О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

Авторы
Файлы

Крупенин В.Л. Статья в формате PDF 105 KB

1. В работе даются модели, порождающие нелинейные и (или) сильно нелинейные волн в струнах и других одномерных объектах.

Нелинейные волновые процессы обычно моделируются при помощи нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных. Для нелинейных аналогов волнового уравнения имеем [1]:

u_tt - с²u_xx=h(u,u_t,u_x,t,x), (1)

где h - нелинейная функция, структура которой определяется геометрическими и (или) физическими особенностями задачи. Раскладывая функцию h в ряд, в разных приближениях можно получать модели нелинейных волновых процессов.

Нелинейные волновые эффекты многочисленны и многообразны. Показывается, что при рассмотрении простейших нелинейных моделей проявляются такие весьма хаpaктерные и важные явления как «деформирование» и «опрокидывание» профилей волн [1].

Весьма важной моделью нелинейных волн служит нелинейное уравнение Клейна-Гордона:

u_tt - с²u_xx=Ф(u), (2)

где Ф(u) - некоторая гладкая или разрывная функция, описывающая распределенные нелинейные восстанавливающие силы. Влинейном приближении Ф(u)=-ku (k>0) имеем известную модель струны «на упругой постели».

2. Весьма важную модель - модель нелинейной струны можно получить, учитывая в представлении для упругой энергии системы в первом приближении члeн, кубический по смещению [1]. Ограничиваясь рассмотрением достаточно длинных волн, можно получить дополнительные члeны уравнения движения, зависящие лишь от деформации u_x, но не от ее производных. Кроме того, в первом приближении можно записать можно записать также и члeн, учитывающий дисперсию. Тогда уравнение нелинейной струны (или уравнение продольных колебаний нелинейного стержня) можно привести к виду [1]:

u_tt - с²(u_xx+l²u₄_x- bu_xu_xx)=0, (3)

где c - по-прежнему скорость распространения волн в линейной модели, l - масштабный, считающийся малым, b - также малый параметр, хаpaктеризующий интенсивность нелинейных сил. Выбор положительного знака перед l² соответствует предположению, что среда имеет отрицательную дисперсию и групповая скорость убывает с ростом волнового числа. Дисперсия в данной модели оказывается нормальной. Выбор противоположенного знака привел бы к модели, аналогичной известной модели балки Бернулли [1].

Если Ф(u) - суть сингулярная обобщенная функция описывающая условия удара, то приходим к нелинейному уравнению Клейна-Гордона, моделирующее виброударную систему с паспределенными ударными элементами. [2]..

3. Весьма интересную базовую модель дает называемое уравнение Кортевега - де Фриза, (уравнение КдФ) оказывающееся принципиальным при рассмотрении моделей нелинейных волн [1].

w_t + w_x+εw_xxx+μww_x=0. (4)

Если перейти к подвижной системе координат x→x-t, то вместо (4) получим

w_t +μww_x+εw_xxx=0. (5)

Данное уравнение также называют уравнением Кортевега - де Фриза. При замене w→ - w вместо (.14) будем иметь:

w_t + w_x+εw_xxx-μww_x=0. (6)

Если продифференцировать это уравнение по t и заменить значение w_tего представлением из (6), то:

w_tt - w_xx- 2εw₄_x+ 2μ(ww_x)_x+εμ(2ww_xx+0,5w_x²)_хх - ε² w₆_x-μ²(w²w_x)_x = 0, (7)

то есть (3) и (7) совпадают с точностью до члeнов ~ε²и ~μ². Следовательно, решения уравнения КдФ (6) точно удовлетворяют уточненному уравнению нелинейной струны (7) и приближенно исходному уравнению (3). О других примерах волновых уравнений, множество решений которого содержит решения уравнения КдФ см. например в [1].

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 04-01-00611).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.- М.: Наука-1997. - 622 с.
Крупенин В.Л. К описанию динамических эффектов, сопровождающих колебания струн вблизи однотавровых ограничителей// ДАН. - . 2003,. № 388 (3).- С.12-15.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ПРОЦЕССЕ МНОГОУРОВНЕВОЙ ПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТОВ

Статья в формате PDF 153 KB...

07 11 2026 22:40:43

Разработка установки приготовления кислородонасыщенной питьевой воды

Статья в формате PDF 273 KB...

