Краевая задача со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения
1 ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова» Министерства образования и науки РФ Исследована краевая задача со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения. При определенных условиях неравенственного типа на известные функции доказана теорема единственности. Вопрос существования решения задачи сведен к вопросу разрешимости сингулярного интегрального уравнения, которое редуцируется к уравнению Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого заключается из единственности решения задачи. Статья в формате PDF 1265 KB краевая задача со смещениемоператор дробного дифференцированияоператор дробного интегрированиязадача Кошиуравнение Фредгольмасингулярное интегральное уравнение 1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.: Наука, 1981. – 488 с. 2. Кумыкова С.К., Нахушева Ф.Б. Об одной краевой задаче для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Дифференциальные уравнения. – 1978. – Т.14, № 1. – С. 50–65. 3. Кумыкова С.К. Об одной задаче с нелокальными краевыми условиями на хаpaктеристиках для уравнения смешанного типа // Дифференциальные уравнения. – 1974. – Т.10, № 1. – С. 78–88. 4. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. – М.: Физматгиз, 1963. – 358 с. 5. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. – М.: Наука, 1968. – 511 с. 6. Нахушев А.М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. – 1969. – Т.5, № 1. – С. 44–59. 7. Репин О.А., Кумыкова С.К. Задача с обобщенными операторами дробного интегро – дифференцирования произвольного порядка // Известия высших учебных заведений. Математика. – 2012. – № 12. – С. 59–71. 8. Репин О.А., Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Дифференциальные уравнения. – 2012. – Т.48, № 8. – С. 1140–1149. 9. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.
Теория краевых задач для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными. Интерес к таким уравнениям объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и многочисленными пpaктическими приложениями в газовой динамике, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике, в теории электронного рассеивания, в математической биологии. Они имеют большое значение при математическом моделировании нефтяных пластов, фильтраций грунтовых вод, переноса тепла и массы в объекте, имеющего сложное строение, электрических колебаний в проводах и других областях.
Задачи со смещением существенно обобщают классические задачи для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений, имеют многомерные аналоги и содержат широкий класс корректных самосопряженных задач.
Цель исследования: доказать существование и единственность решения задачи со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения.
Постановка задачи. Рассмотрим уравнение
|y|l uxx – uyy = 0, (1)
где l = m при y > 0 и l = n при y < 0, m, n –положительные постоянные, в конечной области Ω, ограниченной хаpaктеристиками AC, BC, AD, BD уравнения (1), выходящими из точек A(0, 0), B(1, 0).
Пусть Ω1 = Ω∩(y > 0), Ω2 = Ω∩(y < 0), J – интервал 0 < x < l прямой y = 0.
Задача. Найти решение уравнения (1)
из класса , удовлетворяющее краевым условиям
(2)
и условию сопряжения
(3)
где ε1 = m/(2m + 4), ε2 = n/(2n + 4); – точки пересечения хаpaктеристик уравнения (1), выходящих из точки (x, 0) ∈ J, с хаpaктеристиками AC, AD, BC, BD соответственно αi(x), βi(x), γi(x), α(x), β(x) – заданные функции, причем
αi(x), βi(x), α(x), – операторы дробного в смысле Римана – Лиувилля интегро-дифференцирования от функции f(х) [9].
Задача (1)–(3) относится к классу краевых задач со смещением [6]. При α2(x) = β1(x) = 0 существование и единственность решения задачи (1)–(3) были доказаны С.К. Кумыковой и Ф.Б. Нахушевой [2].
Единственность решения задачи
Пусть, как и принято, τ(x) = u(x, 0)
Выписывая решение задачи Коши для уравнения (1) в областях Ω1 и Ω2 [1], а затем, удовлетворив его краевым условиям (2), получим соотношения между τ(x) и νi(x), i = 1, 2
(4)
(5)
принесенные на J из областей Ω1 и Ω2, где Γ(α) – гамма функция Эйлера [4].
Принимая во внимание равенства [3]
соотношения (5)–(4) перепишем в виде
(6)
(7)
Теорема. В области Ω не может существовать более одного решения задачи, если выполнено либо
(8)
либо
α(x) ≡ 1,
(9)
(10)
Доказательство. При выполнении (8) единственность решения задачи (1)–(3) установлена в [2]. Докажем, что решение задачи единственно при выполнении условий (9), (10). Для этого покажем, что интеграл
не может быть отрицательным.
Полагая γ2(x) = 0, перепишем (7) в виде
где
Рассмотрим интеграл
(11)
Воспользуемся формулой [4] для гамма функции
Полагая в ней k = |x – ξ|, μ = 2ε2, получим
Откуда, поменяв порядок интегрирования в (11), будем иметь
С учетом ai(1) = bi(0) = 0 , вычислениями, аналогичными [2], получим
(12)
Нетрудно видеть, что при выполнении условий теоремы и, следовательно, J* ≥ 0 .
При γ1(x) = 0 из (6) также получается неравенство
Так как при α(x) ≡ 1, β(x) ≡ 0, ν1(x) = ν2(x), то
Таким образом, левая часть (12) равна нулю. Поскольку слагаемые справа неотрицательны, то они также равны нулю. В частности,
Так как , то
для всех t ∈ (0,∞), в частности, при t = 2πk, k = 0, 1, 2, … При этих значениях t функции sin tξ и cos tξ образуют полную ортогональную систему функций в L2.
Следовательно, νi(ξ) = 0 почти всюду, а так как они непрерывны по условию, то νi(ξ) = 0 всюду. Отсюда из (6), (7) при γi(x) = 0, i = 1, 2, заключаем, что τ(x) = 0 и, следовательно, ui(x, y) = 0 как решения задачи Коши в областях Ω1, Ω2 с нулевыми данными на J.
