КВАНТОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА > Полезные советы
Тысяча полезных мелочей    

КВАНТОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

КВАНТОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Флоринский В.В. Чеканов Н. А. Статья в формате PDF 190 KB

Рассмотрим гамильтонову функцию одномерной системы

              (1)

где x и p - канонически сопряженные переменные, α - малый параметр (α<<1 ). Уравнения движения данной системы можно свести к одному дифференциальному уравнению второго порядка:

,                  (2)

которое называется уравнением Дюффинга [1]. Методом Линдштедта-Пуанкаре [2] получаем решение уравнения (2) в первом порядке по α

(3)

,               (4)

φ0 и a - произвольные постоянные, зависящие от начальных условий, которые без потери общности выберем в виде . Через  обозначены корни уравнения

,                        (5)

где - потенциальная функция системы (1), E- полная энергия.

Для определения постоянных интегрирования получаем следующую систему из которой находим, что φ0=0 и .

Заметим, что произвольную постоянную  при таком выборе начальных условий можно выразить через полную энергию E. Второе слагаемое в скобках в последнем выражении для  является величиной пятого порядка малости по α, и в рассматриваемом приближении им можно пренебречь. Таким образом, можно считать, что  и рассматривать  как корень уравнения (5). Подставив  в выражение (5), и разрешив полученное уравнение методом итераций, найдем выражение  через E

В итоге решение (3) в первом порядке по α примет вид

Произведем квантование полученных периодических решений уравнения Дюффинга, отобрав из них те, которые удовлетворяют условию

где  - постоянная Планка.

Подставив частоту (4), а также выражения для  и  в условие квантования, получим

Квантовый аналог гамильтоновой функции (1) получится при помощи известной подстановки . Тогда приближенный спектр полученного дифференциального оператора определится по формуле

где . Эта формула совпадает с результатом стандартной теории возмущений с точностью до последнего слагаемого во второй скобке. В частности, при  имеем известный случай гармонического осциллятора.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.:МИР, 1976, 455с.
  2. Де Брёйн Н.Г. Асимптотические методы в анализе. М.: ИИЛ, 1961, 247 с.
  3. Давыдов А.С. Квантовая механика. М.: Физматгиз,1963, 748с.


МЕТАФИЗИКА БЫТИЯ ЧЕЛОВЕКА В НАСЛЕДИИ НЕМЕЦКОЙ КЛАССИЧЕСКОЙ ФИЛОСОФИИ

МЕТАФИЗИКА БЫТИЯ ЧЕЛОВЕКА В НАСЛЕДИИ НЕМЕЦКОЙ КЛАССИЧЕСКОЙ ФИЛОСОФИИ В данной статье освещается тема метафизики границ бытия человека в немецкой классической философии. Анализ данной темы основан на трудах Канта и Гегеля. В статье отмечается, что, согласно воззрениям Канта и Гегеля, становление человеческой природы тесно связано с религией, а достигается в условиях государственной формы бытия. ...

12 06 2026 19:43:38

КОМПЬЮТЕРНАЯ ДИАГНОСТИКА МИКРОКЛИМАТА ПОМЕЩЕНИЙ

КОМПЬЮТЕРНАЯ ДИАГНОСТИКА МИКРОКЛИМАТА ПОМЕЩЕНИЙ Статья в формате PDF 237 KB...

01 06 2026 7:57:22

МЕТОДЫ КОРРЕКЦИИ ЗРИТЕЛЬНО-ДВИГАТЕЛЬНОЙ И МОТОРНОЙ КООРДИНАЦИИ У ДЕТЕЙ С НАРУШЕНИЕМ ЗРЕНИЯ И РЕЧИ

МЕТОДЫ КОРРЕКЦИИ ЗРИТЕЛЬНО-ДВИГАТЕЛЬНОЙ И МОТОРНОЙ КООРДИНАЦИИ У ДЕТЕЙ С НАРУШЕНИЕМ ЗРЕНИЯ И РЕЧИ В процессе тренировки отдельных компонентов ручной моторики (тонус, сила, точность движений, кинетический и динамический пpaксис) у детей совершенствуется произвольное внимание, развиваются навыки контроля и планирования целостного действия. ...

31 05 2026 21:34:35

ЭКОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ХРОМОВОГО ДУБЛЕНИЯ

Статья в формате PDF 132 KB...

