ПРИКЛАДНОЕ ЗНАЧЕНИЕ СРАВНИМОСТИ ЧИСЕЛ В КРИПТОГРАФИИ
Сравнения нашли широкое применение в криптографии и шифровании. Один из наглядных примеров - алгоритмы ассиметричного шифрования. Основная идея асимметричного шифрования заключается в существовании сразу двух ключей для обмена информацией - открытого, известного любому желающему, и закрытого, который известен лишь получателю информации. Очевидно, что открытый и закрытый ключи генерируются одновременно и между ними существует определенная математическая связь. Основная задача проектировщика асимметричного алгоритма заключается в том, чтобы по известному открытому ключу было бы невозможно (очень трудоемко) получить секретный ключ шифрования. Для этого в основу асимметричных алгоритмов закладываются вычислительно трудные задачи факторизации, дискретного логарифмирования, проецирования точек на эллиптической кривой и т.д. Объединяет все эти задачи то, что они используют операцию получения остатка от целочисленного деления (сравнения). Говорят, что два целых числа a и b являются сравнимыми по модулю n, если (a mod n) = (b mod n). Это записывается в виде:
a ≡ b mod n.
В качестве примера алгоритмов симметричного шифрования можно привести первую систему с открытым ключом - метод экспоненциального ключевого обмена Диффи - Хеллмана. Метод предназначен для передачи секретного ключа симметричного шифрования. В обмене задействованы два участника А и Б. Сначала они выбирают большие простые числа n и g < n (эти числа секретными не являются). Затем участник A выбирает большое целое число х, вычисляет Х = gx mod n и передает Х участнику Б. Б в свою очередь выбирает большое целое число y, вычисляет Y = gy mod n и передает Y участнику А. Б вычисляет K´ = Xy mod n, А вычисляет K´´ = Yx mod n. Легко заметить, что K´ = K´´ = gxy mod n, и это значение оба участника могут использовать в качестве ключа симметричного шифрования. Злоумышленник может узнать такие параметры алгоритма, как n, g, X, Y, но вычислить по ним значения x или y - задача, требующая очень больших вычислительных мощностей и времени.
Примером действительно асимметричного алгоритма шифрования, основанного на проблеме дискретного логарифма, является алгоритм Эль-Гемаля. Последовательность действий при генерации ключей, шифровании и дешифрации представлена на рис. 1.
Рис. 1. Схема шифрования алгоритма Эль-Гемаля
Так как ax ≡ gkx mod p, то имеем:
. (1)
Самым первым, действительно асимметричным алгоритмом стал алгоритм RSA. В основу криптостойкости RSA положена задача факторизации (разложения на множители) больших (более 200 двоичных разрядов) целых чисел.
Процедуры генерации ключей, шифрования и дешифрования для этого алгоритма представлены на рис. 2.
Рис. 2. Схема шифрования алгоритма RSA
На этапе генерации ключей формируется пара ключей: закрытый d и открытый e. Шифрование данных должно начинаться с его разбиения на блоки m размером k = [log2 (n)] бит каждое, чтобы блок m можно было рассматривать как целое число в диапазоне [0.. n - 1]. Обратимость операции шифрования и дешифрования RSA требует доказательства. Из теоремы Эйлера известно, что для двух целых чисел n и x, таких, что (n,x) = 1, выполняется:
xj(n) ≡ 1 mod n, (2)
где j(n) - функция Эйлера, значение которой равно количеству чисел меньших n и взаимно простых с ним. Для n = p∙q из алгоритма RSA, где p и q - простые числа, можно записать j(n) = (p - 1)(q - 1).
