Теорема о количестве и структуре особых точек n–мерной динамической системы популяционной динамики Лотки-Вольтерра в контексте информационного анализа и моделирования
1 ФГБОУ ВО «Воронежский государственный педагогический университет» С помощью элементарных методов комбинаторной математики и единственности решений систем линейных алгебраических уравнений для невырожденных случаев доказана теорема о количестве и структуре особых точек n–мерной динамической системы популяционной динамики Лотки-Вольтерра. Показано, что количество особых точек для этой системы равняется 2n, а их структура в отношении сочетания нулевых и ненулевых координат совпадает с биноминальными коэффициентами. Сделано предположение, что с помощью этой динамической системы можно моделировать конкурентные взаимодействия среди n научных фронтов в рамках широкой области научных исследований. Статья в формате PDF 372 KB модель Лотки-Вольтеррапопуляционная динамикаколичество особых точекбиноминальные коэффициентырешения систем линейных алгебраических уравнений 1. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. – М.: Наука, 1976. – 286 с. 2. Lotka A.J. Elements of Physical Biology. – Baltimore: Williams and Wilkins, 1925. 3. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах: от диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации. – М.: Мир, 1979. – 512 с. 4. May R.M. Simple Mathematical Models with Very Complicated Dynamics // Nature. – 1976. – Vol. 261. – P. 459–467. 5. Goh B.S. Stability in models of mutualism // The American Naturalist. – 1979. – Vol. 113, № 2. – P. 261–274. 6. Lu Z., Takeuchi Y. Qualitative Stability and Global Stability for Lotka-Volterra Systems // J. of Mathematical ***ysis and Applications. – 1994. – Vol. 182, № 1. – P. 260–268. 7. Московкин В.М., Журавка А.В. Моделирование конкурентно-кооперационных взаимодействий: (контекст уравнений популяционной динамики в социально-экономических системах) // Бизнес Информ. – Харьков, 2002. – № 5–6. – С. 27–34. 8. Московкин В.М., Журавка А.В., Михайлов В.С. Расчет сценариев конкурентных, кооперационных и смешанных стратегий для n-мерной модели конкурентно-кооперационных взаимодействий в социально-экономических системах // Экономическая кибернетика. – Донецк, 2004. – № 5–6 (29–30). – С. 32–34. 9. Московкин В.М., Билаль Н.Е. Сулейман, Голиков Н.А. Математическая модель взаимодействия результатов различных видов НИОКР // Научно-техническая информация. Сер. 2. – 2011. – № 2. – С. 13–17.
Многомерная модель популяционной динамики Лотки-Вольтерра была предложена Вито Вольтерра в работе [1], но так как параллельно такого рода уравнения в биофизической и химической кинетике развивал А. Лотка [2], то за уравнениями популяционной динамики закрепились фамилии обоих ученых. К изучению данной модели обращались такие крупные ученые как Г. Николис и И. Пригожин [3], Р. Мэй [4] и др. При рассмотрении этой модели ученые, в основном, изучали хаpaктер устойчивости нетривиальной особой точки. Например, Б. Гох [5] при изучении моделей мутуализма показал, что необходимым и достаточным условием для локальной и глобальной устойчивости нетривиальной особой точки модели Лотки-Вольтерра является положительность всех ведущих (главных) миноров матрицы Якоби для этой модели. Позднее З. Лу и Е. Такеучи [6] доказали ряд теорем по глобальной устойчивости системы уравнений Лотки-Вольтерра. В работах по экономической динамике [7, 8] было замечено, что n-мерная система уравнений популяционной динамики Лотки-Вольтерра имеет 2n особых точек, но до сих пор доказательства этому представлено не было. Возможность использования таких уравнений в информационном анализе и моделировании взаимодействий результатов различных видов НИОКР показана в работе [9]. Исходная n-мерная модель Лотки-Вольтерра, на наш взгляд, может быть использована при моделировании конкурентных взаимодействий n научных фронтов в рамках широкой области научных исследований, при которых будут наблюдаться разнообразные варианты подавления одних научных фронтов другими, а также их сосуществования. Ниже будет сформулирована и доказана теорема о количестве и структуре особых точек n-мерной модели Лотки-Вольтерра.
