ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА

1

• Авторы
• Файлы

Корытов И.В. Статья в формате PDF 156 KB

Оценка качества формулы приближенного интегрирования при функционально-аналитическом подходе предполагает использование критерия минимальности нормы функционала погрешности в соответствующем прострaнcтве. Нормы функционалов определяются через экстремальные функции, которые являются обобщенными решениями некоторых дифференциальных уравнений в частных производных. Дифференциальный оператор такого уравнения порождается видом нормы функции в основном прострaнcтве. Задачи этого круга восходят своими истоками к работам С.Л.Соболева 60-70 гг., где теория оценивания погрешности приближенного интегрирования была построена для гильбертовых прострaнcтв  [1], [2]. Дальнейшее обобщение происходило одновременно в направлениях от  к  ( ) В.И.Половинкиным [3] и от факторизации  к  Ц.Б.Шойнжуровым [4]. Теория для негильбертова показателя суммируемости  разработана Ц.Б.Шойнжуровым [5], и независимо ряд сходных результатов получен М.Д.Рамазановым [6]. При разработке теории в  вводились специальные способы нормирования прострaнcтва с помощью преобразования Фурье фундаментального решения известного дифференциального оператора. Разработка теории для прострaнcтв с естественными нормами, являющимися прямым обобщением норм из  начата Ц.Б.Шойнжуровым [7] и продолжена нами [8]. В настоящее время исследования распространяются на функциональные прострaнcтва с нормами, осложненными весовыми функциями. Данная работа посвящена нахождению представлений линейных функционалов в весовом прострaнcтве Соболева через суммируемые функции. Наличие представлений функционалов погрешности кубатурных формул в исследуемых прострaнcтвах позволяет получать оценки погрешности численного интегрирования для этих классов функций, в некоторых случаях неулучшаемые.

Предварительные сведения.

Прострaнcтво  определяется как замыкание прострaнcтва S Шварца в норме

,(1)

где - весовая функция произвольного знака, такая, что произведения  суммируемы в p-й степени. Отметим, что в работах [1], [5] и других применялась весовая функция, неотрицательная на всей области определения.

Оператор , где Δ - оператор Лапласа, порождается нормой [5]

,      (2)

Оператор  порождается нормой [8]

,      (3)

Результаты.

Теорема 1. Фундаментальные решения  и  операторов  и  принадлежат прострaнcтву , , , .

Доказательство основано на оценках производных , , приведенных в [9], и на свойствах множителя Марцинкевича, каковым является отношение образов Фурье этих операторов . Благодаря последнему факту оценки производных  оказываются справедливыми для , что дает для -норм

,         .

Принадлежность всех производных фундаментального решения  весовому прострaнcтву  влечет утверждение теоремы.

Отметим, что условие  определяет вложение рассматриваемого прострaнcтва в прострaнcтво непрерывных функций, и что при этом условии существуют интегралы, оценивающие производные фундаментальных решений в окрестности начала координат. Условие непрерывности обязательно в теории кубатурных формул, так как дельта-функции функционала кубатурной суммы действуют на непрерывные функции.

Следствие. Свертка фундаментального решения  с функционалом  принадлежит прострaнcтву . Такая свертка является решением линейного дифференциального уравнения в обобщенных функциях, в частности образованного каким-либо из рассматриваемых операторов, когда правая часть равна функционалу .

Теорема 2. Существует представление линейного функционала в весовом прострaнcтве Соболева  через фундаментальное решение  

.

Доказательство проводится с применением неравенств Гельдера для сумм и интегралов, что приводит к оценке, основанной на утверждении следствия из теоремы 1

Замечание. В фактор-прострaнcтвах , где подобные представления содержат частные производные только высшего порядка, нормы и представления являются однородными, иными словами функционалы в этих прострaнcтвах представлены билинейными формами.

Теорема 3. Существует представление линейного функционала в весовом прострaнcтве Соболева  через экстремальную функцию

Доказательство основано на приведении вариационной задачи к дифференциальному уравнению в обобщенных функциях, в котором экстремальная функция  функционала  удовлетворяет условию . Отправным положением является то, что в рефлексивном прострaнcтве, каким является  при  максимум функционала, равный его норме, достигается на единичной сфере

.

Составленная функция является непрерывной по параметру t. С использованием необходимого условия экстремума и с учетом единичности нормы функции  выводится искомое представление. Функции φ₀ и ψ₀ связаны равенством .

Правомерность дифференцирования под знаком интеграла установлена при помощи оценок, содержащих нормы функций. Единственность решения уравнения установлена при помощи неравенств для весовых прострaнcтв Соболева, обобщающих неравенства Кларксона.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. - М.: Наука, 1974.
2. Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. - Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996.
3. Половинкин В.И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем: Автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук. - Л., 1979.
4. Шойнжуров Ц.Б. Оценка функционалов погрешности кубатурной формулы в прострaнcтвах с нормой, зависящей от младших производных: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Новосибирск, 1967.
5. Шойнжуров Ц.Б. Теория кубатурных формул в функциональных прострaнcтвах с нормой, зависящей от функции и ее производных: Автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук. - Улан-Удэ, 1981.
6. Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. - Уфа: Башгосуниверситет, 1973.
7. Шойнжуров Ц.Б. Решение одного класса квазилинейных уравнений второго порядка эллиптического типа в неограниченной среде // Математический анализ и дифференциальные уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. - Новосибирск, 1992. - С. 109-113.
8. Корытов И.В. Оценка функционалов погрешности кубатурных формул в функциональных прострaнcтвах Соболева: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Красноярск, 1997.
9. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука, 1977 .

---