Краевая задача со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения

Авторы
Резюме
Файлы
Ключевые слова
Литература

Жемухова З.М., 1 Куготова М.Н. 1

1 ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова» Министерства образования и науки РФ Исследована краевая задача со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения. При определенных условиях неравенственного типа на известные функции доказана теорема единственности. Вопрос существования решения задачи сведен к вопросу разрешимости сингулярного интегрального уравнения, которое редуцируется к уравнению Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого заключается из единственности решения задачи. Статья в формате PDF 1265 KB краевая задача со смещениемоператор дробного дифференцированияоператор дробного интегрированиязадача Кошиуравнение Фредгольмасингулярное интегральное уравнение 1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.: Наука, 1981. – 488 с. 2. Кумыкова С.К., Нахушева Ф.Б. Об одной краевой задаче для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Дифференциальные уравнения. – 1978. – Т.14, № 1. – С. 50–65. 3. Кумыкова С.К. Об одной задаче с нелокальными краевыми условиями на хаpaктеристиках для уравнения смешанного типа // Дифференциальные уравнения. – 1974. – Т.10, № 1. – С. 78–88. 4. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. – М.: Физматгиз, 1963. – 358 с. 5. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. – М.: Наука, 1968. – 511 с. 6. Нахушев А.М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. – 1969. – Т.5, № 1. – С. 44–59. 7. Репин О.А., Кумыкова С.К. Задача с обобщенными операторами дробного интегро – дифференцирования произвольного порядка // Известия высших учебных заведений. Математика. – 2012. – № 12. – С. 59–71. 8. Репин О.А., Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Дифференциальные уравнения. – 2012. – Т.48, № 8. – С. 1140–1149. 9. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.

Теория краевых задач для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными. Интерес к таким уравнениям объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и многочисленными пpaктическими приложениями в газовой динамике, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике, в теории электронного рассеивания, в математической биологии. Они имеют большое значение при математическом моделировании нефтяных пластов, фильтраций грунтовых вод, переноса тепла и массы в объекте, имеющего сложное строение, электрических колебаний в проводах и других областях.

Задачи со смещением существенно обобщают классические задачи для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений, имеют многомерные аналоги и содержат широкий класс корректных самосопряженных задач.

Цель исследования: доказать существование и единственность решения задачи со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения.

Постановка задачи. Рассмотрим уравнение

|y|l uxx – uyy = 0, (1)

где l = m при y > 0 и l = n при y < 0, m, n –положительные постоянные, в конечной области Ω, ограниченной хаpaктеристиками AC, BC, AD, BD уравнения (1), выходящими из точек A(0, 0), B(1, 0).

Пусть Ω1 = Ω∩(y > 0), Ω2 = Ω∩(y < 0), J – интервал 0 < x < l прямой y = 0.

Задача. Найти решение уравнения (1)

из класса , удовлетворяющее краевым условиям

(2)

и условию сопряжения

(3)

где ε1 = m/(2m + 4), ε2 = n/(2n + 4); – точки пересечения хаpaктеристик уравнения (1), выходящих из точки (x, 0) ∈ J, с хаpaктеристиками AC, AD, BC, BD соответственно αi(x), βi(x), γi(x), α(x), β(x) – заданные функции, причем

αi(x), βi(x), α(x), – операторы дробного в смысле Римана – Лиувилля интегро-дифференцирования от функции f(х) [9].

Задача (1)–(3) относится к классу краевых задач со смещением [6]. При α2(x) = β1(x) = 0 существование и единственность решения задачи (1)–(3) были доказаны С.К. Кумыковой и Ф.Б. Нахушевой [2].

Единственность решения задачи

Пусть, как и принято, τ(x) = u(x, 0)

Выписывая решение задачи Коши для уравнения (1) в областях Ω1 и Ω2 [1], а затем, удовлетворив его краевым условиям (2), получим соотношения между τ(x) и νi(x), i = 1, 2

(4)

(5)

принесенные на J из областей Ω1 и Ω2, где Γ(α) – гамма функция Эйлера [4].

Принимая во внимание равенства [3]

соотношения (5)–(4) перепишем в виде

(6)

(7)

Теорема. В области Ω не может существовать более одного решения задачи, если выполнено либо

(8)

либо

α(x) ≡ 1,

(9)

(10)

Доказательство. При выполнении (8) единственность решения задачи (1)–(3) установлена в [2]. Докажем, что решение задачи единственно при выполнении условий (9), (10). Для этого покажем, что интеграл

не может быть отрицательным.

Полагая γ2(x) = 0, перепишем (7) в виде

где

Рассмотрим интеграл

(11)

Воспользуемся формулой [4] для гамма функции

Полагая в ней k = |x – ξ|, μ = 2ε2, получим

Откуда, поменяв порядок интегрирования в (11), будем иметь

С учетом ai(1) = bi(0) = 0 , вычислениями, аналогичными [2], получим

(12)

Нетрудно видеть, что при выполнении условий теоремы и, следовательно, J* ≥ 0 .

