К ПРОБЛЕМЕ ПОСТРОЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ 2D СИСТЕМ

Авторы
Файлы

Крупенин В.Л. Статья в формате PDF 113 KB

1. В работе выводятся операторные и интегральные уравнения движения 2D систем. Рассмотрим два семейство взаимно перпендикулярных упругих одинаковых линейных струн, защемленных на концах и имеющих соответственно длины L₁и L₂. Каждая струна нумеруется при помощи индексов k = 0,1,2,., N₁и q = 0,1,2.. N₂. Пусть струны образуют решетчатую 2D систему. В точках сопряжения помещены абсолютно твердые тела массами m. Главная особенность системы - ее состояние дается матрицей прогибов объекта в узлах.

Предположения: прямоугольные ячейки одинаковы; решетка - анизотропна; струнные элементы - безынерционны. Пусть силы диссипации, вынуждающие силы, а также любые другие неконсервативные силы - малы. Обозначив их εg_kq(t, u_kq, _kq,...), ε - малый параметр. Так как каждая частица лежит одновременно на двух струнах, то для всех значений индексов имеем
N уравнений [N= (N₁-1)(N₂-1)]:

m _kq+c₁(2u_kq-u₍_k_-1,_q₎- u₍_k_+1,_q₎)+c₂(2u_kq-u₍_k_,_q_-1)- u₍_k_,_q₊₁₎)= εg_kq(t, u_kq, _kq,...), (1)

где: с_1,2- коэффициенты упругости. Граничные условия: u_kq=0, при k=0;N₁; q=0;N₂.

2. Приведем операторные уравнения движения, следующие из уравнений (1). В соответствии с общими методиками [1, 2,] построим оператор динамической податливости:

В данном случае выражение L_kq_,_nj(p) обозначает проходной оператор [1], ставящей в соответствие силе, приложенной в узле (n,j) перемещение узла (k,q). При n=k, j=q - имеем локальные операторы динамической податливости [2], отвечающие перемещению узла, вследствие силы, приложенной в нем самом. Для рассматриваемой системы принцип взаимности записывается как L_kq_,_nj(p) == L_nj_,_kq(p).

Система уравнений движения (1) при этом разрешается в виде:

где ε||g_kq|| - матрица внешних сил, приложенных в узлах решетки, что покомпонентно записывается так:

(2)

Выражения для операторов динамических податливостей полностью определяются наборами собственных частот {Ω_kq} и нормированных коэффициентов собственных форм.

{Θ_kq} линейной системы [2].Используя результаты, данные в монографии [1] для решетки рассматриваемого типа:

С=const. При этом в силу выбранных граничных условий n = 1,2,... N₁-1 и также j = 1,2,... N₂-1. В соответствии с методами построения операторов динамической податливости [2] можно получить для компонентов оператора (p), определяющих (2):

. (5)

Здесь введен нормировочный коэффициент ζ , который, в общих случаях удобнее всего вычислять при конкретно заданных параметрах системы. В данном случае можно положить: ζ=2[(N₁-1)(N₂-1)]^-2.

3. Операторное представление (2) - универсально. Внося конкретизирующие предположения, можно получить простые представления для реализации формулы (2).

Если правые части (1) периодичны по времени с периодом Т: при всех k и q,то. отыскивая Т - периодическое решение, можно воспользоваться методами интегральных представлений периодических решений [2]:

(5)

где функции Χ_kq_,_nj(t-s) называются Т - периодическими функциями Грина (ПФГ) [2-4] - проходными (k¹n; q¹j) или локальными (k=n; q=j) и определяются соответствующим оператором динамической податливости так (T=2πω^-1):

ПФГ Χ_kq_,_nj (t) - реакция узла (k,q) на силовое воздействие, приложенное в узле (n,j) и описываемое Т - периодической последовательностью δ-функций Диpaка - δ^T(t): определению

Эту обобщенную функцию можно разложить в сходящийся в обобщенном смысле ряд Фурье вида:

Работа выполнена при поддержке РФФИ (Проект 05-08-50183).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

Нагаев Р.Ф., Ходжаев К.Ш. Колебания механических систем с периодической структурой. - Ташкент: ФАН, 1973. - 272 с.
Бабицкий В.И., Крупенин В.Л. Колебания в сильно нелинейных системах. - М., Наука, 1985. - 384 с.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЯВНЫЕ ОДНОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Статья в формате PDF 251 KB...

