Теорема о количестве и структуре особых точек n–мерной динамической системы популяционной динамики Лотки-Вольтерра в контексте информационного анализа и моделирования

Авторы
Резюме
Файлы
Ключевые слова
Литература

Московкин В.М., 1 Билаль Н.Е. 1 Сулейман 1

1 ФГБОУ ВО «Воронежский государственный педагогический университет» С помощью элементарных методов комбинаторной математики и единственности решений систем линейных алгебраических уравнений для невырожденных случаев доказана теорема о количестве и структуре особых точек n–мерной динамической системы популяционной динамики Лотки-Вольтерра. Показано, что количество особых точек для этой системы равняется 2n, а их структура в отношении сочетания нулевых и ненулевых координат совпадает с биноминальными коэффициентами. Сделано предположение, что с помощью этой динамической системы можно моделировать конкурентные взаимодействия среди n научных фронтов в рамках широкой области научных исследований. Статья в формате PDF 372 KB модель Лотки-Вольтеррапопуляционная динамикаколичество особых точекбиноминальные коэффициентырешения систем линейных алгебраических уравнений 1. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. – М.: Наука, 1976. – 286 с. 2. Lotka A.J. Elements of Physical Biology. – Baltimore: Williams and Wilkins, 1925. 3. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах: от диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации. – М.: Мир, 1979. – 512 с. 4. May R.M. Simple Mathematical Models with Very Complicated Dynamics // Nature. – 1976. – Vol. 261. – P. 459–467. 5. Goh B.S. Stability in models of mutualism // The American Naturalist. – 1979. – Vol. 113, № 2. – P. 261–274. 6. Lu Z., Takeuchi Y. Qualitative Stability and Global Stability for Lotka-Volterra Systems // J. of Mathematical ***ysis and Applications. – 1994. – Vol. 182, № 1. – P. 260–268. 7. Московкин В.М., Журавка А.В. Моделирование конкурентно-кооперационных взаимодействий: (контекст уравнений популяционной динамики в социально-экономических системах) // Бизнес Информ. – Харьков, 2002. – № 5–6. – С. 27–34. 8. Московкин В.М., Журавка А.В., Михайлов В.С. Расчет сценариев конкурентных, кооперационных и смешанных стратегий для n-мерной модели конкурентно-кооперационных взаимодействий в социально-экономических системах // Экономическая кибернетика. – Донецк, 2004. – № 5–6 (29–30). – С. 32–34. 9. Московкин В.М., Билаль Н.Е. Сулейман, Голиков Н.А. Математическая модель взаимодействия результатов различных видов НИОКР // Научно-техническая информация. Сер. 2. – 2011. – № 2. – С. 13–17.

Многомерная модель популяционной динамики Лотки-Вольтерра была предложена Вито Вольтерра в работе [1], но так как параллельно такого рода уравнения в биофизической и химической кинетике развивал А. Лотка [2], то за уравнениями популяционной динамики закрепились фамилии обоих ученых. К изучению данной модели обращались такие крупные ученые как Г. Николис и И. Пригожин [3], Р. Мэй [4] и др. При рассмотрении этой модели ученые, в основном, изучали хаpaктер устойчивости нетривиальной особой точки. Например, Б. Гох [5] при изучении моделей мутуализма показал, что необходимым и достаточным условием для локальной и глобальной устойчивости нетривиальной особой точки модели Лотки-Вольтерра является положительность всех ведущих (главных) миноров матрицы Якоби для этой модели. Позднее З. Лу и Е. Такеучи [6] доказали ряд теорем по глобальной устойчивости системы уравнений Лотки-Вольтерра. В работах по экономической динамике [7, 8] было замечено, что n-мерная система уравнений популяционной динамики Лотки-Вольтерра имеет 2n особых точек, но до сих пор доказательства этому представлено не было. Возможность использования таких уравнений в информационном анализе и моделировании взаимодействий результатов различных видов НИОКР показана в работе [9]. Исходная n-мерная модель Лотки-Вольтерра, на наш взгляд, может быть использована при моделировании конкурентных взаимодействий n научных фронтов в рамках широкой области научных исследований, при которых будут наблюдаться разнообразные варианты подавления одних научных фронтов другими, а также их сосуществования. Ниже будет сформулирована и доказана теорема о количестве и структуре особых точек n-мерной модели Лотки-Вольтерра.

