ПРИКЛАДНОЕ ЗНАЧЕНИЕ СРАВНИМОСТИ ЧИСЕЛ В КРИПТОГРАФИИ

Авторы
Файлы

Посевкин Р.В. Светличная В.Б. Статья в формате PDF 851 KB

Сравнения нашли широкое применение в криптографии и шифровании. Один из наглядных примеров - алгоритмы ассиметричного шифрования. Основная идея асимметричного шифрования заключается в существовании сразу двух ключей для обмена информацией - открытого, известного любому желающему, и закрытого, который известен лишь получателю информации. Очевидно, что открытый и закрытый ключи генерируются одновременно и между ними существует определенная математическая связь. Основная задача проектировщика асимметричного алгоритма заключается в том, чтобы по известному открытому ключу было бы невозможно (очень трудоемко) получить секретный ключ шифрования. Для этого в основу асимметричных алгоритмов закладываются вычислительно трудные задачи факторизации, дискретного логарифмирования, проецирования точек на эллиптической кривой и т.д. Объединяет все эти задачи то, что они используют операцию получения остатка от целочисленного деления (сравнения). Говорят, что два целых числа a и b являются сравнимыми по модулю n, если (a mod n)  =  (b mod n). Это записывается в виде:

a ≡ b mod n.

В качестве примера алгоритмов симметричного шифрования можно привести первую систему с открытым ключом - метод экспоненциального ключевого обмена Диффи - Хеллмана. Метод предназначен для передачи секретного ключа симметричного шифрования. В обмене задействованы два участника А и Б. Сначала они выбирают большие простые числа n и g < n (эти числа секретными не являются). Затем участник A выбирает большое целое число х, вычисляет Х = g^x mod n и передает Х участнику Б. Б в свою очередь выбирает большое целое число y, вычисляет Y = g^y mod n и передает Y участнику А. Б вычисляет K^´ = X^y mod n, А вычисляет K^´´ = Y^x mod n. Легко заметить, что K^´ = K^´´ = g^xy mod n, и это значение оба участника могут использовать в качестве ключа симметричного шифрования. Злоумышленник может узнать такие параметры алгоритма, как n, g, X, Y, но вычислить по ним значения x или y - задача, требующая очень больших вычислительных мощностей и времени.

Примером действительно асимметричного алгоритма шифрования, основанного на проблеме дискретного логарифма, является алгоритм Эль-Гемаля. Последовательность действий при генерации ключей, шифровании и дешифрации представлена на рис. 1.

Рис. 1. Схема шифрования алгоритма Эль-Гемаля

Так как a^x≡ g^kx mod p, то имеем:

. (1)

Самым первым, действительно асимметричным алгоритмом стал алгоритм RSA. В основу криптостойкости RSA положена задача факторизации (разложения на множители) больших (более 200 двоичных разрядов) целых чисел.

Процедуры генерации ключей, шифрования и дешифрования для этого алгоритма представлены на рис. 2.

Рис. 2. Схема шифрования алгоритма RSA

На этапе генерации ключей формируется пара ключей: закрытый d и открытый e. Шифрование данных должно начинаться с его разбиения на блоки m размером k = [log₂ (n)] бит каждое, чтобы блок m можно было рассматривать как целое число в диапазоне [0.. n - 1]. Обратимость операции шифрования и дешифрования RSA требует доказательства. Из теоремы Эйлера известно, что для двух целых чисел n и x, таких, что (n,x) = 1, выполняется:

x^j(n)≡ 1 mod n, (2)

где j(n) - функция Эйлера, значение которой равно количеству чисел меньших n и взаимно простых с ним. Для n = p∙q из алгоритма RSA, где p и q - простые числа, можно записать j(n) = (p - 1)(q - 1).

