О НАХОЖДЕНИИ ОБЪЕМОВ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

Авторы
Файлы

Новикова Н.В. Чикунова О.И. Статья в формате PDF 271 KB

Методика изложения теории объёмов тел вращения зависит от подхода к изложению объемов многогранников. Основной методической проблемой при этом является вывод формулы для тетраэдра (теорема Дена), в нем необходимо явно или неявно использовать неэлементарные методы, связанные с операцией интегрирования.

Существует 4 подхода к изложению теории объемов.

1. «Метод исчерпывания» (Погорелов). Объёмы тел вращения определяются как пределы последовательностей объёмов вписанных и описанных многогранников, при этом сложность составляет вычисление объёма шара - приходится вводить формулу для объёма тела вращения через определённый интеграл.

2. Вычисление объёмов тел с помощью определённого интеграла (Атанасян, Александров).

3. С помощью принципа Кавальери, который принимается за дополнительную аксиому объёмов (к аксиомам нормируемости, неотрицательности, инвариантности, аддитивности), (Виленкин).

4. По формуле Симпсона (Киселев).

Нами разpaбатывается методика изучения темы в условиях профильной школы. В частности, на базовом уровне решение задач, в том числе из открытого банка заданий ЕГЭ (на нахождение объемов частей цилиндра и конуса - 2012 г.) на основе использования аксиом меры. На профильном уровне возможно рассмотрение следующих вопросов.

1. Применение принципа Кавальери для нахождения объема шара и его частей, объема «арбузной дольки», шарового кольца (в шаре просверлен цилиндрический канал, ось которого - диаметр шара), «копыта» (через центр основания прямого кругового цилиндра под острым углом к плоскости основания проходит плоскость).

2. Применение теоремы Гульдена-Паппа для нахождения объемов тел, возникающих при вращении треугольника, трапеции, полукруга, круга, четверти круга, сегмента круга (Объем тела вращения фигуры, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси вращения, равен произведению площади фигуры и длины окружности, которую описывает центр масс фигуры при вращении: V = 1πRS).

3. Эквивалентные замены при нахождении объема тела вращения (фигуры вращения, оси).

ПРОЕКТ ПАМЯТНИКА СВЯТЫМ КНЯЗЬЯМ БОРИСУ И ГЛЕБУ В ГОРОДЕ БОРИСОГЛЕБСКЕ

Статья в формате PDF 987 KB...

30 10 2026 21:59:48

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ И ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В СРЕДНЕМ ПРОФЕССИОНАЛЬНОМ ОБРАЗОВАНИИ

Статья в формате PDF 94 KB...

29 10 2026 20:30:28

КЛИНИКО-ЭКОЛОГИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СУРФАКТАНТНОЙ СИСТЕМЫ ЛЕГКИХ В АСТМАЛОГИИ

Статья в формате PDF 89 KB...

28 10 2026 22:26:26

ПОВЫШЕНИЕ СТОЙКОСТИ ИНСТРУМЕНТА АЗОТИРОВАНИЕМ

Статья в формате PDF 312 KB...

27 10 2026 0:57:38

УРОГЕНИТАЛЬНЫЙ БРУЦЕЛЛЕЗ ЧЕЛОВЕКА

Статья в формате PDF 105 KB...

26 10 2026 1:29:45

СТРУКТУРА МЕЖМЫШЕЧНОГО НЕРВНОГО СПЛЕТЕНИЯ В ТОНКОМ ОТДЕЛЕ КИШЕЧНИКА ОВЕЦ

Статья в формате PDF 134 KB...

25 10 2026 2:45:32

ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ВЫРАЩИВАНИЯ СОРГО В УСЛОВИЯХ АСТРАХАНСКОЙ ОБЛАСТИ

В обзорной статье рассмотрены основные элементы энергосберегающей технологии возделывания сорго в условиях Астpaxaнской области, к которым относятся: подготовка семян к посеву, севооборот, подбор сортов, нормы высева и способы посева, минеральные подкормки, борьба с сорными растениями и болезнями с помощью внесение гербицидов, орошение по фазам роста и развития, с помощью дождевания наименее энергозатратных агрегатов. ...

24 10 2026 20:47:41

Хаpaктеристика проведения мелиорации в Ивановской области в рамках

Статья в формате PDF 254 KB...

23 10 2026 14:11:19

РАЗРАБОТКА СИСТЕМЫ МЕНЕДЖМЕНТА КАЧЕСТВА В КузГТУ

Важность разработки и внедрения системы менеджмента качества в вузе отражена и закреплена в ряде приказов Федерального агентства по образованию и обусловлена предстоящим вступлением страны в ВТО и присоединение к Болонскому процессу. В статье описываются алгоритм, этапы деятельности, результаты разработки и внедрения СМК в Кузбасском государственном техническом университете. ...