Основная часть

Теорема. Количество особых точек n-мерной системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений Лотки-Вольтера с положительными коэффициентами и невырожденными случаями систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при определении координат особых точек, равняется 2n, а их структура в отношении сочетания нулевых и ненулевых координат совпадает с биномиальными коэффициентами.

Доказательство. Будем рассматривать систему уравнений Лотки-Вольтера в виде

(1)

Для удобства доказательства теоремы перепишем правые части этой системы уравнений, приравненные к нулю, в виде:

(2)

Будем рассматривать невырожденные случаи решения линейных систем алгебраических уравнений, которые имеют единственные решения.

Из системы уравнений (2) сразу же выделяются две особые точки – нулевая и нетривиальная (ненулевая), которая является решением n-мерной системы линейных алгебраических уравнений, стоящих в скобках исходной системы (2). С точки зрения комбинаторной математики, этим особым точкам соответствуют следующие сочетания:

нулей из n переменных;

нулей из n переменных.

В первом случае мы имеем единственную нулевую особую точку, во втором – единственную ненулевую особую точку.

Далее, количество особых точек с сочетанием одной нулевой координаты из n переменных равняется , количество особых точек с сочетанием двух нулевых координат из n переменных равняется , количество особых точек с сочетанием i нулевых координат из n переменных равняется , количество особых точек с сочетанием (n – 1) нулевых координат из n переменных равняется . Следовательно, общее количество особых точек равняется

Таким образом, показано, что общее количество особых точек равняется 2n, а их структура в отношении сочетания нулевых и ненулевых координат повторяет последовательную совокупность коэффициентов в биноме Ньютона.

В этом доказательстве подразумевается следующее положение. Когда мы берем все особые точки с нулевыми координатами в количестве i, то оставшиеся системы линейных алгебраических уравнений (n – i)-порядка имеют единственные решения (невырожденные случаи).

Заключение

Для n-мерной системы уравнений популяционной динамики, предложенной в работах В. Вольтера и А. Лотки еще в середине 20-х годов прошлого века, до сих пор не была доказана теорема о количестве и структуре особых точек этой классической системы уравнений. В данной работе такая теорема была доказана с помощью элементарных методов комбинаторной математики и единственности решений систем линейных алгебраических уравнений для невырожденных случаев. С точки зрения информационного анализа и моделирования информационных процессов и систем, следует отметить, что динамическая система (1) может, в принципе, моделировать процесс конкурентных взаимодействий n научных фронтов в рамках широкой области научных исследований. Тогда в такой системе могут наблюдаться 2n вариантов исходов таких взаимодействий из которых 2n–2 будут связаны с подавлением одних научных фронтов другими, которые окажутся более конкурентоспособными.

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ Н-АЛКАНОВ И Н-СПИРТОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ ВЫСОКОЙ НАПРЯЖЕННОСТИ

Статья в формате PDF 90 KB...

12 12 2024 7:50:59

ВИКТОР СТЕПАНОВИЧ ДМИТРИЕВ

Статья в формате PDF 317 KB...

11 12 2024 19:47:54

АДАПТАЦИЯ СУЛЬФАТВОССТАНАВЛИВАЮЩИХ БАКТЕРИЙ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДЛЯ ОЧИСТКИ ПРОМЫШЛЕННЫХ СТОКОВ, К РАЗЛИЧНЫМ УСЛОВИЯМ КУЛЬТИВИРОВАНИЯ В СТАТИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ

Статья в формате PDF 127 KB...

10 12 2024 10:14:32

Концепции виртуальной реальности в мировой философской мысли

Статья в формате PDF 266 KB...

09 12 2024 0:36:48

СТРУКТУРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОМЫШЛЕННОСТИ РЕГИОНА: АНАЛИЗ, ОЦЕНКА, ПРОГНОЗ

Статья в формате PDF 146 KB...

08 12 2024 4:41:21

ЭЛЕКТРОННО-МИКРОСКОПИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ДЕНДРИТНЫХ КЛЕТОК, ГЕНЕРИРОВАННЫХ ИЗ СТВОЛОВЫХ КЛЕТОК ПЕЧЕНИ ЭМБРИОНОВ И КЛЕТОК-ПРЕДШЕСТВЕННИКОВ КОСТНОГО МОЗГА ВЗРОСЛЫХ МЫШЕЙ

Статья в формате PDF 120 KB...