12 06 2026 10:56:38

ЭКОЛОГИЧЕСКАЯ МОРФОЛОГИЯ КЛЕТОК ПЕРИФЕРИЧЕСКОЙ КРОВИ В НОРМЕ И ПАТОЛОГИИ

Статья в формате PDF 120 KB...

11 06 2026 4:19:56

СИСТЕМА ПЛАНИРОВАНИЯ ПРЕДПРИЯТИЙ ЛПК В УСЛОВИЯХ МИРОВОГО ФИНАНСОВОГО КРИЗИСА

Статья в формате PDF 269 KB...

10 06 2026 8:33:53

ГАРМОНИЗАЦИЯ МЫСЛИТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ С ПОМОЩЬЮ «I-M-@-G-O»-ТЕХНОЛОГИЙ

Статья в формате PDF 181 KB...

09 06 2026 4:12:43

К ВОПРОСУ ОБ АНОМАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ТАЛОЙ ВОДЫ (ЧАСТЬ ВТОРАЯ)

Статья в формате PDF 281 KB...

08 06 2026 2:43:32

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ АКТИВНЫХ ВИДОВ РЕКРЕАЦИИ НА ОРГАНИЗМ ОТДЫХАЮЩИХ, ЗАНИМАЮЩИХСЯ СНОУБОРДИНГОМ НА ГОРНОКЛИМАТИЧЕСКОМ КУРОРТЕ «КРАСНАЯ ПОЛЯНА»

Статья в формате PDF 107 KB...

07 06 2026 22:19:49

Структурно-метаболические показатели гранулезы и кумулюса в процессе селекции овариальных фолликулов

Статья в формате PDF 104 KB...

06 06 2026 22:13:42

ЭКОНОМИКА СЕМЬИ: ПРОБЛЕМЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ

Статья в формате PDF 308 KB...

05 06 2026 23:12:36

НОВЫЕ ГЕРОПРОТЕКТОРЫ AGEXPERT MALE И AGEXPERT FEMALE

Статья в формате PDF 104 KB...

04 06 2026 19:12:38

МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ ЗАКРУЧЕННЫХ ПОТОКОВ В ЗАМКНУТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КАНАЛАХ

Статья в формате PDF 1235 KB...

03 06 2026 10:53:31

ОСОБЕННОСТИ АУТОРЕГУЛЯЦИИ КРОВОСНАБЖЕНИЯ НИЖНИХ КОНЕЧНОСТЕЙ У БОЛЬНЫХ С СИНДРОМОМ ДИАБЕТИЧЕСКОЙ СТОПЫ

Статья в формате PDF 120 KB...

02 06 2026 21:19:43

ОСОБЕННОСТИ МАНИФЕСТАЦИИ СОМАТИЧЕСКИХ ЗАБОЛЕВАНИЙ У МАТЕРЕЙ, ИМЕЮЩИХ ДОЧЕРЕЙ С НАРУШЕНИЕМ СТАНОВЛЕНИЯ МЕНСТРУАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ

Статья в формате PDF 113 KB...

01 06 2026 14:15:27

ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ СПРОСА КАК ФАКТОР РЕШЕНИЯ СТРАТЕГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ РАЗВИТИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО КОМПЛЕКСА РОССИИ

Статья в формате PDF 126 KB...

31 05 2026 2:51:12

РАЗВИТИЕ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ СПОСОБНОСТЕЙ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ В СИСТЕМЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ЭКОЛОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Система дополнительного экологического образования, базирующаяся на использовании современных педагогических моделей личностно-ориентированного обучения; применении передовых образовательных технологий, активных методов и форм полевой экологии, проектной деятельности, вовлечении в общественно-значимую исследовательскую и пpaктическую работу, создает оптимальные условия для развития креативных способностей одаренных детей в естественнонаучной области. ...

30 05 2026 11:50:26

К ВОПРОСУ О ТОЧНОСТИ ПОЛОЖЕНИЙ ДВУХКРИВОШИПНОГО ЧЕТЫРЕХЗВЕННИКА

Статья в формате PDF 498 KB...

