ПРИКЛАДНОЕ ЗНАЧЕНИЕ СРАВНИМОСТИ ЧИСЕЛ В КРИПТОГРАФИИ

Авторы
Файлы

Посевкин Р.В. Светличная В.Б. Статья в формате PDF 851 KB

Сравнения нашли широкое применение в криптографии и шифровании. Один из наглядных примеров - алгоритмы ассиметричного шифрования. Основная идея асимметричного шифрования заключается в существовании сразу двух ключей для обмена информацией - открытого, известного любому желающему, и закрытого, который известен лишь получателю информации. Очевидно, что открытый и закрытый ключи генерируются одновременно и между ними существует определенная математическая связь. Основная задача проектировщика асимметричного алгоритма заключается в том, чтобы по известному открытому ключу было бы невозможно (очень трудоемко) получить секретный ключ шифрования. Для этого в основу асимметричных алгоритмов закладываются вычислительно трудные задачи факторизации, дискретного логарифмирования, проецирования точек на эллиптической кривой и т.д. Объединяет все эти задачи то, что они используют операцию получения остатка от целочисленного деления (сравнения). Говорят, что два целых числа a и b являются сравнимыми по модулю n, если (a mod n)  =  (b mod n). Это записывается в виде:

a ≡ b mod n.

В качестве примера алгоритмов симметричного шифрования можно привести первую систему с открытым ключом - метод экспоненциального ключевого обмена Диффи - Хеллмана. Метод предназначен для передачи секретного ключа симметричного шифрования. В обмене задействованы два участника А и Б. Сначала они выбирают большие простые числа n и g < n (эти числа секретными не являются). Затем участник A выбирает большое целое число х, вычисляет Х = g^x mod n и передает Х участнику Б. Б в свою очередь выбирает большое целое число y, вычисляет Y = g^y mod n и передает Y участнику А. Б вычисляет K^´ = X^y mod n, А вычисляет K^´´ = Y^x mod n. Легко заметить, что K^´ = K^´´ = g^xy mod n, и это значение оба участника могут использовать в качестве ключа симметричного шифрования. Злоумышленник может узнать такие параметры алгоритма, как n, g, X, Y, но вычислить по ним значения x или y - задача, требующая очень больших вычислительных мощностей и времени.

Примером действительно асимметричного алгоритма шифрования, основанного на проблеме дискретного логарифма, является алгоритм Эль-Гемаля. Последовательность действий при генерации ключей, шифровании и дешифрации представлена на рис. 1.

Рис. 1. Схема шифрования алгоритма Эль-Гемаля

Так как a^x≡ g^kx mod p, то имеем:

. (1)

Самым первым, действительно асимметричным алгоритмом стал алгоритм RSA. В основу криптостойкости RSA положена задача факторизации (разложения на множители) больших (более 200 двоичных разрядов) целых чисел.

Процедуры генерации ключей, шифрования и дешифрования для этого алгоритма представлены на рис. 2.

Рис. 2. Схема шифрования алгоритма RSA

На этапе генерации ключей формируется пара ключей: закрытый d и открытый e. Шифрование данных должно начинаться с его разбиения на блоки m размером k = [log₂ (n)] бит каждое, чтобы блок m можно было рассматривать как целое число в диапазоне [0.. n - 1]. Обратимость операции шифрования и дешифрования RSA требует доказательства. Из теоремы Эйлера известно, что для двух целых чисел n и x, таких, что (n,x) = 1, выполняется:

x^j(n)≡ 1 mod n, (2)

где j(n) - функция Эйлера, значение которой равно количеству чисел меньших n и взаимно простых с ним. Для n = p∙q из алгоритма RSA, где p и q - простые числа, можно записать j(n) = (p - 1)(q - 1).