07 12 2024 0:34:34

ЛОСКУТ НА ЗАНЯТИЯХ ИЗОБРАЗИТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬЮ В ДОШКОЛЬНОМ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОМ УЧРЕЖДЕНИИ

Статья в формате PDF 315 KB...

06 12 2024 19:19:57

ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМЫ B2B В ДИСТРИБУТОРСКОЙ КОМПАНИИ

Статья в формате PDF 119 KB...

05 12 2024 7:28:47

Новые аспекты хирургического лечения послеоперационных вентральных грыж у пациентов с онкопатологией пищеварительного тpaкта

Статья в формате PDF 112 KB...

04 12 2024 13:54:40

ВОПРОСЫ ПАТОГЕНЕЗА МИОМЫ МАТКИ

Статья в формате PDF 117 KB...

03 12 2024 1:36:32

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СРЕДЫ MATHCAD ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ В КУРСЕ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Статья в формате PDF 101 KB...

02 12 2024 22:42:52

МОРФОЛОГИЧЕСКИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ПОЯСНИЧНОГО ОТДЕЛА ПОЗВОНОЧНИКА У ПАЦИЕНТОВ С БОЛЬЮ В НИЖНЕЙ ЧАСТИ СПИНЫ

Статья в формате PDF 105 KB...

01 12 2024 8:44:23

ИЗУЧЕНИЕ ЗДОРОВЬЯ СТУДЕНТОВ: ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕННОСТИ ОСТРОГО ЦИСТИТА СРЕДИ СТУДЕНТОВ ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Г. СМОЛЕНСКА

Статья в формате PDF 110 KB...

30 11 2024 3:20:47

К ВОПРОСУ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ОБРАЗОВАНИЯ В ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЯХ

Статья в формате PDF 217 KB...

29 11 2024 19:21:31

АНТИКАНЦЕРОГЕННОЕ ДЕЙСТВИЕ ЛОВАСТАТИНА В ОТНОШЕНИИ ИНДУЦИРОВАННЫХ ОПУХОЛЕЙ МОЛОЧНОЙ ЖЕЛЕЗЫ У КРЫС

Статья в формате PDF 115 KB...

28 11 2024 10:54:56

ВЛИЯНИЕ УСЛОВИЙ НА ХАРАКТЕР АДСОРБЦИОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОДОРОДА С ПОВЕРХНОСТЬЮ КАТАЛИЗАТОРОВ

Статья в формате PDF 100 KB...

27 11 2024 21:55:15

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МЕТОДИКИ ОЦЕНКИ ПЕРСОНАЛА С ПОМОЩЬЮ ПРОФЕССИОГРАММ

Статья в формате PDF 105 KB...

26 11 2024 10:22:55

РОЛЬ SE В ТЕЧЕНИИ ЭНДОТОКСИКОЗА ПРИ ГНОЙНО-ВОСПАЛИТЕЛЬНЫХ ЗАБОЛЕВАНИЯХ В ГИНЕКОЛОГИИ

Важнейшим фактором поддержания селенового статуса организма является феномен эндогенного регулирования, который проявляется как в здоровом организме, так и при различных заболеваниях. Клинические исследования гинекологических больных с гнойно-воспалительными заболеваниями позволили установить, что снижение иммунной защиты организма часто сопровождается снижением уровня селена в сыворотке крови. Обследовано 46 больных (18-37 лет). Бактериологическое типирование подтвердило присутствие: Chlamidia trachomonatis; Ureaplasma urealiticum; St. epidermidis; грам (-) флоры; грам (+) флоры; смешанной флоры; E. Colli; дрожжевых клеток; трихомонад. Интервал концентрации селена в сыворотке крови составил 32,0-89,5мкг/л. Средний показатель 64,8 ± 6,3 мкг/л (при норме 115-120 мкг/л). Показатель уровня селена в сыворотке крови доноров г.Пензы составил 81,0 ± 11,7 мкг/л. Была проведена оценка влияния селенодефицита на течение и прогноз эндотоксикоза. Таким образом, авторегулирование антиоксидантного гомеостаза в организме можно рассматривать как функцию иммунитета, а воздействие фармакологических препаратов как один из методов регулирования селенового статуса населения. ...

25 11 2024 14:17:33

О РЕЗУЛЬТАТАХ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ НЕРВНЫХ КЛЕТОК ЗРИТЕЛЬНОГО АНАЛИЗАТОРА, ПОВРЕЖДЁННЫХ ОСТАНОВКОЙ КРОВОТОКА

Статья в формате PDF 145 KB...