К ПРОБЛЕМЕ ПОСТРОЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ 2D СИСТЕМ

Авторы
Файлы

Крупенин В.Л. Статья в формате PDF 113 KB

1. В работе выводятся операторные и интегральные уравнения движения 2D систем. Рассмотрим два семейство взаимно перпендикулярных упругих одинаковых линейных струн, защемленных на концах и имеющих соответственно длины L₁и L₂. Каждая струна нумеруется при помощи индексов k = 0,1,2,., N₁и q = 0,1,2.. N₂. Пусть струны образуют решетчатую 2D систему. В точках сопряжения помещены абсолютно твердые тела массами m. Главная особенность системы - ее состояние дается матрицей прогибов объекта в узлах.

Предположения: прямоугольные ячейки одинаковы; решетка - анизотропна; струнные элементы - безынерционны. Пусть силы диссипации, вынуждающие силы, а также любые другие неконсервативные силы - малы. Обозначив их εg_kq(t, u_kq, _kq,...), ε - малый параметр. Так как каждая частица лежит одновременно на двух струнах, то для всех значений индексов имеем
N уравнений [N= (N₁-1)(N₂-1)]:

m _kq+c₁(2u_kq-u₍_k_-1,_q₎- u₍_k_+1,_q₎)+c₂(2u_kq-u₍_k_,_q_-1)- u₍_k_,_q₊₁₎)= εg_kq(t, u_kq, _kq,...), (1)

где: с_1,2- коэффициенты упругости. Граничные условия: u_kq=0, при k=0;N₁; q=0;N₂.

2. Приведем операторные уравнения движения, следующие из уравнений (1). В соответствии с общими методиками [1, 2,] построим оператор динамической податливости:

В данном случае выражение L_kq_,_nj(p) обозначает проходной оператор [1], ставящей в соответствие силе, приложенной в узле (n,j) перемещение узла (k,q). При n=k, j=q - имеем локальные операторы динамической податливости [2], отвечающие перемещению узла, вследствие силы, приложенной в нем самом. Для рассматриваемой системы принцип взаимности записывается как L_kq_,_nj(p) == L_nj_,_kq(p).

Система уравнений движения (1) при этом разрешается в виде:

где ε||g_kq|| - матрица внешних сил, приложенных в узлах решетки, что покомпонентно записывается так:

(2)

Выражения для операторов динамических податливостей полностью определяются наборами собственных частот {Ω_kq} и нормированных коэффициентов собственных форм.

{Θ_kq} линейной системы [2].Используя результаты, данные в монографии [1] для решетки рассматриваемого типа:

С=const. При этом в силу выбранных граничных условий n = 1,2,... N₁-1 и также j = 1,2,... N₂-1. В соответствии с методами построения операторов динамической податливости [2] можно получить для компонентов оператора (p), определяющих (2):

. (5)

Здесь введен нормировочный коэффициент ζ , который, в общих случаях удобнее всего вычислять при конкретно заданных параметрах системы. В данном случае можно положить: ζ=2[(N₁-1)(N₂-1)]^-2.

3. Операторное представление (2) - универсально. Внося конкретизирующие предположения, можно получить простые представления для реализации формулы (2).

Если правые части (1) периодичны по времени с периодом Т: при всех k и q,то. отыскивая Т - периодическое решение, можно воспользоваться методами интегральных представлений периодических решений [2]:

(5)

где функции Χ_kq_,_nj(t-s) называются Т - периодическими функциями Грина (ПФГ) [2-4] - проходными (k¹n; q¹j) или локальными (k=n; q=j) и определяются соответствующим оператором динамической податливости так (T=2πω^-1):

ПФГ Χ_kq_,_nj (t) - реакция узла (k,q) на силовое воздействие, приложенное в узле (n,j) и описываемое Т - периодической последовательностью δ-функций Диpaка - δ^T(t): определению

Эту обобщенную функцию можно разложить в сходящийся в обобщенном смысле ряд Фурье вида:

Работа выполнена при поддержке РФФИ (Проект 05-08-50183).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

Нагаев Р.Ф., Ходжаев К.Ш. Колебания механических систем с периодической структурой. - Ташкент: ФАН, 1973. - 272 с.
Бабицкий В.И., Крупенин В.Л. Колебания в сильно нелинейных системах. - М., Наука, 1985. - 384 с.

КУЛЬТУРНОЕ НАСЛЕДИЕ СТАВРОПОЛЬЯ: ИСТОРИЯ И СОВРЕМЕННОСТЬ

Статья в формате PDF 141 KB...