О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

Авторы
Файлы

Крупенин В.Л. Статья в формате PDF 105 KB

1. В работе даются модели, порождающие нелинейные и (или) сильно нелинейные волн в струнах и других одномерных объектах.

Нелинейные волновые процессы обычно моделируются при помощи нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных. Для нелинейных аналогов волнового уравнения имеем [1]:

u_tt - с²u_xx=h(u,u_t,u_x,t,x), (1)

где h - нелинейная функция, структура которой определяется геометрическими и (или) физическими особенностями задачи. Раскладывая функцию h в ряд, в разных приближениях можно получать модели нелинейных волновых процессов.

Нелинейные волновые эффекты многочисленны и многообразны. Показывается, что при рассмотрении простейших нелинейных моделей проявляются такие весьма хаpaктерные и важные явления как «деформирование» и «опрокидывание» профилей волн [1].

Весьма важной моделью нелинейных волн служит нелинейное уравнение Клейна-Гордона:

u_tt - с²u_xx=Ф(u), (2)

где Ф(u) - некоторая гладкая или разрывная функция, описывающая распределенные нелинейные восстанавливающие силы. Влинейном приближении Ф(u)=-ku (k>0) имеем известную модель струны «на упругой постели».

2. Весьма важную модель - модель нелинейной струны можно получить, учитывая в представлении для упругой энергии системы в первом приближении члeн, кубический по смещению [1]. Ограничиваясь рассмотрением достаточно длинных волн, можно получить дополнительные члeны уравнения движения, зависящие лишь от деформации u_x, но не от ее производных. Кроме того, в первом приближении можно записать можно записать также и члeн, учитывающий дисперсию. Тогда уравнение нелинейной струны (или уравнение продольных колебаний нелинейного стержня) можно привести к виду [1]:

u_tt - с²(u_xx+l²u₄_x- bu_xu_xx)=0, (3)

где c - по-прежнему скорость распространения волн в линейной модели, l - масштабный, считающийся малым, b - также малый параметр, хаpaктеризующий интенсивность нелинейных сил. Выбор положительного знака перед l² соответствует предположению, что среда имеет отрицательную дисперсию и групповая скорость убывает с ростом волнового числа. Дисперсия в данной модели оказывается нормальной. Выбор противоположенного знака привел бы к модели, аналогичной известной модели балки Бернулли [1].

Если Ф(u) - суть сингулярная обобщенная функция описывающая условия удара, то приходим к нелинейному уравнению Клейна-Гордона, моделирующее виброударную систему с паспределенными ударными элементами. [2]..

3. Весьма интересную базовую модель дает называемое уравнение Кортевега - де Фриза, (уравнение КдФ) оказывающееся принципиальным при рассмотрении моделей нелинейных волн [1].

w_t + w_x+εw_xxx+μww_x=0. (4)

Если перейти к подвижной системе координат x→x-t, то вместо (4) получим

w_t +μww_x+εw_xxx=0. (5)

Данное уравнение также называют уравнением Кортевега - де Фриза. При замене w→ - w вместо (.14) будем иметь:

w_t + w_x+εw_xxx-μww_x=0. (6)

Если продифференцировать это уравнение по t и заменить значение w_tего представлением из (6), то:

w_tt - w_xx- 2εw₄_x+ 2μ(ww_x)_x+εμ(2ww_xx+0,5w_x²)_хх - ε² w₆_x-μ²(w²w_x)_x = 0, (7)

то есть (3) и (7) совпадают с точностью до члeнов ~ε²и ~μ². Следовательно, решения уравнения КдФ (6) точно удовлетворяют уточненному уравнению нелинейной струны (7) и приближенно исходному уравнению (3). О других примерах волновых уравнений, множество решений которого содержит решения уравнения КдФ см. например в [1].

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 04-01-00611).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.- М.: Наука-1997. - 622 с.
Крупенин В.Л. К описанию динамических эффектов, сопровождающих колебания струн вблизи однотавровых ограничителей// ДАН. - . 2003,. № 388 (3).- С.12-15.

НЕЗАМЕНИМЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ГИРУДОТЕРАПИИ

Статья в формате PDF 100 KB...

28 05 2026 22:27:46

ДВА БЛОКА ЧАСТОТНОГО СЛОВАРЯ: ЗНАЧЕНИЕ И ОРГАНИЗАЦИЯ

Статья в формате PDF 304 KB...

27 05 2026 13:39:51

ВЛИЯНИЕ ДЕФИЦИТА ВЛАГИ НА ИЗМЕНЧИВОСТЬ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ ЯРОВОЙ ПШЕНИЦЫ (TRITICUM AESTIVUM L.)

