К ПРОБЛЕМЕ ПОСТРОЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ 2D СИСТЕМ

Авторы
Файлы

Крупенин В.Л. Статья в формате PDF 113 KB

1. В работе выводятся операторные и интегральные уравнения движения 2D систем. Рассмотрим два семейство взаимно перпендикулярных упругих одинаковых линейных струн, защемленных на концах и имеющих соответственно длины L₁и L₂. Каждая струна нумеруется при помощи индексов k = 0,1,2,., N₁и q = 0,1,2.. N₂. Пусть струны образуют решетчатую 2D систему. В точках сопряжения помещены абсолютно твердые тела массами m. Главная особенность системы - ее состояние дается матрицей прогибов объекта в узлах.

Предположения: прямоугольные ячейки одинаковы; решетка - анизотропна; струнные элементы - безынерционны. Пусть силы диссипации, вынуждающие силы, а также любые другие неконсервативные силы - малы. Обозначив их εg_kq(t, u_kq, _kq,...), ε - малый параметр. Так как каждая частица лежит одновременно на двух струнах, то для всех значений индексов имеем
N уравнений [N= (N₁-1)(N₂-1)]:

m _kq+c₁(2u_kq-u₍_k_-1,_q₎- u₍_k_+1,_q₎)+c₂(2u_kq-u₍_k_,_q_-1)- u₍_k_,_q₊₁₎)= εg_kq(t, u_kq, _kq,...), (1)

где: с_1,2- коэффициенты упругости. Граничные условия: u_kq=0, при k=0;N₁; q=0;N₂.

2. Приведем операторные уравнения движения, следующие из уравнений (1). В соответствии с общими методиками [1, 2,] построим оператор динамической податливости:

В данном случае выражение L_kq_,_nj(p) обозначает проходной оператор [1], ставящей в соответствие силе, приложенной в узле (n,j) перемещение узла (k,q). При n=k, j=q - имеем локальные операторы динамической податливости [2], отвечающие перемещению узла, вследствие силы, приложенной в нем самом. Для рассматриваемой системы принцип взаимности записывается как L_kq_,_nj(p) == L_nj_,_kq(p).

Система уравнений движения (1) при этом разрешается в виде:

где ε||g_kq|| - матрица внешних сил, приложенных в узлах решетки, что покомпонентно записывается так:

(2)

Выражения для операторов динамических податливостей полностью определяются наборами собственных частот {Ω_kq} и нормированных коэффициентов собственных форм.

{Θ_kq} линейной системы [2].Используя результаты, данные в монографии [1] для решетки рассматриваемого типа:

С=const. При этом в силу выбранных граничных условий n = 1,2,... N₁-1 и также j = 1,2,... N₂-1. В соответствии с методами построения операторов динамической податливости [2] можно получить для компонентов оператора (p), определяющих (2):

. (5)

Здесь введен нормировочный коэффициент ζ , который, в общих случаях удобнее всего вычислять при конкретно заданных параметрах системы. В данном случае можно положить: ζ=2[(N₁-1)(N₂-1)]^-2.

3. Операторное представление (2) - универсально. Внося конкретизирующие предположения, можно получить простые представления для реализации формулы (2).

Если правые части (1) периодичны по времени с периодом Т: при всех k и q,то. отыскивая Т - периодическое решение, можно воспользоваться методами интегральных представлений периодических решений [2]:

(5)

где функции Χ_kq_,_nj(t-s) называются Т - периодическими функциями Грина (ПФГ) [2-4] - проходными (k¹n; q¹j) или локальными (k=n; q=j) и определяются соответствующим оператором динамической податливости так (T=2πω^-1):

ПФГ Χ_kq_,_nj (t) - реакция узла (k,q) на силовое воздействие, приложенное в узле (n,j) и описываемое Т - периодической последовательностью δ-функций Диpaка - δ^T(t): определению

Эту обобщенную функцию можно разложить в сходящийся в обобщенном смысле ряд Фурье вида:

Работа выполнена при поддержке РФФИ (Проект 05-08-50183).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

Нагаев Р.Ф., Ходжаев К.Ш. Колебания механических систем с периодической структурой. - Ташкент: ФАН, 1973. - 272 с.
Бабицкий В.И., Крупенин В.Л. Колебания в сильно нелинейных системах. - М., Наука, 1985. - 384 с.

