КВАНТОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Рассмотрим гамильтонову функцию одномерной системы
(1)
где x и p - канонически сопряженные переменные, α - малый параметр (α<<1 ). Уравнения движения данной системы можно свести к одному дифференциальному уравнению второго порядка:
, (2)
которое называется уравнением Дюффинга [1]. Методом Линдштедта-Пуанкаре [2] получаем решение уравнения (2) в первом порядке по α
(3)
, (4)
φ0 и a - произвольные постоянные, зависящие от начальных условий, которые без потери общности выберем в виде . Через обозначены корни уравнения, (5)
где - потенциальная функция системы (1), E- полная энергия.
Для определения постоянных интегрирования получаем следующую систему из которой находим, что φ0=0 и .
Заметим, что произвольную постоянную при таком выборе начальных условий можно выразить через полную энергию E. Второе слагаемое в скобках в последнем выражении для является величиной пятого порядка малости по α, и в рассматриваемом приближении им можно пренебречь. Таким образом, можно считать, что и рассматривать как корень уравнения (5). Подставив в выражение (5), и разрешив полученное уравнение методом итераций, найдем выражение через E
В итоге решение (3) в первом порядке по α примет вид
Произведем квантование полученных периодических решений уравнения Дюффинга, отобрав из них те, которые удовлетворяют условию
где - постоянная Планка.
Подставив частоту (4), а также выражения для и в условие квантования, получим
Квантовый аналог гамильтоновой функции (1) получится при помощи известной подстановки . Тогда приближенный спектр полученного дифференциального оператора определится по формуле
где . Эта формула совпадает с результатом стандартной теории возмущений с точностью до последнего слагаемого во второй скобке. В частности, при имеем известный случай гармонического осциллятора.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.:МИР, 1976, 455с.
- Де Брёйн Н.Г. Асимптотические методы в анализе. М.: ИИЛ, 1961, 247 с.
- Давыдов А.С. Квантовая механика. М.: Физматгиз,1963, 748с.
Статья в формате PDF
133 KB...
24 05 2026 5:36:33
Статья в формате PDF
321 KB...
23 05 2026 21:32:46
Статья в формате PDF
127 KB...
22 05 2026 8:21:16
Статья в формате PDF
274 KB...
21 05 2026 5:38:47
Статья в формате PDF
189 KB...
20 05 2026 7:29:58
Статья в формате PDF
217 KB...
19 05 2026 15:36:30
Статья в формате PDF
121 KB...
18 05 2026 7:14:46
Статья в формате PDF
263 KB...
17 05 2026 2:26:58
Статья в формате PDF
125 KB...
16 05 2026 7:50:29
Статья в формате PDF
110 KB...
15 05 2026 8:23:42
Статья в формате PDF
120 KB...
14 05 2026 2:53:51
Темпы жилищного и гражданского строительства в Восточной Сибири и соседних регионах сдерживаются высокой себестоимостью строительства. Основным резервом для снижения стоимости является замена дорогостоящих традиционных материалов, в частности стеновых, на альтернативные материалыЯчеистые бетоны из техногенных промышленных отходов.
...
13 05 2026 19:10:42
Статья в формате PDF
102 KB...
12 05 2026 22:31:58
Статья в формате PDF 140 KB...
11 05 2026 9:36:20
Статья в формате PDF
95 KB...
10 05 2026 7:39:10
Статья в формате PDF
312 KB...
08 05 2026 23:46:42
Статья в формате PDF
149 KB...
06 05 2026 16:56:16
Статья в формате PDF
243 KB...
05 05 2026 13:41:25
Статья в формате PDF
260 KB...
04 05 2026 0:13:59
Статья в формате PDF
92 KB...
03 05 2026 11:23:31
Статья в формате PDF
112 KB...
02 05 2026 9:18:39
Статья в формате PDF
115 KB...
01 05 2026 20:55:58
Статья в формате PDF
158 KB...
29 04 2026 1:16:36
Статья в формате PDF
305 KB...
28 04 2026 13:49:57
Статья в формате PDF
324 KB...
27 04 2026 10:45:55
Статья в формате PDF
119 KB...
26 04 2026 3:46:36
Статья в формате PDF
103 KB...
25 04 2026 23:28:48
Установлены специфические особенности микробного населения почв мерзлотных горно-таежных техногенных ландшафтов Эльконского ураново-рудного района на территории Южной Якутии. Такие как высокая численность эколого-трофических групп микроорганизмов (2,0·103–7,6·107 кл/г), сопоставимая с плотностью микробов в лугово-степных почвах Центральной Якутии и особый хаpaктер распределения их по профилю почв в зависимости от содержания в них урана. В почве радиоактивно-загрязненного разреза с уменьшением содержания урана до 161 мг/кг наблюдается увеличение численности всех исследованных групп микроорганизмов. В остальных образцах данного разреза с увеличением содержания урана в почве наблюдается исчезновение или спад численности микроорганизмов на 1–2 порядка. В отличие от загрязненного разреза в почве нативного ландшафта численность микроорганизмов остается достаточно высокой по всему почвенному профилю.
...
24 04 2026 18:30:49
Статья в формате PDF
133 KB...
23 04 2026 4:33:38
Статья в формате PDF
118 KB...
21 04 2026 22:59:56
Статья в формате PDF
112 KB...
20 04 2026 2:27:36
Исторически развитие лесной таксации происходило на основе многовекового позитивного (для лесного хозяйства, также и для леса как экологической системы) опыта взаимодействия людей с деревьями.
Исходя из биотехнического принципа в лесной таксации, показана возможность моделирования возрастных распределений лесных деревьев по сортности бревен, экспертно назначаемых таксатором на стволе растущих деревьев подеревной глазомерной таксацией.
...
18 04 2026 23:37:47
Статья в формате PDF
139 KB...
17 04 2026 5:16:28
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
