КВАНТОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Рассмотрим гамильтонову функцию одномерной системы
(1)
где x и p - канонически сопряженные переменные, α - малый параметр (α<<1 ). Уравнения движения данной системы можно свести к одному дифференциальному уравнению второго порядка:
, (2)
которое называется уравнением Дюффинга [1]. Методом Линдштедта-Пуанкаре [2] получаем решение уравнения (2) в первом порядке по α
(3)
, (4)
φ0 и a - произвольные постоянные, зависящие от начальных условий, которые без потери общности выберем в виде . Через обозначены корни уравнения, (5)
где - потенциальная функция системы (1), E- полная энергия.
Для определения постоянных интегрирования получаем следующую систему из которой находим, что φ0=0 и .
Заметим, что произвольную постоянную при таком выборе начальных условий можно выразить через полную энергию E. Второе слагаемое в скобках в последнем выражении для является величиной пятого порядка малости по α, и в рассматриваемом приближении им можно пренебречь. Таким образом, можно считать, что и рассматривать как корень уравнения (5). Подставив в выражение (5), и разрешив полученное уравнение методом итераций, найдем выражение через E
В итоге решение (3) в первом порядке по α примет вид
Произведем квантование полученных периодических решений уравнения Дюффинга, отобрав из них те, которые удовлетворяют условию
где - постоянная Планка.
Подставив частоту (4), а также выражения для и в условие квантования, получим
Квантовый аналог гамильтоновой функции (1) получится при помощи известной подстановки . Тогда приближенный спектр полученного дифференциального оператора определится по формуле
где . Эта формула совпадает с результатом стандартной теории возмущений с точностью до последнего слагаемого во второй скобке. В частности, при имеем известный случай гармонического осциллятора.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.:МИР, 1976, 455с.
- Де Брёйн Н.Г. Асимптотические методы в анализе. М.: ИИЛ, 1961, 247 с.
- Давыдов А.С. Квантовая механика. М.: Физматгиз,1963, 748с.
В современной России, в период значительных для государства и его народа преобразований во всех сферах жизни общества наблюдаются изменения. За последние десять лет реформы породили новые виды деятельности, стили жизни, слои населения. В центре внимания исследований нового российского общества оказалось предпринимательство. Российских предпринимателей беспокоит негативное общественное мнение об их деятельности и отчуждения населения, низкий социальный статус в общественном сознании, периодически возникающие деструктивные конфликты с органами власти, отсутствие российских образцов рыночного поведения (традиций, нравов, обычаев), низкая культура предпринимательства. В итоге, феномен предпринимательства в России отличается своей специфичностью, природа которой лежит в особенностях становления данного класса. Стремясь к стандартам западного, образцового предпринимательства, российский бизнесмен не в силах игнорировать давно сложившиеся патриархальные традиции, арсенал накопившихся социальных ресурсов, амбициозность конкурентов, возможность самореализации и “переустройства мира на свой лад”. ...
28 03 2024 0:44:45
Статья в формате PDF 266 KB...
27 03 2024 5:18:30
Статья в формате PDF 277 KB...
26 03 2024 13:47:13
Статья в формате PDF 255 KB...
25 03 2024 1:54:27
Статья в формате PDF 157 KB...
24 03 2024 12:23:35
Статья в формате PDF 124 KB...
23 03 2024 16:32:21
Статья в формате PDF 119 KB...
22 03 2024 11:35:31
Статья в формате PDF 110 KB...
21 03 2024 18:12:44
20 03 2024 17:28:22
Статья в формате PDF 102 KB...
18 03 2024 9:38:36
Статья в формате PDF 104 KB...
17 03 2024 15:57:40
Статья в формате PDF 103 KB...
16 03 2024 7:44:49
Статья в формате PDF 123 KB...
15 03 2024 4:40:11
Статья в формате PDF 102 KB...
14 03 2024 8:12:27
В районе падения отделяющихся частей paкет-носителей и возможного загрязнения нефтепродуктами изучены основные хаpaктеристики и особенности организации лесных сообществ дереворазрушающих грибов в высотно-поясном градиенте. ...
12 03 2024 14:47:32
В данной работе предложена эволюционная модель формирования двумерных структур. Определены алгоритмы формирования структур в априори структурированном двумерном прострaнcтве путем заполнения его в соответствии с определенными эволюционными правилами. ...
11 03 2024 6:13:55
Статья в формате PDF 112 KB...
10 03 2024 9:12:10
Статья в формате PDF 476 KB...
09 03 2024 13:23:59
Статья в формате PDF 132 KB...
08 03 2024 14:22:16
Статья в формате PDF 250 KB...
07 03 2024 17:34:13
Статья в формате PDF 180 KB...
06 03 2024 5:45:19
Статья в формате PDF 250 KB...
05 03 2024 10:16:33
Статья в формате PDF 132 KB...
04 03 2024 15:31:38
Статья в формате PDF 117 KB...
03 03 2024 17:59:11
Статья в формате PDF 119 KB...
01 03 2024 9:47:33
Статья в формате PDF 125 KB...
29 02 2024 15:57:20
Статья в формате PDF 119 KB...
28 02 2024 10:27:59
27 02 2024 14:24:22
Статья в формате PDF 380 KB...
26 02 2024 2:37:33
В работе рассмотрены климатические, географические и другие условия, влияющие на воздухообмен и микроклимат города Сочи. Показана та большая роль, которую играют зеленые насаждения города, для комфортного проживания в нем людей. Наглядно представлено, какие именно типы зеленых насаждений и ассоциаций выполняют наибольшую роль в создании благоприятного микроклимата в городском образовании Большой Сочи. ...
25 02 2024 0:27:47
Статья в формате PDF 251 KB...
24 02 2024 9:46:48
Статья в формате PDF 154 KB...
23 02 2024 13:56:56
Статья в формате PDF 111 KB...
22 02 2024 3:46:56
21 02 2024 13:26:47
Статья в формате PDF 111 KB...
20 02 2024 17:25:47
19 02 2024 23:39:59
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::