ПРИКЛАДНОЕ ЗНАЧЕНИЕ СРАВНИМОСТИ ЧИСЕЛ В КРИПТОГРАФИИ
Сравнения нашли широкое применение в криптографии и шифровании. Один из наглядных примеров - алгоритмы ассиметричного шифрования. Основная идея асимметричного шифрования заключается в существовании сразу двух ключей для обмена информацией - открытого, известного любому желающему, и закрытого, который известен лишь получателю информации. Очевидно, что открытый и закрытый ключи генерируются одновременно и между ними существует определенная математическая связь. Основная задача проектировщика асимметричного алгоритма заключается в том, чтобы по известному открытому ключу было бы невозможно (очень трудоемко) получить секретный ключ шифрования. Для этого в основу асимметричных алгоритмов закладываются вычислительно трудные задачи факторизации, дискретного логарифмирования, проецирования точек на эллиптической кривой и т.д. Объединяет все эти задачи то, что они используют операцию получения остатка от целочисленного деления (сравнения). Говорят, что два целых числа a и b являются сравнимыми по модулю n, если (a mod n) = (b mod n). Это записывается в виде:
a ≡ b mod n.
В качестве примера алгоритмов симметричного шифрования можно привести первую систему с открытым ключом - метод экспоненциального ключевого обмена Диффи - Хеллмана. Метод предназначен для передачи секретного ключа симметричного шифрования. В обмене задействованы два участника А и Б. Сначала они выбирают большие простые числа n и g < n (эти числа секретными не являются). Затем участник A выбирает большое целое число х, вычисляет Х = gx mod n и передает Х участнику Б. Б в свою очередь выбирает большое целое число y, вычисляет Y = gy mod n и передает Y участнику А. Б вычисляет K´ = Xy mod n, А вычисляет K´´ = Yx mod n. Легко заметить, что K´ = K´´ = gxy mod n, и это значение оба участника могут использовать в качестве ключа симметричного шифрования. Злоумышленник может узнать такие параметры алгоритма, как n, g, X, Y, но вычислить по ним значения x или y - задача, требующая очень больших вычислительных мощностей и времени.
Примером действительно асимметричного алгоритма шифрования, основанного на проблеме дискретного логарифма, является алгоритм Эль-Гемаля. Последовательность действий при генерации ключей, шифровании и дешифрации представлена на рис. 1.
Рис. 1. Схема шифрования алгоритма Эль-Гемаля
Так как ax ≡ gkx mod p, то имеем:
. (1)
Самым первым, действительно асимметричным алгоритмом стал алгоритм RSA. В основу криптостойкости RSA положена задача факторизации (разложения на множители) больших (более 200 двоичных разрядов) целых чисел.
Процедуры генерации ключей, шифрования и дешифрования для этого алгоритма представлены на рис. 2.
Рис. 2. Схема шифрования алгоритма RSA
На этапе генерации ключей формируется пара ключей: закрытый d и открытый e. Шифрование данных должно начинаться с его разбиения на блоки m размером k = [log2 (n)] бит каждое, чтобы блок m можно было рассматривать как целое число в диапазоне [0.. n - 1]. Обратимость операции шифрования и дешифрования RSA требует доказательства. Из теоремы Эйлера известно, что для двух целых чисел n и x, таких, что (n,x) = 1, выполняется:
xj(n) ≡ 1 mod n, (2)
где j(n) - функция Эйлера, значение которой равно количеству чисел меньших n и взаимно простых с ним. Для n = p∙q из алгоритма RSA, где p и q - простые числа, можно записать j(n) = (p - 1)(q - 1).
Тогда (1) можно переписать в виде:
x(p - 1)(q - 1) ≡ 1 mod n. (3)
Возведем обе части (3) в степень - y:
x(-y)(p - 1)(q - 1) º 1(-y) mod n ≡ 1 mod n. (4)
Умножим обе части (4) на x:
x(-y)(p - 1)(q - 1) +1 mod n = x. (5)
Но при генерации ключей мы получили e и d такие, что ed º 1 mod (p - 1)(q - 1), а это означает, что в (5) можно заменить 1 - y(p - 1)(q - 1) на ed:xed mod n = x. (6)
Тогда, если мы возведем шифротекста c = me mod n в степень d по модулю n, как мы это и делаем при дешифровании, то получим:
(cd ) mod n = (me mod n)d mod n = med mod n = m. (7)
Очевидно, что основная задача криптоаналитика при взломе этого шифра - узнать закрытый ключ d. Для этого он должен выполнить те же действия, что и получатель при генерации ключа - решить в целых числах уравнение ed + y (p - 1)(q - 1) = 1 относительно d и y. Однако, если получателю известны входящие в уравнение параметры p и q, то криптоаналитик знает только число n - произведение p и q. Следовательно, ему необходимо произвести факторизацию числа n, то есть разложить его на множители. Для решения задачи факторизации к настоящему времени разработано множество алгоритмов: квадратичного решета, обобщенного числового решета, метод эллиптических кривых. Но для чисел большой размерности это очень трудоемкая задача.
