Краевая задача со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения
1 ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова» Министерства образования и науки РФ Исследована краевая задача со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения. При определенных условиях неравенственного типа на известные функции доказана теорема единственности. Вопрос существования решения задачи сведен к вопросу разрешимости сингулярного интегрального уравнения, которое редуцируется к уравнению Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого заключается из единственности решения задачи. Статья в формате PDF 1265 KB краевая задача со смещениемоператор дробного дифференцированияоператор дробного интегрированиязадача Кошиуравнение Фредгольмасингулярное интегральное уравнение 1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.: Наука, 1981. – 488 с. 2. Кумыкова С.К., Нахушева Ф.Б. Об одной краевой задаче для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Дифференциальные уравнения. – 1978. – Т.14, № 1. – С. 50–65. 3. Кумыкова С.К. Об одной задаче с нелокальными краевыми условиями на хаpaктеристиках для уравнения смешанного типа // Дифференциальные уравнения. – 1974. – Т.10, № 1. – С. 78–88. 4. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. – М.: Физматгиз, 1963. – 358 с. 5. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. – М.: Наука, 1968. – 511 с. 6. Нахушев А.М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. – 1969. – Т.5, № 1. – С. 44–59. 7. Репин О.А., Кумыкова С.К. Задача с обобщенными операторами дробного интегро – дифференцирования произвольного порядка // Известия высших учебных заведений. Математика. – 2012. – № 12. – С. 59–71. 8. Репин О.А., Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Дифференциальные уравнения. – 2012. – Т.48, № 8. – С. 1140–1149. 9. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.
Теория краевых задач для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными. Интерес к таким уравнениям объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и многочисленными пpaктическими приложениями в газовой динамике, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике, в теории электронного рассеивания, в математической биологии. Они имеют большое значение при математическом моделировании нефтяных пластов, фильтраций грунтовых вод, переноса тепла и массы в объекте, имеющего сложное строение, электрических колебаний в проводах и других областях.
Задачи со смещением существенно обобщают классические задачи для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений, имеют многомерные аналоги и содержат широкий класс корректных самосопряженных задач.
Цель исследования: доказать существование и единственность решения задачи со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения.
Постановка задачи. Рассмотрим уравнение
|y|l uxx – uyy = 0, (1)
где l = m при y > 0 и l = n при y < 0, m, n –положительные постоянные, в конечной области Ω, ограниченной хаpaктеристиками AC, BC, AD, BD уравнения (1), выходящими из точек A(0, 0), B(1, 0).
Пусть Ω1 = Ω∩(y > 0), Ω2 = Ω∩(y < 0), J – интервал 0 < x < l прямой y = 0.
Задача. Найти решение уравнения (1)
из класса , удовлетворяющее краевым условиям
(2)
и условию сопряжения
(3)
где ε1 = m/(2m + 4), ε2 = n/(2n + 4); – точки пересечения хаpaктеристик уравнения (1), выходящих из точки (x, 0) ∈ J, с хаpaктеристиками AC, AD, BC, BD соответственно αi(x), βi(x), γi(x), α(x), β(x) – заданные функции, причем
αi(x), βi(x), α(x), – операторы дробного в смысле Римана – Лиувилля интегро-дифференцирования от функции f(х) [9].
Задача (1)–(3) относится к классу краевых задач со смещением [6]. При α2(x) = β1(x) = 0 существование и единственность решения задачи (1)–(3) были доказаны С.К. Кумыковой и Ф.Б. Нахушевой [2].
Единственность решения задачи
Пусть, как и принято, τ(x) = u(x, 0)
Выписывая решение задачи Коши для уравнения (1) в областях Ω1 и Ω2 [1], а затем, удовлетворив его краевым условиям (2), получим соотношения между τ(x) и νi(x), i = 1, 2
(4)
(5)
принесенные на J из областей Ω1 и Ω2, где Γ(α) – гамма функция Эйлера [4].