22 10 2026 10:21:55

МЕТОД МОЛЕКУЛЯРНЫХ МЕТОК В СИСТЕМАХ ЗАПИСИ И СЧИТЫВАНИЯ КОДИРОВАННОЙ ИНФОРМАЦИИ

Статья в формате PDF 106 KB...

21 10 2026 22:37:58

СПЕКТР МИКРОФЛОРЫ НИЖНИХ ОТДЕЛОВ РЕПРОДУКТИВНОГО ТРАКТА ЖЕНЩИН С ОБОСТРЕНИЕМ ХРОНИЧЕСКОГО САЛЬПИНГООФОРИТА

Статья в формате PDF 110 KB...

20 10 2026 10:36:22

ДИАГНОСТИКА И ЛЕЧЕНИЕ ХРОНИЧЕСКОГО ГАСТРИТА

Статья в формате PDF 112 KB...

19 10 2026 18:13:44

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ВНУТРИАРТЕРИАЛЬНОЙ ИНФУЗИОННОЙ ТЕРАПИИ ПРИ ИШЕМИЧЕСКИХ ОПТИЧЕСКИХ НЕЙРОПАТИЯХ

Статья в формате PDF 119 KB...

18 10 2026 23:55:58

КРИТЕРИЙ И УСЛОВИЕ ОПТИМИЗАЦИИ ИСКУССТВЕННОЙ БИОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ

Статья в формате PDF 157 KB...

17 10 2026 8:42:46

«СИМФОНИЧЕСКИЕ ТАНЦЫ» РАХМАНИНОВА. ПЕРСПЕКТИВЫ БАЛЕТНОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ

Статья в формате PDF 119 KB...

16 10 2026 23:10:59

НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ КАК ИНСТРУМЕНТ ДЛЯ РАСШИРЕНИЯ ЕСТЕСТВЕННО- НАУЧНОГО КРУГОЗОРА УЧАЩИХСЯ

Нестандартные задачи в педагогической пpaктике создают благоприятные условия для качественной подготовки учащихся, быстрой адаптации в окружающем мире и малознакомых предметных областях, стимулируют самообразование, формируют научную картину мира и являются инструментом для расширения естественнонаучного кругозора учащихся. ...

15 10 2026 22:23:15

ПРАВОВОЙ НИГИЛИЗМ В РОССИЙСКОМ ОБЩЕСТВЕ

Статья в формате PDF 122 KB...

14 10 2026 11:20:21

УМСТВЕННАЯ И ФИЗИЧЕСКАЯ РАБОТОСПОСОБНОСТЬ СТУДЕНТОВ КАК ФАКТОР АДАПТАЦИИ К УЧЕБНОМУ ПРОЦЕССУ

Статья в формате PDF 134 KB...

13 10 2026 12:32:40

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРЕПАРАТА «ИОД-ДАР» ПРИ ЛЕЧЕНИИ ЭНДЕМИЧЕСКОГО ЗОБА В КАБАРДИНО-БАЛКАРИИ

Статья в формате PDF 105 KB...

12 10 2026 8:27:19

СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ИНДЕКСА «МИОКАРД» У ДЕТЕЙ С КАРДИОЛОГИЧЕСКОЙ ПАТОЛОГИЕЙ

Статья в формате PDF 270 KB...

11 10 2026 21:53:50

К ВОПРОСУ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЛИЯНИЯ АТМОСФЕРНОГО ДАВЛЕНИЯ, ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВЛАЖНОСТИ И ТЕМПЕРАТУРЫ ВОЗДУХА НА ДАВЛЕНИЕ ВОЗДУХА В ШИНЕ ЛЕГКОВОГО АВТОМОБИЛЯ

Исследованы вопросы влияния давления, относительной влажности и температуры атмосферы на давление воздуха в шине 175/70R13 легкового автомобиля ВАЗ на основании данных ГУ «ВНИИГМИ-МЦД» по постам (станциям) о температуре воздуха, относительной влажности и атмосферном давлении на уровне станции по природно – климатическим поясам России. Вопросы влияния климатических хаpaктеристик на давление в автомобильных шинах рассмотрены для летнего периода, который является наиболее нагруженным в году периодом в плане эксплуатации автомобиля. Исследования выполнены методом случайной выборки с использованием данных срочных наблюдений по постам Федеральной службы по гидрометеорологии и мониторингу окружающей среды. Изменения давления в шине в течение рабочей смены значительно влияют на управляемость, надежность и экономическую эффективность эксплуатации автотрaнcпорта. ...