Список литературы
1. Методы и средства защиты компьютерной информации: учебное пособие / Д.Н. Лясин, С.Г. Саньков - РПК «Политехник», 2005.
Статья в формате PDF
136 KB...
14 06 2026 22:14:18
Статья в формате PDF
527 KB...
13 06 2026 13:32:14
Статья в формате PDF
113 KB...
10 06 2026 20:27:16
Статья в формате PDF
108 KB...
09 06 2026 4:29:32
Статья в формате PDF
122 KB...
08 06 2026 14:43:28
Статья в формате PDF
134 KB...
07 06 2026 21:50:31
Статья в формате PDF
103 KB...
06 06 2026 11:20:14
Статья в формате PDF
269 KB...
05 06 2026 15:45:13
Статья в формате PDF
101 KB...
03 06 2026 12:26:51
Статья в формате PDF
101 KB...
01 06 2026 17:49:30
Исследованы изменения биохимических показателей школьников в условиях их работы за компьютером. Дан сравнительный анализ изменений биохимических показателей у школьников с разными биоритмами в разные сезоны года. Получены результаты, свидетельствующие о значительном изменении биохимических показателей школьников в условиях их работы за компьютером в весенний период.
...
31 05 2026 22:50:55
Статья в формате PDF
121 KB...
28 05 2026 0:43:11
Статья в формате PDF
100 KB...
26 05 2026 4:39:47
В этой статье рассматриваются вопросы применения инновационных технологии формирования навыков здорового образа жизни учащихся сельских школ во внеурочное время.
...
25 05 2026 16:46:32
Образовательные организации и части (студенты, профессорско-преподавательский состав, учебно-вспомогательный персонал и др.) вполне можно представить как популяции. Цель статьи – показать возможности идентификации результатов деятельности вузов биотехническим законом. В каждый момент времени могут образовываться популяции (отличники, середняки и т.д.) или по кастам (преподаватели и др.) по успеваемости в жизни. Рассмотрены распределения результатов тестирования студентов по учебным дисциплинам по общеизвестной шкале 2, 3, 4 и 5.
...
24 05 2026 5:40:38
Статья в формате PDF
123 KB...
23 05 2026 15:11:41
Статья в формате PDF
109 KB...
22 05 2026 4:10:21
Статья в формате PDF
119 KB...
21 05 2026 4:18:51
Статья в формате PDF
244 KB...
20 05 2026 16:42:48
Статья в формате PDF
103 KB...
19 05 2026 11:52:36
Статья в формате PDF
141 KB...
18 05 2026 8:10:49
Статья в формате PDF
120 KB...
15 05 2026 20:50:48
Статья в формате PDF
395 KB...
14 05 2026 0:50:27
Статья в формате PDF
115 KB...
13 05 2026 14:38:27
Статья в формате PDF
117 KB...
12 05 2026 14:24:19
Статья в формате PDF
285 KB...
11 05 2026 6:53:32
Статья в формате PDF
275 KB...
10 05 2026 8:37:54
Установлена высокая активизация в костном мозге крыс необработанным янтарем процессов пролиферации и дифференциации клеток зернистого ростка лейкоцитов, эритроидного ростка и лимфоидных клеток. Изучено влияние необработанного янтаря на морфофункциональные реакции в иммунокомпетентных структурных компонентах лимфоидных органов и выявлена активизация в них Т- и В-зависимых зон. В лимфатических узлах это выражалось виде расширения площадей лимфатических узелков без светлых и со светлыми центрами, мякотных тяжей и паpaкортикальной зоны на фоне уменьшения площади, занимаемой корковым плато; в селезенке в виде расширения площадей лимфатических узелков без светлых и со светлыми центрами и периваскулярных лимфоидных муфт; в тимусе в виде расширения площади коркового вещества органа, на фоне некоторого уменьшения площади мозгового вещества органа. Разные формы применения необработанного янтаря способствовали повышению в лимфоидных органах содержания Т- и В-лимфоцитов, Т-хелперов и снижению до уровня физиологических норм Т-супрессоров/киллеров.
...
09 05 2026 17:22:25
Статья в формате PDF
130 KB...
08 05 2026 5:10:42
Статья в формате PDF
288 KB...
07 05 2026 19:35:11
Статья в формате PDF
184 KB...
06 05 2026 11:21:49
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