29 05 2026 2:21:38

РАБОТА С РОДИТЕЛЯМИ КАК СРЕДСТВО СОЦИАЛЬНОЙ АДАПТАЦИИ ДЕТЕЙ С ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫМ НЕДОРАЗВИТИЕМ

Статья в формате PDF 98 KB...

28 05 2026 21:19:28

Новые аспекты хирургического лечения послеоперационных вентральных грыж у пациентов с онкопатологией пищеварительного тpaкта

Статья в формате PDF 112 KB...

27 05 2026 8:25:42

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛОСКОЙ ЩЕЛИ

Статья в формате PDF 119 KB...

26 05 2026 8:28:23

МОРФОЛОГИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ СТРОЕНИЯ СЕЛЕЗЕНКИ В ПОСТНАТАЛЬНОМ ОНТОГЕНЕЗЕ

Данная статья посвящена актуальной проблеме – развитию селезенки как органа иммунной системы на этапах постнатального онтогенеза. Приведен сравнительный анализ литературных источников по постнатальному развитию селезенки. В работах отмечается разноречивость некоторых суждений исследователей, касающихся органогенеза и гистогенеза данного органа. ...

25 05 2026 3:43:35

ВЛИЯНИЕ ДЕФИЦИТА ВЛАГИ НА ИЗМЕНЧИВОСТЬ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ ЯРОВОЙ ПШЕНИЦЫ (TRITICUM AESTIVUM L.)

Статья в формате PDF 94 KB...

24 05 2026 5:24:10

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ К КОНСТРУИРОВАНИЮ СТОМАТОЛОГИЧЕСКИХ ЛЕКАРСТВЕННЫХ ПРЕПАРАТОВ ДЛЯ ЛЕЧЕНИЯ ЗАБОЛЕВАНИЙ ПАРОДОНТА

Статья в формате PDF 120 KB...

23 05 2026 16:23:24

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ИДЕАЛЬНОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ

Статья в формате PDF 688 KB...

22 05 2026 22:41:55

СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ

Статья в формате PDF 133 KB...

21 05 2026 3:35:38

МОДЕЛЬ АВТОМАТИЗАЦИИ МОРФОЛОГИЧЕСКОГО АНАЛИЗА КЛЕТОК КРОВИ ДЛЯ ДИАГНОСТИКИ И ОБУЧЕНИЯ

Статья в формате PDF 107 KB...

20 05 2026 6:16:23

ВНУТРИМАТОЧНАЯ КОНТРАЦЕПЦИЯ КАК СПОСОБ РЕГУЛЯЦИИ РЕПРОДУКТИВНОГО ПОВЕДЕНИЯ ЖЕНЩИНЫ (КЛИНИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ)

Статья в формате PDF 106 KB...

19 05 2026 6:45:13

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ УРОВНЯ МИКРОУСКОРЕНИЙ ВО ВРЕМЕНИ

При моделировании микроускорений возникает вопрос о функции распределения этой величины. В работе исследуется статистическая функция распределения микроускорений внутри космического аппарата, имеющего большие упругие элементы, после выключения управляющих paкетных двигателей. ...

18 05 2026 12:11:15

ТРАНСФОРМАЦИЯ НАСЕЛЕНИЯ ОХОТНИЧЬЕ-ПРОМЫСЛОВЫХ МЛЕКОПИТАЮЩИХ ПРИ ОСВОЕНИИ ЧАЯНДИНСКОГО ЛИЦЕНЗИОННОГО УЧАСТКА (ЗАПАДНАЯ ЯКУТИЯ)

В сообщении представлены сведения о трaнcформации населения охотничье-промысловых млекопитающих при освоении Чаяндинского лицензионного участка (Западная Якутия). Материалы собраны в 2009–2011 гг. В результате проведенных учетных работ и опросных сведений на территории лицензионного участка выявлено обитание 10 видов охотничье-промысловых млекопитающих из 20 видов, обитающих на территории Западной Якутии. На настоящий момент существенных изменений численности охотничье-промысловых животных на лицензионном участке не происходит. В целом воздействие геологоразведочных работ на нефть и газ носят локальный хаpaктер. ...