Краевая задача со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения
1 ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова» Министерства образования и науки РФ Исследована краевая задача со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения. При определенных условиях неравенственного типа на известные функции доказана теорема единственности. Вопрос существования решения задачи сведен к вопросу разрешимости сингулярного интегрального уравнения, которое редуцируется к уравнению Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого заключается из единственности решения задачи. Статья в формате PDF 1265 KB краевая задача со смещениемоператор дробного дифференцированияоператор дробного интегрированиязадача Кошиуравнение Фредгольмасингулярное интегральное уравнение 1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.: Наука, 1981. – 488 с. 2. Кумыкова С.К., Нахушева Ф.Б. Об одной краевой задаче для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Дифференциальные уравнения. – 1978. – Т.14, № 1. – С. 50–65. 3. Кумыкова С.К. Об одной задаче с нелокальными краевыми условиями на хаpaктеристиках для уравнения смешанного типа // Дифференциальные уравнения. – 1974. – Т.10, № 1. – С. 78–88. 4. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. – М.: Физматгиз, 1963. – 358 с. 5. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. – М.: Наука, 1968. – 511 с. 6. Нахушев А.М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. – 1969. – Т.5, № 1. – С. 44–59. 7. Репин О.А., Кумыкова С.К. Задача с обобщенными операторами дробного интегро – дифференцирования произвольного порядка // Известия высших учебных заведений. Математика. – 2012. – № 12. – С. 59–71. 8. Репин О.А., Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Дифференциальные уравнения. – 2012. – Т.48, № 8. – С. 1140–1149. 9. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.
Теория краевых задач для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными. Интерес к таким уравнениям объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и многочисленными пpaктическими приложениями в газовой динамике, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике, в теории электронного рассеивания, в математической биологии. Они имеют большое значение при математическом моделировании нефтяных пластов, фильтраций грунтовых вод, переноса тепла и массы в объекте, имеющего сложное строение, электрических колебаний в проводах и других областях.
Задачи со смещением существенно обобщают классические задачи для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений, имеют многомерные аналоги и содержат широкий класс корректных самосопряженных задач.
Цель исследования: доказать существование и единственность решения задачи со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения.
Постановка задачи. Рассмотрим уравнение
|y|l uxx – uyy = 0, (1)
где l = m при y > 0 и l = n при y < 0, m, n –положительные постоянные, в конечной области Ω, ограниченной хаpaктеристиками AC, BC, AD, BD уравнения (1), выходящими из точек A(0, 0), B(1, 0).
Пусть Ω1 = Ω∩(y > 0), Ω2 = Ω∩(y < 0), J – интервал 0 < x < l прямой y = 0.
Задача. Найти решение уравнения (1)
из класса , удовлетворяющее краевым условиям
(2)
и условию сопряжения
(3)
где ε1 = m/(2m + 4), ε2 = n/(2n + 4); – точки пересечения хаpaктеристик уравнения (1), выходящих из точки (x, 0) ∈ J, с хаpaктеристиками AC, AD, BC, BD соответственно αi(x), βi(x), γi(x), α(x), β(x) – заданные функции, причем
αi(x), βi(x), α(x), – операторы дробного в смысле Римана – Лиувилля интегро-дифференцирования от функции f(х) [9].
Задача (1)–(3) относится к классу краевых задач со смещением [6]. При α2(x) = β1(x) = 0 существование и единственность решения задачи (1)–(3) были доказаны С.К. Кумыковой и Ф.Б. Нахушевой [2].
Единственность решения задачи
Пусть, как и принято, τ(x) = u(x, 0)
Выписывая решение задачи Коши для уравнения (1) в областях Ω1 и Ω2 [1], а затем, удовлетворив его краевым условиям (2), получим соотношения между τ(x) и νi(x), i = 1, 2
(4)
(5)
принесенные на J из областей Ω1 и Ω2, где Γ(α) – гамма функция Эйлера [4].
Принимая во внимание равенства [3]
соотношения (5)–(4) перепишем в виде
(6)
(7)
Теорема. В области Ω не может существовать более одного решения задачи, если выполнено либо
(8)
либо
α(x) ≡ 1,
(9)
(10)
Доказательство. При выполнении (8) единственность решения задачи (1)–(3) установлена в [2]. Докажем, что решение задачи единственно при выполнении условий (9), (10). Для этого покажем, что интеграл
не может быть отрицательным.
Полагая γ2(x) = 0, перепишем (7) в виде
где
Рассмотрим интеграл
(11)
Воспользуемся формулой [4] для гамма функции
Полагая в ней k = |x – ξ|, μ = 2ε2, получим
Откуда, поменяв порядок интегрирования в (11), будем иметь
С учетом ai(1) = bi(0) = 0 , вычислениями, аналогичными [2], получим
(12)
Нетрудно видеть, что при выполнении условий теоремы и, следовательно, J* ≥ 0 .
При γ1(x) = 0 из (6) также получается неравенство
Так как при α(x) ≡ 1, β(x) ≡ 0, ν1(x) = ν2(x), то
Таким образом, левая часть (12) равна нулю. Поскольку слагаемые справа неотрицательны, то они также равны нулю. В частности,
Так как , то
для всех t ∈ (0,∞), в частности, при t = 2πk, k = 0, 1, 2, … При этих значениях t функции sin tξ и cos tξ образуют полную ортогональную систему функций в L2.
Следовательно, νi(ξ) = 0 почти всюду, а так как они непрерывны по условию, то νi(ξ) = 0 всюду. Отсюда из (6), (7) при γi(x) = 0, i = 1, 2, заключаем, что τ(x) = 0 и, следовательно, ui(x, y) = 0 как решения задачи Коши в областях Ω1, Ω2 с нулевыми данными на J.
