КВАНТОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Авторы
Файлы

Флоринский В.В. Чеканов Н. А. Статья в формате PDF 190 KB

Рассмотрим гамильтонову функцию одномерной системы

(1)

где x и p - канонически сопряженные переменные, α - малый параметр (α<<1 ). Уравнения движения данной системы можно свести к одному дифференциальному уравнению второго порядка:

, (2)

которое называется уравнением Дюффинга [1]. Методом Линдштедта-Пуанкаре [2] получаем решение уравнения (2) в первом порядке по α

(3)

, (4)

φ₀ и a - произвольные постоянные, зависящие от начальных условий, которые без потери общности выберем в виде . Через обозначены корни уравнения

, (5)

где - потенциальная функция системы (1), E- полная энергия.

Для определения постоянных интегрирования получаем следующую систему из которой находим, что φ₀=0 и .

Заметим, что произвольную постоянную при таком выборе начальных условий можно выразить через полную энергию E. Второе слагаемое в скобках в последнем выражении для является величиной пятого порядка малости по α, и в рассматриваемом приближении им можно пренебречь. Таким образом, можно считать, что и рассматривать как корень уравнения (5). Подставив в выражение (5), и разрешив полученное уравнение методом итераций, найдем выражение через E

В итоге решение (3) в первом порядке по α примет вид

Произведем квантование полученных периодических решений уравнения Дюффинга, отобрав из них те, которые удовлетворяют условию

где - постоянная Планка.

Подставив частоту (4), а также выражения для и в условие квантования, получим

Квантовый аналог гамильтоновой функции (1) получится при помощи известной подстановки . Тогда приближенный спектр полученного дифференциального оператора определится по формуле

где . Эта формула совпадает с результатом стандартной теории возмущений с точностью до последнего слагаемого во второй скобке. В частности, при имеем известный случай гармонического осциллятора.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.:МИР, 1976, 455с.
Де Брёйн Н.Г. Асимптотические методы в анализе. М.: ИИЛ, 1961, 247 с.
Давыдов А.С. Квантовая механика. М.: Физматгиз,1963, 748с.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФАКТОРОВ, ВЛИЯЮЩИХ НА КАЧЕСТВО ИЗМЕРЕНИЙ ПРИБОРА МАЭС

Существующие методы атомной эмиссионной спектроскопии для исследования состава металлов и сплавов используются во всех отраслях машиностроения. По мнению авторов, современные методы уже не обеспечивают необходимых точностей измерений. В данной работе авторами проведены исследования влияния внешних факторов на точность измерений прибора атомно-эмиссионной спектроскопии. ...

22 04 2026 14:16:42

ДИАГНОСТИЧЕСКИЕ И ПРОГНОСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ДЛЯ ФАРМАКОТЕРАПИИ ДИФФУЗНОГО ОСТЕОПОРОЗА У БОЛЬНЫХ МНОЖЕСТВЕННОЙ МИЕЛОМОЙ

Статья в формате PDF 118 KB...

21 04 2026 10:37:21

ВЛИЯНИЕ ЭКОЛОГИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ НА РОСТ ЭПИФИТНЫХ ЛИШАЙНИКОВ В ГОРНО-ЛЕСНЫХ СООБЩЕСТВАХ СЕВЕРО-ЗАПАДНОГО КАВКАЗА

Статья в формате PDF 112 KB...

20 04 2026 6:39:33

ПРИМЕНЕНИЕ РЕМИКЕЙДА В КОМПЛЕКСНОМ ЛЕЧЕНИИ РЕВМАТОИДНОГО АРТРИТА

Статья в формате PDF 123 KB...

19 04 2026 16:23:33

ПОДВОДНЫЕ ГОРОДА

Статья в формате PDF 763 KB...

18 04 2026 9:49:26

ОЦЕНКА ЭКОНОМИЧЕСКИХ КОМПЕТЕНЦИЙ СТУДЕНТОВ МЕДИЦИНСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ БАЛЛЬНО-РЕЙТИНГОВОЙ СИСТЕМЫ

Статья в формате PDF 120 KB...

17 04 2026 22:29:41

Профилактика рецидивирующих инфекций верхних дыхательных путей у детей

Статья в формате PDF 107 KB...

