Краевая задача со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения
1 ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова» Министерства образования и науки РФ Исследована краевая задача со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения. При определенных условиях неравенственного типа на известные функции доказана теорема единственности. Вопрос существования решения задачи сведен к вопросу разрешимости сингулярного интегрального уравнения, которое редуцируется к уравнению Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого заключается из единственности решения задачи. Статья в формате PDF 1265 KB краевая задача со смещениемоператор дробного дифференцированияоператор дробного интегрированиязадача Кошиуравнение Фредгольмасингулярное интегральное уравнение 1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.: Наука, 1981. – 488 с. 2. Кумыкова С.К., Нахушева Ф.Б. Об одной краевой задаче для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Дифференциальные уравнения. – 1978. – Т.14, № 1. – С. 50–65. 3. Кумыкова С.К. Об одной задаче с нелокальными краевыми условиями на хаpaктеристиках для уравнения смешанного типа // Дифференциальные уравнения. – 1974. – Т.10, № 1. – С. 78–88. 4. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. – М.: Физматгиз, 1963. – 358 с. 5. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. – М.: Наука, 1968. – 511 с. 6. Нахушев А.М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. – 1969. – Т.5, № 1. – С. 44–59. 7. Репин О.А., Кумыкова С.К. Задача с обобщенными операторами дробного интегро – дифференцирования произвольного порядка // Известия высших учебных заведений. Математика. – 2012. – № 12. – С. 59–71. 8. Репин О.А., Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Дифференциальные уравнения. – 2012. – Т.48, № 8. – С. 1140–1149. 9. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.
Теория краевых задач для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными. Интерес к таким уравнениям объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и многочисленными пpaктическими приложениями в газовой динамике, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике, в теории электронного рассеивания, в математической биологии. Они имеют большое значение при математическом моделировании нефтяных пластов, фильтраций грунтовых вод, переноса тепла и массы в объекте, имеющего сложное строение, электрических колебаний в проводах и других областях.
Задачи со смещением существенно обобщают классические задачи для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений, имеют многомерные аналоги и содержат широкий класс корректных самосопряженных задач.
Цель исследования: доказать существование и единственность решения задачи со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения.
Постановка задачи. Рассмотрим уравнение
|y|l uxx – uyy = 0, (1)
где l = m при y > 0 и l = n при y < 0, m, n –положительные постоянные, в конечной области Ω, ограниченной хаpaктеристиками AC, BC, AD, BD уравнения (1), выходящими из точек A(0, 0), B(1, 0).
Пусть Ω1 = Ω∩(y > 0), Ω2 = Ω∩(y < 0), J – интервал 0 < x < l прямой y = 0.
Задача. Найти решение уравнения (1)
из класса , удовлетворяющее краевым условиям
(2)
и условию сопряжения
(3)
где ε1 = m/(2m + 4), ε2 = n/(2n + 4); – точки пересечения хаpaктеристик уравнения (1), выходящих из точки (x, 0) ∈ J, с хаpaктеристиками AC, AD, BC, BD соответственно αi(x), βi(x), γi(x), α(x), β(x) – заданные функции, причем
αi(x), βi(x), α(x), – операторы дробного в смысле Римана – Лиувилля интегро-дифференцирования от функции f(х) [9].
Задача (1)–(3) относится к классу краевых задач со смещением [6]. При α2(x) = β1(x) = 0 существование и единственность решения задачи (1)–(3) были доказаны С.К. Кумыковой и Ф.Б. Нахушевой [2].
Единственность решения задачи
Пусть, как и принято, τ(x) = u(x, 0)
Выписывая решение задачи Коши для уравнения (1) в областях Ω1 и Ω2 [1], а затем, удовлетворив его краевым условиям (2), получим соотношения между τ(x) и νi(x), i = 1, 2
(4)
(5)
принесенные на J из областей Ω1 и Ω2, где Γ(α) – гамма функция Эйлера [4].