Тогда (1) можно переписать в виде:

x^{(p - 1)(q - 1)} ≡ 1 mod n. (3)

Возведем обе части (3) в степень - y:

x^{(-y)(p - 1)(q - 1)}º 1^(-y) mod n ≡ 1 mod n. (4)

Умножим обе части (4) на x:

x^{(-y)(p - 1)(q - 1) +1}mod n = x. (5)
Но при генерации ключей мы получили e и d такие, что ed º 1 mod (p - 1)(q - 1), а это означает, что в (5) можно заменить 1 - y(p - 1)(q - 1) на ed:
x^edmod n = x. (6)

Тогда, если мы возведем шифротекста c = m^e mod n в степень d по модулю n, как мы это и делаем при дешифровании, то получим:

(c^d) mod n = (m^e mod n)^d mod n = m^ed mod n = m. (7)

Очевидно, что основная задача криптоаналитика при взломе этого шифра - узнать закрытый ключ d. Для этого он должен выполнить те же действия, что и получатель при генерации ключа - решить в целых числах уравнение ed + y (p - 1)(q - 1) = 1 относительно d и y. Однако, если получателю известны входящие в уравнение параметры p и q, то криптоаналитик знает только число n - произведение p и q. Следовательно, ему необходимо произвести факторизацию числа n, то есть разложить его на множители. Для решения задачи факторизации к настоящему времени разработано множество алгоритмов: квадратичного решета, обобщенного числового решета, метод эллиптических кривых. Но для чисел большой размерности это очень трудоемкая задача.

Список литературы

1. Методы и средства защиты компьютерной информации: учебное пособие / Д.Н. Лясин, С.Г. Саньков - РПК «Политехник», 2005.

ЭВТАНАЗИЯ И ВРАЧ: ОТ БИОЭТИКИ И ПРАВА К АНТРОПОЛОГИИ И ЧЕЛОВЕКУ

Данная статья посвящена проблеме эвтаназии, которая рассматривается автором в контексте философско-антропологических воззрений таких представителей русской религиозной философии, как Ф.М. Достоевский, В.С. Соловьёв, И.А. Ильин. Согласно их учению, действие, направленное на лишение человека жизни, ведёт к разрушению человеческой природы. Исходя из данной идеи, мы можем рассматривать эвтаназию как действие, ведущее к нарушению человеческой природы врача. ...

25 05 2026 15:35:56

ВИДЫ ПАРАДЕЙСТВИЙ В ЯЗЫКЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ НЕВЕРБАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ЯЗЫКОЗНАНИИ

В статье говорится о видах парадействий в языке и исследованиях невербальных элементов в языкознании. ...

24 05 2026 6:21:30

СОВРЕМЕННЫЕ ПОДХОДЫ К КОМПЬЮТЕРНОМУ МОНИТОРИНГУ В КЛИНИЧЕСКОЙ НЕЙРОФИЗИОЛОГИИ

Статья в формате PDF 117 KB...

23 05 2026 8:57:50

ИЗУЧЕНИЕ РЕАКЦИИ ГИДРИРОВАНИЯ АЛЛИЛОВОГО СПИРТА НА 1 %Pd/Nd2O3 КАТАЛИЗАТОРЕ

В работе представлены результаты по гидрированию аллилового спирта на 1 % Pd/Nd2O3 катализаторе. Найдено увеличение скорости гидрирования в 3,3 раза на 1 %Pd/Nd2O3 катализаторе по сравнению с 1 %Pd/Al2O3.. Показана возможность «мягкого» жидкофазного гидрирования двойной связи в аллиловом спирте, не осложненное конкурирующим гидрированием гидроксильной группы. Побочной реакцией является образование пропаналя. ...

22 05 2026 21:43:46

Возможности мониторинга адаптации системы внешнего дыхания человека к действию экологических факторов

Статья в формате PDF 115 KB...

21 05 2026 17:14:46

ВЕДУЩИЙ МЕХАНИЗМ ИММУНОПАТОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА ПРИ ПСОРИАТИЧЕ-СКОЙ БОЛЕЗНИ

С целью уточнения хаpaктера иммунопатологического процесса при псориатической болезни и выяснения аутоиммунного механизма воспаления авторами проведено клинико-иммунологическое обследование 132 больных псориатической болезнью. Комплексное иммунологическое обследование пациентов с определением содержания органоспецифических и органонеспецифических аутоантител к различным тканевым и органным антигенам позволило определить аутоиммунный тип иммунной патологии как один из ведущих механизмов воспаления при данной патологии. ...