О НАХОЖДЕНИИ ОБЪЕМОВ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Методика изложения теории объёмов тел вращения зависит от подхода к изложению объемов многогранников. Основной методической проблемой при этом является вывод формулы для тетраэдра (теорема Дена), в нем необходимо явно или неявно использовать неэлементарные методы, связанные с операцией интегрирования.
Существует 4 подхода к изложению теории объемов.
1. «Метод исчерпывания» (Погорелов). Объёмы тел вращения определяются как пределы последовательностей объёмов вписанных и описанных многогранников, при этом сложность составляет вычисление объёма шара - приходится вводить формулу для объёма тела вращения через определённый интеграл.
2. Вычисление объёмов тел с помощью определённого интеграла (Атанасян, Александров).
3. С помощью принципа Кавальери, который принимается за дополнительную аксиому объёмов (к аксиомам нормируемости, неотрицательности, инвариантности, аддитивности), (Виленкин).
4. По формуле Симпсона (Киселев).
Нами разpaбатывается методика изучения темы в условиях профильной школы. В частности, на базовом уровне решение задач, в том числе из открытого банка заданий ЕГЭ (на нахождение объемов частей цилиндра и конуса - 2012 г.) на основе использования аксиом меры. На профильном уровне возможно рассмотрение следующих вопросов.
1. Применение принципа Кавальери для нахождения объема шара и его частей, объема «арбузной дольки», шарового кольца (в шаре просверлен цилиндрический канал, ось которого - диаметр шара), «копыта» (через центр основания прямого кругового цилиндра под острым углом к плоскости основания проходит плоскость).
2. Применение теоремы Гульдена-Паппа для нахождения объемов тел, возникающих при вращении треугольника, трапеции, полукруга, круга, четверти круга, сегмента круга (Объем тела вращения фигуры, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси вращения, равен произведению площади фигуры и длины окружности, которую описывает центр масс фигуры при вращении: V = 1πRS).
3. Эквивалентные замены при нахождении объема тела вращения (фигуры вращения, оси).
Статья в формате PDF
245 KB...
10 08 2026 8:55:59
Статья в формате PDF 103 KB...
09 08 2026 14:33:16
Статья в формате PDF 114 KB...
08 08 2026 4:54:14
Статья в формате PDF
124 KB...
07 08 2026 4:10:37
В работе представлены результаты исследовании, в которых приняло участие около 186 учащихся, наблюдавшихся несколько раз в течение учебного года. В результате были установлены целый ряд динамических закономерностей в нейрогумopaльных регуляциях и возрастно-пoлoвых различий между детьми в процессах адаптационных перестроек организма в связи с учебными нагрузками в различных учебно-воспитательных учреждениях. Показано, что обучение в начальной школе, хотя и не оказывает существенного влияния на возрастную динамику антропометрических показателей, в то же время в значительной мере увеличивает напряженность регуляторных систем.
...
06 08 2026 1:49:20
Статья в формате PDF
134 KB...
05 08 2026 12:19:30
Статья в формате PDF
251 KB...
04 08 2026 7:29:54
Статья в формате PDF
115 KB...
03 08 2026 13:30:59
Статья в формате PDF
117 KB...
02 08 2026 1:53:10
Статья в формате PDF
278 KB...
01 08 2026 9:43:31
Статья в формате PDF
272 KB...
31 07 2026 10:58:57
В западных предгорьях Алтая скважинами вскрыты погребенные долины, выполненные верхнеолигоцен-нижнемиоценовым аллювием. Литологические, минералогические, геохимические особенности этих отложений и спорово-пыльцевые спектры свидетельствуют об их накоплении, и формировании долин в условиях влажного умеренно теплого климата со среднегодовыми положительными температурами не ниже +3 °С и годовым количеством осадков не менее 800 мм. В это время здесь, в ныне самом засушливом районе Алтая со среднегодовым количеством осадков 200 мм, были развиты ландшафты хвойно-широколиственных и листопадных лесов тургайского типа с участием отдельных теплолюбивых субтропических элементов.
...
30 07 2026 3:57:42
Статья в формате PDF
104 KB...
28 07 2026 14:58:53
Статья в формате PDF
130 KB...
27 07 2026 6:51:16
Статья в формате PDF
100 KB...
26 07 2026 9:17:26
Статья в формате PDF
358 KB...
25 07 2026 2:57:31
Статья в формате PDF
96 KB...
22 07 2026 5:43:18
Статья в формате PDF
134 KB...
21 07 2026 23:41:59
Статья в формате PDF
323 KB...
20 07 2026 6:41:20
Статья в формате PDF
303 KB...
19 07 2026 3:37:38
Статья в формате PDF
212 KB...
18 07 2026 5:49:37
Статья в формате PDF
180 KB...
17 07 2026 19:32:46
Статья в формате PDF
133 KB...
16 07 2026 13:17:54
Статья в формате PDF
162 KB...
15 07 2026 3:14:42
Статья в формате PDF
296 KB...
14 07 2026 23:29:47
В работе показаны причины возникновения профессиональных заболеваний в результате воздействия на организм человека асбестовой пыли. Клинические проявления и специфические симптомы, вызванные длительным контактом с асбестовой пылью. Рекомендуется новая технология пневмообогащения асбестового минерального сырья на базе ранее разработанных Тувинским институтом комплексного освоения природных ресурсов СО РАН способов и устройств по переработке минерального сырья, содержащего тяжелые минералы и металлы.
...
11 07 2026 21:14:18
Представлен обзор литературы, посвященный хирургическому лечению повреждений селезенки. Особое внимание отводится хирургическому лечению, направленному на сохранение этого органа с помощью лазерной техники. Показано, что пpaктика использования операций, направленных на сохранение селезенки при ее травме прошла несколько этапов. Применение таких хирургических вмешательств во многом зависит от технического оснащения операционного блока.
...
10 07 2026 11:15:25
Статья в формате PDF
119 KB...
09 07 2026 16:34:36
Статья в формате PDF
118 KB...
08 07 2026 23:34:42
Статья в формате PDF
225 KB...
07 07 2026 14:55:33
Статья в формате PDF
263 KB...
04 07 2026 9:21:41
В статье авторами рассмотрены региональные особенности социальной защиты ветеранов, инвалидов и пожилых граждан, в частности, меры социальной поддержки и социальное обслуживание.
...
03 07 2026 5:25:57
Статья в формате PDF
108 KB...
02 07 2026 4:23:50
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
