О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

Авторы
Файлы

Крупенин В.Л. Статья в формате PDF 105 KB

1. В работе даются модели, порождающие нелинейные и (или) сильно нелинейные волн в струнах и других одномерных объектах.

Нелинейные волновые процессы обычно моделируются при помощи нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных. Для нелинейных аналогов волнового уравнения имеем [1]:

u_tt - с²u_xx=h(u,u_t,u_x,t,x), (1)

где h - нелинейная функция, структура которой определяется геометрическими и (или) физическими особенностями задачи. Раскладывая функцию h в ряд, в разных приближениях можно получать модели нелинейных волновых процессов.

Нелинейные волновые эффекты многочисленны и многообразны. Показывается, что при рассмотрении простейших нелинейных моделей проявляются такие весьма хаpaктерные и важные явления как «деформирование» и «опрокидывание» профилей волн [1].

Весьма важной моделью нелинейных волн служит нелинейное уравнение Клейна-Гордона:

u_tt - с²u_xx=Ф(u), (2)

где Ф(u) - некоторая гладкая или разрывная функция, описывающая распределенные нелинейные восстанавливающие силы. Влинейном приближении Ф(u)=-ku (k>0) имеем известную модель струны «на упругой постели».

2. Весьма важную модель - модель нелинейной струны можно получить, учитывая в представлении для упругой энергии системы в первом приближении члeн, кубический по смещению [1]. Ограничиваясь рассмотрением достаточно длинных волн, можно получить дополнительные члeны уравнения движения, зависящие лишь от деформации u_x, но не от ее производных. Кроме того, в первом приближении можно записать можно записать также и члeн, учитывающий дисперсию. Тогда уравнение нелинейной струны (или уравнение продольных колебаний нелинейного стержня) можно привести к виду [1]:

u_tt - с²(u_xx+l²u₄_x- bu_xu_xx)=0, (3)

где c - по-прежнему скорость распространения волн в линейной модели, l - масштабный, считающийся малым, b - также малый параметр, хаpaктеризующий интенсивность нелинейных сил. Выбор положительного знака перед l² соответствует предположению, что среда имеет отрицательную дисперсию и групповая скорость убывает с ростом волнового числа. Дисперсия в данной модели оказывается нормальной. Выбор противоположенного знака привел бы к модели, аналогичной известной модели балки Бернулли [1].

Если Ф(u) - суть сингулярная обобщенная функция описывающая условия удара, то приходим к нелинейному уравнению Клейна-Гордона, моделирующее виброударную систему с паспределенными ударными элементами. [2]..

3. Весьма интересную базовую модель дает называемое уравнение Кортевега - де Фриза, (уравнение КдФ) оказывающееся принципиальным при рассмотрении моделей нелинейных волн [1].

w_t + w_x+εw_xxx+μww_x=0. (4)

Если перейти к подвижной системе координат x→x-t, то вместо (4) получим

w_t +μww_x+εw_xxx=0. (5)

Данное уравнение также называют уравнением Кортевега - де Фриза. При замене w→ - w вместо (.14) будем иметь:

w_t + w_x+εw_xxx-μww_x=0. (6)

Если продифференцировать это уравнение по t и заменить значение w_tего представлением из (6), то:

w_tt - w_xx- 2εw₄_x+ 2μ(ww_x)_x+εμ(2ww_xx+0,5w_x²)_хх - ε² w₆_x-μ²(w²w_x)_x = 0, (7)

то есть (3) и (7) совпадают с точностью до члeнов ~ε²и ~μ². Следовательно, решения уравнения КдФ (6) точно удовлетворяют уточненному уравнению нелинейной струны (7) и приближенно исходному уравнению (3). О других примерах волновых уравнений, множество решений которого содержит решения уравнения КдФ см. например в [1].

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 04-01-00611).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.- М.: Наука-1997. - 622 с.
Крупенин В.Л. К описанию динамических эффектов, сопровождающих колебания струн вблизи однотавровых ограничителей// ДАН. - . 2003,. № 388 (3).- С.12-15.