Принимая во внимание равенства [3]
соотношения (5)–(4) перепишем в виде
(6)
(7)
Теорема. В области Ω не может существовать более одного решения задачи, если выполнено либо
(8)
либо
α(x) ≡ 1,
(9)
(10)
Доказательство. При выполнении (8) единственность решения задачи (1)–(3) установлена в [2]. Докажем, что решение задачи единственно при выполнении условий (9), (10). Для этого покажем, что интеграл
не может быть отрицательным.
Полагая γ2(x) = 0, перепишем (7) в виде
где
Рассмотрим интеграл
(11)
Воспользуемся формулой [4] для гамма функции
Полагая в ней k = |x – ξ|, μ = 2ε2, получим
Откуда, поменяв порядок интегрирования в (11), будем иметь
С учетом ai(1) = bi(0) = 0 , вычислениями, аналогичными [2], получим
(12)
Нетрудно видеть, что при выполнении условий теоремы и, следовательно, J* ≥ 0 .
При γ1(x) = 0 из (6) также получается неравенство
Так как при α(x) ≡ 1, β(x) ≡ 0, ν1(x) = ν2(x), то
Таким образом, левая часть (12) равна нулю. Поскольку слагаемые справа неотрицательны, то они также равны нулю. В частности,
Так как , то
для всех t ∈ (0,∞), в частности, при t = 2πk, k = 0, 1, 2, … При этих значениях t функции sin tξ и cos tξ образуют полную ортогональную систему функций в L2.
Следовательно, νi(ξ) = 0 почти всюду, а так как они непрерывны по условию, то νi(ξ) = 0 всюду. Отсюда из (6), (7) при γi(x) = 0, i = 1, 2, заключаем, что τ(x) = 0 и, следовательно, ui(x, y) = 0 как решения задачи Коши в областях Ω1, Ω2 с нулевыми данными на J.
Существование решения задачи
Исключая τ(x) из (6) и (7), с учетом условия сопряжения (3), получим уравнение
(13)
где
Пусть a2(x) ≠ 0. подействовав на обе части (13) оператором , будем иметь:
(14)
Существование решения задачи исследовано в случаях m = n и n > m. При n > m уравнение (14) сведено к сингулярному интегральному уравнению [5]
(15)
а при n = m совпадает с сингулярным интегральным уравнением
(16)
Из свойств функций αi(x), βi(x), γi(x), α(x), β(x), i = 1, 2 , заключаем, что правая часть уравнений (15), (16) принадлежат классу C1(J), ,причем при x → 0 и x → 1 может обращаться в бесконечность порядка не выше 1 – 2εi. Ядра уравнений (15), (16)
.
Условие гарантирует существование регуляризатора, приводящего уравнения (15), (16) к уравнению Фредгольма второго рода, где
при n > m, а при n = m
Из возможности приведения задачи к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма второго рода и единственности искомого решения следует существование решения поставленной задачи. По найденному ν2(x) можно найти ν1(x), а следовательно и τ(x). Решение задачи (1)–(3) может быть найдено как решение задачи Коши в областях Ω1 и Ω2.
Отметим, что задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов с операторами обобщенного дробного интегро-дифференцирования исследовались в работах [7, 8].
Статья в формате PDF
103 KB...
08 07 2026 8:55:29
Формулируется базовая проблема социально-экономического развития и регулирования процессов на российском Севере – на фоне возрастания геополитического и экономического значения эта специфическая зона хаpaктеризуется нарастанием системных проблем и появлением новых вызовов современности. Значительный опыт исследования перспектив оптимизации управленческих социально-экономических отношений в Институте экономических проблем Кольского НЦ РАН позволил выявить и обосновать два важнейших научных направления: 1) необходимость введения особого направления – «Североведения» – в систему макроэкономических и региональных исследований; 2) необходимость формирования целостной теории прострaнcтвенного развития Севера и Арктики в современном мире. Плодотворному обсуждению этих научных направлений в рамках современных и перспективных проблем была посвящена межрегиональная научно-пpaктическая конференция «Развитие Севера и Арктики: проблемы и перспективы», состоявшаяся 14–16 ноября 2012 года в г. Апатиты Мурманской области. Результаты обсуждения приведены в настоящей статье. Делается вывод, что фундаментальная задача современности – необходимость формирования новой парадигмы развития Севера и Арктики с учетом существенных изменений в глобальной расстановке сил последнего двадцатилетия, национальных интересов арктических стран, и. прежде всего, России, глобальных изменений природной среды, роста значения ресурсов севера и Арктики, экологических требований и культурно-цивилизационных задач развития.
