О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
1. В работе даются модели, порождающие нелинейные и (или) сильно нелинейные волн в струнах и других одномерных объектах.
Нелинейные волновые процессы обычно моделируются при помощи нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных. Для нелинейных аналогов волнового уравнения имеем [1]:
utt - с2uxx=h(u,ut,ux,t,x), (1)
где h - нелинейная функция, структура которой определяется геометрическими и (или) физическими особенностями задачи. Раскладывая функцию h в ряд, в разных приближениях можно получать модели нелинейных волновых процессов.
Нелинейные волновые эффекты многочисленны и многообразны. Показывается, что при рассмотрении простейших нелинейных моделей проявляются такие весьма хаpaктерные и важные явления как «деформирование» и «опрокидывание» профилей волн [1].
Весьма важной моделью нелинейных волн служит нелинейное уравнение Клейна-Гордона:
utt - с2uxx=Ф(u), (2)
где Ф(u) - некоторая гладкая или разрывная функция, описывающая распределенные нелинейные восстанавливающие силы. Влинейном приближении Ф(u)=-ku (k>0) имеем известную модель струны «на упругой постели».
2. Весьма важную модель - модель нелинейной струны можно получить, учитывая в представлении для упругой энергии системы в первом приближении члeн, кубический по смещению [1]. Ограничиваясь рассмотрением достаточно длинных волн, можно получить дополнительные члeны уравнения движения, зависящие лишь от деформации ux , но не от ее производных. Кроме того, в первом приближении можно записать можно записать также и члeн, учитывающий дисперсию. Тогда уравнение нелинейной струны (или уравнение продольных колебаний нелинейного стержня) можно привести к виду [1]:
utt - с2(uxx+l2u4x - buxuxx )=0, (3)
где c - по-прежнему скорость распространения волн в линейной модели, l - масштабный, считающийся малым, b - также малый параметр, хаpaктеризующий интенсивность нелинейных сил. Выбор положительного знака перед l2 соответствует предположению, что среда имеет отрицательную дисперсию и групповая скорость убывает с ростом волнового числа. Дисперсия в данной модели оказывается нормальной. Выбор противоположенного знака привел бы к модели, аналогичной известной модели балки Бернулли [1].
Если Ф(u) - суть сингулярная обобщенная функция описывающая условия удара, то приходим к нелинейному уравнению Клейна-Гордона, моделирующее виброударную систему с паспределенными ударными элементами. [2]..
3. Весьма интересную базовую модель дает называемое уравнение Кортевега - де Фриза, (уравнение КдФ) оказывающееся принципиальным при рассмотрении моделей нелинейных волн [1].
wt + wx+εwxxx +μwwx =0. (4)
Если перейти к подвижной системе координат x→x-t, то вместо (4) получим
wt +μwwx +εwxxx =0. (5)
Данное уравнение также называют уравнением Кортевега - де Фриза. При замене w→ - w вместо (.14) будем иметь:
wt + wx+εwxxx -μwwx =0. (6)
Если продифференцировать это уравнение по t и заменить значение wt его представлением из (6), то:
wtt - wxx- 2εw4x + 2μ(wwx)x+εμ(2wwxx+0,5wx2)хх - ε2 w6x -μ2(w2wx)x = 0, (7)
то есть (3) и (7) совпадают с точностью до члeнов ~ε2 и ~μ2 . Следовательно, решения уравнения КдФ (6) точно удовлетворяют уточненному уравнению нелинейной струны (7) и приближенно исходному уравнению (3). О других примерах волновых уравнений, множество решений которого содержит решения уравнения КдФ см. например в [1].
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 04-01-00611).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
- Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.- М.: Наука-1997. - 622 с.
- Крупенин В.Л. К описанию динамических эффектов, сопровождающих колебания струн вблизи однотавровых ограничителей// ДАН. - . 2003,. № 388 (3).- С.12-15.