ПРОГНОСТИЧЕСКАЯ И ИНФОРМАТИВНАЯ ЗНАЧИМОСТЬ КЛИНИКО-АНАМНЕСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ ПРИ ДИЗЕНТЕРИИ

Статья в формате PDF 92 KB...

18 05 2026 19:16:16

ПРИОРИТЕТНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ В ОБЛАСТИ СОЗДАНИЯ РЕСУРСОСБЕРЕГАЮЩИХ ТЕХНОЛОГИЙ ЗАЩИТЫ САДОВ ОТ ВРЕДИТЕЛЕЙ

Статья в формате PDF 114 KB...

17 05 2026 22:37:26

ФОРМИРОВАНИЕ СВЯЗНОЙ РЕЧИ ПЕРВОКЛАССНИКОВ ПОСРЕДСТВОМ КУКОЛЬНОГО КРУЖКА «ПЕТРУШКА»

Статья в формате PDF 242 KB...

16 05 2026 0:37:31

ОРГАНИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ УТИЛИЗАЦИИ ВТОРИЧНЫХ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ РЕСУРСОВ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПОВ ЭНЕРГОТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО КОМБИНИРОВАНИЯ

Статья в формате PDF 105 KB...

15 05 2026 20:30:41

ЦИТОЛОГИЧЕСКИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ПРИ ПОРАЖЕНИЯХ ВИРУСОМ ПРОСТОГО ГЕРПЕСА

Статья в формате PDF 263 KB...

14 05 2026 4:19:18

Физиологические атрезии в раннем онтогенензе человека

Статья в формате PDF 103 KB...

13 05 2026 23:53:31

МЕХАНИЗМЫ ЦИТОПАТОГЕННЫХ ЭФФЕКТОВ ЭНДОТОКСИНА Y.PESTIS

Статья в формате PDF 106 KB...

12 05 2026 17:44:51

СЕМЕЙНЫЕ ЦЕННОСТИ В СЕМЕЙНОМ ДИСКУРСЕ (НА МАТЕРИАЛЕ УСТНЫХ РАССКАЗОВ КРАСНОЯРЦЕВ НАЧАЛА XXI В.)

Статья в формате PDF 131 KB...

11 05 2026 10:43:46

АНТИЦИПАТИВНЫЙ АНТИКРИЗИСНЫЙ МАРКЕТИНГ

Статья в формате PDF 342 KB...

10 05 2026 1:36:56

ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ПРЕПАРАТА «ИНФАНВИР» НА РЯД ИНФЕКЦИОННЫХ ЗАБОЛЕВАНИЙ ОВОЩНЫХ КУЛЬТУР

Статья в формате PDF 172 KB...

09 05 2026 0:56:13

ИЗУЧЕНИЕ ЗДОРОВЬЯ СТУДЕНТОВ: ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕННОСТИ ОСТРОГО ЦИСТИТА СРЕДИ СТУДЕНТОВ ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Г. СМОЛЕНСКА

Статья в формате PDF 110 KB...

08 05 2026 11:44:13

ОСОБЕННОСТИ ПАЛЛИАТИВНОГО ЛЕЧЕНИЯ ОНКОЛОГИЧЕСКИХ БОЛЬНЫХ С МЕХАНИЧЕСКОЙ ЖЕЛТУХОЙ

Статья в формате PDF 107 KB...

07 05 2026 23:44:27

ВАЛЮТНЫЕ ОПЕРАЦИИ И ВАЛЮТНОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ В РФ

Статья в формате PDF 123 KB...

06 05 2026 22:42:36

КАДРОВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ В БАНКЕ: ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ

Статья в формате PDF 72 KB...

05 05 2026 16:48:51

СИНТЕЗ И ИЗУЧЕНИЕ КООРДИНАЦИОННЫХ СОЕДИНЕНИЙ РЕНИЯ(V) С 2-(2′-ПИРИДИЛ) БЕНЗИМИДАЗОЛОМ

Статья в формате PDF 275 KB...

04 05 2026 9:18:34

ПОСТРОЕНИЕ АППРОКСИМИРУЮЩИХ ФОРМУЛ ДЛЯ РАСЧЁТА ПАРАМЕТРОВ ВОДООТДЕЛИТЕЛЯ

Статья в формате PDF 807 KB...

