ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ИГРЫ НА МЕДИАНУ

Авторы
Файлы

Афанасьев В.В. Суворова М.А. Статья в формате PDF 319 KB Изучение теории вероятностей через рассмотрение различных азapтных игр вызывает интерес у студентов и учащихся. В основе одного из таких подходов лежит нахождение числовых хаpaктеристик положения случайных величин [1.C.81-86]. Большая часть задач сводится к вычислению моды или математического ожидания, тем более, что они удобны для аналитических преобразований. А вот задачи, в которых выбор стратегии зависит от нахождения медианы, в литературе встречается крайне редко. Напомним, что медианой дискретной случайной величины называется такое значение , что и .

В работе предлагается система задач, инициированных одной идеей, и её обобщение. Такое изложение может являться и иллюстрацией идеи развивающего обучения Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова, в которой утверждается: «для того, чтобы прийти к какому - либо обобщению при таком подходе, необходимо решить достаточно большое количество задач, постепенно выделяя «общие» для всех задач черты. Задача, поставленная перед учеником, может превратиться в учебную только в том случае, если ученик (самостоятельно или под руководством учителя) осуществляет переформулирование ее - вместо поиска частного способа решения он начинает искать обобщенный способ решения данного класса задач» [2].

Задача. Игроку предлагается купить жетоны по 2 рубля за каждый. Затем подбрасываются две игральных кости, а очки суммируются. За каждое выпавшее очко на каждый купленный жетон выплачивается по 3 рубля. Если жетонов больше, чем выпало очков, то за каждый оставшийся жетон выплачивают по 1 рублю. Сколько целесообразно купить жетонов?

Решение. Так как на двух костях может выпасть от двух до двенадцати очков, то покупать жетонов больше двенадцати и меньше двух нет смысла. Заполним таблицу для величины прибыли, соответствующей выпавшей сумме очков и количеству купленных жетонов.

Таблица 1. Величины прибыли, соответствующей выпавшей сумме очков и количеству купленных жетонов

Вероят-ность	Кол-во жетонов j Сумма очков i	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1/36	2	2	1	0	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8
2/36	3	2	3	2	1	0	-1	-2	-3	-4	-5	-6
3/36	4	2	3	4	2	2	1	0	-1	-2	-3	-4
4/36	5	2	3	4	5	4	3	2	1	0	-1	-2
5/36	6	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1	0
6/36	7	2	3	4	5	6	7	6	5	4	3	2
5/36	8	2	3	4	5	6	7	8	7	6	5	4
4/36	9	2	3	4	5	6	7	8	9	8	7	6
3/36	10	2	3	4	5	6	7	8	9	10	9	8
2/36	11	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	10
1/36	12	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Математическое ожидание прибыли		2	2,94	3,78	4,44	4,89	5,06	4,89	4,44	3,78	2,94	2

Наибольшее значение математическое ожидание прибыли игрока получается при покупке семи жетонов. Обратим внимание, что для случайной величины {сумма очков при подбрасывании двух игральных костей}, медиана равна 7, что совпадает с найденным оптимальным количеством жетонов.

Аналогичные примеры можно предложить, подбрасывая несколько игральных кубиков или монет, проводя повторные зависимые испытания или независимые испытания по схеме Бернулли.

Обобщенная задача. Игроку предлагается купить жетоны по a рублей за каждый. Затем проводится некоторый эксперимент, в результате которого игрок может набрать определенное количество очков. За каждое выпавшее очко на каждый купленный жетон выплачивается по a + h рублей . Если жетонов больше, чем выпало очков, то за каждый оставшийся жетон выплачивают по a - h рублей. Сколько нужно купить жетонов, чтобы выигрыш был максимальным?

Решение. Обозначим величину выигрыша при покупке j жетонов и выпадении i очков через .

По условию задачи,

Математическое ожидание прибыли игрока при покупке им j жетонов вычислим, используя найденные .

Из n чисел найдем максимальное значение , то есть такое, что

Поскольку , то

Следовательно,

или

Откуда следует, что математическое ожидание прибыли игрока максимально, когда приобретаемое число жетонов совпадает с медианой первоначальной случайной величины X заданного испытания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Афанасьев В.В. Теория вероятностей в вопросах и задачах: Учебное пособие. Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 2004. 250с.
Смирнов С.А., Котова И.Б., Шиянов Е.Н. и др. Педагогика: педагогические теории, системы, технологии: Учебник для студ. высш. и сред. учеб. заведений. М.: Издательский центр «Академия», 1999. 512с.

