О НАХОЖДЕНИИ ОБЪЕМОВ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Методика изложения теории объёмов тел вращения зависит от подхода к изложению объемов многогранников. Основной методической проблемой при этом является вывод формулы для тетраэдра (теорема Дена), в нем необходимо явно или неявно использовать неэлементарные методы, связанные с операцией интегрирования.
Существует 4 подхода к изложению теории объемов.
1. «Метод исчерпывания» (Погорелов). Объёмы тел вращения определяются как пределы последовательностей объёмов вписанных и описанных многогранников, при этом сложность составляет вычисление объёма шара - приходится вводить формулу для объёма тела вращения через определённый интеграл.
2. Вычисление объёмов тел с помощью определённого интеграла (Атанасян, Александров).
3. С помощью принципа Кавальери, который принимается за дополнительную аксиому объёмов (к аксиомам нормируемости, неотрицательности, инвариантности, аддитивности), (Виленкин).
4. По формуле Симпсона (Киселев).
Нами разpaбатывается методика изучения темы в условиях профильной школы. В частности, на базовом уровне решение задач, в том числе из открытого банка заданий ЕГЭ (на нахождение объемов частей цилиндра и конуса - 2012 г.) на основе использования аксиом меры. На профильном уровне возможно рассмотрение следующих вопросов.
1. Применение принципа Кавальери для нахождения объема шара и его частей, объема «арбузной дольки», шарового кольца (в шаре просверлен цилиндрический канал, ось которого - диаметр шара), «копыта» (через центр основания прямого кругового цилиндра под острым углом к плоскости основания проходит плоскость).
2. Применение теоремы Гульдена-Паппа для нахождения объемов тел, возникающих при вращении треугольника, трапеции, полукруга, круга, четверти круга, сегмента круга (Объем тела вращения фигуры, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси вращения, равен произведению площади фигуры и длины окружности, которую описывает центр масс фигуры при вращении: V = 1πRS).
3. Эквивалентные замены при нахождении объема тела вращения (фигуры вращения, оси).
Статья в формате PDF
254 KB...
22 05 2026 16:21:23
Статья в формате PDF
134 KB...
20 05 2026 11:32:23
Статья в формате PDF
298 KB...
19 05 2026 21:52:26
Статья в формате PDF
251 KB...
18 05 2026 22:36:13
Статья в формате PDF
84 KB...
17 05 2026 1:33:40
Статья в формате PDF
263 KB...
16 05 2026 3:59:58
Статья в формате PDF
92 KB...
15 05 2026 6:23:10
Статья в формате PDF
138 KB...
14 05 2026 3:26:30
Статья в формате PDF
101 KB...
13 05 2026 16:44:11
Статья в формате PDF
91 KB...
12 05 2026 8:32:15
Статья в формате PDF
106 KB...
11 05 2026 21:45:47
Статья в формате PDF
112 KB...
10 05 2026 21:40:59
В работе рассмотрена очистка природных вод от ионов жесткости с помощью сорбентов на основе выщелоченных базальтовых волокон, модифицированных бентонитовой глиной. Определены статические и динамические параметры очистки.
...
09 05 2026 5:19:23
Статья в формате PDF
232 KB...
08 05 2026 0:20:42
Рассматриваются показатели видового разнообразия мелких млекопитающих в зоне влияния алмaзoдобывающей промышленности Западной Якутии. Исследования проводились на территории двух крупных промышленных узлов – Мирнинского (среднетаежная подзона) и Айхало-Удачнинского (северотаежная подзона). Отработано около 7040 конусо-суток, 4700 ловушко-суток и отловлено 1920 экз. мелких млекопитающих, относящихся к 17 видам. Отмечено, что при масштабных преобразованиях ландшафтов, хаpaктерных для деятельности предприятий горнодобывающей промышленности, происходят изменения состава сообществ и популяционных параметров мелких млекопитающих, что свидетельствует о пессимизации среды обитания. Причем негативные трaнcформации более резко выражены в пределах северотаежной подзоны.
...
07 05 2026 18:56:42
В статье описаны эксперименты по изучению влияния основных факторов среды на жизнедеятельность жабронога стрептоцефалюса. Установлено, что наиболее оптимальная температура воды для роста и развития рачка и созревания его яиц составляет 15 - 25°С. Этот вид является исключительно пресноводным и чувствительно реагирует даже на небольшое повышение солености (в пределах 1 - 2%о). Однако жаброног способен выдерживать значительный дефицит кислорода в воде (2,5 - 2 мг/л).
...
06 05 2026 18:13:49
Статья в формате PDF
114 KB...
05 05 2026 0:52:31
Статья в формате PDF
101 KB...
04 05 2026 18:44:44
Статья в формате PDF
112 KB...
03 05 2026 4:24:31
Статья в формате PDF
102 KB...
02 05 2026 21:27:40
Статья в формате PDF
120 KB...
01 05 2026 1:41:25
Статья в формате PDF
132 KB...
30 04 2026 2:46:57
Статья в формате PDF
66 KB...
29 04 2026 10:59:26
Статья в формате PDF
182 KB...
28 04 2026 2:31:50
Статья в формате PDF
136 KB...
27 04 2026 5:13:29
Статья в формате PDF
112 KB...
25 04 2026 13:12:40
Статья в формате PDF
289 KB...
24 04 2026 3:53:11
Любая научная дисциплина строится на основных понятиях, которые, являясь фундаментальными, имеют философский исток. В биологических науках среди прочих таковыми являются понятия «системы» и «целого». В настоящее время возникла необходимость по-новому взглянуть на их роль в решении вопроса о функционировании живого организма, на их взаимоотношения и структурно-функциональное наполнение. Первый шаг в таком рассмотрении сделан авторами настоящей статьи, в которой определено место этих понятий в описании функций живого, как в теоретическом, так и в пpaктическом плане.
...
23 04 2026 20:28:30
Статья в формате PDF
102 KB...
22 04 2026 11:21:17
Статья в формате PDF
104 KB...
21 04 2026 8:23:18
Статья в формате PDF
116 KB...
20 04 2026 7:55:32
Приведены новые положения теории зацепления, отражающие специфику цилиндрической винтовой пары «инструмент-деталь»
...
19 04 2026 4:12:24
Статья в формате PDF
111 KB...
18 04 2026 17:11:28
Статья в формате PDF
100 KB...
17 04 2026 18:15:15
Статья в формате PDF
121 KB...
16 04 2026 9:48:22
Статья в формате PDF
98 KB...
15 04 2026 9:22:51
Статья в формате PDF
133 KB...
14 04 2026 16:58:22
Статья в формате PDF
268 KB...
13 04 2026 13:28:46
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