Тогда (1) можно переписать в виде:

x^{(p - 1)(q - 1)} ≡ 1 mod n. (3)

Возведем обе части (3) в степень - y:

x^{(-y)(p - 1)(q - 1)}º 1^(-y) mod n ≡ 1 mod n. (4)

Умножим обе части (4) на x:

x^{(-y)(p - 1)(q - 1) +1}mod n = x. (5)
Но при генерации ключей мы получили e и d такие, что ed º 1 mod (p - 1)(q - 1), а это означает, что в (5) можно заменить 1 - y(p - 1)(q - 1) на ed:
x^edmod n = x. (6)

Тогда, если мы возведем шифротекста c = m^e mod n в степень d по модулю n, как мы это и делаем при дешифровании, то получим:

(c^d) mod n = (m^e mod n)^d mod n = m^ed mod n = m. (7)

Очевидно, что основная задача криптоаналитика при взломе этого шифра - узнать закрытый ключ d. Для этого он должен выполнить те же действия, что и получатель при генерации ключа - решить в целых числах уравнение ed + y (p - 1)(q - 1) = 1 относительно d и y. Однако, если получателю известны входящие в уравнение параметры p и q, то криптоаналитик знает только число n - произведение p и q. Следовательно, ему необходимо произвести факторизацию числа n, то есть разложить его на множители. Для решения задачи факторизации к настоящему времени разработано множество алгоритмов: квадратичного решета, обобщенного числового решета, метод эллиптических кривых. Но для чисел большой размерности это очень трудоемкая задача.

Список литературы

1. Методы и средства защиты компьютерной информации: учебное пособие / Д.Н. Лясин, С.Г. Саньков - РПК «Политехник», 2005.

ФИЛЬТРАЦИЯ НАМАГНИЧИВАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ПОРИСТУЮ СРЕДУ

Статья в формате PDF 94 KB...

14 08 2026 19:31:49

СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПЕРСПЕКТИВЫ МИРОВОГО ХОЗЯЙСТВА

Статья в формате PDF 298 KB...

13 08 2026 15:42:40

Реакция коркового вещества надпочечников на острое и длительное введение бактериального эндотоксина липополисахарида у крыс (морфо-функциональное исследование)

Статья в формате PDF 115 KB...

12 08 2026 10:33:11

АНАЛИЗ СОЦИАЛЬНО-ФИЛОСОФСКИХ КАТЕГОРИЙ: ВИНА И СТРАДАНИЕ

Статья в формате PDF 126 KB...

11 08 2026 15:56:42

ИННОВАЦИОННЫЙ МЕТОД «ПРОБЛЕМНО-ОРИЕНТИРОВАННОГО ОБУЧЕНИЯ» (PROBLEM-BASED LEARNING -PBL)

Статья в формате PDF 262 KB...

10 08 2026 13:26:13

КОНЦЕНТРИЧЕСКАЯ ГИПЕРТРОФИЯ МИОКАРДА ЛЕВОГО ЖЕЛУДОЧКА У БОЛЬНЫХ ХРОНИЧЕСКОЙ СЕРДЕЧНОЙ НЕДОСТАТОЧНОСТЬЮ

Статья в формате PDF 109 KB...

09 08 2026 4:33:50

СИСТЕМА Tl2S-Tl2Te-Tl9SbTe6 И СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ФАЗОВЫХ ДИАГРАММ РОДСТВЕННЫХ СИСТЕМ

Методами ДТА и РФА исследованы фазовые равновесия в системе Tl2S-Tl2Te-Tl9SbTe6 (А). Построены политермическое сечение Tl2S-Tl9SbTe6 и изотермическое сечение при 400К фазовой диаграммы, а также проекция поверхности ликвидуса системы А. Установлено, что она является квазитройным фрагментом четверной системы Tl-Sb-S-Te и хаpaктеризуется образованием широких областей твердых растворов на основе исходных соединений. Поверхность ликвидуса системы А состоит из трех полей, отвечающих первичной кристаллизации твердых растворов на основе соединений Tl2S, Tl2Te и Tl9SbTe6. В работе также обсуждены особенности фазовых равновесий в аналогичных системах и, в частности, показано, что все шесть систем данного типа хаpaктеризуются образованием твердых растворов на основе исходных соединений, причем наиболее широкие области гомогенности имеют соединения типа Tl9BVX6. ...

08 08 2026 10:14:16

ОБ ОСОБЕННОСТИ ПОДГОТОВКИ БАКАЛАВРОВ 260600 «ТЕХНОЛОГИЯ ИЗДЕЛИЙ ЛЕГКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ» В РАМКАХ ТРЕТЬЕГО ПОКОЛЕНИЯ ГОС ВПО

Статья в формате PDF 130 KB...