06 11 2026 8:34:34

ВЛИЯНИЕ ФИТОНЦИДОВ РАСТЕНИЙ НА ЧИСЛЕННОСТЬ МИКРООРГАНИЗМОВ ВОЗДУХА ПОМЕЩЕНИЙ

Статья в формате PDF 111 KB...

05 11 2026 20:29:14

ДИНАМИКА ПАРАМЕТРОВ НАДПОЧЕЧНИКОВ ЧЕЛОВЕКА ПРИ СТАРЕНИИ ПО ДАННЫМ РЕНТГЕН КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ

Методом рентген-компьютерной томографии изучены надпочечники 248 мужчин и 203 женщин зрелого (41 – 60 лет), пожилого (61 – 75 лет) и старческого возрастов (76 и более лет). Установлено, что как форма, так и динамика инволюции надпочечников человека проявляют изменчивость и пoлoвoй диморфизм. Выявлена преимущественная возрастная элиминация субъектов с L-формами надпочечников. Полученные результаты можно интерпретировать в пользу предположения о значительной стабильности макропараметров и наличии высокой морфофункциональной устойчивости надпочечников. ...

04 11 2026 19:38:13

ПРЕЕМСТВЕННОСТЬ ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВОСПИТАНИЯ ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ

Статья в формате PDF 296 KB...

03 11 2026 9:48:32

СЛИНКИН СЕРГЕЙ ВИКТОРОВИЧ

Статья в формате PDF 161 KB...

02 11 2026 23:39:59

ФОРМИРОВАНИЕ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНОЙ КАРТИНЫ МИРА У БУДУЩИХ СПЕЦИАЛИСТОВ СОЦИАЛЬНОЙ СФЕРЫ

Статья в формате PDF 109 KB...

01 11 2026 0:42:12

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРИОРИТЕТ «ЗДОРОВЬЕ» И ДЕМОГРАФИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Статья в формате PDF 93 KB...

31 10 2026 0:36:33

ИПОТЕЧНЫЙ КРИЗИС В США: РЕАЛЬНОСТЬ ИЛИ МИФ

Статья в формате PDF 308 KB...

30 10 2026 1:53:57

ВОЗМОЖНОСТИ ИММУНОКОРРЕКЦИИ У БОЛЬНЫХ С ОСЛОЖНЕННЫМИ ФОРМАМИ ДИАБЕТИЧЕСКОЙ СТОПЫ

Статья в формате PDF 100 KB...

29 10 2026 13:42:48

ПОСТЧЕЛОВЕЧЕСКОЕ БУДУЩЕЕ: ТРАНСГУМАНИЗМ И ИМОРТАЛИЗМ

Статья в формате PDF 256 KB...

28 10 2026 16:53:48

РАЦИОНАЛЬНАЯ ТЕХНОЛОГИЯ УБОРКИ ЛУКА

Статья в формате PDF 95 KB...

27 10 2026 3:58:10

КАТАЛИТИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ ЦЕРИЕВОГО КАТАЛИЗАТОРА В ПРОЦЕССАХ ОЧИСТКИ ПАРАФИНОВЫХ УГЛЕВОДОРОДОВ ОТ МЕТАНОЛА

Статья в формате PDF 120 KB...

26 10 2026 23:10:32

СТРЕССИНДУЦИРОВАННЫЕ СДВИГИ В ГЕМО- И ЛИМФОЦИРКУЛЯЦИИ КРЫС И ИХ КОРРЕКЦИЯ ПИКНОГЕНОЛОМ

Статья в формате PDF 162 KB...

25 10 2026 4:20:58

ДИНАМИКА ФУНКЦИОНАЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ ЦЕНТРАЛЬНОЙ НЕРВНОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ГЕТЕРОСУГГЕСТИВНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ У ЖЕНЩИН РЕПРОДУКТИВНОГО ВОЗРАСТА С РАЗЛИЧНОЙ УСТОЙЧИВОСТЬЮ К ЭМОЦИОНАЛЬНОМУ СТРЕССУ

Проведен анализ эффективности курсового гетеросуггестивного воздействия на функциональное состояние ЦНС у женщин репродуктивного возраста. С помощью методов электроэнцефалографии и спектрального анализа вариабельности сердечного ритма получены достоверные данные о положительной динамике на центральном и вегетативном уровнях обеспечения психофизиологической устойчивости обследованных женщин. ...