О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
1. В работе даются модели, порождающие нелинейные и (или) сильно нелинейные волн в струнах и других одномерных объектах.
Нелинейные волновые процессы обычно моделируются при помощи нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных. Для нелинейных аналогов волнового уравнения имеем [1]:
utt - с2uxx=h(u,ut,ux,t,x), (1)
где h - нелинейная функция, структура которой определяется геометрическими и (или) физическими особенностями задачи. Раскладывая функцию h в ряд, в разных приближениях можно получать модели нелинейных волновых процессов.
Нелинейные волновые эффекты многочисленны и многообразны. Показывается, что при рассмотрении простейших нелинейных моделей проявляются такие весьма хаpaктерные и важные явления как «деформирование» и «опрокидывание» профилей волн [1].
Весьма важной моделью нелинейных волн служит нелинейное уравнение Клейна-Гордона:
utt - с2uxx=Ф(u), (2)
где Ф(u) - некоторая гладкая или разрывная функция, описывающая распределенные нелинейные восстанавливающие силы. Влинейном приближении Ф(u)=-ku (k>0) имеем известную модель струны «на упругой постели».
2. Весьма важную модель - модель нелинейной струны можно получить, учитывая в представлении для упругой энергии системы в первом приближении члeн, кубический по смещению [1]. Ограничиваясь рассмотрением достаточно длинных волн, можно получить дополнительные члeны уравнения движения, зависящие лишь от деформации ux , но не от ее производных. Кроме того, в первом приближении можно записать можно записать также и члeн, учитывающий дисперсию. Тогда уравнение нелинейной струны (или уравнение продольных колебаний нелинейного стержня) можно привести к виду [1]:
utt - с2(uxx+l2u4x - buxuxx )=0, (3)
где c - по-прежнему скорость распространения волн в линейной модели, l - масштабный, считающийся малым, b - также малый параметр, хаpaктеризующий интенсивность нелинейных сил. Выбор положительного знака перед l2 соответствует предположению, что среда имеет отрицательную дисперсию и групповая скорость убывает с ростом волнового числа. Дисперсия в данной модели оказывается нормальной. Выбор противоположенного знака привел бы к модели, аналогичной известной модели балки Бернулли [1].
Если Ф(u) - суть сингулярная обобщенная функция описывающая условия удара, то приходим к нелинейному уравнению Клейна-Гордона, моделирующее виброударную систему с паспределенными ударными элементами. [2]..
3. Весьма интересную базовую модель дает называемое уравнение Кортевега - де Фриза, (уравнение КдФ) оказывающееся принципиальным при рассмотрении моделей нелинейных волн [1].
wt + wx+εwxxx +μwwx =0. (4)
Если перейти к подвижной системе координат x→x-t, то вместо (4) получим
wt +μwwx +εwxxx =0. (5)
Данное уравнение также называют уравнением Кортевега - де Фриза. При замене w→ - w вместо (.14) будем иметь:
wt + wx+εwxxx -μwwx =0. (6)
Если продифференцировать это уравнение по t и заменить значение wt его представлением из (6), то:
wtt - wxx- 2εw4x + 2μ(wwx)x+εμ(2wwxx+0,5wx2)хх - ε2 w6x -μ2(w2wx)x = 0, (7)
то есть (3) и (7) совпадают с точностью до члeнов ~ε2 и ~μ2 . Следовательно, решения уравнения КдФ (6) точно удовлетворяют уточненному уравнению нелинейной струны (7) и приближенно исходному уравнению (3). О других примерах волновых уравнений, множество решений которого содержит решения уравнения КдФ см. например в [1].
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 04-01-00611).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
- Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.- М.: Наука-1997. - 622 с.
- Крупенин В.Л. К описанию динамических эффектов, сопровождающих колебания струн вблизи однотавровых ограничителей// ДАН. - . 2003,. № 388 (3).- С.12-15.
Статья в формате PDF
131 KB...
28 07 2026 15:30:41
Статья в формате PDF
114 KB...
27 07 2026 8:48:11
Статья в формате PDF
219 KB...
26 07 2026 11:19:54
Статья в формате PDF 114 KB...
25 07 2026 10:13:36
Статья в формате PDF
107 KB...
24 07 2026 14:18:38
Статья в формате PDF
172 KB...
23 07 2026 16:53:16
Статья в формате PDF
109 KB...
22 07 2026 15:38:42
Статья в формате PDF
246 KB...
20 07 2026 2:46:58
Статья в формате PDF
176 KB...
17 07 2026 20:18:43
Статья в формате PDF
131 KB...
16 07 2026 11:43:19
Статья в формате PDF
254 KB...
15 07 2026 18:29:54
Статья в формате PDF
101 KB...
14 07 2026 15:30:19
Статья в формате PDF
120 KB...
13 07 2026 21:45:46
Статья в формате PDF
99 KB...
12 07 2026 7:54:18
Статья в формате PDF
105 KB...
11 07 2026 13:13:54
Статья в формате PDF
271 KB...
10 07 2026 8:39:20
Статья в формате PDF 112 KB...
09 07 2026 19:34:18
Статья в формате PDF
122 KB...
07 07 2026 7:47:33
Статья в формате PDF
112 KB...
06 07 2026 20:39:24
Статья в формате PDF
117 KB...
05 07 2026 16:43:23
Статья в формате PDF
112 KB...
03 07 2026 23:12:23
Статья в формате PDF
284 KB...
02 07 2026 23:52:56
Статья в формате PDF
116 KB...
01 07 2026 11:49:37
Статья в формате PDF
124 KB...
30 06 2026 9:37:22
Статья в формате PDF
101 KB...
28 06 2026 9:38:47
Статья в формате PDF
166 KB...
27 06 2026 1:15:12
Статья в формате PDF
105 KB...
26 06 2026 22:35:43
Статья в формате PDF
321 KB...
25 06 2026 14:43:22
Статья в формате PDF
141 KB...
24 06 2026 16:19:50
Исследуется динамика причин cмepтности от сахарного диабета за период с 2000 по 2005гг по материалам отделения эндокринологии МУЗ ГКБ №3 им. С.М.Кирова. За исследуемый период наблюдалось снижение cмepтности от сахарного диабета. Непосредственными причинами cмepти от сахарного диабета послужили: диабетическая кома, гипогликемическая кома, хроническая почечная недостаточность (ХПН), гангрена, осложненная сепсисом. Наиболее частой причиной cмepти от СД в течение всего периода исследования являлась гангрена, осложненная сепсисом.
...
21 06 2026 0:45:50
Статья в формате PDF
129 KB...
20 06 2026 0:11:41
Возникшее при низкодозовом радиационном воздействии повышение уровня ТТГ, снижение уровня тиреоидных гормонов, истощение симпатической импульсации и вегетативный дисбаланс, свидетельствует об установившейся адрено-тиреоидной дисфункции в организме жителей молодого (21–30 лет) и пожилого возраста (61–70 лет) проживающих в районах, прилегающих к Семипалатинскому ядерному полигону.
...
19 06 2026 21:31:30
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
