К ПРОБЛЕМЕ ПОСТРОЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ 2D СИСТЕМ > Полезные советы
Тысяча полезных мелочей    

К ПРОБЛЕМЕ ПОСТРОЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ 2D СИСТЕМ

К ПРОБЛЕМЕ ПОСТРОЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ 2D СИСТЕМ

Крупенин В.Л. Статья в формате PDF 113 KB

1. В работе выводятся операторные и интегральные уравнения движения 2D систем. Рассмотрим два семейство взаимно перпендикулярных упругих одинаковых линейных струн, защемленных на концах и имеющих соответственно длины L1 и L2. Каждая струна нумеруется при помощи индексов k = 0,1,2,., N1 и q = 0,1,2.. N2. Пусть струны образуют решетчатую 2D систему. В точках сопряжения помещены абсолютно твердые тела массами m. Главная особенность системы - ее состояние дается матрицей прогибов объекта в узлах.

Предположения: прямоугольные ячейки одинаковы; решетка - анизотропна; струнные элементы - безынерционны. Пусть силы диссипации, вынуждающие силы, а также любые другие неконсервативные силы - малы. Обозначив их εgkq(t, ukq, kq,...), ε - малый параметр. Так как каждая частица лежит одновременно на двух струнах, то для всех значений индексов имеем
N уравнений [N= (N1 -1)(N2-1)]:

m kq+c1(2ukq-u(k-1,q)- u(k+1,q))+c2(2ukq-u(k,q-1)- u(k,q+1))=  εgkq(t, ukq, kq,...),                         (1)

где: с1,2 - коэффициенты упругости. Граничные условия: ukq=0, при k=0;N1; q=0;N2.

2. Приведем операторные уравнения движения, следующие из уравнений (1). В соответствии с общими методиками [1, 2,] построим оператор динамической податливости:

 ,

В данном случае выражение Lkq,nj(p) обозначает проходной оператор [1], ставящей в соответствие силе, приложенной в узле (n,j) перемещение узла (k,q). При n=k, j=q - имеем локальные операторы динамической податливости [2], отвечающие перемещению узла, вследствие силы, приложенной в нем самом. Для рассматриваемой  системы принцип  взаимности  записывается как  Lkq,nj(p)  == Lnj,kq (p).

Система уравнений движения (1) при этом разрешается в виде:

где ε||gkq|| - матрица внешних сил, приложенных в узлах решетки, что покомпонентно записывается так:

      (2)

Выражения для операторов динамических податливостей полностью определяются наборами собственных частот {Ωkq} и нормированных коэффициентов собственных форм.

kq} линейной системы [2].Используя результаты, данные в монографии [1] для решетки рассматриваемого типа:


С=const. При этом в силу выбранных граничных условий n = 1,2,... N1-1 и также j = 1,2,... N2-1. В соответствии с методами построения операторов динамической податливости [2] можно получить для компонентов оператора (p), определяющих (2):

.                    (5)

Здесь введен нормировочный коэффициент ζ , который, в общих случаях удобнее всего вычислять при конкретно заданных параметрах системы. В данном случае можно положить: ζ=2[(N1-1)(N2-1)]-2.

3. Операторное представление (2) - универсально. Внося конкретизирующие предположения, можно получить простые представления для реализации формулы (2).

Если правые части (1) периодичны по времени с периодом Т: при всех k и q,то. отыскивая Т - периодическое решение, можно воспользоваться методами интегральных представлений периодических решений [2]:

                     (5)

где функции Χkq,nj(t-s) называются Т - периодическими функциями Грина (ПФГ) [2-4] - проходными (k¹n; q¹j) или локальными (k=n; q=j) и определяются соответствующим оператором динамической податливости так (T=2πω-1):

ПФГ Χkq,nj (t) - реакция узла (k,q) на силовое воздействие, приложенное в узле (n,j) и описываемое Т - периодической последовательностью δ-функций Диpaка -  δT(t): определению

Эту обобщенную функцию можно разложить в сходящийся в обобщенном смысле ряд Фурье вида:

Работа выполнена при поддержке РФФИ (Проект 05-08-50183).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Нагаев Р.Ф., Ходжаев К.Ш. Колебания механических систем с периодической структурой. - Ташкент: ФАН, 1973. - 272 с.
  2. Бабицкий В.И., Крупенин В.Л. Колебания в сильно нелинейных системах. - М., Наука, 1985. - 384 с.


ГОРМОНИЗАЦИЯ НООСФЕРЫ И СОВРЕМЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

ГОРМОНИЗАЦИЯ НООСФЕРЫ И СОВРЕМЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ Статья в формате PDF 89 KB...

18 01 2023 17:15:24

ЛАЗЕР КАК ИСТОЧНИК АКТИВНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

ЛАЗЕР КАК ИСТОЧНИК АКТИВНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ Статья в формате PDF 311 KB...

16 01 2023 2:54:31

НПВС В КОМПЛЕКСНОЙ ТЕРАПИИ РОЖИ

Статья в формате PDF 121 KB...

13 01 2023 9:16:41

ВЫБОР ВОЗДУХООЧИСТИТЕЛЬНОГО ОБОРУДОВАНИЯ

ВЫБОР ВОЗДУХООЧИСТИТЕЛЬНОГО ОБОРУДОВАНИЯ Статья в формате PDF 272 KB...

02 01 2023 3:57:46

НОВЫЕ МЕТОДЫ ОБОГРЕВА ЖИЛИЩА ЧЕЛОВЕКА

НОВЫЕ МЕТОДЫ ОБОГРЕВА ЖИЛИЩА ЧЕЛОВЕКА Статья в формате PDF 134 KB...

31 12 2022 12:58:56

РЕКОМБИНАЦИОННЫЙ МОРФОГЕНЕЗ ЛИМФАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В ПРЕНАТАЛЬНОМ ОНТОГЕНЕЗЕ ЧЕЛОВЕКА

РЕКОМБИНАЦИОННЫЙ МОРФОГЕНЕЗ ЛИМФАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В ПРЕНАТАЛЬНОМ ОНТОГЕНЕЗЕ ЧЕЛОВЕКА Морфогенез лимфатической системы является результатом взаимодействия сосудов разного типа, растущих неравномерно. Его формы меняются так же, как строение и топография сосудов, их сочетания в связи с органогенезом. Поэтому морфогенез лимфатической системы протекает как процесс рекомбинации артерий и вен, а затем и лимфатических сосудов, служит проявлением самодифференциации сердечно-сосудистой системы, когда ее части вступают в повторное взаимодействие, в т.ч. и после их трaнcформации. ...

27 12 2022 3:26:54

ИЗУЧЕНИЕ ТОКСИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СОЛИ ЛИТИЯ ЦИТРАТА

ИЗУЧЕНИЕ ТОКСИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СОЛИ ЛИТИЯ ЦИТРАТА Статья в формате PDF 108 KB...

23 12 2022 14:55:20

САТУРАТОРЫ ИНЖЕКТОРНОГО ТИПА

САТУРАТОРЫ ИНЖЕКТОРНОГО ТИПА Статья в формате PDF 91 KB...

21 12 2022 2:55:10

Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::