Статья в формате PDF 94 KB...

26 05 2026 11:25:55

Бозаджиев Владимир Лукьянович

Статья в формате PDF 144 KB...

25 05 2026 1:53:24

РУССКАЯ ИДЕЯ КАК ОСНОВА ДУХОВНОГО И КУЛЬТУРНОГО ВОЗРОЖДЕНИЯ РОССИИ

Статья в формате PDF 43 KB...

24 05 2026 8:52:49

БЕНЧМАРКИНГОВЫЙ МЕТОД ОЦЕНКИ КОНКУРЕНТОСПОСОБНОСТИ СПЕЦИАЛИСТОВ

Статья в формате PDF 373 KB...

23 05 2026 23:17:42

ДИНАМИКА ПОКАЗАТЕЛИ ГЕМОСТАЗА ЦЕЛЬНОЙ КРОВИ У БОЛЬНЫХ В1 +В2 -АДРЕНОЗАВИСИМЫМ ПАТОГЕНЕТИЧЕСКИМ ТИПОМ ГИПЕРТОНИЧЕСКОЙ БОЛЕЗНИ НА ФОНЕ ЛЕЧЕНИЯ АТЕНОЛОЛОМ И ДИПИРИДАМОЛОМ

Статья в формате PDF 216 KB...

22 05 2026 23:42:31

РАЗРАБОТКА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПОДХОДОВ ОБУЧЕНИЯ, ВОСПИТАНИЯ И ТВОРЧЕСТВА МОЛОДЕЖИ В ПРОЦЕССЕ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Статья в формате PDF 130 KB...

21 05 2026 12:48:13

ЭКОЛОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ – ОГРАНИЧИТЕЛЬ НЕГАТИВНЫХ ПОСЛЕДСТВИЙ НАУЧНО – ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГРЕССА

Статья в формате PDF 157 KB...

20 05 2026 9:18:40

СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ АКТИВНОСТИ ХРОНИЧЕСКОГО ГЕПАТИТА

Статья в формате PDF 133 KB...

19 05 2026 13:37:38

ВЫСОКОЧАСТОТНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА МЕТАСТАТИЧЕСКИЕ ОПУХОЛИ ПЕЧЕНИ

Статья в формате PDF 111 KB...

18 05 2026 10:31:26

ВЛИЯНИЕ ПРИРОДНОЙ ГИПОКСИИ НА ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ СЕРДЕЧНО-СОСУДИСТОЙ СИСТЕМЫ СПОРТСМЕНОВ-ЛЕГКОАТЛЕТОВ

Статья в формате PDF 97 KB...

17 05 2026 8:31:36

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПЕКТИНА С ЦЕЛЬЮ УЛУЧШЕНИЯ КАЧЕСТВА ХЛЕБА

Статья в формате PDF 245 KB...

16 05 2026 1:44:27

Оценка эффективности антигипертензивной терапии у женщин в климактерическом периоде с помощью проб с ходьбой

Статья в формате PDF 109 KB...

15 05 2026 1:23:48

ТРАНСФОРМАЦИЯ НАСЕЛЕНИЯ ОХОТНИЧЬЕ-ПРОМЫСЛОВЫХ МЛЕКОПИТАЮЩИХ ПРИ ОСВОЕНИИ ЧАЯНДИНСКОГО ЛИЦЕНЗИОННОГО УЧАСТКА (ЗАПАДНАЯ ЯКУТИЯ)

В сообщении представлены сведения о трaнcформации населения охотничье-промысловых млекопитающих при освоении Чаяндинского лицензионного участка (Западная Якутия). Материалы собраны в 2009–2011 гг. В результате проведенных учетных работ и опросных сведений на территории лицензионного участка выявлено обитание 10 видов охотничье-промысловых млекопитающих из 20 видов, обитающих на территории Западной Якутии. На настоящий момент существенных изменений численности охотничье-промысловых животных на лицензионном участке не происходит. В целом воздействие геологоразведочных работ на нефть и газ носят локальный хаpaктер. ...

14 05 2026 14:23:13

ЭКСПЕДИЦИЯ И.И. МЕЧНИКОВА В АСТРАХАНСКУЮ ГУБЕРНИЮ В 1911 ГОДУ

16 (29) мая 1911 года в Астpaxaнь приехали члeны международной экспедиции под руководством И.И. Мечникова. Экспедиция должна была помочь решить важные проблемы распространения чумы в нашем регионе и создания вакцины против туберкулеза. Детальный анализ публикаций 1911-1912 годов доказывает положительное влияние работы экспедиции И.И. Мечникова на результативность исследований чумы в Киргизских степях. Полевые исследования в Калмыцких степях позволили определить основные направления лабораторного поиска вакцины против туберкулеза. ...

