂ {(x,t); u(x,t)=Δ, где символ «supp» обозначает носитель обобщенной функции. Считая, что при взаимодействии энергия не теряется, постулируем здесь выполнение, имеющего место в соответствующей линейной системе соотношения, выражающего закон сохранения энергии, т.е. в смысле обобщенных функций ∂ ⁄∂t(|u_t|+|u_x|)=∂ ⁄∂x(2u_tu_x).Это соотношение постулируется и выражает, в частности, гиротезу удара:

u_t(x, t-0)=-u_t(x, t+0), (x,t) ∈ suppu, u(x,t)=Δ. (4)

Данные определяют гипотезу удара взаимодействия струны об ограничителем без учета потерь энергии. Данную задачу можно символически записать в виде нелинейного уравнения Клейна - Гордона u+Ф(u)=0, где обобщенная функция Ф(u) определяется указанными соотношениями.

Постановка задачи о поляризованных колебаниях струны, находящейся, например, в трубе, вполне аналогична. Вместо неравенства (2) имеем двойное неравенство u^≤_≥0.

3. Постановка задачи о взаимодействии струны с точечным ограничителем принципиально отличается от предыдущих, так как при достижении точечного ограничителя, струна некоторое время покоится на нем и мы имеем в определенном смысле аналог гипотезы об абсолютно неупругом ударе. При этом гипотеза взаимодействия подразумевает, что потери энергии отсутствуют. Обсуждение моделей диссипации энергии в системах с распределенными ударными элементами не проводится.

Пусть в плоскости колебаний струны зафиксирован точечный ограничитель и пусть точка фиксации есть (0,∆). Таким образом здесь u(0,t)≥∆. Записывая уравнение движения снова в виде нелинейного уравнения Клейна-Гордона, заметим, что при возникновении контакта струны с ограничителем, как отмечалось, ее серединная точка будет некоторое время покоится. Если t_k -начало k-го взаимодействия, а θ_k - его окончание: u(0,t)=∆, t∈[t_k,θ_k], то Ф(u)=-ΣR_k(t)δ(x)[η(t-t_k)-η(θ-θ_k)], где к -индексы по которым проводится суммирование,δ(x) и η(t) - δ-функция Диpaка и единичная функция Хевисайда;R_k(t)= u_x(-0,t) - u_x(+0,t) ≥0, t∈ [t_k,θ_k] - сила реакции ограничителя. При реализации строгого неравенства) контакт отсутствует. Действие точечного ограничителя равносильно систематическому дополнительному защемлению (в данном случае - середины) струны.

Подробное изложение данных проблем дано в [1]. (Поддержка РФФИ 05-08-50183).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

Крупенин В.Л. К описанию динамических эффектов, сопровождающих колебания струн вблизи однотавровых ограничителей // ДАН. 2003. № 388 (3). С.31- 38.

ИЗУЧЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ СПОСОБНОСТЕЙ УЧИТЕЛЕЙ ИЗОБРАЗИТЕЛЬНОГО ИСКУССТВА

Статья в формате PDF 219 KB...

22 05 2026 17:34:40

СПОСОБ УДАЛЕНИЯ ГОЛОЛЕДА С ПРОВОДОВ ЛИНИЙ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧ

Статья в формате PDF 499 KB...

21 05 2026 16:15:11

ИННОВАЦИОННЫЙ ПОДХОД К ОБУЧЕНИЮ ОБЩЕЙ ХИМИИ СТУДЕНТОВ МЕДИЦИНСКОГО ВУЗА

Химическая подготовка студентов медицинского вуза в значительной степени влияет на качество медицинского образования. Модульная структура курса общей химии для медиков, методическая система обучения, предложенные и внедренные на кафедре общей химии Кубанской государственной медицинской академии, позволяют создать условия для того, чтобы общая химия играла значимую роль в подготовке высококвалифицированного врача, в развитии и воспитании личности будущего медика. ...

20 05 2026 11:15:44

СИНДРОМ ПЕРОКСИДАЦИИ У СОБАК С ГЕМОЛИТИЧЕСКОЙ АНЕМИЕЙ

Статья в формате PDF 232 KB...

19 05 2026 6:28:33

ИММУНОМОДУЛИРУЮЩИЙ ЭФФЕКТ ПОЛИОКСИДОНИЯ ПРИ ОБОСТРЕНИЯХ БРОНХИАЛЬНОЙ АСТМЫ

Статья в формате PDF 119 KB...

18 05 2026 11:40:12

ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ К АНТИМИКОТИЧЕСКИМ ПРЕПАРАТАМ ДРОЖЖЕПОДОБНЫХ ГРИБОВ, ВЫДЕЛЕННЫХ У ПАЦИЕНТОК С ХРОНИЧЕСКИМ РЕЦИДИВИРУЮЩИМ КАНДИДОЗНЫМ ВУЛЬВОВАГИНИТОМ

Определены виды грибов рода Candida, выделенных из влагалища у 200 пациенток с хроническим рецидивирующим кандидозным вульвовaгинитом. Приоритетными видами возбудителя являлись С. pseudotropicаlis, C. krusei ( 32,5% и 37,5%). Определена чувствительность 67 наиболее часто выделяемых штаммов при данной патологии к нистатину, амфотерицину-В, клотримaзoлу. Грибы вида C.albicans в 56% исследований были чувствительны к трем антимикотическим препаратам. Субкультуры С."не-albicans" имели маркеры устойчивости к нистатину в 57% ,амфотерицину-В в 59%, клотримaзoлу 25% исследований. ...