УПРАВЛЕНИЕ ТУРИСТСКИМ И САНАТОРНО-КУРОРТНЫМ СЕКТОРОМ ЭКОНОМИКИ НА УРОВЕНЬ СОВРЕМЕННЫХ ТРЕБОВАНИЙ

Статья в формате PDF 163 KB...

11 08 2026 2:30:25

ПОВЫШЕНИЕ РОЛИ ВУЗОВСКОЙ НАУКИ В ВЫПОЛНЕНИИ НАЦИОНАЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ПО ЖИЛИЩНОМУ СТРОИТЕЛЬСТВУ

Статья в формате PDF 153 KB...

10 08 2026 0:25:11

РОЛЬ ЗАНЯТИЙ БАСКЕТБОЛОМ В ФОРМИРОВАНИИ ЛИЧНОСТИ

Статья в формате PDF 326 KB...

09 08 2026 13:39:58

«ПРАКТИЧЕСКИЙ КУРС АНГЛИЙСКОГО ЯЗЫКА» КАК ПРЕЛЮДИЯ К КУРСУ ОБУЧЕНИЯ ПЕРЕВОДУ

Статья в формате PDF 117 KB...

08 08 2026 7:18:16

ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕЦИФИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ НЕКОТОРЫХ РАСТИТЕЛЬНЫХ ЭКСТРАКТОВ

Статья в формате PDF 119 KB...

07 08 2026 5:22:19

ОСОБЕННОСТИ МИКРОБИОТЫ КОЖИ ПРИ УРОЛОГИЧЕСКИХ ИНФЕКЦИЯХ

Статья в формате PDF 92 KB...

06 08 2026 5:54:19

МЕТОДИКА ВЫБОРА МЕСТ РАСПОЛОЖЕНИЯ БАНКОМАТОВ

Статья в формате PDF 508 KB...

05 08 2026 3:12:15

Особенности структурной организации первичной почки у эмбрионов человека

Статья в формате PDF 102 KB...

04 08 2026 22:51:21

Закономерности экспертных оценок рисков сотрудничества в образовании России и Европейского Союза

Явная неопределенность поведения сферы образования вызывает значимые риски. Во многом они связаны с самими экспертами и их группами, имеющими свои корпоративные интересы. Факторы риска промоделированы по статистическим данным идентификацией устойчивых закономерностей в виде тенденций (трендов) и показана методика анализа. Даны рейтинговые места экспертным оценкам. Анализ закономерностей показал, что в России нужно повышать чувствительность экспертов к реальной действительности, а также к адекватному представлению сценариев долгосрочной перспективы развития. Пока не будет результатов в реформах образования, нечего ждать и формирования инновационной экономики. Ведь из мировой пpaктики известно, цикл пассионарной активности опережает цикл экономического возрождения на 3–5 лет. ...

03 08 2026 3:53:23

ТОПОГРАФИЯ КРАНИАЛЬНЫХ БРЫЖЕЕЧНЫХ ЛИМФАТИЧЕСКИХ УЗЛОВ У МОРСКОЙ СВИНКИ

Краниальные брыжеечные лимфатические узлы морской свинки размещаются вдоль ствола одноименной артерии и около конца подвздошно-ободочной артерии (центральные и периферические узлы). ...

02 08 2026 3:39:35

ОСОБЕННОСТИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ И ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ КОМПЬЮТЕРНЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ

Статья в формате PDF 115 KB...

