СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОТ МАТРИЦ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

Авторы
Файлы

Cиcькова Д.Ю. Рудакова П.Н. Матвеева Т.А. Светличная В.Б. Статья в формате PDF 629 KB

Спектральный анализ линейных операторов имеет целый ряд важных применений в классической механике (особенно теории колебаний), электродинамике, квантовой механике, дифференциальных и интегральных уравнений и других областях математики и математической физики.

Пусть функция f(λ) пределена на спектре квадратной матрицы А,

- минимальный многочлeн А.

Тогда спектральное разложение матрицы f(A) имеет вид

(1)

В данной работе рассмотрим построение спектрального разложения матрицы

и его применения к вычислению функций от матриц, решение систем линейных однородных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Найдем минимальный многочлeн матрицы А - последний инвариантный множитель матрицы (A - λE):

- хаpaктеристический многочлeн.

Следовательно, НОД миноров 3 порядка:

Найдем делители всех миноров 2-го порядка матрицы А:

Т.к. данные миноры 2-го порядка взаимно простые, то d₂(λ) = 1.

Следовательно, минимальный многочлeн

По формуле (1) для любой функции f(λ), определенной на спектре матрицы А, имеем

Полагая в этом разложении поочередно

f(λ) = 1; f(λ) = (λ ‒ 2); f(l) = (λ ‒ 2)²,

приходим к системе матричных уравнений

из которой находим компоненты Z₁₁, Z₁₂, Z₂₁.

Таким образом, спектральное разложение матрицы А примет вид:

(2)

Спектральное разложение очень удобно, если требуется вычислить несколько функций от одной и той же матрицы.

Например, вычислим значение функции от матрицы sin(πA). При f(λ) = sin(πλ) имеем f(2) = 0, f′(2) = π, f(3) = 0. Следовательно,

Рассмотрим другое применение спектрального анализа - это решение систем ОДУ с постоянными коэффициентами Y′ = AY, где A = (a_ij)_n×n - матрица коэффициентов.

Решение системы , удовлетворяющее начальным условиям

находится по формуле

Если в качестве y_i0 брать произвольные постоянные Ci (i = 1, 2, ..., n), то - общее решение системы.

Найдем общее решение системы ОДУ: Y′ = AY, где А - исходная матрица.

Вычислим e^At с помощью спектрального разложения (2). При f(λ) = e^λt имеем f(2) = e^2t, f′(2) = te^2t, f(3) = e^3t. Получаем

Тогда по формуле находим общее решение системы ОДУ

Седьмой этап обращения куфического дирхема на Волховско-Ильменском денежном рынке (850-е гг.) и кризис поступления восточного монетного серебра (вторая половина 820–850-е гг.)

Статья в формате PDF 253 KB...

26 04 2024 5:13:41

ЗДОРОВЬЕ – ПУТЬ К ЗНАНИЯМ, КРАСОТЕ, СЧАСТЛИВОЙ СЕМЬЕ И ДОЛГОЛЕТИЮ (сборник)

Статья в формате PDF 128 KB...

25 04 2024 14:30:36

Влияние условий культивирования бактерий на динамику развития paramecium caudatum

Статья в формате PDF 104 KB...

24 04 2024 18:18:32

ВЛИяНИЕ УВЧ-ОБЛУЧЕНИЯ НА ВСХОЖЕСТЬ СЕМЯН ТЫКВЫ

Статья в формате PDF 310 KB...

23 04 2024 7:23:32

Расчет трaнcдермальной абсорбции компонентов минеральных растворов в роговом слое эпидермиса

Статья в формате PDF 103 KB...

22 04 2024 17:17:20

Морфофункциональные показатели детей 11-12 лет г.Сургута

Статья в формате PDF 110 KB...

21 04 2024 11:48:58

О ПРОБЛЕМАХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИННОВАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССАХ

Статья в формате PDF 266 KB...

20 04 2024 20:34:32

ОСМОТИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ ГОТОВЫХ РАСТВОРОВ ЛЕКАРСТВЕННЫХ СРЕДСТВ КАК ПОКАЗАТЕЛЬ ИХ КАЧЕСТВА

Статья в формате PDF 83 KB...

19 04 2024 10:13:43

ИННОВАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ЛЕСНОЙ ОТРАСЛИ

Статья в формате PDF 328 KB...

