О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ > Полезные советы
Тысяча полезных мелочей    

О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

Крупенин В.Л. Статья в формате PDF 105 KB

1. В работе даются модели, порождающие нелинейные и (или) сильно нелинейные волн в струнах и других одномерных объектах.

Нелинейные волновые процессы обычно моделируются при помощи нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных. Для нелинейных аналогов волнового уравнения имеем [1]:

utt - с2uxx=h(u,ut,ux,t,x),                      (1)

где h - нелинейная функция, структура которой определяется геометрическими и (или) физическими особенностями задачи. Раскладывая функцию h в ряд, в разных приближениях можно получать модели нелинейных волновых процессов.

Нелинейные волновые эффекты многочисленны и многообразны. Показывается, что при рассмотрении простейших нелинейных моделей проявляются такие весьма хаpaктерные и важные явления как «деформирование» и «опрокидывание» профилей волн [1].

Весьма важной моделью нелинейных волн служит нелинейное уравнение Клейна-Гордона:

utt - с2uxx=Ф(u),                               (2)

где Ф(u) - некоторая гладкая или разрывная функция, описывающая распределенные нелинейные восстанавливающие силы. Влинейном приближении Ф(u)=-ku (k>0) имеем известную модель струны «на упругой постели».

2. Весьма важную модель - модель нелинейной струны можно получить, учитывая в представлении для упругой энергии системы в первом приближении члeн, кубический по смещению [1]. Ограничиваясь рассмотрением достаточно длинных волн, можно получить дополнительные члeны уравнения движения, зависящие лишь от деформации ux , но не от ее производных. Кроме того, в первом приближении можно записать можно записать также и члeн, учитывающий дисперсию. Тогда уравнение нелинейной струны (или уравнение продольных колебаний нелинейного стержня) можно привести к виду [1]:

utt - с2(uxx+l2u4x - buxuxx )=0,                                  (3)

где c - по-прежнему скорость распространения волн в линейной модели, l - масштабный, считающийся малым, b - также малый параметр, хаpaктеризующий интенсивность нелинейных сил. Выбор положительного знака перед l2 соответствует предположению, что среда имеет отрицательную дисперсию и групповая скорость убывает с ростом волнового числа. Дисперсия в данной модели оказывается нормальной. Выбор противоположенного знака привел бы к модели, аналогичной известной модели балки Бернулли [1].

Если Ф(u) - суть сингулярная обобщенная функция описывающая условия удара, то приходим к нелинейному уравнению Клейна-Гордона, моделирующее виброударную систему с паспределенными ударными элементами. [2]..

3. Весьма интересную базовую модель дает называемое уравнение Кортевега - де Фриза, (уравнение КдФ) оказывающееся принципиальным при рассмотрении моделей нелинейных волн [1].

wt + wx+εwxxx +μwwx =0.                              (4)

Если перейти к подвижной системе координат x→x-t, то вместо (4) получим

wt +μwwx +εwxxx =0.                                    (5)

Данное уравнение также называют уравнением Кортевега - де Фриза. При замене w→ - w вместо (.14) будем иметь:

wt + wx+εwxxx -μwwx =0.                             (6)

Если продифференцировать это уравнение по t и заменить значение wt его представлением из (6), то:

wtt - wxx- 2εw4x + 2μ(wwx)x+εμ(2wwxx+0,5wx2)хх - ε2 w6x 2(w2wx)x = 0,                  (7)

то есть (3) и (7) совпадают с точностью до члeнов ~ε2 и ~μ2 . Следовательно, решения уравнения КдФ (6) точно удовлетворяют уточненному уравнению нелинейной струны (7) и приближенно исходному уравнению (3). О других примерах волновых уравнений, множество решений которого содержит решения уравнения КдФ см. например в [1].

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 04-01-00611).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.- М.: Наука-1997. - 622 с.
  2. Крупенин В.Л. К описанию динамических эффектов, сопровождающих колебания струн вблизи однотавровых ограничителей// ДАН. - . 2003,. № 388 (3).- С.12-15.


ПЕРСПЕКТИВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ГРАВИЛАТА ГОРОДСКОГО И ГРАВИЛАТА РЕЧНОГО В КАЧЕСТВЕ КОРМОВЫХ КУЛЬТУР БЕЛГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ

ПЕРСПЕКТИВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ГРАВИЛАТА ГОРОДСКОГО И ГРАВИЛАТА РЕЧНОГО В КАЧЕСТВЕ КОРМОВЫХ КУЛЬТУР БЕЛГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ Благодаря образованию сплошных посадок во многих районах Белгородской области и повсеместному произрастанию преимущественно на нарушенных местообитаниях, гравилаты могут стать хорошим подспорьем в заготовке трав на корма, особенно в неурожайные засушливые годы. Гравилат городской и гравилат речной имеют следующие хаpaктеристики по питательности кормов: протеин 10,50, 8,31 % соответственно, жир – 2,81, 373 %, редуцирующие сахара – 1,11, 2,39 %, каротин – 37,44, 24,13 мг/кг, витамин Е – 278, 250 мг/кг, витамин С – 352,0, 394,0 мг/кг, витамин А – 18,5, 25,71 мг/кг, основные микроэлементы в достаточно большом объёме. Железа у гравилата городского – 52,2 мг/кг, гравилата речного – 34,72 мг/кг, марганца – 14,53; 6,7 мг/кг соответственно, меди – 2,1; 1,35 мг/кг, цинка – 10,03; 4,7 мг/кг. Кроме этих микроэлементов содержатся другие минеральные вещества в следующих соотношениях: гравилат городской – массовая доля кальция – 0,40 %, фосфора – 0,074 %, магния – 0,15 %, натрия – 0,009 %, калия – 0,57 %, серы – 0,072 %; гравилат речной – кальций – 0,73 %, фосфор – 0,06 %, магний – 0,13 %, натрий – 0,011 %, калий – 0,62 %, сера – 0,08 %. ...

14 03 2023 2:30:37

АНГЛИЙСКАЯ ГРАММАТИКА: ПРЕДЛОЖЕНИЕ И СЛОВО

АНГЛИЙСКАЯ ГРАММАТИКА: ПРЕДЛОЖЕНИЕ И СЛОВО Статья в формате PDF 227 KB...

11 03 2023 19:27:59

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИСТОЧНИКОВ ОБРАЗОВАНИЯ СВОБОДНЫХ РАДИКАЛОВ И АНТИОКСИДАНТНЫХ СИСТЕМ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИСТОЧНИКОВ ОБРАЗОВАНИЯ СВОБОДНЫХ РАДИКАЛОВ И АНТИОКСИДАНТНЫХ СИСТЕМ В статье представлены различные классификации систем антиоксидантной защиты клеток, в частности, проанализирована возможность 5 уровней защиты клеток от свободнорадикального окисления в интерпретации разных авторов. Дана классификация антиоксидантов с точки зрения их химической природы, молекулярной массы, гидрофильности и гидрофобности, особенностей молекулярно - клеточных механизмов инактивации свободных радикалов. ...

10 03 2023 20:57:35

ВОЗМОЖНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ДИАГНОСТИКИ ДОБРОКАЧЕСТВЕННЫХ И ЗЛОКАЧЕСТВЕННЫХ ОПУХОЛЕЙ ОПОРНО-ДВИГАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДОВ ИНФРАКРАСНОЙ СПЕКТРОСКОПИИ ПЛАЗМЫ КРОВИ

ВОЗМОЖНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ДИАГНОСТИКИ ДОБРОКАЧЕСТВЕННЫХ И ЗЛОКАЧЕСТВЕННЫХ ОПУХОЛЕЙ ОПОРНО-ДВИГАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДОВ ИНФРАКРАСНОЙ СПЕКТРОСКОПИИ ПЛАЗМЫ КРОВИ Целью исследования является оценка возможности ранней дифференциальной диагностики доброкачественных и злокачественных опухолей опopно-двигательной системы с помощью инфpaкрасной спектроскопии плазмы крови. При этом бралась венозная кровь из локтевой вены у контрольной группы пациентов с заранее установленным диагнозом существующими методами, после чего выделялась плазма. Исследуемая плазма крови помещалась в жидкостную кювету. Спустя 1,5-2 часа исследуемая кювета помещалась в ИК–Фурье- спектрометр. Снимался спектр пропускания плазма крови. Вычислялся коэффициент пропускания по данным снятых спектров. Затем рассчитывались коэффициенты объемного поглощения. В процессе экспериментов нами был вычислен статистически значимый уровень β = 700 см–1, ниже которого находились значения, соответствующие доброкачественным опухолям, выше- злокачественным опухолям. ...