17 05 2026 17:31:16

НРАВСТВЕННОСТЬ КАК ОСНОВА ОРГАНИЗАЦИИ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА

Статья в формате PDF 164 KB...

16 05 2026 3:35:35

ОБ ЭКОЛОГИЧЕСКИ ИНЕРТНЫХ ШЛАКАХ

Статья в формате PDF 89 KB...

15 05 2026 2:39:47

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ГРАДОСТРОЕНИИ

Статья в формате PDF 254 KB...

14 05 2026 12:10:40

ФОРМИРОВАНИЕ В РОССИЙСКИХ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОМПАНИЯХ ЦЕНТРОВ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ

Статья в формате PDF 156 KB...

13 05 2026 19:52:39

МЕТОДИКА ВЫЯВЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ РИТМИЧНОСТИ ПРОЦЕССА ПРОИЗВОДСТВА ПРОДУКЦИИ

Статья в формате PDF 122 KB...

12 05 2026 2:48:38

СТАНОВЛЕНИЕ БУДУЩЕГО СПЕЦИАЛИСТА В КОНТЕКСТЕ ИНТЕГРАЦИОННОГО ПОДХОДА В ВЫСШЕМ ТЕХНИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ

Статья в формате PDF 114 KB...

11 05 2026 10:14:31

СИНДРОМ «СУХОГО ГЛАЗА» В КРАСНОДАРСКОМ КРАЕ

Статья в формате PDF 132 KB...

10 05 2026 13:26:49

СУТОЧНАЯ ДИНАМИКА ГИПОТЕРМИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА МЕЛАТОНИНА У ЛИЦ ПОЖИЛОГО И СТАРЧЕСКОГО ВОЗРАСТА

Статья в формате PDF 114 KB...

09 05 2026 13:25:28

Развитие и становление топографии структур позвоночного столба в зарыдышевом периоде онтогенеза человека

Статья в формате PDF 103 KB...

08 05 2026 8:13:26

ВЕРОЯТНОСТНО-ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОДНОЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ПРИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ВРЕМЕНИ ОБСЛУЖИВАНИЯ И ВХОДНОМ ПОТОКЕ X2РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Статья в формате PDF 207 KB...

07 05 2026 14:49:15

ОЦЕНКА ЗДОРОВЬЯ КОРЕННОГО МАЛОЧИСЛЕННОГО НАСЕЛЕНИЯ КРАЙНЕГО СЕВЕРА ПРИ ЕГО ПРОМЫШЛЕННОМ ОСВОЕНИИ

Статья в формате PDF 107 KB...

06 05 2026 5:54:43

НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ КАЧЕСТВА ЖИЗНИ ШАХТЕРОВ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ РАЗЛИЧНЫХ СОЦИАЛЬНО-ГИГИЕНИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ

Статья в формате PDF 105 KB...

05 05 2026 1:35:49

ЭКОЛОГИЧЕСКИЙ МОНИТОРИНГ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕХНИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН В СИСТЕМЕ ПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТОВ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ

Статья в формате PDF 206 KB...

04 05 2026 0:35:24

ПРОБЛЕМЫ ПОДГОТОВКИ УЧИТЕЛЕЙ НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ К ОБУЧЕНИЮ МАТЕМАТИКЕ В СИСТЕМЕ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ СОВРЕМЕННОЙ РОССИИ

Статья в формате PDF 173 KB...

03 05 2026 17:33:32

Эпителиоциты желудка, иммуннопозитивные к NO-синтетазе, в формировании хронического холецистита

Статья в формате PDF 101 KB...

02 05 2026 10:34:25

СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ СОДЕРЖИМЫМ САЙТА

Статья в формате PDF 363 KB...

01 05 2026 16:54:13

БИОМЕХАНИКА НАТАЛЬНОЙ ТРАВМЫ ШЕЙНОГО ОТДЕЛА ПОЗВОНОЧНИКА У НОВОРОЖДЕННЫХ И НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ЕЁ ТЕЧЕНИЯ

Статья в формате PDF 305 KB...

30 04 2026 10:55:38

ИЗМЕНЕНИЕ КАПСУЛЫ СЕЛЕЗЕНКИ В УСЛОВИЯХ ХРОНИЧЕСКОЙ АЛКОГОЛЬНОЙ ИНТОКСИКАЦИИ

Статья посвящена актуальной проблеме – влиянию хронической алкогольной интоксикации на изменение структуры капсулы селезенки в раннем постнатальном онтогенезе. Дана сравнительная гистологическая хаpaктеристика капсулы с учетом зависимости изменений от различной концентрации потрeбляемого алкоголя. ...