Работа представлена на IV научную конференцию с международным участием «Стратегия естественнонаучного образования», 19- 26 февраля 2005г. Хургада (Египет). Поступила в редакцию 12.01.05 г.

СОСТОЯНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ГОМЕОСТАЗА ГЕПАТОЦИТОВ В УСЛОВИЯХ ОСТРОЙ ИШЕМИИ ПЕЧЕНИ

Статья в формате PDF 86 KB...

31 10 2026 15:18:23

ФОРМИРОВАНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО СТАНОВЛЕНИЯ ЛИЧНОСТИ УЧАЩЕГОСЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО УЧИЛИЩА В УСЛОВИЯХ СОЦИАЛЬНОЙ НЕСТАБИЛЬНОСТИ

Статья в формате PDF 121 KB...

30 10 2026 16:18:12

ОПЫТ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ ЦЕН НА ЖИЛЬЕ В ИВАНОВСКОЙ ОБЛАСТИ

На основе построения тренд-сезонных моделей исследуется динамика цен на первичном и вторичном рынках жилья Ивановской области в период 2000-2007 гг. В статье освещаются основные этапы построения моделей, приводятся количественные оценки их параметров. Особое внимание уделяется присутствию S – образной кривой роста в динамике цен на жилье. В результате использования методики с учетом индексов сезонности получены средние прогнозные значения цен на жилье Ивановской области. ...

29 10 2026 18:42:17

НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОЦЕНКИ ПСИХО-ЭМОЦИОНАЛЬНОГО СТАТУСА ПОДРОСТКОВ

Статья в формате PDF 148 KB...

28 10 2026 7:37:51

Особенности измерений и моделирования динамики расхода мелкого водотока родника «Хрустальная ель»

Летом 2012 года был проведен мониторинг расхода воды на малом водотоке. Мерный сосуд был принят в виде ковша емкостью один литр. Все измерения проводились вечером с 17-00 часов. Поэтому текущее время берется целыми сутками. Модель динамики имеет две составляющие: первая составляющая является законом экспоненциального роста, а вторая волновым возмущением с переменными амплитудой и частотой колебания. Показана методика моделирования с процеДypaми: 1) выявление постоянного члeна; 2) по остаткам от постоянного члeна, последовательно усложняя конструкцию, идентифицируется волновая функция; 3) постоянный члeн совмещается с волновой функцией; 4) усложняется конструкция тренда до устойчивого не волнового закона. ...

27 10 2026 5:28:18

СПЕЦИАЛИЗИРОВАННОСТЬ ТРЕНИРОВОЧНЫХ УПРАЖНЕНИЙ ФУТБОЛИСТОВ

Статья в формате PDF 260 KB...

26 10 2026 15:56:57

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ ЗАХВАТА НЕРАВНОВЕСНОГО ПОВЕРХНОСТНОГО ЗАРЯДА В СОЛНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТАХ ПО СПАДУ ТОКА КОРОТКОГО ЗАМЫКАНИЯ

Статья в формате PDF 121 KB...

25 10 2026 22:10:39

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ ОТ ИЗМЕНЕНИЯ ОБОРАЧИВАЕМОСТИ АКТИВОВ

Статья в формате PDF 265 KB...

24 10 2026 16:52:33

КОНТЕКСТНОЕ ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ БУДУЩИХ ЭКОНОМИСТОВМЕНЕДЖЕРОВ – ОДНО ИЗ НАПРАВЛЕНИЙ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ЭКОНОМИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Статья в формате PDF 138 KB...

23 10 2026 6:44:38

ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕКТРОННО-МИКРОГРАФИЧЕСКИХ ТЕХНОЛОГИЙ ДЛЯ СОХРАНЕНИЯ И ОПЕРАТИВНОГО ДОСТУПА К ДОКУМЕНТИРОВАННОЙ ИНФОРМАЦИИ

Статья в формате PDF 137 KB...