Тогда (1) можно переписать в виде:
x(p - 1)(q - 1) ≡ 1 mod n. (3)
Возведем обе части (3) в степень - y:
x(-y)(p - 1)(q - 1) º 1(-y) mod n ≡ 1 mod n. (4)
Умножим обе части (4) на x:
x(-y)(p - 1)(q - 1) +1 mod n = x. (5)
Но при генерации ключей мы получили e и d такие, что ed º 1 mod (p - 1)(q - 1), а это означает, что в (5) можно заменить 1 - y(p - 1)(q - 1) на ed:xed mod n = x. (6)
Тогда, если мы возведем шифротекста c = me mod n в степень d по модулю n, как мы это и делаем при дешифровании, то получим:
(cd ) mod n = (me mod n)d mod n = med mod n = m. (7)
Очевидно, что основная задача криптоаналитика при взломе этого шифра - узнать закрытый ключ d. Для этого он должен выполнить те же действия, что и получатель при генерации ключа - решить в целых числах уравнение ed + y (p - 1)(q - 1) = 1 относительно d и y. Однако, если получателю известны входящие в уравнение параметры p и q, то криптоаналитик знает только число n - произведение p и q. Следовательно, ему необходимо произвести факторизацию числа n, то есть разложить его на множители. Для решения задачи факторизации к настоящему времени разработано множество алгоритмов: квадратичного решета, обобщенного числового решета, метод эллиптических кривых. Но для чисел большой размерности это очень трудоемкая задача.
Список литературы
1. Методы и средства защиты компьютерной информации: учебное пособие / Д.Н. Лясин, С.Г. Саньков - РПК «Политехник», 2005.
Статья в формате PDF
119 KB...
05 07 2026 19:34:10
Статья в формате PDF
89 KB...
04 07 2026 17:57:14
Статья в формате PDF
251 KB...
03 07 2026 1:43:46
Работа подъема тела в однородном поле силы тяжести всегда больше потенциальной энергии . Для минимизации работы силой тяги, равной , необходимо отключать силу тяги на некоторой высоте . Дальнейшее движение вверх до высоты происходит по инерции. Только в случае работа подъема будет стремиться к минимальному значению, равному .
...
02 07 2026 2:39:32
Статья в формате PDF
128 KB...
01 07 2026 22:17:31
Статья в формате PDF
114 KB...
30 06 2026 8:50:55
Статья в формате PDF
129 KB...
29 06 2026 16:36:58
Статья в формате PDF
113 KB...
27 06 2026 14:43:47
Статья в формате PDF
109 KB...
25 06 2026 5:34:29
Статья в формате PDF
319 KB...
23 06 2026 12:50:33
В данной статье освещается тема метафизики границ бытия человека в немецкой классической философии. Анализ данной темы основан на трудах Канта и Гегеля. В статье отмечается, что, согласно воззрениям Канта и Гегеля, становление человеческой природы тесно связано с религией, а достигается в условиях государственной формы бытия.
...
22 06 2026 20:25:18
Статья в формате PDF
253 KB...
21 06 2026 23:24:28
Статья в формате PDF
315 KB...
20 06 2026 23:40:32
Статья в формате PDF
122 KB...
19 06 2026 1:40:38
Статья в формате PDF
104 KB...
18 06 2026 18:50:26
Статья в формате PDF
112 KB...
17 06 2026 11:33:40
Статья в формате PDF
133 KB...
15 06 2026 12:26:31
Статья в формате PDF
118 KB...
12 06 2026 10:38:13
Статья в формате PDF
252 KB...
11 06 2026 16:56:49
Статья в формате PDF 279 KB...
10 06 2026 14:47:39
Статья в формате PDF
100 KB...
09 06 2026 23:24:54
Статья в формате PDF
100 KB...
08 06 2026 4:45:29
Статья в формате PDF
100 KB...
06 06 2026 18:10:45
Статья в формате PDF
302 KB...
05 06 2026 4:16:44
Статья в формате PDF
120 KB...
04 06 2026 17:26:51
Статья в формате PDF
119 KB...
03 06 2026 21:36:11
Статья в формате PDF 112 KB...
02 06 2026 9:41:47
Статья в формате PDF
132 KB...
01 06 2026 13:58:38
Статья в формате PDF
100 KB...
31 05 2026 19:13:55
В статье дана комплексная хаpaктеристика природных условий территории природного парка «Нумто»: приводятся сведения по геоморфологии, климату, гидрографии, растительному покрову, фауне уникального участка водно-болотных угодий на стыке подзон северной и средней тайги Западной Сибири.
...
30 05 2026 14:25:37
Статья в формате PDF
126 KB...
29 05 2026 15:27:19
Статья в формате PDF
116 KB...
28 05 2026 0:17:33
Статья в формате PDF
139 KB...
27 05 2026 5:22:25
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
