О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

Авторы
Файлы

Крупенин В.Л. Статья в формате PDF 105 KB

1. В работе даются модели, порождающие нелинейные и (или) сильно нелинейные волн в струнах и других одномерных объектах.

Нелинейные волновые процессы обычно моделируются при помощи нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных. Для нелинейных аналогов волнового уравнения имеем [1]:

u_tt - с²u_xx=h(u,u_t,u_x,t,x), (1)

где h - нелинейная функция, структура которой определяется геометрическими и (или) физическими особенностями задачи. Раскладывая функцию h в ряд, в разных приближениях можно получать модели нелинейных волновых процессов.

Нелинейные волновые эффекты многочисленны и многообразны. Показывается, что при рассмотрении простейших нелинейных моделей проявляются такие весьма хаpaктерные и важные явления как «деформирование» и «опрокидывание» профилей волн [1].

Весьма важной моделью нелинейных волн служит нелинейное уравнение Клейна-Гордона:

u_tt - с²u_xx=Ф(u), (2)

где Ф(u) - некоторая гладкая или разрывная функция, описывающая распределенные нелинейные восстанавливающие силы. Влинейном приближении Ф(u)=-ku (k>0) имеем известную модель струны «на упругой постели».

2. Весьма важную модель - модель нелинейной струны можно получить, учитывая в представлении для упругой энергии системы в первом приближении члeн, кубический по смещению [1]. Ограничиваясь рассмотрением достаточно длинных волн, можно получить дополнительные члeны уравнения движения, зависящие лишь от деформации u_x, но не от ее производных. Кроме того, в первом приближении можно записать можно записать также и члeн, учитывающий дисперсию. Тогда уравнение нелинейной струны (или уравнение продольных колебаний нелинейного стержня) можно привести к виду [1]:

u_tt - с²(u_xx+l²u₄_x- bu_xu_xx)=0, (3)

где c - по-прежнему скорость распространения волн в линейной модели, l - масштабный, считающийся малым, b - также малый параметр, хаpaктеризующий интенсивность нелинейных сил. Выбор положительного знака перед l² соответствует предположению, что среда имеет отрицательную дисперсию и групповая скорость убывает с ростом волнового числа. Дисперсия в данной модели оказывается нормальной. Выбор противоположенного знака привел бы к модели, аналогичной известной модели балки Бернулли [1].

Если Ф(u) - суть сингулярная обобщенная функция описывающая условия удара, то приходим к нелинейному уравнению Клейна-Гордона, моделирующее виброударную систему с паспределенными ударными элементами. [2]..

3. Весьма интересную базовую модель дает называемое уравнение Кортевега - де Фриза, (уравнение КдФ) оказывающееся принципиальным при рассмотрении моделей нелинейных волн [1].

w_t + w_x+εw_xxx+μww_x=0. (4)

Если перейти к подвижной системе координат x→x-t, то вместо (4) получим

w_t +μww_x+εw_xxx=0. (5)

Данное уравнение также называют уравнением Кортевега - де Фриза. При замене w→ - w вместо (.14) будем иметь:

w_t + w_x+εw_xxx-μww_x=0. (6)

Если продифференцировать это уравнение по t и заменить значение w_tего представлением из (6), то:

w_tt - w_xx- 2εw₄_x+ 2μ(ww_x)_x+εμ(2ww_xx+0,5w_x²)_хх - ε² w₆_x-μ²(w²w_x)_x = 0, (7)

то есть (3) и (7) совпадают с точностью до члeнов ~ε²и ~μ². Следовательно, решения уравнения КдФ (6) точно удовлетворяют уточненному уравнению нелинейной струны (7) и приближенно исходному уравнению (3). О других примерах волновых уравнений, множество решений которого содержит решения уравнения КдФ см. например в [1].

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 04-01-00611).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.- М.: Наука-1997. - 622 с.
Крупенин В.Л. К описанию динамических эффектов, сопровождающих колебания струн вблизи однотавровых ограничителей// ДАН. - . 2003,. № 388 (3).- С.12-15.

РЕСУРСЫ КЛИЕНТА КАК ВАЖНЕЙШИЙ ФАКТОР ОКАЗАНИЯ СОЦИАЛЬНОЙ ПОМОЩИ

Статья в формате PDF 149 KB...

29 11 2022 18:18:35

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССАМИ ЭМИССИИ ПАРНИКОВЫХ ГАЗОВ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ В РЕГИОНЕ (НА ПРИМЕРЕ КЕМЕРОВСКОЙ ОБЛАСТИ)

Статья в формате PDF 225 KB...

28 11 2022 18:19:50

ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ: УЧЕБНЫЕ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ РАБОТЫ: УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ НАПРАВЛЕНИЯ ПОДГОТОВКИ И СПЕЦИАЛЬНОСТИ «БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ»»

Статья в формате PDF 150 KB...

