МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ИДЕАЛЬНОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ

Авторы
Файлы

Тарасов А.Е. Сметанин Б.И. Статья в формате PDF 688 KB

В работе рассматриваются вынужденные колебания круговой цилиндрической оболочки конечных размеров в идеальной сжимаемой жидкости. Для решения полученной системы интегрального и дифференциального уравнений применен метод разложения решения в ряд по собственным формам колебаний оболочки в вакууме и метод ортогональных многочлeнов. Проведено численное исследование полученных результатов.

Задачи гидроупругости представляют большой теоретический и пpaктический интерес. При исследовании этих задач появляется возможность выявить взаимное влияние жидкости и контактирующей с ней упругой конструкции. В [1] даны постановки и методы решения широкого круга задач гидроупругости, приведен список литературы, отражающий положение дел в рассматриваемой области.

Пусть упругая круговая цилиндрическая оболочка длины 2a, радиуса R помещена в идеальную сжимаемую жидкость, занимающую безграничный объем. Ось Oz цилиндрической системы координат r, θ, z направим вдоль оси оболочки. При исследовании взаимодействия оболочки с жидкостью будем исходить из уравнения технической теории оболочек [2]:

(1)

Здесь E - модуль Юнга, ν - коэффициент Пуассона, h - толщина оболочки, w = w(z,t) - радиальное перемещение точек срединной поверхности оболочки,
ρ0 - плотность оболочки, p = p(r, z, t) - гидродинамическое давление.

Жесткость оболочки при изгибе D связана с параметрами E, ν, и h формулой:

(2)

Перемещения, направленные к оси оболочки, считаются положительными. На торцах оболочки считаем заданными радиальные перемещения и углы поворота. Граничные условия имеют вид:

(3)

где С₁, С₂ = const

Движение жидкости предполагается потенциальным. Потенциал скоростей точек жидкости φ = φ(r,z,t) удовлетворяет волновому уравнению

(4)

Здесь с - скорость звука в жидкости.

Гидродинамическое давление p в предположении малости вносимых оболочкой возмущений связано с функцией φ интегралом Коши, который в линеаризованной форме имеет вид

(5)

где ρ - плотность жидкости, p∞ - давление на бесконечности.

(6)

Условие безотрывного обтекания оболочки имеет вид:

Будем предполагать справедливым следующее представление функций

(7)

Получили систему двух уравнений в безразмерном виде:

(8)

Где

а S - число Струхала

В уравнении (8) и далее знаки «штрих», «волна» и «звездочка» опущены.

В соответствии с условием излучения Зоммерфельда необходимо, чтобы решение содержало волны, уходящие на бесконечность и не содержало волны, приходящие из бесконечности. Для отбора такого решения контур Г был выбран следующим образом:

Выбор контура Г

Отсюда, однозначные ветви, соответствующие обходу точек ветвления, взяты в виде:

. (9)

Учитывая, линейность полученных уравнений, функцию w будем искать в виде функционального ряда:

(10)

где ψ_n(z) выражаются формулой

(11)

а ξ_n определяется из уравнения

(12)

Отметим, что

(13)

В силу линейности задачи γ тоже представим в функционального ряда:

(14)

Представления (10) и (14) позволяют разделить систему уравнений (8) и рассматривать каждое из них отдельно. Преобразуем интегральное уравнение и рассмотрим его относительно γn при известных правых частях.

(15)

Приравняем слагаемые при X_n

(16)

Главную часть ядра интегрального уравнения (16) можно получить, учитывая обобщенное значение интеграла

(17)

Тогда решение интегрального уравнения (16) целесообразно строить в виде:

(18)

Применение процедуры метода ортогональных многочлeнов к уравнению (16), сводит это уравнение к СЛАУ относительно Х_n

(19)

Подставим найденные Х_n в

Непосредственные вычисления были проведены с использованием метода редукции.

При этом для получения решения с достаточной для пpaктического использования точностью при 2 ≤ λ < ∞ можно ограничится решением урезанных систем состоящих из шести уравнений. В табл. 1 приведены значения функции |w_* (z)| на частоте ω = 10 для случая несжимаемой жидкости (S = 0), соответствующие М = 3, 4, 5, 6, где М - порядок урезанной системы (19).

1. Значения функции |w_* (z)| при α = 1000, β = 30, λ = 2, ω = 10, S = 0

z M	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
3	1,97357	1,26168	0,34574	1,61614	1,62038	0,99999
4	2,15145	1,34339	0,42596	1,73302	1,66494	0,99999
5	2,15479	1,34371	0,42815	1,73327	1,66484	0,99999
6	2,15485	1,34369	0,42817	1,73325	1,66484	0,99999

В табл. 2 приведены значения функции |w*(z)| на частоте ω = 10 при для случая сжимаемой жидкости (S = 1), соответствующие М = 3, 4, 5, 6, где М - порядок урезанной системы (19).