22 10 2026 17:36:54

СИСТЕМА ПОЭТАПНОГО ФОРМИРОВАНИЯ КОМПЬЮТЕРНО-ОРИЕНТИРОВАННОЙ БАЗЫ ДАННЫХ ДЛЯ МОНИТОРИНГА, ОЦЕНКИ И УПРАВЛЕНИЯ КОНТРОЛЕМ КАЧЕСТВА МЕДИЦИНСКОЙ ПОМОЩИ ДЕРМАТОЛОГИЧЕСКИМ БОЛЬНЫМ В УСЛОВИЯХ КРУГЛОСУТОЧНОГО СТАЦИОНАРА

Статья в формате PDF 135 KB...

21 10 2026 9:29:51

ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ЛИЧНОСТНОЕ САМОРАЗВИТИЕ КАК НЕОТЪЕМЛЕМАЯ ЧАСТЬ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ

Статья в формате PDF 108 KB...

20 10 2026 21:15:35

АНАЛИЗ АКТИВНОСТИ ГЛУТАТИОНРЕДУКТАЗЫ В КРОВИ БОЛЬНЫХ ЯЗВЕННОЙ БОЛЕЗНЬЮ

Статья в формате PDF 121 KB...

19 10 2026 14:26:16

Краснощекова Галина Алексеевна

Статья в формате PDF 177 KB...

18 10 2026 1:37:47

НИКУЛИН АНАТОЛИЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

Статья в формате PDF 90 KB...

17 10 2026 15:45:32

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ АНКСИОЛИТИКА НЕБЕНЗОДИАЗЕПИНОВОГО РЯДА АФОБАЗОЛА ДЛЯ КОРРЕКЦИИ ТРЕВОГИ У ПАЦИЕНТОВ СТАРШИХ ВОЗРАСТНЫХ ГРУПП

Статья в формате PDF 162 KB...

16 10 2026 22:23:12

КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЭЛАСТОГЕНЕЗА В НАДКОСТНИЦЕ РЕГЕНЕРАТА БОЛЬШЕБЕРЦОВОЙ КОСТИ ПРИ УДЛИНЕНИИ ГОЛЕНИ НА РАЗНЫХ ЭТАПАХ ЧРЕСКОСТНОГО ДИСТРАКЦИОННОГО ОСТЕОСИНТЕЗА

Статья в формате PDF 100 KB...

15 10 2026 15:24:31

ШОШОНИТОВЫЕ ГРАНИТОИДЫ ТИГИРЕКСКОГО МАССИВА АЛТАЯ: ГЕОХИМИЯ, ПЕТРОЛОГИЯ И РУДОНОСНОСТЬ

риведены геологические, геохимические и петрологические данные по шошонитовым гранитоидам Тигирекского массива Алтая. В составе массива выделены 5 фаз: 1 – габбро; 2 – диориты, монцодиориты; 3 − сиениты, гранодиориты, граносиениты; 4 – граниты, умеренно-щелочные граниты; 5 – лейкограниты, умеренно-щелочные лейкограниты с флюоритом. Породные типы массива отнесены к нормальной известково-щелочной и высококалиевой шошонитовой сериям. Сиениты и монцодиориты тяготеют по составу к банакитам. В процессе становления массива проихсодила диффреренциация глубинного очага с фpaкционированием редкоземельных элементов, что отразилось на соотношении в породах элементов групп LILE и HFSE со значительной деплетированностью последних. В породах происходила смена типа тетрадного фpaкционрования редкоземельных элементов, что связано с различной насыщенностью расплавов флюидами и летучимим компонентами. С массивом связаны месторождения и проявления железа, вольфрамаа, молибдена, бериллия, аквамарина, горного хрусталя и раухтопаза. ...

14 10 2026 10:26:45

АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДВИГАТЕЛЕЙ ДЛЯ ГРУЗОВЫХ АВТОМОБИЛЕЙ

Статья в формате PDF 414 KB...

13 10 2026 10:40:36

Влияние эндотоксикоза на клиническое течение долихосигмы у детей

Статья в формате PDF 119 KB...

12 10 2026 7:59:50

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИИ ТРАНСПЕДИКУЛЯР¬НОЙ ФИКСАЦИИ ПРИ ТРАВМАХ ПОЗВОНОЧНИКА (ПЕРВЫЙ ОПЫТ В ЗАБАЙКАЛЬЕ)

В статье представлен результат первого в Забайкалье опыта использования в травматологической пpaктике систем трaнcпедикулярной фиксации позвоночника. Проанализировано 12 случаев успешного применения метода. ...