ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА
Оценка качества формулы приближенного интегрирования при функционально-аналитическом подходе предполагает использование критерия минимальности нормы функционала погрешности в соответствующем прострaнcтве. Нормы функционалов определяются через экстремальные функции, которые являются обобщенными решениями некоторых дифференциальных уравнений в частных производных. Дифференциальный оператор такого уравнения порождается видом нормы функции в основном прострaнcтве. Задачи этого круга восходят своими истоками к работам С.Л.Соболева 60-70 гг., где теория оценивания погрешности приближенного интегрирования была построена для гильбертовых прострaнcтв [1], [2]. Дальнейшее обобщение происходило одновременно в направлениях от к ( ) В.И.Половинкиным [3] и от факторизации к Ц.Б.Шойнжуровым [4]. Теория для негильбертова показателя суммируемости разработана Ц.Б.Шойнжуровым [5], и независимо ряд сходных результатов получен М.Д.Рамазановым [6]. При разработке теории в вводились специальные способы нормирования прострaнcтва с помощью преобразования Фурье фундаментального решения известного дифференциального оператора. Разработка теории для прострaнcтв с естественными нормами, являющимися прямым обобщением норм из начата Ц.Б.Шойнжуровым [7] и продолжена нами [8]. В настоящее время исследования распространяются на функциональные прострaнcтва с нормами, осложненными весовыми функциями. Данная работа посвящена нахождению представлений линейных функционалов в весовом прострaнcтве Соболева через суммируемые функции. Наличие представлений функционалов погрешности кубатурных формул в исследуемых прострaнcтвах позволяет получать оценки погрешности численного интегрирования для этих классов функций, в некоторых случаях неулучшаемые.
Предварительные сведения.
Прострaнcтво определяется как замыкание прострaнcтва S Шварца в норме
,(1)
где - весовая функция произвольного знака, такая, что произведения суммируемы в p-й степени. Отметим, что в работах [1], [5] и других применялась весовая функция, неотрицательная на всей области определения.
Оператор , где Δ - оператор Лапласа, порождается нормой [5]
, (2)
Оператор порождается нормой [8]
, (3)
Результаты.
Теорема 1. Фундаментальные решения и операторов и принадлежат прострaнcтву , , , .
Доказательство основано на оценках производных , , приведенных в [9], и на свойствах множителя Марцинкевича, каковым является отношение образов Фурье этих операторов . Благодаря последнему факту оценки производных оказываются справедливыми для , что дает для -норм
, .
Принадлежность всех производных фундаментального решения весовому прострaнcтву влечет утверждение теоремы.
Отметим, что условие определяет вложение рассматриваемого прострaнcтва в прострaнcтво непрерывных функций, и что при этом условии существуют интегралы, оценивающие производные фундаментальных решений в окрестности начала координат. Условие непрерывности обязательно в теории кубатурных формул, так как дельта-функции функционала кубатурной суммы действуют на непрерывные функции.
Следствие. Свертка фундаментального решения с функционалом принадлежит прострaнcтву . Такая свертка является решением линейного дифференциального уравнения в обобщенных функциях, в частности образованного каким-либо из рассматриваемых операторов, когда правая часть равна функционалу .
Теорема 2. Существует представление линейного функционала в весовом прострaнcтве Соболева через фундаментальное решение
.
Доказательство проводится с применением неравенств Гельдера для сумм и интегралов, что приводит к оценке, основанной на утверждении следствия из теоремы 1
Замечание. В фактор-прострaнcтвах , где подобные представления содержат частные производные только высшего порядка, нормы и представления являются однородными, иными словами функционалы в этих прострaнcтвах представлены билинейными формами.
Теорема 3. Существует представление линейного функционала в весовом прострaнcтве Соболева через экстремальную функцию
Доказательство основано на приведении вариационной задачи к дифференциальному уравнению в обобщенных функциях, в котором экстремальная функция функционала удовлетворяет условию . Отправным положением является то, что в рефлексивном прострaнcтве, каким является при максимум функционала, равный его норме, достигается на единичной сфере
.
Составленная функция является непрерывной по параметру t. С использованием необходимого условия экстремума и с учетом единичности нормы функции выводится искомое представление. Функции φ0 и ψ0 связаны равенством .
Правомерность дифференцирования под знаком интеграла установлена при помощи оценок, содержащих нормы функций. Единственность решения уравнения установлена при помощи неравенств для весовых прострaнcтв Соболева, обобщающих неравенства Кларксона.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. - М.: Наука, 1974.
- Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. - Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996.
- Половинкин В.И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем: Автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук. - Л., 1979.
- Шойнжуров Ц.Б. Оценка функционалов погрешности кубатурной формулы в прострaнcтвах с нормой, зависящей от младших производных: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Новосибирск, 1967.
- Шойнжуров Ц.Б. Теория кубатурных формул в функциональных прострaнcтвах с нормой, зависящей от функции и ее производных: Автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук. - Улан-Удэ, 1981.
- Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. - Уфа: Башгосуниверситет, 1973.
- Шойнжуров Ц.Б. Решение одного класса квазилинейных уравнений второго порядка эллиптического типа в неограниченной среде // Математический анализ и дифференциальные уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. - Новосибирск, 1992. - С. 109-113.