13 05 2026 15:27:57

ТОРГОВАЯ СИСТЕМА И ИНВЕСТИЦИОННЫЕ КАЧЕСТВА ЦЕННЫХ БУМАГ

Статья в формате PDF 312 KB...

12 05 2026 2:49:31

ТОКСИКОЛОГИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ТРИЭТИЛЕНГЛИКОЛЬ ДИАЦЕТАТА В УСЛОВИЯХ ОСТРЫХ ОПЫТОВ

Статья в формате PDF 206 KB...

11 05 2026 5:20:40

К ВОПРОСУ ОБ ОЦЕНКЕ ВОЕННО-ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ РАБОТОСПОСОБНОСТИ ВОЕННОСЛУЖАЩИХ ПОСЛЕ ПЕРЕНЕСЕННОЙ ВНЕБОЛЬНИЧНОЙ ПНЕВМОНИИ

Статья в формате PDF 154 KB...

10 05 2026 1:24:39

ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА РЕПРОДУКТИВНОЕ ЗДОРОВЬЕ ДЕТЕЙ

Статья в формате PDF 123 KB...

09 05 2026 17:29:39

ГИПОГЕОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ В ЖИЛЫХ ПОМЕЩЕНИЯХ ГРАЖДАНСКИХ ЗДАНИЙ

Статья в формате PDF 267 KB...

08 05 2026 8:35:49

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ В ОБУЧЕНИИ ФИЗИКЕ

Статья в формате PDF 130 KB...

07 05 2026 12:43:52

АНАЛИЗ ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МНОГОЦЕЛЕВОГО СТАНОЧНОГО КОМПЛЕКСА VM32 И ВОЗМОЖНОСТИ ИХ РАСШИРЕНИЯ

Статья в формате PDF 266 KB...

06 05 2026 1:45:24

ДИНАМИКА УРОВНЯ ЦИТОКИНОВ У ДЕТЕЙ, БОЛЬНЫХ ХРОНИЧЕСКИМ ВИРУСНЫМ ГЕПАТИТОМ С

Статья в формате PDF 133 KB...

05 05 2026 19:55:53

ОЦЕНКА РИСКА РАЗВИТИЯ ОНКОПАТОЛОГИИ ГАСТРОДУОДЕНАЛЬНОЙ ОБ¬ЛАСТИ ПИЩЕВАРИТЕЛЬНОГО ТРАКТА У ЧЕРНОБЫЛЬСКОГО КОНТИНГЕНТА

Статья в формате PDF 114 KB...

04 05 2026 14:26:37

ВЛИЯНИЕ ОРИЕНТАЦИОННОЙ ВЫТЯЖКИ И ТЕРМООБРАБОТКИ НА ПРОЧНОСТЬ, РЕЛАКСАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА И РАДИАЦИОННУЮ СТОЙКОСТЬ ПОЛИИМИДНЫХ ПЛЕНОК

Статья в формате PDF 129 KB...

03 05 2026 20:25:59

ПРИМЕНЕНИЕ АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ ДИАГНОСТИКИ ГЕМАТОЛОГИЧЕСКИХ ЗАБОЛЕВАНИЙ АТЛАНТ ПРИ ОБУЧЕНИИ СТУДЕНТОВ И ПОВЫШЕНИИ КВАЛИФИКАЦИИ СПЕЦИАЛИСТОВ

Статья в формате PDF 111 KB...

02 05 2026 7:53:34

ПЛАТИНА И ПЛАТИОИДЫ В ОФИОЛИТАХ САЛАИРА, АЛТАЯ И ГОРНОЙ ШОРИИ

Приведены данные по распространению элементов платиновой группы (ЭПГ) в офиолитах Салаира, Алтая и Горной Шории. ЭПГ в наибольших концентрациях отмечены в проявлениях хромитов, образующих подиформные залежи, а также в никелевых проявлениях с обильными сульфидами меди, никеля и кобальта. Минералы ЭПГ представлены изоферроплатиной, иридосмином и рутениридосмином. Реже встречаются самородная платина, рутениевый невъянскит и рутениевый сысерскит. В рудных телах также присутствуют в повышенных концентрациях золото и серебро. Состав минеральных фаз платиноидов указывает на близость к восточно-уральскому геолого-промышленному типу, связанному с изверженными породами габбро-клинопироксенит-перидотитовой формации. ...