...
07 07 2026 19:23:32
Статья в формате PDF
121 KB...
06 07 2026 21:28:43
Статья в формате PDF
369 KB...
05 07 2026 9:10:21
Статья в формате PDF
128 KB...
03 07 2026 5:28:38
Статья в формате PDF
268 KB...
02 07 2026 23:29:24
Статья в формате PDF 113 KB...
01 07 2026 10:57:11
В работе сформулированы принципы валеологического мировоззрения как образца устремлений, выполняющих ориентационную, нормирующую, прогностическую функции в отношении здоровья и здорового образа жизни.
...
30 06 2026 8:54:20
Статья в формате PDF
400 KB...
29 06 2026 7:34:54
Статья в формате PDF
133 KB...
28 06 2026 15:49:41
Статья в формате PDF
101 KB...
27 06 2026 2:24:21
Статья в формате PDF
345 KB...
26 06 2026 17:14:28
Статья в формате PDF
226 KB...
25 06 2026 16:20:45
Статья в формате PDF
114 KB...
24 06 2026 7:22:59
Статья в формате PDF
131 KB...
23 06 2026 3:29:30
Статья в формате PDF
145 KB...
22 06 2026 1:19:52
Статья в формате PDF
115 KB...
21 06 2026 13:10:35
Статья в формате PDF
117 KB...
20 06 2026 19:47:38
Статья в формате PDF
103 KB...
19 06 2026 1:15:34
Статья в формате PDF
126 KB...
18 06 2026 19:13:54
Статья в формате PDF
115 KB...
16 06 2026 21:10:59
Статья в формате PDF
131 KB...
15 06 2026 6:56:48
Статья в формате PDF 113 KB...
14 06 2026 1:23:49
Статья в формате PDF
109 KB...
13 06 2026 9:33:44
Статья в формате PDF
112 KB...
12 06 2026 0:50:44
Статья в формате PDF
299 KB...
11 06 2026 12:25:51
Статья в формате PDF
110 KB...
10 06 2026 0:11:10
Статья в формате PDF
110 KB...
09 06 2026 14:36:47
Статья в формате PDF
136 KB...
08 06 2026 20:10:12
Статья в формате PDF
123 KB...
07 06 2026 10:37:16
Статья в формате PDF
129 KB...
06 06 2026 10:45:15
Статья в формате PDF
207 KB...
04 06 2026 1:44:13
Изучено влияние солей кадмия, свинца и марганца на содержание белков в сыворотке крови сеголеток карпа. Показаны разнонаправленные изменения белкового состава сыворотки крови рыб при воздействии солей тяжелых металлов, о чем можно судить на основании изменения А/G индекса. При хроническом действии ионов кадмия отмечено значительное преобладание суммарного содержания альбуминов над глобулинами на протяжении всего эксперимента, пребывание рыб в среде с ионами свинца сопровождалось более значительным ростом содержания глобулинов, тогда как при действии ионов марганца не выявлен однонаправленный хаpaктер изменения соотношения альбуминов и глобулинов.
...
03 06 2026 23:20:49
Статья в формате PDF
104 KB...
02 06 2026 16:41:14
Статья в формате PDF
118 KB...
01 06 2026 6:46:26
Статья в формате PDF
101 KB...
31 05 2026 10:49:12
Статья в формате PDF
123 KB...
30 05 2026 23:24:28
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