Существование решения задачи
Исключая τ(x) из (6) и (7), с учетом условия сопряжения (3), получим уравнение
(13)
где
Пусть a2(x) ≠ 0. подействовав на обе части (13) оператором , будем иметь:
(14)
Существование решения задачи исследовано в случаях m = n и n > m. При n > m уравнение (14) сведено к сингулярному интегральному уравнению [5]
(15)
а при n = m совпадает с сингулярным интегральным уравнением
(16)
Из свойств функций αi(x), βi(x), γi(x), α(x), β(x), i = 1, 2 , заключаем, что правая часть уравнений (15), (16) принадлежат классу C1(J), ,причем при x → 0 и x → 1 может обращаться в бесконечность порядка не выше 1 – 2εi. Ядра уравнений (15), (16)
.
Условие гарантирует существование регуляризатора, приводящего уравнения (15), (16) к уравнению Фредгольма второго рода, где
при n > m, а при n = m
Из возможности приведения задачи к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма второго рода и единственности искомого решения следует существование решения поставленной задачи. По найденному ν2(x) можно найти ν1(x), а следовательно и τ(x). Решение задачи (1)–(3) может быть найдено как решение задачи Коши в областях Ω1 и Ω2.
Отметим, что задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов с операторами обобщенного дробного интегро-дифференцирования исследовались в работах [7, 8].
Статья в формате PDF
109 KB...
26 04 2024 8:35:21
Статья в формате PDF
106 KB...
25 04 2024 9:41:19
Статья в формате PDF
152 KB...
24 04 2024 11:39:23
Статья в формате PDF
135 KB...
23 04 2024 11:11:20
Статья в формате PDF
303 KB...
22 04 2024 7:23:48
Статья в формате PDF
112 KB...
20 04 2024 3:59:58
Статья в формате PDF
122 KB...
19 04 2024 21:38:13
Статья в формате PDF
250 KB...
18 04 2024 15:13:21
Статья в формате PDF
103 KB...
17 04 2024 19:57:37
Статья в формате PDF
310 KB...
16 04 2024 1:51:57
Статья в формате PDF
244 KB...
15 04 2024 22:39:53
Статья в формате PDF
133 KB...
14 04 2024 21:13:25
Статья в формате PDF
84 KB...
13 04 2024 19:34:18
Статья в формате PDF
100 KB...
11 04 2024 0:35:59
Статья в формате PDF
103 KB...
10 04 2024 11:43:51
Статья в формате PDF
124 KB...
09 04 2024 14:59:59
Статья в формате PDF
111 KB...
08 04 2024 13:36:12
Представленная статья посвящена исследованию понятия честь в качестве фундаментальной категории права. В работе отмечено, что основой для соблюдения права, уважения к закону является честь. Данное понятие включает в себя такие качества, как целомудрие и благородство. Основным же назначением государства является защита чести своих граждан. Эта высокая миссия тесно связана с единственной целью государственности как формы человеческого бытия – с содействием духовному возрастанию человека.
...
07 04 2024 11:58:57
Статья в формате PDF
283 KB...
06 04 2024 7:19:39
Зачастую жены священно и церковнослужителей к 40 годам оставались без супруга с 6-8 детьми на руках, половина из которых малолетние, а некоторые носителями неизлечимой болезни. Права на наследство и различного рода материальную помощь строго регламентировались Синодальным управлением. Семьи получали полные пенсии после cмepти родителя, если выслуга составляла не менее 30 лет. Малоимущие семьи священников имели право на получение единовременного пособия. Если срок выслуги отца семейства был менее 10 лет. Благополучие вдов с детьми священно и церковнослужителей зависело от состояния здоровья отца, что давало возможность исправно и в соответствии с временными нормами выработки нести службу, в противном же случае – святое семейство оставалось без средств к существованию.
...
05 04 2024 20:14:25
Статья в формате PDF
1342 KB...
04 04 2024 15:14:48
Статья в формате PDF
211 KB...
03 04 2024 3:37:15
Статья в формате PDF
110 KB...
02 04 2024 12:42:48
Статья в формате PDF
250 KB...
01 04 2024 19:13:13
Статья в формате PDF
110 KB...
31 03 2024 1:29:51
Статья в формате PDF
266 KB...
30 03 2024 3:43:48
Статья в формате PDF
307 KB...
29 03 2024 9:58:28
Статья в формате PDF
98 KB...
28 03 2024 22:14:33
Статья в формате PDF
117 KB...
27 03 2024 17:17:26
Статья в формате PDF
111 KB...
26 03 2024 5:47:56
Статья в формате PDF
121 KB...
25 03 2024 0:17:30
Статья в формате PDF
248 KB...
24 03 2024 8:34:20
Статья в формате PDF
113 KB...
22 03 2024 1:12:36
Статья в формате PDF
253 KB...
21 03 2024 7:20:41
Статья в формате PDF
105 KB...
20 03 2024 2:10:52
Проведен анализ общепринятых учений и научных теорий, имевших широкую аудиторию в вузах и научно-исследовательских институтах прошлого века. Выявлена недостаточность абстpaктной потенции в мыслительной жизни homo sensus, главная альтернатива которой – эмоциональный мир, чувственность и вера. Свойство верить познающего субъекта не носит хаpaктер религиозности, однако имеет общие с ней основания. Роднит религию и научную веру стремление не понять, а принять смутные представления, сулящие сиюминутную пользу и выгоду, объединяет желание увидеть в таинственном и запредельном нечто к себе доброжелательное, освобождающее от мучительного предназначения думать и, следовательно, уводящее от необходимости работать – работать без самообмана, но эффективно и достойно homo sapiens.
...
19 03 2024 14:23:32
Статья в формате PDF
148 KB...
18 03 2024 23:32:53
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