16 04 2026 18:27:19

ОЦЕНКА ТУРИСТСКОЙ ПРИВЛЕКАТЕЛЬНОСТИ ПРИРОДНЫХ ОБЪЕКТОВ МЕТОДОМ АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ (программа для ЭВМ)

Статья в формате PDF 105 KB...

15 04 2026 14:21:44

ГОСУДАРСТВЕННОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ СЕКТОРА ИНТЕРНЕТ В КНР КАК ФАКТОР СОХРАНЕНИЯ КУЛЬТУРНОЙ ИДЕНТИЧНОСТИ

Статья в формате PDF 275 KB...

14 04 2026 5:54:29

ВЛИЯНИЕ ЛИЗОФОСФАТИДИЛХОЛИНА НА АЛЬФА-АДРЕНОРЕАКТИВНОСТЬ ГЛАДКИХ МЫШЦ СОСУДОВ ПОЧЕЧНОЙ АРТЕРИИ КОРОВЫ

Статья в формате PDF 119 KB...

13 04 2026 22:12:26

ОСОБЕННОСТИ СТРОЕНИЯ МИНЕРАЛЬНОГО КОМПОНЕНТА ОБЫЗВЕСТВЛЯЮЩИХСЯ ВИДОВ СОЕДИНИТЕЛЬНОЙ ТКАНИ СКЕЛЕТА У ЛЮДЕЙ ЗРЕЛОГО И СТАРЧЕСКОГО ВОЗРАСТА

Статья в формате PDF 132 KB...

12 04 2026 23:24:11

ИННОВАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА ПРЕДПРИЯТИЯХ И ИХ ИНВЕСТИЦИОННАЯ АКТИВНОСТЬ

Статья в формате PDF 255 KB...

11 04 2026 23:41:48

ГРУППИРОВКА ПРИЧИН КАК СПОСОБ ПРЕОДОЛЕНИЯ ЛОГИЧЕСКОГО ФАТАЛИЗМА

Статья в формате PDF 128 KB...

10 04 2026 8:49:18

ОСОБЕННОСТИ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ СОЦИАЛИЗАЦИИ ЛИЧНОСТИ В ОБРАЗОВАТЕЛЬНОМ КОМПЛЕКСЕ ЛИЦЕЙ- КОЛЛЕДЖ- ВУЗ ПРИ ПОДГОТОВКЕ СПЕЦИАЛИСТОВ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОЙ КООПЕРАЦИИ

Статья в формате PDF 130 KB...

09 04 2026 8:43:59

КИНЕМАТИКА ВЫСОКОНАГРУЖЕННОГО КРИВОШИПНО–ПОЛЗУННОГО МЕХАНИЗМА СО СЛОЖНЫМ ШАТУНОМ

Статья в формате PDF 416 KB...

08 04 2026 4:56:35

ОЦЕНКА ВРЕДНЫХ ВЕЩЕСТВ, ВЫДЕЛЯЮЩИХСЯ В АТМОСФЕРУ НА УЧАСТКЕ СВАРКИ ТРУБ ТЭСЦ – 5 ОАО «ВМЗ»

Статья в формате PDF 254 KB...

07 04 2026 14:14:36

ОПЫТ РАБОТЫ ОТДЕЛЕНИЯ «ДИАБЕТИЧЕСКАЯ СТОПА» ГОРОДСКОГО ЭНДОКРИНОЛОГИЧЕСКОГО ЦЕНТРА МУЗ ГКБ №10 «ЭЛЕКТРОНИКА» ЗА ПЕРИОД 1996-2004 гг.

Статья в формате PDF 198 KB...

06 04 2026 10:24:28

ПОВЫШЕНИЕ СТОЙКОСТИ РЕЖУЩЕГО ИНСТРУМЕНТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МНОГОСЛОЙНЫХ ПОКРЫТИЙ

Статья в формате PDF 255 KB...

05 04 2026 1:39:33

МЕТОДЫ КОРРЕКЦИИ ЗРИТЕЛЬНО-ДВИГАТЕЛЬНОЙ И МОТОРНОЙ КООРДИНАЦИИ У ДЕТЕЙ С НАРУШЕНИЕМ ЗРЕНИЯ И РЕЧИ

В процессе тренировки отдельных компонентов ручной моторики (тонус, сила, точность движений, кинетический и динамический пpaксис) у детей совершенствуется произвольное внимание, развиваются навыки контроля и планирования целостного действия. ...