01 08 2026 19:43:11

ДЕЙСТВИЕ ЭМИ, ПРИРОДНЫХ ФЛАВОНОИДОВ И СИНТЕТИЧЕСКИХ ВЕЩЕСТВ НА ПРОЦЕССЫ ОКИСЛИТЕЛЬНОГО ФОСФОРИЛИРОВАНИЯ МИТОХОНДРИЙ

Статья в формате PDF 307 KB...

31 07 2026 11:50:20

ПРОБЛЕМЫ ЭТИОЛОГИИ И ПАТОГЕНЕЗА ГЕСТОЗА

В обзоре изложены современные представления об этиологии и патогенезе гестоза. Рассмотрена роль иммунокомплексной патологии как пускового механизма в развитии гестоза, значение нарушения продукции плацентой цитокинов с иммуносупрессивным действием при осложненном течении беременности. Проведен анализ данных литературы относительно роли недостаточности вазодилатирующих факторов, в частности, оксида азота в патогенезе гестоза. Оценена роль активации системы ренин-ангиотензин-альдостерон, интенсификации процессов перекисного окисления липидов как факторов развития гипертензивного синдрома при беременности. ...

30 07 2026 20:52:46

ВЛИЯНИЕ ПОВЕРХНОСТНОЙ ОБРАБОТКИ НА УСТАЛОСТНУЮ ПРОЧНОСТЬ И МЕХАНИЗМ РАЗРУШЕНИЯ ЛИТЕЙНЫХ АЛЮМИНИЕВЫХ СПЛАВОВ

Статья в формате PDF 143 KB...

29 07 2026 1:21:10

РОЛЬ ДЕЯТЕЛЬНОСТНОГО ПОДХОДА В СОВРЕМЕННЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЯХ

Статья в формате PDF 227 KB...

28 07 2026 4:11:55

ФАКТОРЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ КОНКУРЕНТОСПОСОБНОСТИ ТОВАРОВ

Статья в формате PDF 93 KB...

27 07 2026 17:35:30

КАЧЕЛИ ЛЕДНИКОВЫХ ПЕРИОДОВ

Поскольку средняя температура Земли очень медленно уменьшается из-за удаления от Солнца вследствие расширения Вселенной, то достаточно резкие изменения температуры в пределах нескольких градусов могут происходить только в результате прострaнcтвенных и временных колебаний на самой планете. Такие колебания происходят чередованием ледниковых периодов на северных побережьях Атлантического и Тихого океанов. Анализ длительности ледниковых периодов и межледниковий Атлантического побережья позволяет утверждать, что такие качели действительно существуют, и в настоящее время происходит смена Тихоокеанского оледенения Атлантическим. Данная гипотеза позволит объяснить гибель динозавров, эволюцию лошади, расселение человека и прогнозировать глобальные изменения климата. ...

26 07 2026 4:25:34

Иксодовые клещи и их эпидемиологическое значение в Ивановской области

Статья в формате PDF 256 KB...

25 07 2026 23:50:22

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОТИВОАНЕМИЧЕСКИХ ПРЕПАРАТОВ В ПРИГОТОВЛЕНИИ ХЛЕБА

Статья в формате PDF 112 KB...

24 07 2026 12:56:17

МОЛЕКУЛЫ СРЕДНЕЙ МАССЫ КАК СУБСТРАТ ЭНДОГЕННОЙ ИНТОКСИКАЦИИ ПРИ ТЯЖЕЛЫХ ДЕРМАТОЗАХ

Изучен качественный и количественный состав молекул средней массы, выделенных из плазмы крови и патологического эпидермиса больных хроническими, тяжелыми дерматозами. В эксперименте in vitro на эритроцитах здоровых лиц установлено, что данные МСМ активируют перекисное окисление липидов, увеличивают сорбционную емкость эритроцитов и влияют на активность ферментов биотрaнcформации. Это позволяет считать, что при дерматозах развивается эндогенная интоксикация как общебиологическая реакция на патологически измененный метаболизм, обусловленная накоплением в крови молекул средней массы. ...