При γ1(x) = 0 из (6) также получается неравенство

Так как при α(x) ≡ 1, β(x) ≡ 0, ν1(x) = ν2(x), то

Таким образом, левая часть (12) равна нулю. Поскольку слагаемые справа неотрицательны, то они также равны нулю. В частности,

Так как , то

для всех t ∈ (0,∞), в частности, при t = 2πk, k = 0, 1, 2, … При этих значениях t функции sin tξ и cos tξ образуют полную ортогональную систему функций в L2.

Следовательно, νi(ξ) = 0 почти всюду, а так как они непрерывны по условию, то νi(ξ) = 0 всюду. Отсюда из (6), (7) при γi(x) = 0, i = 1, 2, заключаем, что τ(x) = 0 и, следовательно, ui(x, y) = 0 как решения задачи Коши в областях Ω1, Ω2 с нулевыми данными на J.

Существование решения задачи

Исключая τ(x) из (6) и (7), с учетом условия сопряжения (3), получим уравнение

(13)

где

Пусть a2(x) ≠ 0. подействовав на обе части (13) оператором , будем иметь:

(14)

Существование решения задачи исследовано в случаях m = n и n > m. При n > m уравнение (14) сведено к сингулярному интегральному уравнению [5]

(15)

а при n = m совпадает с сингулярным интегральным уравнением

(16)

Из свойств функций αi(x), βi(x), γi(x), α(x), β(x), i = 1, 2 , заключаем, что правая часть уравнений (15), (16) принадлежат классу C1(J), ,причем при x → 0 и x → 1 может обращаться в бесконечность порядка не выше 1 – 2εi. Ядра уравнений (15), (16)

Условие гарантирует существование регуляризатора, приводящего уравнения (15), (16) к уравнению Фредгольма второго рода, где

при n > m, а при n = m

Из возможности приведения задачи к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма второго рода и единственности искомого решения следует существование решения поставленной задачи. По найденному ν2(x) можно найти ν1(x), а следовательно и τ(x). Решение задачи (1)–(3) может быть найдено как решение задачи Коши в областях Ω1 и Ω2.

Отметим, что задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов с операторами обобщенного дробного интегро-дифференцирования исследовались в работах [7, 8].

НПВС В КОМПЛЕКСНОЙ ТЕРАПИИ РОЖИ

Статья в формате PDF 121 KB...

28 07 2026 13:51:17

ОПЫТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ В РАЗВИТИИ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ПОНЯТИЙ СТАРШИХ ДОШКОЛЬНИКОВ И МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Организация полноценного процесса познания предполагает реализацию развивающего образования и самообразования, непрерывность данного процесса на всех его ступенях. Понятие интегрирует в себе процесс и итог познания сущности предметов, явлений, включает рефлексивные процессы мышления, обеспечивая их необратимость, свернутость, системность. Эмоциональное отношение ребенка к изучаемому материалу создает в мышлении своеобразную доминанту, поддерживающую любознательность и интерес. Основная особенность опытно-экспериментальной деятельности состоит в наличии возможности управлять ходом изучения явления, здесь ребенок проявляет собственную активность и творчество в процессе получения новых знаний. Опытно-экспериментальную деятельность по развитию естественнонаучных понятий необходимо строить в соответствии с четырьмя этапами диалектического познания: основание - ядро - следствие – общие критические истолкования, а также с учетом обобщенного плана проведения опыта: цель - схема - ход - результат. Методика организации опытно-экспериментальной деятельности по развитию естественнонаучных понятий дошкольников и младших школьников раскрыта нами на примере понятия «свет». Развитие естественнонаучных понятий дошкольников и младших школьников эффективно в условиях личностно-ориентированного образования, обращенного к чувствам, индивидуально неповторимому миру человека. ...

27 07 2026 18:37:12

ВЛИЯНИЕ АЗОТИРОВАНИЯ НА ИЗНОСОСТОЙКОСТЬ СТАЛЕЙ, РАБОТАЮЩИХ ПРИ ВЫСОКИХ КОНТАКТНЫХ НАГРУЗКАХ

Статья в формате PDF 298 KB...

26 07 2026 0:33:56

К ВОПРОСУ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ В НОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

Статья в формате PDF 173 KB...

25 07 2026 13:18:16

Влияние бета-лактамных антибиотиков на тромбоцитарный и коагуляционный гемостаз

Статья в формате PDF 105 KB...

24 07 2026 5:28:13

ЭПИСТЕМОЛОГИЧЕСКИЙ ПОВОРОТ В НАУКЕ И ПРОБЛЕМА РОСТА ЗНАНИЯ

Статья в формате PDF 133 KB...

23 07 2026 10:42:53

Организация превентивной стоматологической помощи в структуре автодорожной медицины

Статья в формате PDF 117 KB...