Принимая во внимание равенства [3]
соотношения (5)–(4) перепишем в виде
(6)
(7)
Теорема. В области Ω не может существовать более одного решения задачи, если выполнено либо
(8)
либо
α(x) ≡ 1,
(9)
(10)
Доказательство. При выполнении (8) единственность решения задачи (1)–(3) установлена в [2]. Докажем, что решение задачи единственно при выполнении условий (9), (10). Для этого покажем, что интеграл
не может быть отрицательным.
Полагая γ2(x) = 0, перепишем (7) в виде
где
Рассмотрим интеграл
(11)
Воспользуемся формулой [4] для гамма функции
Полагая в ней k = |x – ξ|, μ = 2ε2, получим
Откуда, поменяв порядок интегрирования в (11), будем иметь
С учетом ai(1) = bi(0) = 0 , вычислениями, аналогичными [2], получим
(12)
Нетрудно видеть, что при выполнении условий теоремы и, следовательно, J* ≥ 0 .
При γ1(x) = 0 из (6) также получается неравенство
Так как при α(x) ≡ 1, β(x) ≡ 0, ν1(x) = ν2(x), то
Таким образом, левая часть (12) равна нулю. Поскольку слагаемые справа неотрицательны, то они также равны нулю. В частности,
Так как , то
для всех t ∈ (0,∞), в частности, при t = 2πk, k = 0, 1, 2, … При этих значениях t функции sin tξ и cos tξ образуют полную ортогональную систему функций в L2.
Следовательно, νi(ξ) = 0 почти всюду, а так как они непрерывны по условию, то νi(ξ) = 0 всюду. Отсюда из (6), (7) при γi(x) = 0, i = 1, 2, заключаем, что τ(x) = 0 и, следовательно, ui(x, y) = 0 как решения задачи Коши в областях Ω1, Ω2 с нулевыми данными на J.
Существование решения задачи
Исключая τ(x) из (6) и (7), с учетом условия сопряжения (3), получим уравнение
(13)
где
Пусть a2(x) ≠ 0. подействовав на обе части (13) оператором , будем иметь:
(14)
Существование решения задачи исследовано в случаях m = n и n > m. При n > m уравнение (14) сведено к сингулярному интегральному уравнению [5]
(15)
а при n = m совпадает с сингулярным интегральным уравнением
(16)
Из свойств функций αi(x), βi(x), γi(x), α(x), β(x), i = 1, 2 , заключаем, что правая часть уравнений (15), (16) принадлежат классу C1(J), ,причем при x → 0 и x → 1 может обращаться в бесконечность порядка не выше 1 – 2εi. Ядра уравнений (15), (16)
.
Условие гарантирует существование регуляризатора, приводящего уравнения (15), (16) к уравнению Фредгольма второго рода, где
при n > m, а при n = m
Из возможности приведения задачи к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма второго рода и единственности искомого решения следует существование решения поставленной задачи. По найденному ν2(x) можно найти ν1(x), а следовательно и τ(x). Решение задачи (1)–(3) может быть найдено как решение задачи Коши в областях Ω1 и Ω2.
Отметим, что задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов с операторами обобщенного дробного интегро-дифференцирования исследовались в работах [7, 8].
Рассмотрены проекты, связанные с инновациями. Определены понятия: «проект, содержащий инновацию», «проекты, связанные с инновациями», «проект, вовлекающий инновации». Дана концептуальная схема взаимосвязи проектов, связанных с инновациями. Приведены примеры различных проектов. Показаны различные виды технологических и информационных потоков в комплексе проектов, связанных с инновациями Введено понятие, «среды развития инновации». Рассмотрен пример трaнcпортной инфраструктуры как среды развития инноваций. Определены условия, при которых может возникнуть открытый инновационный проект. Дается схема мониторинга результата инновации. Показано различие между полем отношений и полем взаимодействия среды с результатом инновации. Показано, что комплекс проектов является взаимосвязанным. Поэтому при реализации системы управления инновациями этот комплекс должен быть принят за основу такой системы
...