29 05 2026 2:48:49

ВЛИЯНИЕ ГЕЛИОГЕОФИЗИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ НА БИОРИТМЫ ЧЕЛОВЕКА

ВЛИЯНИЕ ГЕЛИОГЕОФИЗИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ НА БИОРИТМЫ ЧЕЛОВЕКА В настоящее время, только глухой не услышит рассуждений о влияние магнитных бурь на здоровье человека, но и он найдет массу публикаций на эту тему. И все они, за исключением чисто научных сообщений, негативно оценивают воздействие магнитной бури на организм человека. Так ли это? Земля, как планета и человек, проживающий, на ней являются, участниками вселенской карусели с парадными построениями планет, определяющими процессы на небезразличной для нас звезде под названием Солнце. Миллионы лет до нашей планеты и тысячи лет до нас доходит информация из Вселенной, которую мы не можем понять силой своего разума. Астрологи древних цивилизаций смогли определить строгую последовательность движения планет и зависимых от этого изменений на Земле. Так видимо родилось наше представление о времени, цикличность которого не могла быть не замечена. Цикличность Космических событий можно выделить как первооснову Земной жизни. И в этой жизни циклы активности Солнца занимают особое место. Хорошо известно, что в основе многих восточных религий лежит двенадцатилетний событийный цикл. Не трудно предположить, что такая периодичность могла быть определена одиннадцатилетним циклом Солнечной активности (одиннадцать лет – это усредненное значение за сотни лет измерений, при разбросе от 7 до 17 лет). С такой периодичностью связано множество процессов на Земле: извержение вулканов, наводнения, техногенные катастрофы, изменения социально-политических формаций, уровня cмepтности и рождаемости, динамики инфекционных заболеваний, урожайности и многие другие. Не трудно предположить, что одиннадцатилетние циклы Солнечной активности наиболее значимы для жизни человека, длительность которой ограничена 6-9 циклами. ...

24 05 2026 22:38:22

ПРОЕКТЫ, СВЯЗАННЫЕ С&#8239;ИННОВАЦИЯМИ

ПРОЕКТЫ, СВЯЗАННЫЕ С&#8239;ИННОВАЦИЯМИ Рассмотрены проекты, связанные с инновациями. Определены понятия: «проект, содержащий инновацию», «проекты, связанные с инновациями», «проект, вовлекающий инновации». Дана концептуальная схема взаимосвязи проектов, связанных с инновациями. Приведены примеры различных проектов. Показаны различные виды технологических и информационных потоков в комплексе проектов, связанных с инновациями Введено понятие, «среды развития инновации». Рассмотрен пример трaнcпортной инфраструктуры как среды развития инноваций. Определены условия, при которых может возникнуть открытый инновационный проект. Дается схема мониторинга результата инновации. Показано различие между полем отношений и полем взаимодействия среды с результатом инновации. Показано, что комплекс проектов является взаимосвязанным. Поэтому при реализации системы управления инновациями этот комплекс должен быть принят за основу такой системы ...

22 05 2026 10:55:20

Организация рационального питания железнодорожников, требования к ассортименту продуктов

Организация рационального питания железнодорожников, требования к ассортименту продуктов На основании изучения особенностей трудовой деятельности железнодорожников, учитывая современные принципы оптимального питания, были сформулированы основные требования к ассортименту продуктов лечебно-профилактического питания работников железнодорожных профессий. Даны рекомендации по организации рационального питания. Изучены требования к ассортименту при приготовлении мяса, мясопродуктов, птицы, рыбы, а так же молочных продуктов, круп мучных изделий, хлеба, овощей и фруктов. Представлена информация по пищевой ценности овощей и фруктов и классификация жиров. ...

16 05 2026 16:25:15

ПОХОДЕНЬКО ИРИНА ВИКТОРОВНА

ПОХОДЕНЬКО ИРИНА ВИКТОРОВНА Статья в формате PDF 83 KB...

09 05 2026 7:52:55

О КОМПЛЕКСЕ МЕРОПРИЯТИЙ, НЕОБХОДИМЫХ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ АДЕКВАТНОЙ ПЕНСИОННОЙ МОДЕЛИ

О КОМПЛЕКСЕ МЕРОПРИЯТИЙ, НЕОБХОДИМЫХ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ АДЕКВАТНОЙ ПЕНСИОННОЙ МОДЕЛИ В данной работе авторами обоснована актуальность исследований в области пенсионного обеспечения, раскрыты основные направления дальнейшего развития пенсионной модели. ...

07 05 2026 17:37:56

РИСКИ В&#8239;ЛЕСНОЙ ОТРАСЛИ

РИСКИ В&#8239;ЛЕСНОЙ ОТРАСЛИ Статья в формате PDF 269 KB...

06 05 2026 13:37:57

Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::