22 07 2026 1:54:43

ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ ФОНЕТИКЕ РУССКОГО ЯЗЫКА ВЬЕТНАМСКИХ СТУДЕНТОВ

Обучение любому иностранному языку начинается, как правило, с обучения фонетике. Каждый национальный язык имеет свою неповторимую индивидуальную фонетическую систему, которая говорящим на этом языке представляется самой удобной. Фонетическая система вьетнамского языка сильно отличается от фонетической системы русского. Для вьетнамских студентов работа по обучению произношению должна строиться с учётом особенностей вьетнамского языка. В статье были показаны всевозможные трудности в обучении фонетике русского языка вьетнамских студентов, начиная с обучения звуков русской речи до интонации. Вместе с тем были предложены способы устранения ошибок при обучении фонетике русского языка вьетнамских студентов. ...

21 07 2026 20:31:58

СВЯЗЬ СВОЙСТВ ВЕЩЕСТВ СО СТРОЕНИЕМ МОЛЕКУЛ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Статья в формате PDF 121 KB...

20 07 2026 9:47:17

ОЦЕНКА УРОВНЯ ДЕГРАДАЦИИ СВОЙСТВ КОНСТРУКЦИОННЫХ СТАЛЕЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ МЕТОДОМ

Статья в формате PDF 133 KB...

19 07 2026 20:53:45

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ЗАБОЛЕВАЕМОСТЬ И ЗАБОЛЕВАЕМОСТЬ С ВРЕМЕННОЙ УТРАТОЙ ТРУДОСПОСОБНОСТИ РАБОТАЮЩИХ В ХИМИЧЕСКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ

Статья в формате PDF 235 KB...

18 07 2026 22:47:55

АКТИВНОСТЬ АЛЬДЕГИДДЕГИДРОГЕНАЗЫ В ЭРИТРОЦИТАХ, ТРОМБОЦИТАХ И ПЛАЗМЕ КРОВИ КРЫС В НОРМЕ И ПРИ ОЖОГЕ

Статья в формате PDF 116 KB...

17 07 2026 0:11:42

МЕХАНИЗМ ДЕЙСТВИЯ И ФАРМАКОКИНЕТИКА МЕТАБОЛИЧЕСКОЙ КОМПОЗИЦИИ ЦИТОФЛАВИН

Статья в формате PDF 91 KB...

16 07 2026 9:40:56

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ЙОДИРОВАННОЙ ПОВАРЕННОЙ СОЛИ

Статья в формате PDF 100 KB...

15 07 2026 7:48:28

УПРАВЛЕНЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА КАК ДЕТЕРМИНАНТ АДАПТИВНОГО ПОВЕДЕНИЯ СУБЪЕКТА ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Статья в формате PDF 138 KB...

14 07 2026 3:44:45

MIGRATION AND MYOTONIC DYSTROPHY IN THE REPUBLIC OF BASHKORTOSTAN

Статья в формате PDF 109 KB...

13 07 2026 10:22:58

ЭКОЛОГИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА СОСТОЯНИЯ ТЕРРИТОРИИ, ПРИЛЕГАЮЩЕЙ К ОЗЕРУ ТЕПЛЯКОВСКОЕ

Статья в формате PDF 489 KB...

12 07 2026 1:57:44

Выделение химических веществ при производстве строительных конструкций

Статья в формате PDF 374 KB...

11 07 2026 18:11:15

ОЦЕНКА ДЕГРАНУЛЯЦИОННОЙ АКТИВНОСТИ ЛАБРОЦИТОВ В СМЕШАННЫХ КУЛЬТУРАХ КЛЕТОК ИММУННОЙ СИСТЕМЫ И СОЕДИНИТЕЛЬНОЙ ТКАНИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ПАРАМЕТРОВ КУЛЬТИВИРОВАНИЯ

Статья в формате PDF 114 KB...

10 07 2026 0:24:16

УТИЛИЗАЦИЯ РТУТЬСОДЕРЖАЩИХ ОТХОДОВ

В работе рассматривается процесс утилизации ртутьсодержащих соединений с использованием в качестве активного соединения кремния, что экономически более выгодно, чем использование порошкообразного титана. Рассматривается возможность миграции ртути в условиях возрастающей техногенной деятельности человечества. ...

09 07 2026 12:36:37

МОНИТОРИНГ ТЕХНОГЕННОГО ЗАГРЯЗНЕНИЯ АТМОСФЕРЫ В г. БРАТСКЕ

Статья в формате PDF 196 KB...

08 07 2026 4:36:16

СОСТОЯНИЕ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО СЕЛЕКЦИИ В ЗАПАДНО-СИБИРСКОМ СЕЛЕКЦИОННОМ ЦЕНТРЕ

Статья в формате PDF 90 KB...

07 07 2026 18:54:51

НАЧАЛЬНЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ КРАНИАЛЬНЫХ БРЫЖЕЕЧНЫХ ЛИМФАТИЧЕСКИХ УЗЛОВ У БЕЛОЙ КРЫСЫ. I. CТРОМАЛЬНАЯ ЗАКЛАДКА

Стромальная закладка краниальных брыжеечных лимфатических узлов происходит у плодов белой крысы 17-18 суток в результате инвaгинации ветвей краниальной брыжеечной и подвздошно-ободочной артерий с окружающей рыхлой соединительной тканью в просвет кишечных лимфатических стволов. ...