07 08 2026 1:39:15

ЭФФЕКТИВНОСТЬ ДЕГЕЛЬМИНТИЗАЦИИ У БОЛЬНЫХ ХРОНИЧЕСКОЙ ОБСТРУКТИВНОЙ БОЛЕЗНЬЮ ЛЕГКИХ, ПРОТЕКАЮЩЕЙ В АССОЦИАЦИИ С ОПИСТОРХОЗОМ

Статья в формате PDF 121 KB...

06 08 2026 10:30:27

ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ РАЗЛИЧНЫХ СХЕМ РЕФЛЕКСОТЕРАПИИ В ЛЕЧЕНИИ ХРОНИЧЕСКИХ ЗАБОЛЕВАНИЙ ЛЕГКИХ У ДЕТЕЙ

Статья в формате PDF 126 KB...

05 08 2026 15:48:31

Фильтрация шумов цветных изображений с минимальным искажением информативных участков

Статья в формате PDF 102 KB...

04 08 2026 20:16:19

ЛИНГВИСТИЧЕСКИЕ И КУЛЬТУРНЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ

Статья в формате PDF 295 KB...

03 08 2026 8:25:56

ПЕРСОНАЛ БАНКА КАК ВАЖНЕЙШИЙ ЕГО КАПИТАЛ

Статья в формате PDF 118 KB...

02 08 2026 0:17:54

СИСТЕМАТИКА ПЕРЕПОДГОТОВКИ К ИННОВАЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧИТЕЛЕЙ-ПРЕДМЕТНИКОВ В РЕСПУБЛИКЕ КАЗАХСТАН

Статья в формате PDF 114 KB...

01 08 2026 4:53:34

ОСОБЕННОСТИ МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ КРОВИ ЖЕРЕБЦОВ

Новым методом в диагностике болезней и оценке физиолого-биохимического статуса организма животных является определение динамического поверхностного натяжения (ПН) сыворотки крови. У лошадей разного пола, возраста и породы ПН имеет ряд особенностей. Установлено, что у жеребцов разных пород наблюдаются отличия в изменениях ПН сыворотки крови с возрастом, наиболее выраженные в возрасте 7–8 лет. Наиболее специфичным показателем породы и возраста является угол наклона начального и конечного участка тензиограммы, что может быть использовано в пpaктике в качестве экспресс-контроля возраста и породы лошадей по пробам крови. При проведения измерений были получены высокие значения ПН при малых временах существования поверхности для некоторых групп животных, что может быть связано с особым соотношением компонентов (белки, липиды, соли и др.) в сыворотке крови. ...

31 07 2026 6:39:38

РАЗВИТИЕ МАРКЕТИНГА В КАЗАХСТАНЕ

Статья в формате PDF 124 KB...

30 07 2026 23:49:45

ПРОМЕЖУТОЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРАВИЛЬНОЙ РАСКРАСКИ ГРАФА В ОСТРОВНОЙ МОДЕЛИ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА. РАЗЛИЧНЫЕ ФИТНЕС-ФУНКЦИИ

Статья в формате PDF 272 KB...

29 07 2026 17:52:48

Подземный проходческий робот

Статья в формате PDF 349 KB...

28 07 2026 3:46:22

ПРОБЛЕМА ПОЛУЧЕНИЯ ВЫСОКОКАЧЕСТВЕННОГО ФАРФОРА

Статья в формате PDF 113 KB...

27 07 2026 22:45:52

ВАСИЛЬЕВА ГАЛИНА ИВАНОВНА

Статья в формате PDF 116 KB...

26 07 2026 4:55:59

Мята, девясил, душица обыкновенная при возделывании в агроценозе Северного Зауралья для получения растительного сырья и семян

Статья в формате PDF 113 KB...

25 07 2026 6:40:11

ТЕРАПЕВТИЧЕСКАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПРИ ЛЕЧЕНИИ КОРОВ И ТЕЛОК С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА КРИОТЕРАПИИ И ОЗОНОИРОВАННЫМИ ГОМЕОПАТИЧЕСКИМИ ПРЕПАРАТАМИ

Бесплодие является одним из главным заболеванием коров. По причине непригодности к воспроизводству из стад выбывает более половины животных. По этой причине сельскохозяйственные предприятия терпят существенные убытки. В настоящее время в производстве требуются современные методы лечения, которые отличались бы высокой эффективностью, широким спектром действия, низкозатратностью. Авторы считают, что такой инновационной технологией является лечение нарушения воспроизводительной системы коров и телок с использованием метода криотерапии и озонированными гомеопатическими препаратами. ...