К АНАЛИЗУ ПРОБЛЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ

Авторы
Файлы

Крупенин В.Л. Статья в формате PDF 104 KB

1. Нелинейные волновые процессы моделируются при помощи нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных. Если ограничится нелинейными аналогами волнового уравнения, то упомянутая модель может быть представлена в виде

u_tt - с²u_xx=h(u,u_t,u_x,t,x), (1)

h - нелинейная функция, структура которой определяется геометрическими и (или) физическими особенностями задачи. Раскладывая функцию h в ряд, в разных приближениях можно получать модели нелинейных волновых процессов. Нелинейные волновые эффекты весьма многочисленны и многообразны. В частности показывается, что при рассмотрении простейших нелинейных волновых моделей проявляются такие весьма хаpaктерные и важные явления как «деформирование» и «опрокидывание» профилей волн.

2. Рассмотрим примеры анализа нелинейных волн в так называемых виброударных системах с распределенными ударными элементами. Обозначим: u(x,t) - искомый прогиб. Пусть расстояние между струной и ограничителем равно Δ; 0<Δ<1. Имеем для определенности:

u(x,t)≤Δ<1, x [-½,½], t≥0. (2)

При реализации в первом соотношении строгого неравенства задача линейна и, ограничиваясь консервативным случаем имеем u≡u_tt-u_xx=0. Пусть: u(±½,t)=0, u(x,0)= u₀(x) ≤0, u_t(x,0)= 0.Гладкость функции u₀(x) такова, что (хотя бы в обобщенном смысле) обеспечивается существование и единственность решение задачи Коши в соответствующей линейной системе. При реализации контакта ограничитель действует на струну «от себя» поэтому при u>0:

u≤0 (3)

Условие аналогичное (3) эквивалентно дозвуковому распространению взаимодействий.Потребуем: suppu⊂ {(x,t); u(x,t)=Δ, где символ «supp» обозначает носитель обобщенной функции. Считая, что при взаимодействии энергия не теряется, постулируем здесь выполнение, имеющего место в соответствующей линейной системе соотношения, выражающего закон сохранения энергии, т.е. в смысле обобщенных функций ∂ ⁄∂t(|u_t|+|u_x|)=∂ ⁄∂x(2u_tu_x).Это соотношение постулируется и выражает, в частности, гиротезу удара:

u_t(x, t-0)=-u_t(x, t+0), (x,t) ∈ suppu, u(x,t)=Δ. (4)

Данные определяют гипотезу удара взаимодействия струны об ограничителем без учета потерь энергии. Данную задачу можно символически записать в виде нелинейного уравнения Клейна - Гордона u+Ф(u)=0, где обобщенная функция Ф(u) определяется указанными соотношениями.

Постановка задачи о поляризованных колебаниях струны, находящейся, например, в трубе, вполне аналогична. Вместо неравенства (2) имеем двойное неравенство u^≤_≥0.

3. Постановка задачи о взаимодействии струны с точечным ограничителем принципиально отличается от предыдущих, так как при достижении точечного ограничителя, струна некоторое время покоится на нем и мы имеем в определенном смысле аналог гипотезы об абсолютно неупругом ударе. При этом гипотеза взаимодействия подразумевает, что потери энергии отсутствуют. Обсуждение моделей диссипации энергии в системах с распределенными ударными элементами не проводится.

Пусть в плоскости колебаний струны зафиксирован точечный ограничитель и пусть точка фиксации есть (0,∆). Таким образом здесь u(0,t)≥∆. Записывая уравнение движения снова в виде нелинейного уравнения Клейна-Гордона, заметим, что при возникновении контакта струны с ограничителем, как отмечалось, ее серединная точка будет некоторое время покоится. Если t_k -начало k-го взаимодействия, а θ_k - его окончание: u(0,t)=∆, t∈[t_k,θ_k], то Ф(u)=-ΣR_k(t)δ(x)[η(t-t_k)-η(θ-θ_k)], где к -индексы по которым проводится суммирование,δ(x) и η(t) - δ-функция Диpaка и единичная функция Хевисайда;R_k(t)= u_x(-0,t) - u_x(+0,t) ≥0, t∈ [t_k,θ_k] - сила реакции ограничителя. При реализации строгого неравенства) контакт отсутствует. Действие точечного ограничителя равносильно систематическому дополнительному защемлению (в данном случае - середины) струны.

Подробное изложение данных проблем дано в [1]. (Поддержка РФФИ 05-08-50183).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

Крупенин В.Л. К описанию динамических эффектов, сопровождающих колебания струн вблизи однотавровых ограничителей // ДАН. 2003. № 388 (3). С.31- 38.

КООПЕРАТИВНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В БИНАРНЫХ СПЛАВАХ

Статья в формате PDF 101 KB...

19 04 2024 11:47:37

Проблемы комплексной терапии нейрогенных дисфункций мочевыводящих путей у детей

Статья в формате PDF 104 KB...

18 04 2024 21:25:43

МОРФОКОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ СИНАПСОВ В ПЕРЕДНИХ РОГАХ СЕРОГО ВЕЩЕСТВА СПИННОГО МОЗГА ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ, С ПРЕДШЕСТВУЮЩИМ ПРИМЕНЕНИЕМ ДВИГАТЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ

Статья в формате PDF 125 KB...

17 04 2024 2:55:26

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ АКТИВНОСТЬ ИММУНО-КОМПЕТЕНТНЫХ КЛЕТОК ПРИ ГЕСТАЦИОННОМ ПИЕЛОНЕФРИТЕ

Статья в формате PDF 130 KB...

16 04 2024 23:36:29

БЕЛКОВЫЙ СПЕКТР МЕМБРАН ЭРИТРОЦИТОВ В УСЛОВИЯХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ОСТРОГО ПАНКРЕАТИТА И ХОЛАНГИТА

Статья в формате PDF 111 KB...

15 04 2024 3:46:33

СОВРЕМЕННАЯ КОНЦЕПЦИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ ХИМИИ ПРИРОДНЫХ ВОД НА ЕСТЕСТВЕННЫХ ФАКУЛЬТЕТАХ

Статья в формате PDF 226 KB...

14 04 2024 12:20:51

СОСТОЯНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ГОМЕОСТАЗА ГЕПАТОЦИТОВ В УСЛОВИЯХ ОСТРОЙ ИШЕМИИ ПЕЧЕНИ

Статья в формате PDF 86 KB...

13 04 2024 12:22:23

АКТУАЛЬНОСТЬ БИОХИМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ ЖИВОТНЫХ И РАСТИТЕЛЬНЫХ ОРГАНИЗМОВ КОЛЬСКОГО СЕВЕРА

Статья в формате PDF 95 KB...

12 04 2024 14:58:57

ФРАКТАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ РЕЖИМОВ ТЕРМООКИСЛИТЕЛЬНОЙ ДЕСТРУКЦИИ ПОЛИМЕРНЫХ РАСПЛАВОВ

Статья в формате PDF 120 KB...

11 04 2024 6:38:10

АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВНУТРИБОЛЬНИЧНЫХ ИНФЕКЦИЙ ОТ ОРГАНИЗАЦИИ труда медицинского персонала многопрофильной ведомственной медицинской организации

Статья в формате PDF 251 KB...

10 04 2024 10:32:54

ИННОВАЦИОННЫЕ ПЕРСПЕКТИВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТЯЖЕЛОЙ СМОЛЫ ПИРОЛИЗА

Статья в формате PDF 92 KB...

09 04 2024 19:22:18

СПАМ-ФИЛЬТРЫ И БЛОКИРАТОРЫ

Статья в формате PDF 276 KB...

08 04 2024 11:34:10

ФОРМИРОВАНИЕ ЛИНГВОЭКОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБРАЗОВАНИЯ В МАРИЙ ЭЛ

Статья в формате PDF 299 KB...

07 04 2024 3:29:58

О РОЛИ СИНУСА ДЮВАЛЯ В ПЛАЦЕНТЕ БЕЛОЙ КРЫСЫ В ПЕРИОД ФИЗИОЛОГИЧЕСКОЙ БЕРЕМЕННОСТИ

Статья в формате PDF 110 KB...

06 04 2024 22:59:15

ОЦЕНКА ГИБРИДОВ ТОМАТОВ ДЛЯ ПЛЕНОЧНЫХ ТЕПЛИЦ

Статья в формате PDF 145 KB...

05 04 2024 2:29:27

КОРРЕЛЯТИВНЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Рассмотрены корреляты как дополнительные параметры описания объектов. Рассмотрены виды коррелят. Раскрывается понятие коррелятивные показатели. Показано, как влияют корреляты на качество анализа и оценки. Для этого использовано понятие информационная модель объекта. Введено понятие коррелятивной информационной модели объекта (КИМО) Введено понятие производного коррелятивного показателя. (ПКП) Показано, что использование коррелятивного показателя позволяет создавать нелинейные экономико-математические модели. Эти нелинейные модели дают более точное описание изменения стоимости комплексов из разных объектов при существенном влиянии коньюнктурных факторов. Раскрыты основы коррелятивного подхода как инструмента описания, анализа и экономической оценки. Приведены примеры использования коррелятивного подхода. Показаны преимущества коррелятивного подхода. ...