18 10 2026 7:30:24
Статья в формате PDF
117 KB...
17 10 2026 9:29:52
Статья в формате PDF
95 KB...
15 10 2026 1:29:38
Статья в формате PDF
102 KB...
14 10 2026 15:23:46
Статья в формате PDF
94 KB...
13 10 2026 12:11:21
Статья в формате PDF
99 KB...
12 10 2026 4:45:42
Изучено влияние острой циркуляторной гипоксии на перекисное окисление липидов в системе «сыворотка крови - эритроцит». Показано, что острая кровопотеря сопровождается увеличением уровня малонового диальдегида во всех компонентах системы. Одновременно изменяется активность каталазы, глутатионредуктазы и «антиоксидантной белковой буферной системы», что может свидетельствовать об активации антиоксидантной защитной системы.
...
11 10 2026 7:54:16
Статья в формате PDF
109 KB...
09 10 2026 12:19:28
Статья в формате PDF
250 KB...
08 10 2026 6:32:16
Статья в формате PDF
119 KB...
07 10 2026 2:26:21
Статья в формате PDF
241 KB...
06 10 2026 5:58:16
Статья в формате PDF
112 KB...
05 10 2026 21:34:13
Статья в формате PDF
92 KB...
04 10 2026 16:10:34
Статья в формате PDF
114 KB...
03 10 2026 14:27:28
Статья в формате PDF
95 KB...
02 10 2026 10:23:54
Статья в формате PDF
114 KB...
01 10 2026 12:43:28
Статья в формате PDF
114 KB...
30 09 2026 4:33:49
Представлены результаты поисковых экспериментов по применению неразрушающего способа сертификации резонансной древесины ели на поленьях, основанного на измерении скорости звука поперек полена.
...
29 09 2026 0:35:36
Статья в формате PDF
104 KB...
27 09 2026 6:42:28
Статья в формате PDF
317 KB...
26 09 2026 3:47:27
Статья в формате PDF
244 KB...
25 09 2026 6:22:58
В этой статье рассматриваются особенности формирования навыков здорового образа жизни учащихся сельских школ во внеурочное время путем применения инновационных технологий.
...
24 09 2026 1:20:51
Статья в формате PDF
108 KB...
23 09 2026 16:53:58
Статья в формате PDF
122 KB...
19 09 2026 7:18:34
Статья в формате PDF
297 KB...
18 09 2026 7:48:27
Статья в формате PDF
96 KB...
17 09 2026 17:29:36
На здоровье населения особое влияние оказывают экологические, гигиенические, социально-медицинские причины. В работе была реализована специально созданные социологические карты. Результаты социологического исследования показали, что к причинам, сильно влияющим на здоровье мигрантов-репатриантов относятся экологически нeблагоприятные условия окружающей среды. Заболеваемость мигрантов-репатриантов, проживающих в высокой степени опасности экологически наблагоприятных районах достигает от 2227,9 до 3010,9 ‰. Этот показатель указывает на значительное повышение показателей мигрантов, проживающих районах, где экологическая обстановка средняя, низкая и неопасная .Между загрязнением атмосферного воздуха и почвы и патологиями иммунной системы, минерализацией воды и заболеваниями мочепoлoвoй системы, загрязнением атмосферного воздуха и патологиями дыхательных путей есть прямая и в высокой степени связь.
...
16 09 2026 4:39:18
Статья в формате PDF
133 KB...
15 09 2026 21:12:54
Статья в формате PDF
254 KB...
14 09 2026 19:14:50
Статья в формате PDF
103 KB...
13 09 2026 17:29:33
Статья в формате PDF
112 KB...
10 09 2026 8:16:59
Статья в формате PDF
360 KB...
09 09 2026 9:12:42
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