24 03 2023 11:45:28
Статья в формате PDF
110 KB...
23 03 2023 2:57:13
Статья в формате PDF
116 KB...
22 03 2023 13:40:18
Статья в формате PDF
119 KB...
21 03 2023 18:30:23
Статья в формате PDF
763 KB...
20 03 2023 6:53:47
Статья в формате PDF
103 KB...
19 03 2023 11:21:11
Статья в формате PDF
128 KB...
18 03 2023 4:54:50
Статья в формате PDF
246 KB...
17 03 2023 16:26:32
Статья в формате PDF
310 KB...
16 03 2023 19:39:40
Статья в формате PDF
101 KB...
15 03 2023 9:29:38
Благодаря образованию сплошных посадок во многих районах Белгородской области и повсеместному произрастанию преимущественно на нарушенных местообитаниях, гравилаты могут стать хорошим подспорьем в заготовке трав на корма, особенно в неурожайные засушливые годы. Гравилат городской и гравилат речной имеют следующие хаpaктеристики по питательности кормов: протеин 10,50, 8,31 % соответственно, жир – 2,81, 373 %, редуцирующие сахара – 1,11, 2,39 %, каротин – 37,44, 24,13 мг/кг, витамин Е – 278, 250 мг/кг, витамин С – 352,0, 394,0 мг/кг, витамин А – 18,5, 25,71 мг/кг, основные микроэлементы в достаточно большом объёме. Железа у гравилата городского – 52,2 мг/кг, гравилата речного – 34,72 мг/кг, марганца – 14,53; 6,7 мг/кг соответственно, меди – 2,1; 1,35 мг/кг, цинка – 10,03; 4,7 мг/кг. Кроме этих микроэлементов содержатся другие минеральные вещества в следующих соотношениях: гравилат городской – массовая доля кальция – 0,40 %, фосфора – 0,074 %, магния – 0,15 %, натрия – 0,009 %, калия – 0,57 %, серы – 0,072 %; гравилат речной – кальций – 0,73 %, фосфор – 0,06 %, магний – 0,13 %, натрий – 0,011 %, калий – 0,62 %, сера – 0,08 %.
...
14 03 2023 2:30:37
Статья в формате PDF
565 KB...
13 03 2023 16:39:25
Статья в формате PDF
145 KB...
12 03 2023 22:41:35
В статье представлены различные классификации систем антиоксидантной защиты клеток, в частности, проанализирована возможность 5 уровней защиты клеток от свободнорадикального окисления в интерпретации разных авторов. Дана классификация антиоксидантов с точки зрения их химической природы, молекулярной массы, гидрофильности и гидрофобности, особенностей молекулярно - клеточных механизмов инактивации свободных радикалов.
...
10 03 2023 20:57:35
Статья в формате PDF
104 KB...
09 03 2023 9:46:47
Статья в формате PDF
274 KB...
08 03 2023 21:35:17
Статья в формате PDF
110 KB...
07 03 2023 11:46:14
Статья в формате PDF
310 KB...
06 03 2023 20:12:16
Статья в формате PDF
109 KB...
05 03 2023 18:28:17
Целью исследования является оценка возможности ранней дифференциальной диагностики доброкачественных и злокачественных опухолей опopно-двигательной системы с помощью инфpaкрасной спектроскопии плазмы крови. При этом бралась венозная кровь из локтевой вены у контрольной группы пациентов с заранее установленным диагнозом существующими методами, после чего выделялась плазма. Исследуемая плазма крови помещалась в жидкостную кювету. Спустя 1,5-2 часа исследуемая кювета помещалась в ИК–Фурье- спектрометр. Снимался спектр пропускания плазма крови. Вычислялся коэффициент пропускания по данным снятых спектров. Затем рассчитывались коэффициенты объемного поглощения. В процессе экспериментов нами был вычислен статистически значимый уровень β = 700 см–1, ниже которого находились значения, соответствующие доброкачественным опухолям, выше- злокачественным опухолям.
...
04 03 2023 1:10:40
Статья в формате PDF
110 KB...
03 03 2023 4:53:38
Статья в формате PDF
133 KB...
02 03 2023 11:36:45
Статья в формате PDF
112 KB...
01 03 2023 1:10:32
Статья в формате PDF
132 KB...
28 02 2023 20:58:39
Статья в формате PDF
237 KB...
27 02 2023 12:34:40
Статья в формате PDF
194 KB...
26 02 2023 13:10:32
Статья в формате PDF
289 KB...
25 02 2023 22:35:46
Статья в формате PDF
100 KB...
24 02 2023 0:21:13
Статья в формате PDF
106 KB...
23 02 2023 7:51:51
Статья в формате PDF
140 KB...
22 02 2023 5:56:57
Статья в формате PDF
112 KB...
21 02 2023 20:35:41
Статья в формате PDF
112 KB...
20 02 2023 9:30:45
Статья в формате PDF
110 KB...
19 02 2023 8:55:35
Статья в формате PDF
110 KB...
18 02 2023 21:47:32
Статья в формате PDF
322 KB...
17 02 2023 6:26:51
Статья в формате PDF
101 KB...
16 02 2023 5:20:49
Статья в формате PDF
197 KB...
15 02 2023 8:54:41
Статья в формате PDF
494 KB...
13 02 2023 16:36:12
В данной работе представлены материалы по изучению влияния добавок серы к рациону крупного рогатого скота с целью коррекции иммуннобиохимического статуса при хроническом селеновом токсикозе.
...
11 02 2023 18:28:41
10 02 2023 13:40:42
Статья в формате PDF
228 KB...
09 02 2023 9:39:59
Статья в формате PDF
126 KB...
08 02 2023 5:54:37
Статья в формате PDF
116 KB...
07 02 2023 7:44:24
Статья в формате PDF
111 KB...
06 02 2023 8:27:16
Статья в формате PDF
206 KB...
05 02 2023 21:26:30
Статья в формате PDF
114 KB...
04 02 2023 2:51:35
Статья в формате PDF
207 KB...
03 02 2023 23:45:24
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::