18 04 2024 16:23:21

СОВРЕМЕННЫЕ АСПЕКТЫ ПАТОГЕНЕЗА ГЕМОРРАГИЧЕСКОЙ ЛИХОРАДКИ С ПОЧЕЧНЫМ СИНДРОМОМ

Статья в формате PDF 122 KB...

17 04 2024 23:23:24

Особенности формирования инженерного мышления в техническом вузе

Статья в формате PDF 262 KB...

16 04 2024 16:19:21

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ КАЧЕСТВА ОКАЗАНИЯ МЕДИЦИНСКОЙ ПОМОЩИ

Статья в формате PDF 141 KB...

15 04 2024 4:17:12

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЧВЕННОГО ПОКРОВА ЧАЯНДИНСКОГО ЛИЦЕНЗИОННОГО УЧАСТКА

Статья в формате PDF 256 KB...

14 04 2024 23:50:37

ОРГАНИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ И КОНТРОЛЬ ЗА ХОДОМ РЕАЛИЗАЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПРОГРАММЫ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ (НА ПРИМЕРЕ ИЖМОРСКОГО РАЙОНА КЕМЕРОВСКОЙ ОБЛАСТИ)

Статья в формате PDF 113 KB...

13 04 2024 3:50:56

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАБОТА ПО ПОДГОТОВКЕ КОНКУРЕНТОСПОСОБНОГО СПЕЦИАЛИСТА В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ ИНОСТРАННОМУ ЯЗЫКУ В ВУЗЕ (КОНСТАТИРУЮЩИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ)

Статья в формате PDF 159 KB...

12 04 2024 13:52:46

Лечение подкожных разрывов сухожилий разгибателей кисти в амбулаторных условиях

Статья в формате PDF 121 KB...

11 04 2024 17:15:41

РАЗВИТИЕ ТЕРИОЛОГИИ В РОССИИ В XVIII-XX вв.

В статье рассматриваются основные исторические этапы развития отечественной териологии в XVIII-XX вв., самоотверженно проводившиеся учеными-зоологами несмотря на различные трудности, являвшиеся следствием изменения исторической и политической картины мира. Показан вклад отдельных российских ученых в формировании териологии, а также роль в этом процессе научных сообществ России. ...

10 04 2024 14:19:13

СОЧЕТАННОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЦЕФАЗОЛИНА НАТРИЯ, ВИФЕРОНА И ДЕКСАМЕТАЗОНА ПРИ АУТОРЕПЛАНТАЦИИ ЗУБОВ

Статья в формате PDF 111 KB...

09 04 2024 8:12:50

ФИЗИОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ ФУТБОЛИСТОВ (монография)

Статья в формате PDF 115 KB...

08 04 2024 12:24:34

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КЛАСТЕРОВ ТЕРРИТОРИЙ С ПОВЫШЕННЫМ ОТНОСИТЕЛЬНЫМ РИСКОМ ОНКОЛОГИЧЕСКИХ ЗАБОЛЕВАНИЙ.

Статья в формате PDF 131 KB...

07 04 2024 0:45:25

СЛЕНГ РУССКОЙ МОЛОДЕЖИ

Статья в формате PDF 293 KB...

06 04 2024 4:13:24

КОРПОРАТИВНЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И ИХ ВНЕДРЕНИЕ НА ПРЕДПРИЯТИЯХ ДАЛЬНЕГО ВОСТОКА

Статья в формате PDF 127 KB...

05 04 2024 7:30:37

ЭКОЛОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ – ОГРАНИЧИТЕЛЬ НЕГАТИВНЫХ ПОСЛЕДСТВИЙ НАУЧНО – ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГРЕССА

Статья в формате PDF 157 KB...

04 04 2024 2:33:57

ОПТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ КРОВИ В ВИДИМОМ СПЕКТРАЛЬНОМ ДИАПАЗОНЕ

Статья в формате PDF 164 KB...

03 04 2024 9:56:48

СЕМЕЙНО-СОЦИАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗВИТИЯ ГИПЕРАКТИВНОСТИ

Представлены результаты собственных исследований, которые проводились методом добровольного сплошного анкетирования в 9 областных и районных центрах Российской федерации. В качестве исследуемых явлений были оценены: наличие синдрома дефицита внимания с гипеpaктивностью (СДВГ) и социальные факторы, участвующие в механизмах СДВГ. Установлена значимость последних в формировании и инициации данного заболевания, изучена их структура, также оценен вклад социально-психологического окружения. ...