ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ИГРЫ НА МЕДИАНУ
В работе предлагается система задач, инициированных одной идеей, и её обобщение. Такое изложение может являться и иллюстрацией идеи развивающего обучения Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова, в которой утверждается: «для того, чтобы прийти к какому - либо обобщению при таком подходе, необходимо решить достаточно большое количество задач, постепенно выделяя «общие» для всех задач черты. Задача, поставленная перед учеником, может превратиться в учебную только в том случае, если ученик (самостоятельно или под руководством учителя) осуществляет переформулирование ее - вместо поиска частного способа решения он начинает искать обобщенный способ решения данного класса задач» [2].
Задача. Игроку предлагается купить жетоны по 2 рубля за каждый. Затем подбрасываются две игральных кости, а очки суммируются. За каждое выпавшее очко на каждый купленный жетон выплачивается по 3 рубля. Если жетонов больше, чем выпало очков, то за каждый оставшийся жетон выплачивают по 1 рублю. Сколько целесообразно купить жетонов?
Решение. Так как на двух костях может выпасть от двух до двенадцати очков, то покупать жетонов больше двенадцати и меньше двух нет смысла. Заполним таблицу для величины прибыли, соответствующей выпавшей сумме очков и количеству купленных жетонов.
Таблица 1. Величины прибыли, соответствующей выпавшей сумме очков и количеству купленных жетонов
|
Вероят-ность |
Кол-во жетонов j Сумма очков i |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
1/36 |
2 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
-6 |
-7 |
-8 |
|
2/36 |
3 |
2 |
3 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
-6 |
|
3/36 |
4 |
2 |
3 |
4 |
2 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
|
4/36 |
5 |
2 |
3 |
4 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
|
5/36 |
6 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
|
6/36 |
7 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
|
5/36 |
8 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
|
4/36 |
9 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
8 |
7 |
6 |
|
3/36 |
10 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
9 |
8 |
|
2/36 |
11 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
10 |
|
1/36 |
12 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
Математическое ожидание прибыли |
2 |
2,94 |
3,78 |
4,44 |
4,89 |
5,06 |
4,89 |
4,44 |
3,78 |
2,94 |
2 |
|
Наибольшее значение математическое ожидание прибыли игрока получается при покупке семи жетонов. Обратим внимание, что для случайной величины {сумма очков при подбрасывании двух игральных костей}, медиана равна 7, что совпадает с найденным оптимальным количеством жетонов.
Аналогичные примеры можно предложить, подбрасывая несколько игральных кубиков или монет, проводя повторные зависимые испытания или независимые испытания по схеме Бернулли.
Обобщенная задача. Игроку предлагается купить жетоны по a рублей за каждый. Затем проводится некоторый эксперимент, в результате которого игрок может набрать определенное количество очков. За каждое выпавшее очко на каждый купленный жетон выплачивается по a + h рублей . Если жетонов больше, чем выпало очков, то за каждый оставшийся жетон выплачивают по a - h рублей. Сколько нужно купить жетонов, чтобы выигрыш был максимальным?
Решение. Обозначим величину выигрыша при покупке j жетонов и выпадении i очков через .
По условию задачи,
Математическое ожидание прибыли игрока при покупке им j жетонов вычислим, используя найденные .
Из n чисел найдем максимальное значение , то есть такое, что
Поскольку , то
Следовательно,
или
Откуда следует, что математическое ожидание прибыли игрока максимально, когда приобретаемое число жетонов совпадает с медианой первоначальной случайной величины X заданного испытания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Афанасьев В.В. Теория вероятностей в вопросах и задачах: Учебное пособие. Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 2004. 250с.
- Смирнов С.А., Котова И.Б., Шиянов Е.Н. и др. Педагогика: педагогические теории, системы, технологии: Учебник для студ. высш. и сред. учеб. заведений. М.: Издательский центр «Академия», 1999. 512с.
Работа представлена на IV научную конференцию с международным участием «Стратегия естественнонаучного образования», 19- 26 февраля 2005г. Хургада (Египет). Поступила в редакцию 12.01.05 г.