27 11 2022 18:21:51

ПРИОРИТЕТНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ РАЗВИТИЯ РОССИЙСКОЙ ИННОВАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ В КОНТЕКСТЕ ПОЗИЦИОНИРОВАНИЯ СТРАНЫ В ГЛОБАЛЬНОЙ ЭКОНОМИКЕ

Статья в формате PDF 131 KB...

26 11 2022 10:19:30

ОБОСНОВАНИЕ СЕЗОННОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РЕЗЕРВНЫХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ (монография)

Статья в формате PDF 106 KB...

25 11 2022 4:52:15

КОМПЕНСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ГОМЕОСТАЗА В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ЕСТЕСТВЕННОЙ ТЕХНОЛОГИИ ОРГАНИЗМА, ЭКОЛОГИИ И ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ НА ОСНОВЕ СТАБИЛЬНОЭФФЕКТИВНЫХ КОМПРОМИССОВ

Статья в формате PDF 127 KB...

24 11 2022 18:59:18

Клинико-морфологические особенности пародонта у пациентов с синдромом раздраженного кишечника

Статья в формате PDF 110 KB...

23 11 2022 18:18:30

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИССИПАЦИИ ЭНЕРГИИ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ

Статья в формате PDF 210 KB...

22 11 2022 8:48:59

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ПЕРЕМЕННОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ ПРИ ХРОНИЧЕСКОМ ПАРОДОНТИТЕ

Статья в формате PDF 101 KB...

21 11 2022 17:11:33

ВОПРОСЫ ЭКОЛОГИИ В КУРСЕ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ФАКУЛЬТЕТА ТРАНСПОРТНЫХ СИСТЕМ

Статья в формате PDF 215 KB...

20 11 2022 22:57:32

РОЛЬ ЕСТЕСТВЕННЫХ ДИСЦИПЛИН В СОЗДАНИИ СОВРЕМЕННЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Статья в формате PDF 121 KB...

19 11 2022 6:24:23

КОЭФФИЦИЕНТ БИОЛОГИЧЕСКОГО ПОГЛОЩЕНИЯ КАК ОДИН ИЗ КРИТЕРИЕВ НАКОПЛЕНИЯ ИОНОВ ТЯЖЕЛЫХ МЕТАЛЛОВ В РАЗЛИЧНЫХ ПОРОДАХ ДРЕВЕСНЫХ РАСТЕНИЙ

Статья в формате PDF 285 KB...

18 11 2022 5:23:19

ЗЕМЦОВА ВАЛЕНТИНА ИВАНОВНА

Статья в формате PDF 344 KB...

17 11 2022 11:57:34

ВЛИЯНИЕ ИОНОВ ТЯЖЕЛЫХ МЕТАЛЛОВ НА МОЛЕКУЛЯРНУЮ СТРУКТУРУ И СВОЙСТВА ФУНГИЦИДОВ

Статья в формате PDF 240 KB...

16 11 2022 23:27:34

ФОРМИРОВАНИЕ СЛИЗИСТОЙ ОБОЛОЧКИ ЖЕЛУДКА ЧЕЛОВЕКА В ЭМБРИОГЕНЕЗЕ

Статья посвящена актуальной морфологической проблеме – формирование слизистой оболочки желудка человека, в раннем эмбриогенезе. Проведен анализ и обобщение научных данных в отечественной и зарубежной литературе о формировании слизистой оболочки желудка. Рассматривается вопрос о процессе формирования врожденных пороков развития желудка. ...

15 11 2022 11:24:30

ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ РАЗЛИЧИЯ МЕЖДУ ЭКОНОМИЧЕСКИМИ И СОЦИАЛЬНО-ПСИХОЛОГИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ ВОЗДЕЙСТВИЯ НА ПЕРСОНАЛ БАНКА

Статья в формате PDF 71 KB...

14 11 2022 8:24:49

ВЛИЯНИЕ ОДИНОЧНЫХ ИМПУЛЬСОВ ПОЛЯ МАГНИТНОГО ВЕКТОРНОГО ПОТЕНЦИАЛА НА РАННЮЮ СТАДИЮ РАЗВИТИЯ РАСТЕНИЙ

Статья в формате PDF 128 KB...

13 11 2022 19:35:47

Особенности измерений и моделирования динамики расхода мелкого водотока родника «Хрустальная ель»

Летом 2012 года был проведен мониторинг расхода воды на малом водотоке. Мерный сосуд был принят в виде ковша емкостью один литр. Все измерения проводились вечером с 17-00 часов. Поэтому текущее время берется целыми сутками. Модель динамики имеет две составляющие: первая составляющая является законом экспоненциального роста, а вторая волновым возмущением с переменными амплитудой и частотой колебания. Показана методика моделирования с процеДypaми: 1) выявление постоянного члeна; 2) по остаткам от постоянного члeна, последовательно усложняя конструкцию, идентифицируется волновая функция; 3) постоянный члeн совмещается с волновой функцией; 4) усложняется конструкция тренда до устойчивого не волнового закона. ...