03 05 2026 1:39:31

КИСЛОТНО-ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТИ ПРОМЫШЛЕННЫХ ОБРАЗЦОВ ПОЛУТОРНЫХ ОКСИДОВ РЗЭ

Статья в формате PDF 123 KB...

02 05 2026 3:29:30

ИММУНОЛОГИЯ (учебное пособие)

Статья в формате PDF 137 KB...

01 05 2026 20:47:48

ПОДГОТОВКА ТОВАРОВЕДОВ-ЭКСПЕРТОВ И ИЗУЧЕНИЕ МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЯ И ТЕХНОЛОГИЙ ПРОИЗВОДСТВА

Статья в формате PDF 119 KB...

30 04 2026 1:53:50

ПОЧВЕННЫЕ МИКРООРГАНИЗМЫ В ЗОНЕ УРАНОВЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ ЭЛЬКОНСКОГО ГОРСТА

Установлены специфические особенности микробного населения почв мерзлотных горно-таежных техногенных ландшафтов Эльконского ураново-рудного района на территории Южной Якутии. Такие как высокая численность эколого-трофических групп микроорганизмов (2,0·103–7,6·107 кл/г), сопоставимая с плотностью микробов в лугово-степных почвах Центральной Якутии и особый хаpaктер распределения их по профилю почв в зависимости от содержания в них урана. В почве радиоактивно-загрязненного разреза с уменьшением содержания урана до 161 мг/кг наблюдается увеличение численности всех исследованных групп микроорганизмов. В остальных образцах данного разреза с увеличением содержания урана в почве наблюдается исчезновение или спад численности микроорганизмов на 1–2 порядка. В отличие от загрязненного разреза в почве нативного ландшафта численность микроорганизмов остается достаточно высокой по всему почвенному профилю. ...

29 04 2026 0:14:13

СЕЗОННЫЕ ФАКТОРЫ В РОЖДЕНИИ БОЛЬНЫХ ШИЗОФРЕНИЕЙ

Обсуждается сезонность рождения больных шизофренией. Исследовав 2017 случаев заболевания, авторы отмечают сезонность и гендерные различия в рождении больных шизофренией. Высказывается предположение, что одной из причин сезонных колебаний рождаемости больных, у мужчин, может быть патогенное действие вирусной инфекции на головной мозг плода во втором триместре беременности. ...

28 04 2026 4:30:48

СТРУКТУРА ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ СПОСОБНОСТЕЙ ЧЕЛОВЕКА

Статья в формате PDF 149 KB...

27 04 2026 2:43:25

ОПЕРЕЖАЮЩЕЕ АНТИКРИЗИСНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ

В статье исследованы некоторые проблемы опережающего антикризисного управления предприятием. ...

26 04 2026 11:33:42

ОБЕСПЕЧЕНИЕ ГОТОВНОСТИ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ К СОВЕРШЕНСТВОВАНИЮ СВОЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО МАСТЕРСТВА

Статья в формате PDF 262 KB...

25 04 2026 21:18:59

ТЕХНОЛОГИИ И ПРОДУКТЫ ЗДОРОВОГО ПИТАНИЯ

Статья в формате PDF 112 KB...

24 04 2026 18:27:25

АНАЛИЗ ЗАБОЛЕВАЕМОСТИ БРЮШНЫМ ТИФОМ ЗА ПЕРИОД С 1983-1999 гг. В РСО-АЛАНИЯ

Статья в формате PDF 102 KB...

23 04 2026 15:23:22

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫЕ ПРОЕКТЫ КАК ФАКТОР ФОРМИРОВАНИЯ ТВОРЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ

Школьная научно-исследовательская деятельность – это сочетание приемов и методов, направленных на решение актуальных проблем, которые служат активизации познавательной деятельности учащихся. Научно-исследовательская работа учащихся – это пpaктическая работа поискового хаpaктера, которая способствует расширению знаний учащихся, развитию их пpaктических умений. В процессе создания естественнонаучных проектов у школьников возрастает познавательный интерес к общим законам природы, стремление к приобретению обширных знаний, обогащается умственная деятельность учащихся, развивается умение мыслить творчески. ...