Данная статья посвящена проблеме эвтаназии, которая рассматривается автором в контексте философско-антропологических воззрений таких представителей русской религиозной философии, как Ф.М. Достоевский, В.С. Соловьёв, И.А. Ильин. Согласно их учению, действие, направленное на лишение человека жизни, ведёт к разрушению человеческой природы. Исходя из данной идеи, мы можем рассматривать эвтаназию как действие, ведущее к нарушению человеческой природы врача.
...
10 11 2025 9:21:19
Статья в формате PDF
123 KB...
08 11 2025 1:32:25
В экспериментальных стресс-моделях на крысах при использовании блокатора D2–рецепторов галоперидолом, исследовался уровень участия дофаминергической системы мозга и зависимость психотропных эффектов аспирина, ацетилсалицилатов цинка (АСЦ) и кобальта (АСК). В ходе работы был получен весомый аргумент в пользу того, что антидепрессантный эффект исследованных салицилатов в значительной мере реализуется через дофаминергическую систему мозга.
...
07 11 2025 17:34:10
Статья в формате PDF
102 KB...
06 11 2025 19:34:18
Перспективами развития лесной отрасли России и состоянием лесных экосистем обеспокоены многие ведущие специалисты [1]. Анализ развития ситуации с лесами и лесным хозяйством в развитых государствах показывает, что без стратегического планирования (предвидения и контроля ситуации в отрасли на десятилетия вперед) невозможно достичь устойчивого развития. Поэтому прогноз развития лесной отрасли на основе анализа состояния лесов в Южном федеральном округе, в особенности в его горной части (в пределах Краснодарского края), где развиты уникальные и особо ценные леса юга России, сосредоточены важнейшие курорты России в непосредственно в пограничной зоне ее, приобретает особую геополитическую значимость и актуальность.
...
05 11 2025 9:55:13
Статья в формате PDF
139 KB...
04 11 2025 11:29:26
Статья в формате PDF 251 KB...
02 11 2025 11:47:28
Статья в формате PDF
313 KB...
01 11 2025 21:33:37
Статья в формате PDF 301 KB...
31 10 2025 9:15:55
Статья в формате PDF
260 KB...
28 10 2025 17:30:13
Статья в формате PDF
235 KB...
26 10 2025 6:10:27
Статья в формате PDF
304 KB...
25 10 2025 10:47:54
Статья в формате PDF
118 KB...
24 10 2025 19:58:23
Статья в формате PDF
228 KB...
23 10 2025 1:28:36
Статья в формате PDF
265 KB...
20 10 2025 4:29:58
Статья в формате PDF
280 KB...
19 10 2025 14:58:55
Статья в формате PDF
115 KB...
18 10 2025 21:43:32
Статья в формате PDF
101 KB...
17 10 2025 1:29:43
Статья в формате PDF
104 KB...
16 10 2025 1:26:39
Статья в формате PDF
108 KB...
15 10 2025 5:41:12
Статья в формате PDF
123 KB...
14 10 2025 4:18:16
Статья в формате PDF
110 KB...
13 10 2025 14:34:40
Статья в формате PDF
278 KB...
12 10 2025 11:11:17
Рассматриваются проблемы поступления минеральных веществ в организм человека, суточное потрeбление и хаpaктерные симптомы дефицита химических элементов. Подчеркивается особая роль йода и селена в питании человека. Отмечается, что ряд дикорастущих растений может быть использован в качестве источников микро- и макроэлементов.
...
10 10 2025 7:46:18
Статья в формате PDF
235 KB...
09 10 2025 18:44:23
Статья в формате PDF
136 KB...
08 10 2025 17:30:47
Статья в формате PDF
136 KB...
07 10 2025 4:32:57
Статья в формате PDF
129 KB...
06 10 2025 2:35:49
Статья в формате PDF
271 KB...
05 10 2025 10:11:27
Статья в формате PDF
90 KB...
04 10 2025 5:17:23
Статья в формате PDF
102 KB...
02 10 2025 12:27:31
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