2. Значения функции |w*(z)| при α = 1000, β = 30, λ = 2, ω = 10, S = 1

Z M	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
3	3,80923	2,38121	0,77378	3,03780	2,52649	0,99999
4	4,23417	2,58308	0,95095	3,30801	2,63233	0,99999
5	4,24139	2,58387	0,95555	3,30859	2,63214	0,99999
6	4,24152	2,58382	0,95561	3,30854	2,63216	0,99999

На основании проведенных вычислений для различных значений приведенной частоты ω можно сделать выводы, что в рассмотренном диапазоне изменения параметров метод редукции сходится достаточно хорошо, с увеличением частоты увеличивается количество максимумов функции W по длине оболочки.

Список литературы

Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т., Шклярчук Ф.Н. Аэрогидроупругость конструкций. - М.: Физматлит, 2000. - 592 с.
Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. - М.: Физматгиз, 1963. - 636 с.

КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ: СОЗДАНИЕ ТЕСТОВ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Статья в формате PDF 265 KB...

08 05 2026 11:35:18

ЕГЭ КАК СОВРЕМЕННАЯ ФОРМА ПРОВЕРКИ ЗНАНИЙ

Статья в формате PDF 99 KB...

07 05 2026 8:24:27

УЛЬТРАСТРУКТУРНЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ АМНИОТИЧЕСКОГО ЭПИТЕЛИЯ БЕЛЫХ КРЫС В УСЛОВИЯХ СОЛЕВОЙ НАГРУЗКИ МАТЕРИНСКОГО ОРГАНИЗМА

Статья в формате PDF 94 KB...

06 05 2026 1:31:47

СОДЕРЖАНИЕ ЭНДОГЕННЫХ МОДУЛЯТОРОВ АДРЕНО- И ХОЛИНОРЕАКТИВНОСТИ В СЫВОРОТКЕ КРОВИ ПРИ ИНФАРКТЕ МИОКАРДА, БРОНХИАЛЬНОЙ АСТМЕ, АРТЕРИАЛЬНОЙ ГИПЕРТЕНЗИИ И ХРОНИЧЕСКОМ ГАСТРИТЕ

Статья в формате PDF 124 KB...

05 05 2026 22:28:11

МАГНИТНЫЕ ПОДРЕШЕТКИ, ИНДУЦИРОВАННЫЕ КАТИОННЫМИ ВАКАНСИЯМИ (НА ПРИМЕРЕ ФЕРРИМАГНИТНОГО ПИРРОТИНА)

На основе анализа s-d обменного взаимодействия в структурах типа NiAs с частично вакантными катионными позициями, моделировались различного рода зависимости результирующей намагниченности от температуры нестехиометрических ферримагнетиков. На основе исследований пирротина методами ЯГР и РФА доказано, что двухподрешеточный ферримагнетик, содержащий в структуре катионные вакансии, должен рассматриваться, при определенном типе распределения вакансий, как ферримагнетик с четырьмя магнитными подрешетками. В данном случае, дополнительные магнитные подрешетки можно рассматривать как подрешетки, индуцированные хаpaктером распределения катионных вакансий в структуре. Квантово-механические расчеты в рамках модели молекулярного поля температурных изменений намагниченности отдельно для каждой из подрешеток, а также анализ результирующей термокривой намагниченности, объясняют ряд экспериментально полученных кривых зависимости намагниченности от температуры нестехиометрического пирротина с различной плотностью вакансий в структуре. ...

04 05 2026 6:24:55

УЧЕБНО-ЛАБОРАТОРНАЯ ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА

Статья в формате PDF 189 KB...

03 05 2026 18:39:57

АНАЛИЗ ТЕПЛОВОГО РАЗГОНА В АККУМУЛЯТОРАХ НКБН-25-У3

Статья в формате PDF 121 KB...

02 05 2026 12:37:24

ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ ЗАКАЛКИ НА КОЛИЧЕСТВО ОСТАТОЧНОГО АУСТЕНИТА В СТАЛИ 09Х16Н4БЛ

Статья в формате PDF 298 KB...

01 05 2026 17:58:23

ЭКОЛОГО-БИОЛОГИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ТЕРРИТОРИИ ПРИРОДНОГО ПАРКА «НУМТО» (ХАНТЫ-МАНСИЙСКИЙ АВТОНОМНЫЙ ОКРУГ)

В статье дана комплексная хаpaктеристика природных условий территории природного парка «Нумто»: приводятся сведения по геоморфологии, климату, гидрографии, растительному покрову, фауне уникального участка водно-болотных угодий на стыке подзон северной и средней тайги Западной Сибири. ...