- Корытов И.В. Оценка функционалов погрешности кубатурных формул в функциональных прострaнcтвах Соболева: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Красноярск, 1997.
- Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука, 1977 .
В рамках данной статьи была построена математическая модель старения в форме онтогенетического компромисса процессов канцерогенеза и оксидативного стресса. Старение присуще всем объектам живой и неживой природы. Накопление повреждений в результате оксидативногостресса приводит к зависимому от возраста повреждению тканей, канцерогенезу и, наконец, к старению.С одной стороны, действие активных форм кислорода приводит к повреждению клеток, и, как следствие, к paку. С другой стороны, активные формы кислорода являются средством борьбы с опухолевыми клетками. Компромисс состоит в поддержании уровня свободных радикалов, эффективно подавляющего опухолевые клетки, и в то же время не сильно наносящего вред организму. На основе математической разработана имитационная компьютерная модель старения с возможностью изменений параметров интенсивностей появления опухолевых клеток, размножения, негативного воздействия свободных радикалов, ответа иммунитета. Проведен эксперимент по выявлению максимальной средней продолжительности жизни в зависимости от параметра гомеостатической хаpaктеристики.
...
24 03 2026 20:40:31
Статья в формате PDF
134 KB...
22 03 2026 19:32:58
Статья в формате PDF
220 KB...
21 03 2026 0:45:40
Статья в формате PDF
132 KB...
20 03 2026 2:41:20
Статья в формате PDF
98 KB...
19 03 2026 7:31:11
Статья в формате PDF
155 KB...
18 03 2026 9:55:22
Статья в формате PDF
123 KB...
16 03 2026 16:55:19
Статья в формате PDF
116 KB...
15 03 2026 10:24:21
Статья в формате PDF
118 KB...
14 03 2026 5:44:44
Статья в формате PDF
232 KB...
12 03 2026 7:10:39
Статья в формате PDF
115 KB...
11 03 2026 20:47:29
Статья в формате PDF
223 KB...
10 03 2026 18:13:45
Статья в формате PDF
124 KB...
09 03 2026 12:12:38
Статья в формате PDF
266 KB...
08 03 2026 12:30:57
Статья в формате PDF
328 KB...
07 03 2026 8:26:56
Представлен обзор литературы о значении компонентов системы активации плазминогена при злокачественных новообразованиях различной локализации, а также у больных paком желудка. Рассмотрены клиническое значение и роль активаторов плазминогена урокиназного (uPA) и тканевого (tPA) типов, а также их ингибиторов 1 и 2 типа (PAI-1 и PAI-2) в метастазировании и инвазии опухолей. Показано, что увеличение концентрации в опухоли uPA и PAI-1 может быть связано с повышенным риском возникновения метастазов и рецидивов заболевания, и наоборот высокое содержание в опухолевой ткани PAI-2 и tPA коррелирует с благоприятным прогнозом.
...
06 03 2026 21:51:20
Статья в формате PDF
132 KB...
05 03 2026 19:20:59
Статья в формате PDF
128 KB...
04 03 2026 13:59:50
Статья в формате PDF
312 KB...
03 03 2026 6:46:30
Статья в формате PDF
129 KB...
01 03 2026 22:45:28
Статья в формате PDF
111 KB...
28 02 2026 11:40:35
Статья в формате PDF
116 KB...
27 02 2026 6:48:30
Статья в формате PDF
331 KB...
26 02 2026 4:43:23
Статья в формате PDF
108 KB...
25 02 2026 4:47:40
Статья в формате PDF
275 KB...
23 02 2026 14:57:40
Статья в формате PDF
123 KB...
22 02 2026 7:37:46
Статья в формате PDF
114 KB...
21 02 2026 13:57:14
Статья в формате PDF
119 KB...
20 02 2026 5:28:53
Снижение массы тела с помощью диеты и физических нагрузок способно уменьшить проявления, а в ряде случаев, полностью восстановить обменные нарушения при метаболическом синдроме (МС).
Диета у больных с МС должна иметь низкую энергетическую ценность. Ограничивается употрeбление холестерина (ХС), поваренной соли и рафинированных углеводов. Рекомендуются продукты богатые антиоксидантами, минералами, растительной клечаткой. Пациент ориентируется на повышенное употрeбление фруктов, овощей, кисломолочных продуктов, морской рыбы и морепродуктов.
Наилучшие результаты у больных МС достигаются при сочетании рациональной диеты с индивидуально подобранными динамическими нагрузками. Через некоторое время снижается артериальное давление, уменьшается уровень ХС, триглицеридов и глюкозы, минимизируя риск сосудистых осложнений.
Позитивное влияние диеты и физических тренировок сохраняется, пока больной не прекращает занятий. Все пациенты с МС должны быть настроены на пожизненное использование упражнений на фоне рационального питания.
...
19 02 2026 22:56:29
Статья в формате PDF
330 KB...
18 02 2026 8:10:58
Статья в формате PDF
109 KB...
16 02 2026 17:12:49
Статья в формате PDF
298 KB...
15 02 2026 11:36:25
Статья в формате PDF
276 KB...
14 02 2026 0:14:22
Статья в формате PDF
358 KB...
13 02 2026 23:13:38
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