Основная часть
Теорема. Количество особых точек n-мерной системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений Лотки-Вольтера с положительными коэффициентами и невырожденными случаями систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при определении координат особых точек, равняется 2n, а их структура в отношении сочетания нулевых и ненулевых координат совпадает с биномиальными коэффициентами.
Доказательство. Будем рассматривать систему уравнений Лотки-Вольтера в виде
(1)
Для удобства доказательства теоремы перепишем правые части этой системы уравнений, приравненные к нулю, в виде:
(2)
Будем рассматривать невырожденные случаи решения линейных систем алгебраических уравнений, которые имеют единственные решения.
Из системы уравнений (2) сразу же выделяются две особые точки – нулевая и нетривиальная (ненулевая), которая является решением n-мерной системы линейных алгебраических уравнений, стоящих в скобках исходной системы (2). С точки зрения комбинаторной математики, этим особым точкам соответствуют следующие сочетания:
нулей из n переменных;
нулей из n переменных.
В первом случае мы имеем единственную нулевую особую точку, во втором – единственную ненулевую особую точку.
Далее, количество особых точек с сочетанием одной нулевой координаты из n переменных равняется , количество особых точек с сочетанием двух нулевых координат из n переменных равняется , количество особых точек с сочетанием i нулевых координат из n переменных равняется , количество особых точек с сочетанием (n – 1) нулевых координат из n переменных равняется . Следовательно, общее количество особых точек равняется
Таким образом, показано, что общее количество особых точек равняется 2n, а их структура в отношении сочетания нулевых и ненулевых координат повторяет последовательную совокупность коэффициентов в биноме Ньютона.
В этом доказательстве подразумевается следующее положение. Когда мы берем все особые точки с нулевыми координатами в количестве i, то оставшиеся системы линейных алгебраических уравнений (n – i)-порядка имеют единственные решения (невырожденные случаи).
Заключение
Для n-мерной системы уравнений популяционной динамики, предложенной в работах В. Вольтера и А. Лотки еще в середине 20-х годов прошлого века, до сих пор не была доказана теорема о количестве и структуре особых точек этой классической системы уравнений. В данной работе такая теорема была доказана с помощью элементарных методов комбинаторной математики и единственности решений систем линейных алгебраических уравнений для невырожденных случаев. С точки зрения информационного анализа и моделирования информационных процессов и систем, следует отметить, что динамическая система (1) может, в принципе, моделировать процесс конкурентных взаимодействий n научных фронтов в рамках широкой области научных исследований. Тогда в такой системе могут наблюдаться 2n вариантов исходов таких взаимодействий из которых 2n–2 будут связаны с подавлением одних научных фронтов другими, которые окажутся более конкурентоспособными.
В костном мозге больных гематологическими заболеваниями выявлено значительное количество эритроклазических кластеров, хаpaктеризующихся экзоцитарным лизисом входящих в них эритроцитов кластерообразующими миелокариоцитами разных видов, включая эритрокариоциты. Содержание эритроклазических кластеров с происходящим в них экзоцитарным лизисом эритроцитов варьировало от 21% от всех эритроклазических кластеров в костном мозге больных апластической анемией до 81% в костном мозге больных в активной фазе острого лимфобластного лейкоза, что свидетельствует об интенсивности лизиса в них эритроцитов. С наибольшей интенсивностью лизис эритроцитов происходил в костном мозге больных в активную фазу острого лимфобластного лейкоза и больных хроническим миелолейкозом. При этом в момент исследования подвергались деструкции в эритроклазических кластеров десятки тысяч эритроцитов в мкл костного мозга. Эти данные подтверждают представление о костном мозге как органе гемолиза.
...