Существование решения задачи
Исключая τ(x) из (6) и (7), с учетом условия сопряжения (3), получим уравнение
(13)
где
Пусть a2(x) ≠ 0. подействовав на обе части (13) оператором , будем иметь:
(14)
Существование решения задачи исследовано в случаях m = n и n > m. При n > m уравнение (14) сведено к сингулярному интегральному уравнению [5]
(15)
а при n = m совпадает с сингулярным интегральным уравнением
(16)
Из свойств функций αi(x), βi(x), γi(x), α(x), β(x), i = 1, 2 , заключаем, что правая часть уравнений (15), (16) принадлежат классу C1(J), ,причем при x → 0 и x → 1 может обращаться в бесконечность порядка не выше 1 – 2εi. Ядра уравнений (15), (16)
.
Условие гарантирует существование регуляризатора, приводящего уравнения (15), (16) к уравнению Фредгольма второго рода, где
при n > m, а при n = m
Из возможности приведения задачи к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма второго рода и единственности искомого решения следует существование решения поставленной задачи. По найденному ν2(x) можно найти ν1(x), а следовательно и τ(x). Решение задачи (1)–(3) может быть найдено как решение задачи Коши в областях Ω1 и Ω2.
Отметим, что задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов с операторами обобщенного дробного интегро-дифференцирования исследовались в работах [7, 8].
Статья в формате PDF
96 KB...
18 04 2026 10:41:42
Статья в формате PDF
132 KB...
17 04 2026 8:24:54
Статья в формате PDF
235 KB...
16 04 2026 6:42:38
В статье излагаются положения новой концепции на субстрат миндалевидного комплекса, предлагающей рассматривать эту структуру лимбической системы как ядерно-палеокортикальный компонент мозга.
...
15 04 2026 22:55:47
Обсуждены методика и некоторые результаты моделирования вероятных конфигураций межфазных границ на поверхности композиционных материалов, полученные методом итерации прямоугольных генераторов на определенных сетках Кеплера-Шубникова.
...
13 04 2026 11:24:42
Статья в формате PDF
251 KB...
12 04 2026 6:25:12
Статья в формате PDF
107 KB...
11 04 2026 13:26:19
В отличие от традиционного, показан иной путь интегрирования для получения уравнения напряженности гравитационного поля в точке на удалении от модельного однородного шарообразного тела. Доказано его соответствие закону всемирного тяготения при проведении компьютерного суммирования. Обнаружено наличие максимального вклада элементов шарообразного тела в величину напряженности гравитационного поля в исследуемой точке вне этого тела. Получена аналитическая зависимость глубины положения этих элементов внутри шарообразного тела от высоты исследуемой точки над поверхностью тела и его радиуса.
...
10 04 2026 11:47:31
Статья в формате PDF
131 KB...
09 04 2026 10:15:36
В опытах с 19 полосками миометрия, полученных от 5 женщин в конце доношенной беременности при плановом кесаревом сечении, установлено, что озонированный ( ≈0,50 мкг/мл) раствор Кребса ингибирует спонтанную сократительную активность миометрия и существенно уменьшает стимулирующий эффект адреналина, т.е. снижает его α-адренореактивность. Это объясняет эффективность озонотерапии при угрозе прерывания беременности и дискоординированной родовой деятельности.
...
08 04 2026 6:42:52
Статья в формате PDF
129 KB...
07 04 2026 2:18:23
Статья в формате PDF
111 KB...
06 04 2026 18:10:59
Статья в формате PDF
99 KB...
05 04 2026 7:34:46
Статья в формате PDF
125 KB...
04 04 2026 3:41:51
Статья в формате PDF
688 KB...
02 04 2026 8:23:47
Статья в формате PDF
263 KB...
31 03 2026 13:45:27
Статья в формате PDF
245 KB...
30 03 2026 21:12:11
Статья в формате PDF
185 KB...
29 03 2026 16:26:47
Статья в формате PDF
425 KB...
27 03 2026 10:15:46
Статья в формате PDF
112 KB...
26 03 2026 11:27:38
В статье рассматриваются социальный успех, успешность, успешная деятельность, как основные категории самореализации и профессионального роста. Анализируется проблема влияния современного общества на мотивационную сферу личности в деятельности. Представлена модель влияния мотивов «достижения успеха» на трудовую адаптацию личности.
...
25 03 2026 2:17:38
Статья в формате PDF
136 KB...
24 03 2026 12:27:10
Статья в формате PDF
143 KB...
23 03 2026 10:23:26
Статья в формате PDF
242 KB...
22 03 2026 3:16:28
Статья в формате PDF
722 KB...
21 03 2026 19:36:37
Статья в формате PDF
136 KB...
20 03 2026 0:43:41
Статья в формате PDF
284 KB...
19 03 2026 4:19:19
Статья в формате PDF
121 KB...
17 03 2026 13:26:46
Статья в формате PDF
124 KB...
16 03 2026 23:19:45
Для растущих деревьев как живых организмов при оценке их пригодности для создания здоровой лесной среды дополнительно следует учитывать существенные биотехнические признаки, отличающиеся от понимания древостоя как склада кругляка.
...
14 03 2026 23:22:12
Статья в формате PDF
218 KB...
13 03 2026 11:24:49
Статья в формате PDF
119 KB...
12 03 2026 16:21:14
Статья в формате PDF
456 KB...
11 03 2026 1:28:48
Статья в формате PDF
108 KB...
10 03 2026 3:20:11
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