04 03 2023 1:10:40

Управление рисками в системе бизнес –планирования

Управление рисками в системе бизнес –планирования Статья в формате PDF 112 KB...

21 02 2023 20:35:41

НООСФЕРНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ – ОТ ПРОШЛОГО К БУДУЩЕМУ

НООСФЕРНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ – ОТ ПРОШЛОГО К БУДУЩЕМУ Статья в формате PDF 119 KB...

14 02 2023 14:47:11

Максимальная скорость окисления оксида азота

Максимальная скорость окисления оксида азота Статья в формате PDF 344 KB...

12 02 2023 6:45:13

КОРРЕКЦИЯ ИММУННОБИОХИМИЧЕСКОГО СТАТУСА У БЫЧКОВ ПРИ ХРОНИЧЕСКОМ СЕЛЕНОВОМ ТОКСИКОЗЕ

КОРРЕКЦИЯ ИММУННОБИОХИМИЧЕСКОГО СТАТУСА У БЫЧКОВ ПРИ  ХРОНИЧЕСКОМ СЕЛЕНОВОМ ТОКСИКОЗЕ В данной работе представлены материалы по изучению влияния добавок серы к рациону крупного рогатого скота с целью коррекции иммуннобиохимического статуса при хроническом селеновом токсикозе. ...

11 02 2023 18:28:41

Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::

АНАТОМИЯ УРЕТРОВЕЗИКАЛЬНОГО СЕГМЕНТА И ПРЕДСТАТЕЛЬНОЙ ЖЕЛЕЗЫ У МУЖЧИН, ОТНОСЯЩИХСЯ К РАЗЛИЧНЫМ РАСАМ

Проведено исследование 63 препаратов уретровезикального сегмента и предстательной железы мужчин первого зрелого периода, относящихся к различным расам: европеоидам и монголоидам. Результаты: 1. межмочеточниковая складка Мерсье, расстояние от внутреннего отверстия уретры до устья мочеточника, площадь треугольника Льето достоверно больше у монголоидов при отсутствии достоверной разницы показателей «уретрального» угла треугольника Льето. 2. уретровезикальный угол, длина супрамонтанной части простатического отдела уретры и длина всего простатического отдела уретры у монголоидов достоверно больше. 3. семенной бугорок у представителей монголоидной расы в 85,7% представлял собой утолщение центральной складки простатического отдела уретры, наличие простатической маточки не зарегистрировано ни в одном случае. Семенной бугорок представителей европеоидной расы был более выражен и представлял собой анатомическое образование бόльшими размерами, простатическая маточка зарегистрирована в 60% случаев. 4. общий объем простаты у европеоидов и монголоидов не отличался, однако, центральная ее доля у монголоидов достоверно больше, а переходная достоверно меньше.

Анализ АТФ-зависимых и кальциевых механизмов в реализации нейротропного действия аспирина и его производных

Статья посвящена исследованию механизмов нейротропного действия аспирина, ацетилсалицилатов кобальта и цинка. Показано, что наличие аденозинтрифосфата во внеклеточном прострaнcтве существенно модифицирует нейротропные эффекты салицилатов. Сочетанное приложение аденозинтрифосфата с аспирином устраняет угнетение импульсной активности нейронов, вызванное индивидуальным раствором этого препарата, а совместная экспозиция аденозинтрифосфата с ацетилсалицилатами кобальта и цинка, наоборот, усиливает их активирующие эффекты. При блокировании CdCl2 и BaCl2 поступления Са2 + в нейроплазму из внеклеточной среды и внутриклеточных депо выявлено, что кальциевые механизмы не участвуют в нейротропных эффектах исследуемых салицилатов.