23 03 2026 8:52:21
Достоверными методами исследования потребности населения в традиционной медицине являются: опрос в «фокус-группе», анкетирование и интервьюирование. Выяснились: высокая готовность населения потрeбллять методы традиционной медицины; врачи готовы применять в своей пpaктике методы традиционной медицины в симбиозе с официальной; врачи нуждаются в дополнительном образовании в области традиционной медицины, на что следует обратить внимание органам здравоохранения. ...
22 03 2026 9:58:29
Статья в формате PDF
95 KB...
21 03 2026 19:56:53
Статья в формате PDF
245 KB...
20 03 2026 19:54:27
Статья в формате PDF
89 KB...
19 03 2026 7:40:46
Статья в формате PDF
131 KB...
18 03 2026 8:25:27
Статья в формате PDF
133 KB...
15 03 2026 12:19:16
Статья в формате PDF
131 KB...
14 03 2026 23:33:30
Статья в формате PDF
245 KB...
13 03 2026 2:50:50
Статья в формате PDF
127 KB...
12 03 2026 5:39:55
Рассматриваются показатели видового разнообразия мелких млекопитающих в зоне влияния алмaзoдобывающей промышленности Западной Якутии. Исследования проводились на территории двух крупных промышленных узлов – Мирнинского (среднетаежная подзона) и Айхало-Удачнинского (северотаежная подзона). Отработано около 7040 конусо-суток, 4700 ловушко-суток и отловлено 1920 экз. мелких млекопитающих, относящихся к 17 видам. Отмечено, что при масштабных преобразованиях ландшафтов, хаpaктерных для деятельности предприятий горнодобывающей промышленности, происходят изменения состава сообществ и популяционных параметров мелких млекопитающих, что свидетельствует о пессимизации среды обитания. Причем негативные трaнcформации более резко выражены в пределах северотаежной подзоны.
...
11 03 2026 17:50:58
Статья в формате PDF
141 KB...
10 03 2026 7:36:51
Статья в формате PDF
216 KB...
09 03 2026 17:13:14
Статья в формате PDF
253 KB...
07 03 2026 4:36:17
Статья в формате PDF
126 KB...
05 03 2026 2:16:54
Статья в формате PDF
244 KB...
04 03 2026 20:54:24
Статья в формате PDF
230 KB...
03 03 2026 18:11:37
Статья в формате PDF
108 KB...
02 03 2026 20:10:47
Статья в формате PDF
103 KB...
28 02 2026 11:38:56
Статья в формате PDF
109 KB...
27 02 2026 14:43:10
Статья в формате PDF
115 KB...
26 02 2026 8:20:30
Статья в формате PDF
96 KB...
25 02 2026 15:25:50
Статья в формате PDF
114 KB...
24 02 2026 10:13:43
Статья в формате PDF
144 KB...
23 02 2026 11:55:51
Статья в формате PDF
172 KB...
22 02 2026 4:30:16
Статья в формате PDF
117 KB...
21 02 2026 12:36:23
Статья в формате PDF
264 KB...
20 02 2026 12:21:59
Статья в формате PDF
118 KB...
19 02 2026 1:46:34
Статья в формате PDF
301 KB...
18 02 2026 11:51:55
Исследуется динамика причин cмepтности от сахарного диабета за период с 2000 по 2005гг по материалам отделения эндокринологии МУЗ ГКБ №3 им. С.М.Кирова. За исследуемый период наблюдалось снижение cмepтности от сахарного диабета. Непосредственными причинами cмepти от сахарного диабета послужили: диабетическая кома, гипогликемическая кома, хроническая почечная недостаточность (ХПН), гангрена, осложненная сепсисом. Наиболее частой причиной cмepти от СД в течение всего периода исследования являлась гангрена, осложненная сепсисом.
...
17 02 2026 10:27:23
Статья в формате PDF
136 KB...
16 02 2026 1:12:35
Статья в формате PDF
251 KB...
15 02 2026 12:12:15
Статья в формате PDF
136 KB...
14 02 2026 0:29:40
Статья в формате PDF
93 KB...
13 02 2026 20:11:21
Статья в формате PDF
100 KB...
12 02 2026 12:28:25
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
